23 марта 1882 г. родилась Амалия Эмми Нётер, выдающийся немецкий математик.
Нётер произвела революцию в физике — она открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения. Теорема Нётер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат в инерциальной системе отсчёта, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (инвариант). Поскольку рассматриваемое преобразование тесно связано со своей симметрией пространства и времени (однородного пространства, изотропного пространства и однородности времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать в соответствии с классической механикой свой определённый закон сохранения. С однородностью пространства, т.е. симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, т.е. с равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса. Представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Практическое значение теоремы Э. Нётер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу. При наличии в физической системе симметрии другого рода, например, динамической (математической), данные симметрии прогнозируют частные законы сохранения, которые также обладают функцией запрета на локальные явления саморазвития.
Теорема Нётер имеет глубокий эвристический смысл. Если в рассматриваемой физической системе имеется сохраняющаяся величина, описывающая определённые свойства системы, то должна существовать и группа преобразований, не меняющая эту систему. Если же обнаружена инвариантность физической системы при каких-то преобразованиях, то ей соответствует сохранение определённой физической величины.
Ещё Нётер создала новое направление в алгебре — т.н. общую, или абстрактную алгебру. Она получила фундаментальные результаты в алгебраической геометрии, теории колец и идеалов.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР, неоднократно приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете. Когда в 1933 г. в Германии из Гёттингенского университета уволили всех преподавателей «не арийского» происхождения, она собиралась переехать в Советский Союз, а П.С. Александров добивался, чтобы её взяли на работу в МГУ. Но пока шла бюрократическая волокита, Нётер благодаря фонду Рокфеллера получила приглашение из США — и приняла его. А вот её брат Фриц, когда из-за еврейского происхождения потерял работу в Германии, был приглашён преподавать в Томский университет. Однако в 1938-м его объявили немецким шпионом и осудили на 25 лет лагерей. Не помогло даже ходатайство Эйнштейна, который писал наркому иностранных дел М. Литвинову. В 1941-м приговор Ф. Нётеру, как и многим другим осуждённым немцам, заменили на смертную казнь и расстреляли в тюрьме для политзаключённых.

Несмотря на то что Э. Нётер имела общепризнанные научные заслуги, она долгое время не могла получить звание приват-доцента. Основным формальным поводом для отказов была её принадлежность к женскому полу. Когда на заседаниях Гёттингенского университета, где она тогда преподавала, обсуждался этот вопрос, кто-нибудь непременно заявлял:
— Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Ведь став приват-доцентом, она может стать и профессором, и членом университетского сената! Позволительно ли женщине войти в сенат?
Однажды на таком заседании присутствовал Давид Гильберт. Выслушав такую возмущённую тираду, он ответил:
— Ах, господа, сенат не бани! Почему же женщина не может туда войти?!

«Another roof, another proof (Ещё одна крыша — ещё одно доказательство)»

26 марта 1913 г. родился Пал Эрдёш, один из самых плодовитых математиков и авторов математических гипотез 20 в. Он считал, что математика — это социальная деятельность, и вёл кочевой образ жизни с единственной целью — писать математические статьи вместе с другими математиками. Эрдёш посвящал математике всё своё свободное время, даже в преклонном возрасте.
Умер от сердечного приступа на математической конференции в 1996 г. в Варшаве (в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция), почти в полном соответствии со своим пожеланием. Однажды он сказал: «Я хочу читать лекцию, заканчивая важное доказательство на доске, когда кто-то из аудитории выкрикнет: “А как насчёт общего случая?” Я повернусь к аудитории и улыбнусь: “Это я оставлю следующему поколению”, — а потом упаду в обморок».
Всю свою жизнь Эрдёш вёл жизнь «странствующего математика»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было более 1500. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).
Эрдёш считал, что постановка математических задач так же важна, как и их решение. Он часто публиковал новые задачи и предлагал денежные награды за их решение. За свою жизнь он предложил награды за сотни придуманных им же задач. Величина призов варьировалась от $25 до нескольких тысяч, в зависимости от того, как он оценивал сложность задачи.
В настоящее время за решение задачи из Списка Эрдёша также можно получить премию из фонда Эрдёша, руководимого калифорнийским математиком Р. Грэхемом.

Вот типичный пример задачи Эрдёша (на $500) — задача о расходимости, поставленная им в 1932 г.
Представьте, что вы стоите на первом этаже башни, бесконечно уходящей ввысь и вглубь. Каждую минуту приходит лифт, который может отвезти вас на один этаж вверх или вниз — направления движения лифтов заранее известны, но вам неподвластны. Допустим, вы хотите убраться как можно дальше от поверхности, скажем, на С этажей — не важно, в каком направлении. По правилам, вы можете выбрать любое число n, и входить в каждый n-й приходящий лифт. Можно ли выбрать такое n и такое k, что через k поездок вы уедете как минимум на C этажей (как уже говорилось, в любом направлении) от первоначального?
Задача, поставленная Эрдёшем: выяснить, будет ли такая последовательность всегда содержать шаблоны и некую структуру внутри случайности.
В 2014 г. сотрудники Ливерпульского университета российского происхождения Алексей Лисица и Борис Конев нашли положительный ответ на вопрос Эрдёша, если C = 2. Их доказательство получено с активным использованием компьютера, а файл данных занимает 13 Гб. (Для сравнения: всё содержание Википедии на тот момент занимало объём меньше 10 Гб). Несомненно, это одно из самых длинных доказательств в истории математики, слишком длинное, чтобы человеческий разум мог самостоятельно его проверить.
В 2015 г. австралиец Теренс Тао сумел показать, что достаточно проверить условия задачи только для последовательностей специального вида: тех, у которых на позициях с простыми номерами стоят произвольно +1 или −1, а на любой позиции с номером ab стоят произведения членов последовательности с номером a и с номером b (последовательности, описываемые таким свойством, называются мультипликативными). В контексте гипотезы Эрдёша, мультипликативные последовательности обладают замечательным свойством: если выбрать какое-то n и брать каждый n-й член последовательности, получится последовательность либо в точности совпадающая с исходной, либо отличающаяся от нее умножением на −1. Это, в свою очередь значит, что если лифты увозили вас далеко от поверхности без всяких пропусков, то то же самое будет выполняться для поездок с любыми регулярными пропусками. Именно благодаря этой особенности, достаточно доказывать гипотезу Эрдёша только для них — такой вывод Тао смог сделать с помощью широко используемого в теории чисел преобразования Фурье. Тао удалось продемонстрировать, что мультипликативных последовательностей, для которых любые регулярные последовательности поездок на лифтах оставляют тебя где-то неподалеку от поверхности, не бывает. В противном случае, их энтропия (в математическом смысле) со временем оказывалась бы отрицательной. А это невозможно.
Доказательство Теренса Тао, конечно, отнюдь не элементарно, но оно гораздо лучше компьютерного алгоритма, проверить который человеку не представляется возможным.

27 марта 1857 г. родился Карл Пирсон, британский математик, основатель современной статистики. Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров. С его именем связаны такие широко используемые термины и методы, как: гистограмма, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, коэффициенты корреляции и ковариации, метод моментов, критерий хи-квадрат, множественная регрессия. Методы Пирсона имеют предельно общий характер и применяются практически во всех естественных науках.

При этом Пирсон был одним из главных теоретиков расизма, основоположником биометрики, проповедником социального дарвинизма и евгеники.
Понятие евгеники ввёл антрополог Фрэнсис Гальтон, понимая под ним «науку, занимающуюся всеми факторами, улучшающими врождённые качества расы». Пирсон повернул евгенику в русло патриотизма. По его мнению, задача евгеники — заниматься не отдельными людьми, а целыми нациями. Государство имеет право определять, кто может иметь детей, а кто нет.
Пирсон рассматривал войну против «низших рас» как логическое следствие теории эволюции. «Мой взгляд — и я думаю, его можно назвать научным взглядом на нацию, — писал он, — это взгляд на организованное целое, поддерживаемое на высоком уровне внутренней эффективности за счёт обеспечения того, чтобы его численность в основном набиралась из лучших кадров, и поддерживаемое на высоком уровне внешней эффективности за счёт конкуренции, главным образом путем войны с низшими расами». «Право жить ещё не означает право каждого на продолжение своего рода. Снижается качество естественного отбора, и это значит, что выживает всё больше слабых и никчёмных. А мы должны повышать стандарт происхождения, умственный и физический».

В общем, увы, очень большой математик не обязательно является очень большим человеком…

PR-пост

Дорогие подписчики, если у вас есть что-то интересное, прикольное (совсем необязательно имеющее отношение к математике) или вы хотите рассказать о своём канале, который начали бережно растить, то добро пожаловать в комментарии.

Делитесь всем талантливым и креативным.

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»

30 марта 1892 г. родился Стефан Банах, польский математик, один из создателей функционального анализа. Ввёл понятие полных линейных нормированных пространств (теперь их называют банаховыми пространствами), которые нашли применение в различных областях математического анализа, а также доказал ряд фундаментальных теорем. Банах занимался также ортогональными рядами, внёс вклад в разработку теории меры и интегрирования.

Львовские математики, во главе со Стефаном Банахом, собирались в кафе «Шкотская Кавьярня» (Шотландское кафе). На мраморном столике кафе решались математические задачи при попутном употреблении алкогольных напитков разной степени крепости. По-видимому, решение задач на столах кафе было общей физико-математической тенденцией первой половины ХХ в.
Рассказывают, процесс происходил так: кто-то предлагал задачу, а Банах её решал. Если Банаху не удавалось решить задачу сразу, её заносили в тетрадь и назначали премию (от 5 кружек пива за простые задачи, до жареного гуся за самую сложную). Чаще всего, однако, задача не добиралась до тетради, будучи решённой Банахом устно. При этом процесс решения Стефан сопровождал употреблением двух напитков — водки и кофе — по очереди.

Во время немецкой оккупации, чтобы прожить, Банах сдавал кровь для бактериологических экспериментов на медицинском факультете Львовского университета, что подорвало его здоровье гораздо сильнее, чем водка и кофе. После освобождения Львова он едва ли прожил год (умер в августе 1945).

А вот «Шкотская тетрадь», в которую записывали задачи, дошла до нас, была опубликована С. Уламом уже после войны. В частности, задачу стоимостью в жареного гуся удалось решить только в 1972 г. И шведский математик П. Энфло, решивший её, получил-таки в Варшаве своего жареного гуся в награду!

С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:
Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым. Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым. Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5. Получаем:
Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ.

Можно ли трёхмерный шар разделить на конечное число каких-нибудь частей, из которых затем сложить два точно таких же шара?

Оказывается, в теории множеств с аксиомой выбора, математический (т.е. бесконечно делимый) шар в трёхмерном пространстве можно разделить на 5 частей так, что, двигая и поворачивая эти части в пространстве, из них можно собрать ДВА шара, равных исходному. Это интересное утверждение, известное как парадокс Банаха–Тарского, иллюстрирует пределы человеческой интуиции и показывает, что можно получить если пытаться оперировать с таким понятием как бесконечность.
Подробнее об этом в заметке, посвящённой теореме Банаха–Тарского.

Чтобы никто не волновался, стоит упомянуть, что к практическим приложениям (например, удвоению ВВП) этот результат неприменим, поскольку условие бесконечной делимости, согласно современным физическим представлениям, невыполнимо. А сами части, на которые делится шар, не имеют объёма, т.е. являются неизмеримыми множествами.

«Геометрия и алгебра, соединённые вместе, дают нам ключ к пониманию пространственных явлений через числа и уравнения»

31 марта 1596 г. родился Рене Декарт, французский философ, математик , механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.
Декарт изобрёл прямоугольную систему координат, сыгравшую важную роль в совершенствовании математики и физики (по легенде он придумал её в постели, наблюдая, как по потолку и по стене ползает паук). Введение системы координат позволяет перевести геометрические задачи на алгебраический язык и тем самым существенно упрощает их исследование и решение. Декарт также переработал математическую символику Виета — с этого момента она стала близка к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c..., а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль). Внимание математиков стало переключаться с изучения числовых величин на изучение зависимостей между ними — в современной терминологии, функций.

Достоверно известно, что Декарт спал по 10 − 12 часов в сутки и даже работал, лёжа в постели. (Отсюда, видимо, и легенда о наблюдении за ползающим пауком.) Ещё одна не доказанная история касается нумерации кресел в парижских театрах. В те годы места в ложах пронумерованы не были, отчего перед спектаклями часто возникали ссоры, переходящие в дуэли. Людовик XIII, уставший от бессмысленного кровопролития среди подданных, обратился к математику с просьбой решить проблему. И тот якобы придумал систему мест и рядов, где каждое кресло имело свои «координаты». Идея быстро прижилась, и число дуэлей вскоре сократилось.

Декартовская философия явилась революционным переворотом в философии Нового времени. В основе философии Декарта лежит его метод сомнения, радикальная форма скептицизма, служившая основой его эпистемологических исследований. Другим краеугольным камнем философии Декарта является его теория дуализма разума и тела, которая утверждает, что разум и тело фундаментально различны. С точки зрения Декарта, разум — это нефизическая сущность, сфера сознания и мысли, тогда как тело — это физическая машина, подчиняющаяся законам физики. Также Декарт внёс значительный вклад в теорию познания, особенно сделав акцент на разуме как пути к истинному пониманию. Рационализм Декарта заложил основу Просвещения, вдохновив переход к научным исследованиям как основе познания.
Картезианское мышление стало методологической основой системы образования. Под влиянием философии Декарта общество выработало новые нормы поведения, которые ушли в подсознание современной культуры. Его философия повлияла на становление и развитие художественной системы классицизма; основное требование классицизма — подчинение искусства разуму — выразилось в максимальном стремлении к нормативности в искусстве и выражении разумной закономерности мира. Без преувеличения можно сказать, что Декарт создал новый тип культуры, основанный на рационализации и логическом умозаключении.


А. Городницкий. Система Декарта

Давайте отложим вчерашние планы до нового марта, —
Дожди, бездорожье и рыжее пламя в системе Декарта.
И в небе над бором срываются звезды с привычного круга.
«В осеннюю пору любить уже поздно», — вздыхает подруга.

Забудем про бремя мальчишеской прыти, в леса эти канув.
Кончается время веселых открытий и новых романов.
Поймёшь поутру, поразмысливши мудро, что крыть уже нечем,
И даже когда начинается утро, то всё-таки вечер.

Храните от боли усталые нервы, не слушайте бредни
Об этой любови, что кажется первой, а стала последней.
Сырой и тревожной для леса и поля порой облетанья
Менять невозможно по собственной воле среду обитанья.

Но жизнь и такая мила и желанна, замечу я робко,
Пока привлекают пустая поляна и полная стопка.
Пока мы под сердцем любовь эту носим, всё ставя на карту,
И тихое скерцо пиликает осень в системе Декарта.


И. Крюков. ***

Слежится, слижется, сомлеет,
как послемасленичный снег,
моё вчерашнее сомненье,
в том, что помыслив, не изрек.

И март, заявленный на карте
вин, дозволяемых Постом,
тотчас напомнит о Декарте
— столь же прозрачном и... пустом.

Велик соблазн картезианства!
Блажен, кто смуту превозмог
и понял, что живёт в пространстве
заполненном, а рядом — Бог.

Но всё ж с познанием до точки
ты сопоставить поспеши
врождённость тополиной почки
и неевклидовость души.

Сумей услышать в птичьем гвалте
мелодию небесных сфер
— и вместо Марта выйдет — Мартин,
взамен Декарта — Хайдеггер.

Старый анекдот о Рене Декарте. Заходит как-то раз Декарт в бар и заказывает пиво. Выпил, а бармен спрашивает, не желает ли месье добавки. "Не думаю", — отвечает Рене… и исчезает.

Пояснение для тех, кто, вдруг, не понял шутку. Аллюзия к «Cogito, ergo sum» сама по себе не делает её особо смешной. Суть в том, что шутка логически ошибочна, потому что её концовка является обратной по отношению к исходному утверждению, а обратное по отношению к исходному утверждение не является логически эквивалентным ему.
Эквивалентным Декартовой философеме служит довольно банальное утверждение–контрапозиция: «Не существую, следовательно, не думаю».

Математический лимерик

Ли́мерик — это стихотворный жанр английского происхождения в форме пятистишия, основанный на обыгрывании бессмыслицы. Чаще всего лимерик написан анапестом (1-я, 2-я и 5-я строки — трёхстопным, 3-я и 4-я — двухстопным), рифма ААВВА.
Например, такие (описывающие примеры на картинках) математические лимерики:

A dozen, a gross, and a score
Plus three times the square root of four
Divided by seven
Plus five times eleven
Is nine squared and not a bit more

Integral z-squared dz
From one to the cube root of three
Times the cosine
of three pi over nine
Equals log of the cube root of e

Есть немало русскоязычных лимериков за разным авторством. Часто довольно хулиганских. Извините.

Жил в Москве математик крутой,
Разделил как-то десять на ноль!
А когда умирал он,
Никому не сказал он,
Как делить можно числа на ноль.

Говорят, математик Лаплас
как-то раз оппоненту дал в глаз.
А потом и в другой,
а потом и ногой
ещё икс в энной степени раз.

Был большим драчуном Роберт Гук —
Страшной силы имел правый хук,
Но его били скопом:
Галилей — телескопом,
Микроскопом — Антон Левенгук.

Сочинил математик Ферма
Теорему, крутую весьма,
Только не доказал.
«Не дурак я, — сказал, —
Вам доказывать всё задарма!»

Один толстый юрист из Тулузы
Многословен бывал до конфуза:
"Тра-ля-ля, тополя..." -
По печатным полям
Рассыпал интегралы и плюсы.

Натуральный философ Ньютон
Часто хаживал в местный притон —
Притяжение тел
Изучить там хотел.
Он вообще был большой моветон.

На уроке решали задачу,
вдруг Коши закричал, чуть не плача:
«Вы скажите, месье,
каков путь был в нуле
и начальная скорость в придачу!»

Факт такой отмечал Галилей:
Те, что в трюмах плывут кораблей,
Как и те, что в порту,
С бодуна, поутру,
Одинаково просят: «Налей!»

По преданию, грек Гераклит
Очень долго лечил свой колит,
А когда излечил,
Тут же на фиг почил.
Или, кажется, то был Эвклид.

Выдающийся оптик Френель
Как-то влез на высокую ель
И кричал с этой ели:
«Люди! Кольца Френеля
Очень ясно мне видно отсель!»

Говорят, как-то раз физик Ом
Спьяну сунул два пальца в разъём
И такие количества
Он провёл электричества,
Что закон назван в память о нём.

Как-то старого Планка из Киля
Об интимном процессе спросили.
— Что сказать... частота
Уж, конечно, не та,
Но энергия — как в гамадриле!

Эрвин Шрёдингер, физик из Вены
Безуспешно решал многочлены.
В уравненье тогда
Он подставил кота —
И задачка сложилась мгновенно!

Математики братья Бернулли
Год работали, глаз не сомкнули,
А потом разболтали
Это все Лопиталю,
И весь труд у них враз умыкнули.

«Что такое свободная группа?»
— за тарелкою вкусного супа
вопрошал Ляпунов.
«Это так, набор слов»
— отвечал ученик, хмурясь тупо.

Математик седой Фибоначчи
Свою жизнь и не мыслил иначе:
3 кота, в 5 обед,
8-летний сосед,
И 13 ремонтов на даче.

Как-то Тейлор с Лагранжем поспорили,
кто из них внёс вклад больший в теорию:
«Мой остаточный член!»
«Зато мой многочлен!»
Хрен поймёшь чего в этой истории.

Шутки Бэкона: можно подтвердить, что смешная

Шутки Поппера: принципиально могут оказаться несмешными в каком-то из миров

Шутки Гёделя: какую ни придумай, всегда найдётся ещё смешнее

Шутки Банаха-Тарского: из одной можно сделать две точно такие же

Шутки Гудстейна: рано или поздно становится не до смеху

Шутки Шрёдингера: смешные и несмешные одновременно

Шутки Фибоначчи: каждая новая такая же смешная, как две предыдущие вместе взятые

На рисунке два квадрата, сторона синего равна 2. Найдите площадь зелёного треугольника.
Ответ: 2.