Задача. Дана окружность с центром О и точка А на ней. Случайным образом внутри окружности выбираем точку В. Какова вероятность того, что все три точки О, А и В лежат на двух соседних сторонах некоторого квадрата?
Ответ: 0,75.

14 марта 1882 г. родился Вацлав Франциск Серпинский — польский математик, известный своими трудами по теории множеств, (исследовании аксиомы выбора и континуум–гипотезы), теории чисел, теории функций, топологии.
В его честь названы три известных фрактала — ковёр Серпинского, треугольник Серпинского и кривая Серпинского. Он дал ещё несколько парадоксальных результатов: например, построил пример замкнутой кривой, заполняющей квадрат; дал пример плоского множества, которое раскладывается на два подмножества без общих точек и конгруэнтно каждому из них.

Числом Серпинского в теории чисел называют нечётное натуральное число k такое, что для любого натурального n число k·2ⁿ+1 является составным.
Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность 3·2ⁿ+1 , то в ней регулярно будут встречаться простые числа; и на самом деле довольно неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности k·2ⁿ+1 никогда не встретится простое число.
Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число k·2ⁿ+1 является простым.
Первым известным числом Серпинского является 78 557; в 1962 г. было доказано, что число 78 557·2ⁿ+1 делится по крайней мере на одно число из покрывающего множества {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.
Вторым известным числом Серпинского является 271 129: также доказано, что 271 129·2ⁿ+1 делится хотя бы на одно число из множества {3, 5, 7, 13, 17, 241}.
Но при этом пока не доказано, что 78 557 — наименьшее число Серпинского! Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского. Сейчас осталось пять таких чисел, которые, возможно, опровергнут гипотезу, что 78 557 — наименьшее число Серпинского: это — 21 181, 22 699, 24 737, 55 459 и 67 607.
До недавнего времени таким числом было ещё 10 223, но в 2016 г. участники краудфандингового научного проекта PrimeGrid отчитались о находке очередного простого числа. Им стало число
10223·2³¹¹⁷²¹⁶⁵+1,
содержащее в себе более девяти миллионов знаков.

Цена чекушки в степени цены поллитровки – это, конечно, факт курьёзный, но не серьёзный. А вот что вы думаете по поводу приближённого равенства π² ≈ g (м/с² – ускорение свободного падения)?
Об этом – в статье на Хабре.

Задача. В линию выложены игральные карты. Каждая из них либо чёрной, либо красной масти. Вы можете разделить карты на две части, проведя линию между какими-либо соседними картами (или перед картами, или за картами — одна из частей может содержать 0 карт).
Независимо от того, сколько карт перед вами и какие они, можете ли вы всегда разделить их на две части так, чтобы количество чёрных карт в левой части было точно таким же, как количество красных карт в правой?
На рисунке приведён пример, удовлетворяющий условию.

Задача. В тёмной комнате вам дают колоду из 52 карт. 13 карт из них перевёрнуты рубашкой вниз и распределены случайным образом в колоде. Ваша задача разделить карты на две стопки, таким образом, чтобы в каждой стопке лежало одинаковое количество карт рубашкой вверх. Карты можно переворачивать.

«Если я чувствую себя несчастным, я занимаюсь математикой, чтобы стать счастливым. Если я счастлив, я занимаюсь математикой, чтобы оставаться счастливым»

«Математик — это устройство для превращения кофе в теоремы»

20 марта 1921 г. родился Альфред Реньи, знаменитый венгерский математик. Основные работы по теории вероятностей, теории чисел, теории информации, комбинаторике и теории графов.
Реньи — автор прекрасных научно-популярных работ. Большой популярностью пользуются его научно-популярные книги, переведенные на русский язык: «Диалоги о математике», «Письма о вероятности», «Трилогия о математике».
Книги Реньи затрагивают темы философии математики: что такое математика и что она изучает? Как математика связана с действительностью? Как возникают математические понятия? Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникать в суть явлений глубже и точнее, чем непосредственное наблюдение и экспериментальное изучение? Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития как самой математики, так и ее применений к проблемам реальной жизни?
Литературная форма каждого из этих произведений различна: диалоги, письма, дневник, статья, но един литературный талант автора, который захватывает читателя. Каждое из произведений Реньи касается не частных задач той или иной области математики, а её принципиальных вопросов, ставит и достаточно глубоко освещает проблемы большого методологического значения.
Эти книги не для тех, кто хочет получить быстрые ответы, а для тех, кто хочет глубоко погрузиться в смысл поставленных вопросов.

Я задумал натуральное число от 1 до 2025 и готов честно отвечать на такие ваши вопросы, которые допускают только ответ «да» или «нет». Сколько потребуется вопросов, чтобы гарантированно угадать задуманное число?
В этой простой задаче ответ 11, а вопросы, с помощью которых можно узнать ответ, могут звучать так: «Верно ли, что загаданное число больше такого-то?»
А. Реньи на основе этой задачи поставил другую — более сложную и содержательную. Требуется понять, как и за какое количество вопросов можно угадать задуманное число, если в одном (а если — в двух, в k?) ответах я могу ошибиться (сказать неправду).
О решении этой задачи рассказано в статье Константина Кнопа.
Данная задача родственна задачам теории кодирования Хэмминга, в которых требуется не только обнаруживать ошибки кодирования, но и исправлять их.

Задача из учебного пособия Е.С. Вентцель.
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:
1) три партии из четырёх или пять из восьми?
2) не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми?
Ответ: 1) три из четырёх; 2) не менее пяти из восьми.

21 марта 1907 г. родилась Елена Сергеевна Вентцель (Долгинцева), специалист и автор известных учебников и задачников по теории вероятностей и исследованию операций, а также талантливый писатель (литературный псевдоним И.Грекова: от игрек — «неизвестная, которую нужно вычислить»).

Долгие годы Е.С. преподавала в академии им. Жуковского вместе со своим мужем, генералом-майором авиации. Однажды, спеша на лекцию, она пыталась втиснуться в переполненный дачный автобус.
— Поймите, я опаздываю на лекцию! Я профессор математики! — взывала она к совести водителя и пассажиров. — Если я сейчас не уеду, то лекция будет сорвана. — Всё было напрасно.
— Я — генеральша! — в отчаянии крикнула она, исчерпав все аргументы.
Двери автобуса тут же отворились.

В непринуждённой обстановке Е.С. однажды вспомнила о бдительном редактировании своего первого задачника. В нескольких задачах речь шла о выявлении случайного брака при массовом производстве технической продукции, отпускаемой с завода большими партиями. Задача завершалась вопросом: Какова вероятность того, что партия будет забракована?
Цензор предложил изъять столь опасную двусмысленность и согласился с противоположной:
Какова вероятность того, что партия НЕ будет забракована?

23 марта 1882 г. родилась Амалия Эмми Нётер, выдающийся немецкий математик.
Нётер произвела революцию в физике — она открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения. Теорема Нётер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат в инерциальной системе отсчёта, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (инвариант). Поскольку рассматриваемое преобразование тесно связано со своей симметрией пространства и времени (однородного пространства, изотропного пространства и однородности времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать в соответствии с классической механикой свой определённый закон сохранения. С однородностью пространства, т.е. симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, т.е. с равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса. Представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Практическое значение теоремы Э. Нётер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу. При наличии в физической системе симметрии другого рода, например, динамической (математической), данные симметрии прогнозируют частные законы сохранения, которые также обладают функцией запрета на локальные явления саморазвития.
Теорема Нётер имеет глубокий эвристический смысл. Если в рассматриваемой физической системе имеется сохраняющаяся величина, описывающая определённые свойства системы, то должна существовать и группа преобразований, не меняющая эту систему. Если же обнаружена инвариантность физической системы при каких-то преобразованиях, то ей соответствует сохранение определённой физической величины.
Ещё Нётер создала новое направление в алгебре — т.н. общую, или абстрактную алгебру. Она получила фундаментальные результаты в алгебраической геометрии, теории колец и идеалов.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР, неоднократно приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете. Когда в 1933 г. в Германии из Гёттингенского университета уволили всех преподавателей «не арийского» происхождения, она собиралась переехать в Советский Союз, а П.С. Александров добивался, чтобы её взяли на работу в МГУ. Но пока шла бюрократическая волокита, Нётер благодаря фонду Рокфеллера получила приглашение из США — и приняла его. А вот её брат Фриц, когда из-за еврейского происхождения потерял работу в Германии, был приглашён преподавать в Томский университет. Однако в 1938-м его объявили немецким шпионом и осудили на 25 лет лагерей. Не помогло даже ходатайство Эйнштейна, который писал наркому иностранных дел М. Литвинову. В 1941-м приговор Ф. Нётеру, как и многим другим осуждённым немцам, заменили на смертную казнь и расстреляли в тюрьме для политзаключённых.

Несмотря на то что Э. Нётер имела общепризнанные научные заслуги, она долгое время не могла получить звание приват-доцента. Основным формальным поводом для отказов была её принадлежность к женскому полу. Когда на заседаниях Гёттингенского университета, где она тогда преподавала, обсуждался этот вопрос, кто-нибудь непременно заявлял:
— Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Ведь став приват-доцентом, она может стать и профессором, и членом университетского сената! Позволительно ли женщине войти в сенат?
Однажды на таком заседании присутствовал Давид Гильберт. Выслушав такую возмущённую тираду, он ответил:
— Ах, господа, сенат не бани! Почему же женщина не может туда войти?!

«Another roof, another proof (Ещё одна крыша — ещё одно доказательство)»

26 марта 1913 г. родился Пал Эрдёш, один из самых плодовитых математиков и авторов математических гипотез 20 в. Он считал, что математика — это социальная деятельность, и вёл кочевой образ жизни с единственной целью — писать математические статьи вместе с другими математиками. Эрдёш посвящал математике всё своё свободное время, даже в преклонном возрасте.
Умер от сердечного приступа на математической конференции в 1996 г. в Варшаве (в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция), почти в полном соответствии со своим пожеланием. Однажды он сказал: «Я хочу читать лекцию, заканчивая важное доказательство на доске, когда кто-то из аудитории выкрикнет: “А как насчёт общего случая?” Я повернусь к аудитории и улыбнусь: “Это я оставлю следующему поколению”, — а потом упаду в обморок».
Всю свою жизнь Эрдёш вёл жизнь «странствующего математика»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было более 1500. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).
Эрдёш считал, что постановка математических задач так же важна, как и их решение. Он часто публиковал новые задачи и предлагал денежные награды за их решение. За свою жизнь он предложил награды за сотни придуманных им же задач. Величина призов варьировалась от $25 до нескольких тысяч, в зависимости от того, как он оценивал сложность задачи.
В настоящее время за решение задачи из Списка Эрдёша также можно получить премию из фонда Эрдёша, руководимого калифорнийским математиком Р. Грэхемом.