Значительный вклад внёс Даниил Бернулли в развитие теории вероятностей.
В частности, он опубликовал работу, в которой рассматривалось утверждение, получившее название санкт-петербургского парадокса. Оно касалось игры, впервые упомянутой двоюродным братом Даниила — Николаем Бернулли:
пусть при игре в орлянку ваш выигрыш растёт в геометрической прогрессии каждый раз, когда выпадает орёл, и так до тех пор, пока не выпадет решка. Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д.
Несложно посчитать математическое ожидание выигрыша при неограниченном числе бросаний:
1·½ + 2·¼ + 4·⅛ + … = ∞.
Математическое ожидание выигрыша является бесконечным, но здравый смысл показывает, что вознаграждение за участие в игре должно иметь конечную величину.
За трёхсотлетнюю историю существования парадокса предложено множество вариантов его объяснения.
Так, сам автор парадокса Николай Бернулли предлагал решать задачу через идею взвешенных вероятностей: он полагал, что люди склонны рассматривать маловероятные события как невозможные. Поскольку ожидать длинную последовательность падения монеты «денежной» стороной с первого или второго сеанса игры маловероятно, люди не рискуют играть «в долгую». В общем-то, они боятся потерять и не отыграть даже свой первоначальный взнос. Эта гипотеза сразу показалась научной общественности малоубедительной, и поэтому парадокс не стал «базельским» (по месту жительства автора Николая Бернулли), но стал, с лёгкой руки д’Аламбера, санкт-петербургским (по месту жительства Даниила Бернулли).
Американский математик У. Феллер, уже в ХХ в., попытался решить парадокс через введение запрета на неограниченное количество игровых сеансов — при изначальном ограничении на число попыток матожидание сходится к заметно меньшему показателю.
Английский экономист Дж. Кейнс создал свою теорию вероятности, основанную на постулате, что вероятность является в большей степени логическим, нежели числовым отношением. Применительно к санкт-петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (достаточно большая сумма), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Наиболее убедительное решение санкт-петербургского парадокса предложил всё же Даниил Бернулли. Он продемонстрировал экономические приложения парадокса, но, конечно, не пытался применить свои расчёты для каких-либо макроэкономических схем. Этот потенциал увидели и оценили учёные-экономисты спустя столетия.
Даниил Бернулли предложил презумпцию убывающей предельной полезности денег, когда одна и та же сумма более ценна для нищего, но уже не так критична для богача. С развитием экономики, финансовых рынков и банковской системы эти идеи стали основой исследований для учёных-теоретиков, на их основе пытались строить финансовые модели представители страховой и многих других сфер.
Хорошо изложены экономические аспекты санкт-петербургского парадокса в статье П. Ватника «Даниил Бернулли – экономист».

Даниил Бернулли впервые применил теорию вероятностей к статистике народонаселения. Независимо от А. Муавра вывел предельные теоремы Муавра – Лапласа, впервые ввёл в теорию ошибок нормальные распределения и разделил погрешности наблюдений на случайные и систематические, опубликовал первую таблицу случайного распределения.

13 февраля 1805 г. родился Петр Густав Лежён Дирихле — немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел, а также в механику и математическую физику. Ввёл понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости. Доказал разложимость в ряд Фурье всякой монотонной кусочно-непрерывной функции. Одним из самых известных достижений Дирихле является теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.
Доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно простые числа. Изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввёл функциональные ряды особого вида (ряды Дирихле). Доказал справедливость великой теоремы Ферма для случая n = 5 (Эйлер и Лагранж до него рассматривали случай n = 3 и n = 4).

В основе очень многих математических утверждений лежит идея, называемая принципом Дирихле. Его формулировка кажется очевидной: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой находится не менее ᶻ /ₖ зайцев».
Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем
k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!

Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.

Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани.
Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.

Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта?
Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.

Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.

Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.

Дирихле был женат на Ребекке Мендельсон, сестре известного композитора Феликса Мендельсона. Учёный любил формулы больше слов, был очень молчаливым и категорически отказывался писать письма — его друзья никогда не получали от него никакой корреспонденции. Единственное исключение Дирихле сделал, когда у него родился первенец. В тот день Феликс Мендельсон получил телеграммой весьма короткое послание: "2+1 = 3".

Ещё несколько задач на принцип Дирихле.


Задача 1. Найдите значение дроби (разным буквам соответствуют разные цифры).

Задача 2. Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Докажите, что на этой плоскости найдётся треугольник с углами 30°, 60°, 90° и гипотенузой а, вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

Задача 3. Десять школьников сдавали тест. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ: 210.

Задача 4. В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ: 28.

«Высшее проявление духа — это разум. Высшее проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою»

«История человечества пишется в трёх книгах.
Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства.
Это История Любви. Ее пишет Искусство.
И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль»

«В. И. Арнольд говорит, что математика — это часть физики. А я дополняю: физика — часть геометрии!»

«Хороший учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто не стесняется своего незнания. Поэтому у хороших учителей ученики их перерастают»

13 февраля 1937 г. родился Игорь Фёдорович Шарыгин — математик и педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников, член редколлегии журнала «Квант».
В память об Игоре Фёдоровиче с 2005 года ежегодно проводят Всероссийскую олимпиаду по геометрии имени И.Ф. Шарыгина для школьников старших классов.

Задача Шарыгина. Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

Мой новый материал про особый вид треугольников, впервые рассмотренный советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным. Удивительно, что до ХХ века никто так и не обратил внимание на этот бриллиант.

Ответ: (6√2 + 4) / 7.

«В науке авторитет тысячи мнений не стоит и одной крошечной искорки разума в отдельном человеке»

15 февраля 1564 г. родился Галилео Галилей — итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. При жизни был известен как активный сторонник гелиоцентрической системы мира, что привело Галилея к серьёзному конфликту с католической церковью. Галилей был первым, кто показал, что Млечный Путь состоит из звёзд.

В математике Галилей провёл исследование об исходах при бросании игральных костей. В его «Рассуждении об игре в кости» проведён довольно полный анализ этой задачи.
В «Беседах о двух новых науках» он сформулировал «парадокс Галилея»: натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, хотя бо́льшая часть чисел не являются квадратами. Это подтолкнуло в дальнейшем к исследованию природы бесконечных множеств и их классификации; завершился процесс созданием теории множеств.

Галилею приписывают открытие закона инерции. Сегодня мы знаем его как первый закон Ньютона. В нём говорится, что если на тело не действуют силы (или их равнодействующая равна нулю), то оно будет двигаться равномерно и прямолинейно. Галилей же, вслед за Аристотелем, считал, что тело, на которое не действуют силы, может равномерно двигаться по окружности. Таковым он считал, например, движение планет вокруг Солнца. Ошибка в рассуждениях возникла из-за того, что Галилей не знал о законе всемирного тяготения, открытого позже Ньютоном.

Общеизвестна легенда о том, что Галилей ниспроверг аристотелевскую физику, бросив одновременно мушкетную пулю и пушечное ядро с Пизанской башни. Никаких доказательств, написанных рукой самого Галилея, о выполнении этого эксперимента нет. Как нет доказательств и того, что Галилей скатывал шарики по наклонной плоскости или, бросал шарики, смоченные тушью, вдоль листа бумаги, чтобы они, пролетая, оставляли на нём красивые параболы. Эти истории сочинил искренне восхищавшийся своим учителем биограф Галилея Винченцо Вивиани ради придания большего драматизма в опровержении им теории Аристотеля. Для биографа, который ошибся в дате рождения своего героя, а также не всегда достоверно передавал суть его теорий, такие приукрашивания вполне объяснимы.
Большие сомнения вызывает и демонстративность эксперимента по сбрасыванию шаров с Пизанской башни: принимая во внимание высоту башни, можно утверждать, что Галилею, стоящему наверху, сложно было бы разглядеть, насколько одновременно приземлятся брошенные им пуля и ядро, а собравшимся внизу зрителям сложно увидеть, одновременно ли два эти предмета начали движение, да и вообще — стоять внизу, когда сверху летит пушечное ядро, стараясь оказаться поближе к месту его падения, наверное, не лучшая идея.
А в своём знаменитом «Диалоге» Галилей и вовсе утверждает, что не надо бросать ни пулю, ни ядро, чтобы убедиться, что они, падая, должны проделать одинаковый путь за совершенно одинаковое время. Он пишет:
«Представьте себе два предмета, один из которых тяжелее другого, соединённых верёвкой друг с другом, и сбросьте эту связку с башни. Если мы предположим, что тяжёлые предметы действительно падают быстрее, чем лёгкие и наоборот, то лёгкий предмет должен будет замедлять падение тяжёлого. Но поскольку рассматриваемая система в целом тяжелее, чем один тяжёлый предмет, то она должна падать быстрее него. Таким образом мы приходим к противоречию, из которого следует, что изначальное предположение (тяжёлые предметы падают быстрее лёгких) — неверно».
Поистине удивительным в этом мысленном эксперименте Галилея является то, что это — ошибочное на самом деле — рассуждение привело его к верному результату!
Ошибка рассуждений заключается в неявном предположении, что ускорение тел зависит только от одной физической величины — «тяжести» (то есть от гравитационной массы). Если бы масс было две (гравитационная и не равная ей инертная), то подобное «доказательство» провести было бы нельзя. Эта ошибка легко выявляется, если заменить в этом мысленном эксперименте веса тел на электрические заряды, а притяжение Земли — на притяжение третьего тела с бо́льшим зарядом. В случае зарядов правым оказывается скорее Аристотель, чем Галилей, хотя рассуждения можно повторить один в один. Независимость ускорения тела от его массы связана с пропорциональностью инертной и тяжелой масс. Конечно, во времена Галилея ещё не было ни закона Кулона, ни законов Ньютона, и аргументы Галилея казались убедительными. Но сегодня к ним можно относиться скорее как к риторическому приёму, чем как к аргументу.
С помощью своего воображаемого эксперимента Галилей стремился построить физику на базе математики. Однако, подменив опыт математическим доказательством, он совершил логическую ошибку: его рассуждение о прохождении телом всех степеней медленности имеет чисто математический характер, но при этом остаётся недоказанным, что между физическим движением и его математической моделью в предельном случае — а именно такой случай и являет нам конструируемый объект — нет никакого различия.

То, что Галилей сказал знаменитую фразу «А все-таки она вертится!» сразу после своего отречения — всего лишь красивая легенда.
Фраза «Eppur si muove» не встречается ни в одном из современных Галилею источников — ни в протоколах суда, ни в последующих работах и переписке ученого. Её не зафиксировал и первый биограф Галилея Винченцо Вивиани. Впервые она появляется в хрестоматии «Italian library», составленной литератором Джузеппе Баретти и опубликованной в Лондоне в 1757 г., то есть спустя 124 года после суда. Баретти пишет: «Как только Галилей был отпущен на свободу, он поднял глаза к небу, затем опустил их на землю, сделал шаг и в задумчивости произнес: „Eppur si muove“».
Стоя на коленях, Галилей зачитывал текст отречения, в котором признавал еретическим мнение, что Солнце находится в центре мира и не движется, а Земля вращается вокруг него. Текст отречения составлен так, чтобы в нём утверждалось, будто доказательство этого еретического мнения не было намерением Галилея. Да и сам он в ходе процесса пытался убедить судей, что хотел прямо противоположного — показать ошибочность учения Коперника. Конечно, заявление, что Земля всё-таки вертится, в такой ситуации было бы совершенно нелогичным и никак бы не вписывалось во всю стратегию защиты Галилея на процессе.

В 1992 г. папа Иоанн Павел II официально признал, что инквизиция в 1633 г. совершила ошибку, силой вынудив учёного отречься от теории Коперника. Тем не менее современные теологи Ватикана утверждают, что приговор Галилею был гуманным, а значительная доля вины за случившееся ложится на самого Галилея.
Одна из версий церковных историков состоит в том, что церковь судила Галилея за гелиоцентризм, чтобы спасти его от более тяжкого обвинения — в атомизме.

Есть ещё легенда о том, что Галилей страдал от клеветы коллег больше, чем от преследований инквизиции. У этой легенды много красноречивых сторонников, в их числе значится поэт Евгений Евтушенко:
Учёный, сверстник Галилея,
был Галилея не глупее.
Он знал, что вертится Земля,
но у него была семья.
И он, садясь с женой в карету,
свершив предательство своё,
считал, что делает карьеру,
а между тем губил её.
В этих стихах считывается исторический прецедент. Сделав свои открытия, Галилей с 1609 по 1611 г. довольно активно их пропагандировал, предлагая разным людям — в их числе и венецианский дож, и папа римский — лично убедиться существовании и четырёх спутников Юпитера, и гор на Луне, и мириад звёзд в составе Млечного Пути. Но один из коллег Галилея по Падуанском университету, Чезаре Кремонини, которого Галилей считал своим другом, отказался смотреть в телескоп. Его отказ был мотивирован тем, что от оптической трубы нечего ждать, кроме обмана зрения — Кремонини считал себя несведущим в астрономии и потому не имеющим права судить об увиденном, каким бы оно ни было. За этим скрывается довольно сложный философский вопрос о доверии к увиденному: для многих современников Галилея «просто увидеть» было недостаточно. Сам же Галилей придерживался мнения, что истина, однажды обнаруженная, становится очевидной.
Так или иначе, слова Евтушенко о «предательстве» неслучайны. В научно-популярной литературе ответственность за донос на Галилея в инквизицию нередко возлагалась именно на Кремонини — учёного коллегу, отказавшегося смотреть в телескоп. Но сейчас хорошо известно, что в инквизицию обратились два монаха-доминиканца Томмазо Каччини и Никколо Лорини, которых точно нельзя считать коллегами Галилея.

Прогрессивное научное мировоззрение Галилея, приведшее к его конфликту с догматическим церковным мировоззрением и ставшее определённым символом противостояния науки и церкви, не мешало Галилею практиковать астрологию. И хотя он высмеивал астрологию как профессию, опирающуюся на самые «неопределённые, если не ложные, основания», время от времени сам составлял гороскопы для студентов и аристократов, что в те времена входило в компетенцию математиков. Мало того, математики должны были учить студентов-медиков использовать гороскопы для назначения подходящего лечения. Сохранилось более двух десятков астрологических карт, начерченных Галилеем — на себя, своих детей, своих студентов, покровителей и членов их семей.