8 февраля 1700 г. родился Даниил Бернулли, швейцарский математик и физик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Сын Иоганна Бернулли, племянник Якоба Бернулли.
Главный научный труд Бернулли — «Гидродинамика» (1738 г.). Среди прочего, там содержится основополагающий закон Бернулли. (Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет — их установил Эйлер в 1750-е годы.) Бернулли принадлежит формулировка закона сохранения энергии и формулировка закона сохранения момента количества движения. Современная аэродинамика базируется на выводах, впервые сделанных Даниилом.
Даниил Бернулли первым предположил, что причиной давления является движение молекул. С точки зрения своей теории учёный объяснил закон Бойля-Мариотта.
С помощью сконструированного им электрометра пришёл к выводу, что сила взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Придал магнитам подковообразную форму. Предложил принцип сложения и скоростей.
Важная серия работ Бернулли посвящена колебаниям струны и теории упругости. Исходя из физических соображений, учёный догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд — не менее общий, чем степенной. Эйлер и д’Аламбер выступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
Бернулли является одним из основоположников математической физики. Его труды имели большое значение в придании математике роли универсального инструмента для исследований в разных отраслях науки.
Главный научный труд Бернулли — «Гидродинамика» (1738 г.). Среди прочего, там содержится основополагающий закон Бернулли. (Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет — их установил Эйлер в 1750-е годы.) Бернулли принадлежит формулировка закона сохранения энергии и формулировка закона сохранения момента количества движения. Современная аэродинамика базируется на выводах, впервые сделанных Даниилом.
Даниил Бернулли первым предположил, что причиной давления является движение молекул. С точки зрения своей теории учёный объяснил закон Бойля-Мариотта.
С помощью сконструированного им электрометра пришёл к выводу, что сила взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Придал магнитам подковообразную форму. Предложил принцип сложения и скоростей.
Важная серия работ Бернулли посвящена колебаниям струны и теории упругости. Исходя из физических соображений, учёный догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд — не менее общий, чем степенной. Эйлер и д’Аламбер выступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
Бернулли является одним из основоположников математической физики. Его труды имели большое значение в придании математике роли универсального инструмента для исследований в разных отраслях науки.
❤14👍3🔥2🥰1
👍3😁2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Почему шарик не падает?
Согласно закону Бернулли, чем выше скорость потока жидкости, тем ниже давление внутри этого потока. Шарик попадает в струю воды, вокруг него создаются потоки жидкости, при этом со всех сторон на шарик действует атмосферное давление, которое выше давления внутри потока.
Ах если б мне крылья обратно вернули,
Что отняли боги за грех мой земной, —
Взлетел бы я ввысь по закону Бернулли
И вновь бы парил над мирской суетой!
Но свергнутый наземь увы не взлетает,
И давит поток мой Бернулли закон —
Ну что ж, как бескрылый его соблюдая,
Полью хоть из шланга свой чёртов газон.
(В. Яковлев)
Согласно закону Бернулли, чем выше скорость потока жидкости, тем ниже давление внутри этого потока. Шарик попадает в струю воды, вокруг него создаются потоки жидкости, при этом со всех сторон на шарик действует атмосферное давление, которое выше давления внутри потока.
Ах если б мне крылья обратно вернули,
Что отняли боги за грех мой земной, —
Взлетел бы я ввысь по закону Бернулли
И вновь бы парил над мирской суетой!
Но свергнутый наземь увы не взлетает,
И давит поток мой Бернулли закон —
Ну что ж, как бескрылый его соблюдая,
Полью хоть из шланга свой чёртов газон.
(В. Яковлев)
👍7🔥4🤯3❤2😁2
Значительный вклад внёс Даниил Бернулли в развитие теории вероятностей.
В частности, он опубликовал работу, в которой рассматривалось утверждение, получившее название санкт-петербургского парадокса. Оно касалось игры, впервые упомянутой двоюродным братом Даниила — Николаем Бернулли:
пусть при игре в орлянку ваш выигрыш растёт в геометрической прогрессии каждый раз, когда выпадает орёл, и так до тех пор, пока не выпадет решка. Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д.
Несложно посчитать математическое ожидание выигрыша при неограниченном числе бросаний:
1·½ + 2·¼ + 4·⅛ + … = ∞.
Математическое ожидание выигрыша является бесконечным, но здравый смысл показывает, что вознаграждение за участие в игре должно иметь конечную величину.
За трёхсотлетнюю историю существования парадокса предложено множество вариантов его объяснения.
Так, сам автор парадокса Николай Бернулли предлагал решать задачу через идею взвешенных вероятностей: он полагал, что люди склонны рассматривать маловероятные события как невозможные. Поскольку ожидать длинную последовательность падения монеты «денежной» стороной с первого или второго сеанса игры маловероятно, люди не рискуют играть «в долгую». В общем-то, они боятся потерять и не отыграть даже свой первоначальный взнос. Эта гипотеза сразу показалась научной общественности малоубедительной, и поэтому парадокс не стал «базельским» (по месту жительства автора Николая Бернулли), но стал, с лёгкой руки д’Аламбера, санкт-петербургским (по месту жительства Даниила Бернулли).
Американский математик У. Феллер, уже в ХХ в., попытался решить парадокс через введение запрета на неограниченное количество игровых сеансов — при изначальном ограничении на число попыток матожидание сходится к заметно меньшему показателю.
Английский экономист Дж. Кейнс создал свою теорию вероятности, основанную на постулате, что вероятность является в большей степени логическим, нежели числовым отношением. Применительно к санкт-петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (достаточно большая сумма), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Наиболее убедительное решение санкт-петербургского парадокса предложил всё же Даниил Бернулли. Он продемонстрировал экономические приложения парадокса, но, конечно, не пытался применить свои расчёты для каких-либо макроэкономических схем. Этот потенциал увидели и оценили учёные-экономисты спустя столетия.
Даниил Бернулли предложил презумпцию убывающей предельной полезности денег, когда одна и та же сумма более ценна для нищего, но уже не так критична для богача. С развитием экономики, финансовых рынков и банковской системы эти идеи стали основой исследований для учёных-теоретиков, на их основе пытались строить финансовые модели представители страховой и многих других сфер.
Хорошо изложены экономические аспекты санкт-петербургского парадокса в статье П. Ватника «Даниил Бернулли – экономист».
Даниил Бернулли впервые применил теорию вероятностей к статистике народонаселения. Независимо от А. Муавра вывел предельные теоремы Муавра – Лапласа, впервые ввёл в теорию ошибок нормальные распределения и разделил погрешности наблюдений на случайные и систематические, опубликовал первую таблицу случайного распределения.
В частности, он опубликовал работу, в которой рассматривалось утверждение, получившее название санкт-петербургского парадокса. Оно касалось игры, впервые упомянутой двоюродным братом Даниила — Николаем Бернулли:
пусть при игре в орлянку ваш выигрыш растёт в геометрической прогрессии каждый раз, когда выпадает орёл, и так до тех пор, пока не выпадет решка. Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д.
Несложно посчитать математическое ожидание выигрыша при неограниченном числе бросаний:
1·½ + 2·¼ + 4·⅛ + … = ∞.
Математическое ожидание выигрыша является бесконечным, но здравый смысл показывает, что вознаграждение за участие в игре должно иметь конечную величину.
За трёхсотлетнюю историю существования парадокса предложено множество вариантов его объяснения.
Так, сам автор парадокса Николай Бернулли предлагал решать задачу через идею взвешенных вероятностей: он полагал, что люди склонны рассматривать маловероятные события как невозможные. Поскольку ожидать длинную последовательность падения монеты «денежной» стороной с первого или второго сеанса игры маловероятно, люди не рискуют играть «в долгую». В общем-то, они боятся потерять и не отыграть даже свой первоначальный взнос. Эта гипотеза сразу показалась научной общественности малоубедительной, и поэтому парадокс не стал «базельским» (по месту жительства автора Николая Бернулли), но стал, с лёгкой руки д’Аламбера, санкт-петербургским (по месту жительства Даниила Бернулли).
Американский математик У. Феллер, уже в ХХ в., попытался решить парадокс через введение запрета на неограниченное количество игровых сеансов — при изначальном ограничении на число попыток матожидание сходится к заметно меньшему показателю.
Английский экономист Дж. Кейнс создал свою теорию вероятности, основанную на постулате, что вероятность является в большей степени логическим, нежели числовым отношением. Применительно к санкт-петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (достаточно большая сумма), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Наиболее убедительное решение санкт-петербургского парадокса предложил всё же Даниил Бернулли. Он продемонстрировал экономические приложения парадокса, но, конечно, не пытался применить свои расчёты для каких-либо макроэкономических схем. Этот потенциал увидели и оценили учёные-экономисты спустя столетия.
Даниил Бернулли предложил презумпцию убывающей предельной полезности денег, когда одна и та же сумма более ценна для нищего, но уже не так критична для богача. С развитием экономики, финансовых рынков и банковской системы эти идеи стали основой исследований для учёных-теоретиков, на их основе пытались строить финансовые модели представители страховой и многих других сфер.
Хорошо изложены экономические аспекты санкт-петербургского парадокса в статье П. Ватника «Даниил Бернулли – экономист».
Даниил Бернулли впервые применил теорию вероятностей к статистике народонаселения. Независимо от А. Муавра вывел предельные теоремы Муавра – Лапласа, впервые ввёл в теорию ошибок нормальные распределения и разделил погрешности наблюдений на случайные и систематические, опубликовал первую таблицу случайного распределения.
👍15❤8🔥2
13 февраля 1805 г. родился Петр Густав Лежён Дирихле — немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел, а также в механику и математическую физику. Ввёл понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости. Доказал разложимость в ряд Фурье всякой монотонной кусочно-непрерывной функции. Одним из самых известных достижений Дирихле является теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.
Доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно простые числа. Изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввёл функциональные ряды особого вида (ряды Дирихле). Доказал справедливость великой теоремы Ферма для случая n = 5 (Эйлер и Лагранж до него рассматривали случай n = 3 и n = 4).
Доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно простые числа. Изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввёл функциональные ряды особого вида (ряды Дирихле). Доказал справедливость великой теоремы Ферма для случая n = 5 (Эйлер и Лагранж до него рассматривали случай n = 3 и n = 4).
❤🔥10🔥6❤3
Forwarded from Математика не для всех
Пусть d(n) — количество делителей целого числа n. Например, d(12) = 6, потому что 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Функция d изменяется неустойчиво, как показано на следующем графике (рис.1).
Но если вы возьмете текущее среднее значение d
f(n) = (d(1) + d(2) + d(3) + … + d(n)) / n
тогда эта функция работает на удивление плавно (рис.2) .
Более того, функция f(n) асимптотически равна log(n) (рис.3).
Этот результат принадлежит Дирихле. Он доказал, что
f(n) = log(n) + 2γ − 1 + o(1).
Здесь γ - постоянная Эйлера-Маскерони.
Функция d изменяется неустойчиво, как показано на следующем графике (рис.1).
Но если вы возьмете текущее среднее значение d
f(n) = (d(1) + d(2) + d(3) + … + d(n)) / n
тогда эта функция работает на удивление плавно (рис.2) .
Более того, функция f(n) асимптотически равна log(n) (рис.3).
Этот результат принадлежит Дирихле. Он доказал, что
f(n) = log(n) + 2γ − 1 + o(1).
Здесь γ - постоянная Эйлера-Маскерони.
👍9❤🔥7
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В основе очень многих математических утверждений лежит идея, называемая принципом Дирихле. Его формулировка кажется очевидной: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой находится не менее ᶻ /ₖ зайцев».
Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем
k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!
Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.
Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани.
Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта?
Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.
Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.
Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.
Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем
k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!
Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.
Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани.
Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта?
Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.
Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.
Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.
👍11❤🔥7🔥1🤔1
Дирихле был женат на Ребекке Мендельсон, сестре известного композитора Феликса Мендельсона. Учёный любил формулы больше слов, был очень молчаливым и категорически отказывался писать письма — его друзья никогда не получали от него никакой корреспонденции. Единственное исключение Дирихле сделал, когда у него родился первенец. В тот день Феликс Мендельсон получил телеграммой весьма короткое послание: "2+1 = 3".
🔥10😁5👍4
Задача 2. Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Докажите, что на этой плоскости найдётся треугольник с углами 30°, 60°, 90° и гипотенузой а, вершины которого окрашены в один и тот же цвет.
👍8
Задача 3. Десять школьников сдавали тест. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ:210 .
Ответ:
👍3
Задача 4. В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ:28 .
Ответ:
👍3
«Высшее проявление духа — это разум. Высшее проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою»
«История человечества пишется в трёх книгах.
Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства.
Это История Любви. Ее пишет Искусство.
И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль»
«В. И. Арнольд говорит, что математика — это часть физики. А я дополняю: физика — часть геометрии!»
«Хороший учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто не стесняется своего незнания. Поэтому у хороших учителей ученики их перерастают»
13 февраля 1937 г. родился Игорь Фёдорович Шарыгин — математик и педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников, член редколлегии журнала «Квант».
В память об Игоре Фёдоровиче с 2005 года ежегодно проводят Всероссийскую олимпиаду по геометрии имени И.Ф. Шарыгина для школьников старших классов.
«История человечества пишется в трёх книгах.
Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства.
Это История Любви. Ее пишет Искусство.
И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль»
«В. И. Арнольд говорит, что математика — это часть физики. А я дополняю: физика — часть геометрии!»
«Хороший учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто не стесняется своего незнания. Поэтому у хороших учителей ученики их перерастают»
13 февраля 1937 г. родился Игорь Фёдорович Шарыгин — математик и педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников, член редколлегии журнала «Квант».
В память об Игоре Фёдоровиче с 2005 года ежегодно проводят Всероссийскую олимпиаду по геометрии имени И.Ф. Шарыгина для школьников старших классов.
🔥13❤🔥5
Forwarded from Математика не для всех
Мой новый материал про особый вид треугольников, впервые рассмотренный советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным. Удивительно, что до ХХ века никто так и не обратил внимание на этот бриллиант.
👍10🔥3
«В науке авторитет тысячи мнений не стоит и одной крошечной искорки разума в отдельном человеке»
15 февраля 1564 г. родился Галилео Галилей — итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. При жизни был известен как активный сторонник гелиоцентрической системы мира, что привело Галилея к серьёзному конфликту с католической церковью. Галилей был первым, кто показал, что Млечный Путь состоит из звёзд.
В математике Галилей провёл исследование об исходах при бросании игральных костей. В его «Рассуждении об игре в кости» проведён довольно полный анализ этой задачи.
В «Беседах о двух новых науках» он сформулировал «парадокс Галилея»: натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, хотя бо́льшая часть чисел не являются квадратами. Это подтолкнуло в дальнейшем к исследованию природы бесконечных множеств и их классификации; завершился процесс созданием теории множеств.
15 февраля 1564 г. родился Галилео Галилей — итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. При жизни был известен как активный сторонник гелиоцентрической системы мира, что привело Галилея к серьёзному конфликту с католической церковью. Галилей был первым, кто показал, что Млечный Путь состоит из звёзд.
В математике Галилей провёл исследование об исходах при бросании игральных костей. В его «Рассуждении об игре в кости» проведён довольно полный анализ этой задачи.
В «Беседах о двух новых науках» он сформулировал «парадокс Галилея»: натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, хотя бо́льшая часть чисел не являются квадратами. Это подтолкнуло в дальнейшем к исследованию природы бесконечных множеств и их классификации; завершился процесс созданием теории множеств.
👍6❤5🔥3
Галилею приписывают открытие закона инерции. Сегодня мы знаем его как первый закон Ньютона. В нём говорится, что если на тело не действуют силы (или их равнодействующая равна нулю), то оно будет двигаться равномерно и прямолинейно. Галилей же, вслед за Аристотелем, считал, что тело, на которое не действуют силы, может равномерно двигаться по окружности. Таковым он считал, например, движение планет вокруг Солнца. Ошибка в рассуждениях возникла из-за того, что Галилей не знал о законе всемирного тяготения, открытого позже Ньютоном.
👍4❤2🔥2🥰1