Франсуа Виет, дата смерти которого 23 февраля 1603 г. (а дата рождения не известна, 1540 г.), изобрёл способ решения кубического уравнения, не основанный на использовании формуле Кардано и комплексных чисел. Это тригонометрический метод, в основе которого лежит древняя задача трисекции угла.
Рассмотрим идею этого метода на примере.

«Математика — свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”».

27 февраля 1881 г. родился Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — голландский философ и математик, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ.

Брауэр положил начало новому направлению в математике — интуиционизму. В теории множеств, на основании которой хотелось бы построить математику, в начале XX в. обнаружились всякие парадоксы и противоречия. Чтобы выйти из кризиса, математики пробовали идти разными путями, и один из них — интуиционизм.
Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.
Интуиционистская логика отличается от классической. Например, в классической логике каждое высказывание либо истинно, либо ложно. А у интуиционистов есть истинные высказывания, ложные и все остальные, пока ещё непроверенные. Если высказывание не является истинным, отсюда ещё не следует, что оно ложно.
Интуиционисты не признают доказательств от противного и вообще всех неконструктивных доказательств (теме неконструктивных доказательств ранее была посвящена заметка), с особой осторожностью работают с бесконечностями. Взять какие-то высказывания, потом манипулировать ими по формальным правилам и делать формальные выводы — занятие не для них. Каждый отдельный вывод должен быть очевиден и ясен индивидуально.
Используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признаёт, что благодаря т.н. закону исключённого третьего каждое утверждение, в частности, о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле. Однако, как замечают интуиционисты, закон исключённого третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов. Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключённого третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной. Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий не годятся для её обоснования. Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях.
Интуиционистское исчисление высказываний строил, в частности, А.Н. Колмогоров. Его ученик Пер Мартин-Лёф создал интуиционистскую теорию типов. Его подход использовал В.А. Воеводский для создания гомотопической теории типов. Он ввёл аксиому унивалентности и довёл свои идеи до этапа практических применений.
Математики продолжают работать над основаниями своей науки. Интуиционизм к настоящему времени ещё до конца не выкристаллизовался, его значение в обосновании математики предстоит узнать в будущем.

Брауэр получил один из самых важных и полезных результатов в топологии — доказал теорему Боля–Брауэра о неподвижной точке.
Представьте, что у нас есть два листка бумаги одинакового размера, причём один листок лежит на другом. Вы берёте один листок, сминаете его в комок и бросаете на другой лист так, чтобы ни одна часть этого скомканного листка не выходила за края нижнего ровного листка бумаги. Теорема утверждает: на данном скомканном листке бумаги имеется хотя бы одна точка, которая будет находиться точно над тем же самым местом на нижнем листке бумаги, где она находилась первоначально, когда два ровных листка лежали один на другом.
Теорема работает и в других измерениях. Возьмите стакан с чаем и размешайте в нём сахар. Теорема Брауэра настаивает на том, что существует некоторая точка в чае, которая будет находиться в том же самом месте, где она находилась до того, как вы размешали сахар. На более точном языке математики теорема утверждает, что любое непрерывное отображение n-мерного шара в n-мерный шар (где n > 0 — размерность пространства) должно иметь неподвижную точку.

В самой гуще событий
Неподвижная точка,
И ничто не забыто,
Правда, это не точно.

И стремительно мчится
Время в ритме сверхсрочном,
Но ничто не случится
С неподвижною точкой.

Мир кружится юлою,
Но она и не знает;
Время мчится стрелою,
Точка чахнет, зевая.

Ей бы каплю вниманья,
Или воли глоточек,
Но её уж прозвали
"Неподвижная точка".
(И. Зайцев)

Образовательный проект Popmath подготовил 4-х месячные онлайн-курсы для взрослой аудитории для всех, кому важно осмыслить математику, а не просто заучить набор формул.

На ваш выбор два курса:

📍 Математика для взрослых: для желающих получить прочную математическую базу. Предварительные знания не требуются.
📍Линейная алгебра: для тех, кто хочет разобраться в предмете поглубже и выйти за рамки базовых знаний математики.

🔆 Формат курсов:
- 16 лекций и 16 семинаров через Zoom
- обратная связь с преподавателями в Телеграм
- яркие 2D- и 3D-анимации для лучшего восприятия материала

Старт групп: середина марта

По всем вопросам вы можете писать @popmath_support

2 марта 1947 г. родился Юрий Владимирович Матиясевич, российский математик, специалист в области математической логики, теории алгоритмов, теории чисел, дискретной математики. Внёс существенный вклад в теорию вычислимости, завершив решение десятой проблемы Гильберта. В этой проблеме требовалось найти единый метод для распознавания наличия решений в целых числах у произвольного диофантова уравнения. Он установил, что метода, требуемого Гильбертом, не существует. Это стало мощным средством для доказательства неразрешимости и других алгоритмических проблем. На этой базе может быть построено решение многих проблем криптографии и теории чисел.
Матиясевич сделал также множество замечательных открытий в теоретической информатике, теории графов, аналитической теории чисел. Но самый красивый результат он получил, используя технику, наработанную при решении 10-й проблемы. Оказалось, что существует многочлен с целыми коэффициентами, множество всех неотрицательных значений которого (при положительных целых значениях переменных) совпадает с множеством простых чисел! Количество переменных в многочлене Матиясевича — 10. Его степень — 15905.

Решето Матиясевича-Стечкина — интересный геометрический способ найти все простые числа. Для этого на обычной параболе y = x² мы отмечаем все точки с целыми координатами и проводим все хорды, соединяющие эти точки на правой и левой ветви. Такие хорды пересекают ось ординат в точках с целыми координатами. Оказывается, что все такие точки имеют координату, являющуюся составным числом, а точки, координаты которых — простые числа, никогда не попадут на такие хорды.
Это легко показать. Уравнение прямой, проходящей через точки А(–а; а²) и В(b; b²) имеет вид:
y = (b–а)x + ab.
Отсюда при x = 0 получаем y = ab.

Выдающийся математик А.В. Погорелов — автор школьного учебника геометрии, выдержавшего десятки изданий миллионными тиражами, переведённого на многие языки. Однако, несмотря на определённые достоинства учебника, в целом его вряд ли можно считать удачным.
К достоинствам учебника можно отнести полноту, строгость и лаконичность изложения; в процессе объяснения задач автор обращает особое внимание на логику рассуждений и обоснование решения; в учебнике имеется много задач на доказательство;
приведены примеры, иллюстрирующие применение теории.
Недостатки учебника: тяготение к точным, но громоздким формулировкам;
«сухость» изложения, приведение доказательств сразу в готовом виде, без предварительных рассуждений;
довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем, например, признаков равенства треугольников (произрастающие из желания автора всё вывести из аксиом и не пользоваться наложением треугольников при их доказательстве);
стремление к скорой алгебраизации геометрии;
отсутствие некоторых теоретических положений, которые так или иначе «всплывают» в процессе преподавания;
отсутствие пропедевтики стереометрического материала в курсе планиметрии.
Неполная, но довольно содержательная критика учебника Погорелова — в статье Э.Б. Винберга.

4 марта 1882 г. родился Жюль Антуан Лиссажу, французский математик. Работы Лиссажу посвящены вопросам акустики и оптики. Изучал колебания тонких пластин, распространение волн. Разработал оптический метод исследования сложения колебаний при помощи так называемых фигур Лиссажу — замкнутых траекторий, прочерчиваемых точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Работал над созданием системы оптического телеграфа.

Фигуры пляшут Лиссажу—
В них красоту я нахожу.
То завиток, то узкий круг,
То плавных линий нежный звук.

Как нити ветра в вышине,
Они танцуют в тишине.
Чуть сдвинешь фазы — и опять
Узор начнёт себя менять.

В них скрыты музыка и свет,
Природы тайный силуэт.
Узор сплетается в ответ,
Где форм и ритмов вечный след.
(ChatGPT)

С фигурой Лиссажу связана довольно любопытная иллюзия, созданная программистом из Техаса Фрэнком Форсом: совершенно непонятно, в каком направлении вращается то, что вы видите — справа налево или слева направо, сверху вниз или снизу вверх.

Об уравнении ∛F(х) + ∛G(х) = H(х)

Для решения уравнения данного вида предлагается следующий приём. Возведём обе части уравнения в куб, используя формулу
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)…

.

Ответ: R = √2.

Задача. Дана окружность с центром О и точка А на ней. Случайным образом внутри окружности выбираем точку В. Какова вероятность того, что все три точки О, А и В лежат на двух соседних сторонах некоторого квадрата?
Ответ: 0,75.