Куммер был в сильных неладах с устным счётом. Если при чтении лекции ему надо было выполнить простенький расчёт, он обычно прибегал к помощи студентов.
Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать:
— Гм... это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остается только 63...

Не Куммер, но, сразу видно, настоящий математик:)

Вообще, серьёзные учёные имеют радость хотя бы отчасти пребывать в «иных пространствах». И когда им приходится возвращаться в обыденную реальность, не всегда бывают к тому готовы. Что, конечно, никак не умаляет их настоящих заслуг, хотя, выглядит это бывает порой весьма курьёзно (и даёт злым языкам повод для насмешек).

В недавней заметке, посвящённой Г. Штейнгаузу, была приведена задача из его книги «Сто задач» с авторским решением (из которого, однако, не понятно, как до него можно было бы додуматься):
Доказать, что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z является симметрическим относительно переменных x, y, z.

Наш подписчик математик Leonid Koganov прислал решение, раскрывающее природу явления, лежащего в основе этой задачи.

#предложка

3 февраля 1898 г. родился Павел Самуилович Урысон, советский математик. Основные результаты в области топологии, нелинейных дифференциальных уравнений, геометрии.
Совместно с П.С. Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введённым им понятием размерности. Но ему никак не удавалось доказать, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашёл замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Упрощённо его можно пояснить на примерах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам. При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырём частям. Но если уложить части так, как кирпичи на стройке, то удаётся добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трём различным частям. Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка принадлежит не более чем четырём параллелепипедам.
Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если её можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.
Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.
Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене (где до прихода к власти нацистов была самая сильная математическая школа). После доклада руководитель геттингенской математической школы Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале “Mathematische Annalen” — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. “Но я же ясно сказал, что её надо не рецензировать, а печатать!” — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.

Павел Самуилович трагически погиб в возрасте 26 лет во время купания в шторм в Бискайском заливе.

В традиционный университетский праздник Татьянин день, 25.01.1922 г., московские математики разных поколений — от студентов-первокурсников до профессоров — собрались на торжество. П. Урысон «открыл» праздник шуточным докладом — он прочёл его со всей серьёзностью — на тему: «Интеграл от субъективного счастья в пределах от рождения до смерти человека равен нулю».
Субъективное счастье — производная от объективного. По теореме Ньютона–Лейбница этот интеграл равен разности значения объективного счастья в моменты рождения и смерти. Но эти значения равны нулю (если кто-либо не думает, что объективное счастье человека в момент его смерти равно нулю, пусть возьмёт какой-либо момент после смерти). Что доказывает теорему.

У одного из основателей современной топологии П.С. Александрова было прозвище «ПЁС». Оно появилось благодаря дарственной надписи на книге, которую он презентовал П.С. Урысону: «ПСУ от ПСА».

«По мере того, как сложность возрастает, точные утверждения теряют значимость, а значимые утверждения теряют точность».

4 февраля 1921 г. родился Лотфи Заде, американский математик и логик азербайджанского происхождения, автор термина «нечёткая логика» и один из основателей теории нечётких множеств.

В своей речи мы часто оперируем множествами. Например, когда называем кого-то молодым, то формально делим всё человечество на «молодых» и «не молодых» людей. И таким образом причисляем обсуждаемого персонажа к множеству «молодых».
Однако, в реальном мире возраст, температура, богатство и большинство прочих оценочных категорий, которыми мы оперируем, имеют нечёткие границы. Практически всегда существуют переходные формы, при которых человек может быть «не совсем молодым», воздух в комнате «чуть тёплым» и так далее. Как объяснить это бездушной машине?
Учёный предложил ввести понятие частичного вхождения элемента в множество, глубину которого можно измерять в пределах от 0 (полностью не принадлежит) до 1 (полностью принадлежит). Этот параметр Заде назвал «степенью принадлежности». Можно записать, что человек входит в множество «молодых» со степенью принадлежности 0,7 или температура соответствует множеству «тёплая» со степенью 0,2.
Нечёткая логика, построенная подобным образом, позволяет микропроцессору оперировать промежуточными понятиями: например, не просто «холодно» и «жарко», а ещё и «прохладно», «тепло» и «очень тепло». Благодаря этому «электронный мозг» может гибко реагировать на меняющиеся параметры среды и принимать решения из широкого набора вариантов, заложенных в его память.
Предложенная Заде «нечёткая логика» стала попыткой связать математику с интуитивным способом, с которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Очертания таких множеств Лотфи сравнил с тенями, которые предметы отбрасывают на стены. Он назвал эти множества «нечёткими», применив английское слово fuzzy, обозначающее нечто туманное и расплывчатое.
Заде разработал приёмы, позволяющие работать с лингвистическими переменными подобно тому, как программисты работают с обычными логическими (Boolean) переменными.
Он определил правила для выполнения логических операций AND, OR, NOT над нечёткими высказываниями. В простейшем случае результатом операции «A AND B» будет минимум из степеней истинности A и B, а для операции «A OR B» — максимум. Отрицание реализуется путём вычитания значения истинности из единицы.
С 1990-х годов нечёткую логику широко используют в различных системах управления — от сложных производственных процессов до бытовых приборов. На рынке появилось множество устройств, на корпусе которых красуется надпись «Fuzzy Logic», ставшая своеобразным символом ИИ.
Например, стиральные машины с шильдиком «Fuzzy Logic» самостоятельно проводят анализ таких факторов, как объём белья, тип порошка, уровень загрязнения, и выбирает оптимальный режим стирки из более чем 4000 возможных вариантов.
Но в отличие от искусственных нейронных сетей, классические нечёткие системы не имеют возможности машинного обучения и не могут самостоятельно корректировать свою работу.

«Я никогда не делал чего-нибудь "полезного". Ни одно моё открытие не принесло и не могло бы принести, явно или неявно, к добру или ко злу, ни малейшего изменения в благоустройстве этого мира»

«Подобно живописцу и поэту, математик — творец образов. И если его образы более долговечны, чем их, то это потому, что они состоят из идей»

«Главный тест — это красота: в этом мире нет места для уродливой математики»

«Архимеда будут помнить и тогда, когда Эсхила уже забудут, потому что языки умирают, а математические идеи бессмертны»


7 февраля 1877 г. родился Годфри Харолд Харди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. Широко известен вне круга математиков благодаря эссе «Апология математика» (1940), одном из лучших изложений сущности математики и профессии математика для неспециалистов. В биологии известен законом Харди–Вайнберга, являющимся базовым принципом популяционной генетики.
Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики, имевшей прикладное, особенное военное значение. Для Харди, самой красивой математикой — «математикой для математики» — была теория чисел; он искренне был убеждён, что она никогда не будет иметь практического значения.
Вместе с Литлвудом они выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с Райт нашёл два решения задачи о четырёх кубах. Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика функции p(n), где p(n) — разбиение натурального числа n, т.е. представление его в виде суммы положительных целых чисел — один из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.
В теории функций Харди занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд его работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Симпатии и антипатии Харди хорошо иллюстрирует открытка, отправленная другу, в которой он сформулировал свои цели (ни одной из которых не было суждено осуществиться):
1) доказать гипотезу Римана;
2) в четвёртом иннинге последнего тест-матча на «Овале» сделать 211 пробежек, пока не выбит никто из игроков своей команды (Харди любил играть в крикет);
3) найти доказательство несуществования Бога, способное убедить широкую общественность;
4) оказаться первым человеком на вершине Эвереста;
5) быть провозглашённым первым президентом Союза Советских Социалистических Республик Великобритании и Германии;
6) убить Муссолини.

Однажды, работая с известным математиком Пойя, Харди понравилась высказанная Пойя идея. Но впоследствии Пойя работал над ней не очень усердно. Харди это не понравилось. Будучи в Швеции, Харди гулял по зоопарку с Марселем Рицем, швейцарским математиком. Остановились они перед клеткой медведя. На клетке висел замок. Медведь подошёл вплотную к решётке, потрогал замок, фыркнул, и ушёл в глубь клетки. Харди засмеялся: "Он похож на Пойя. У него тоже бывают великолепные идеи, но он тоже не доводит их до конца".

1729 — число Харди–Рамануджана

Число 1729 получило известность благодаря анекдоту, приведённому в книге Г. Х. Харди "Апология математика". Когда Харди навещал в больнице Рамануджана, он начал разговор с того, что "пожаловался" на то, что приехал на такси со скучным, непримечательным номером "1729". Рамануджан разнервничался и воскликнул: "Харди, ну как же, Харди, это же число — наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!"
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
Это число примечательно не только суммами кубов. Также существует 1729 невырожденных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, не превышающие 26. Число невырожденных разносторонних треугольников с целыми длинами сторон, не превышающими 29, тоже равно 1729.
Ещё это число харшад, поскольку оно делится на сумму своих цифр:
1729 = (1+7+2+9) · 91,
А также это одно из четырёх натуральных чисел, обладающих следующим свойством: произведение числа, образованного суммой его цифр на «разворот» этого числа даёт исходное число:
1+7+2+9 = 19, 19 · 91 = 1729.
И ещё 1729 — третье число Кармайкла. Число Кармайкла — это составное число n, удовлетворяющее сравнению: bⁿ⁻¹≡1 (mod n) для всех целых b, взаимно простых с n. Существование таких чисел делает недостаточным условие простоты в Малой теореме Ферма.

8 февраля 1700 г. родился Даниил Бернулли, швейцарский математик и физик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Сын Иоганна Бернулли, племянник Якоба Бернулли.
Главный научный труд Бернулли — «Гидродинамика» (1738 г.). Среди прочего, там содержится основополагающий закон Бернулли. (Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет — их установил Эйлер в 1750-е годы.) Бернулли принадлежит формулировка закона сохранения энергии и формулировка закона сохранения момента количества движения. Современная аэродинамика базируется на выводах, впервые сделанных Даниилом.
Даниил Бернулли первым предположил, что причиной давления является движение молекул. С точки зрения своей теории учёный объяснил закон Бойля-Мариотта.
С помощью сконструированного им электрометра пришёл к выводу, что сила взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Придал магнитам подковообразную форму. Предложил принцип сложения и скоростей.
Важная серия работ Бернулли посвящена колебаниям струны и теории упругости. Исходя из физических соображений, учёный догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд — не менее общий, чем степенной. Эйлер и д’Аламбер выступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
Бернулли является одним из основоположников математической физики. Его труды имели большое значение в придании математике роли универсального инструмента для исследований в разных отраслях науки.

Почему шарик не падает?

Согласно закону Бернулли, чем выше скорость потока жидкости, тем ниже давление внутри этого потока. Шарик попадает в струю воды, вокруг него создаются потоки жидкости, при этом со всех сторон на шарик действует атмосферное давление, которое выше давления внутри потока.

Ах если б мне крылья обратно вернули,
Что отняли боги за грех мой земной, —
Взлетел бы я ввысь по закону Бернулли
И вновь бы парил над мирской суетой!

Но свергнутый наземь увы не взлетает,
И давит поток мой Бернулли закон —
Ну что ж, как бескрылый его соблюдая,
Полью хоть из шланга свой чёртов газон.
(В. Яковлев)

Значительный вклад внёс Даниил Бернулли в развитие теории вероятностей.
В частности, он опубликовал работу, в которой рассматривалось утверждение, получившее название санкт-петербургского парадокса. Оно касалось игры, впервые упомянутой двоюродным братом Даниила — Николаем Бернулли:
пусть при игре в орлянку ваш выигрыш растёт в геометрической прогрессии каждый раз, когда выпадает орёл, и так до тех пор, пока не выпадет решка. Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д.
Несложно посчитать математическое ожидание выигрыша при неограниченном числе бросаний:
1·½ + 2·¼ + 4·⅛ + … = ∞.
Математическое ожидание выигрыша является бесконечным, но здравый смысл показывает, что вознаграждение за участие в игре должно иметь конечную величину.
За трёхсотлетнюю историю существования парадокса предложено множество вариантов его объяснения.
Так, сам автор парадокса Николай Бернулли предлагал решать задачу через идею взвешенных вероятностей: он полагал, что люди склонны рассматривать маловероятные события как невозможные. Поскольку ожидать длинную последовательность падения монеты «денежной» стороной с первого или второго сеанса игры маловероятно, люди не рискуют играть «в долгую». В общем-то, они боятся потерять и не отыграть даже свой первоначальный взнос. Эта гипотеза сразу показалась научной общественности малоубедительной, и поэтому парадокс не стал «базельским» (по месту жительства автора Николая Бернулли), но стал, с лёгкой руки д’Аламбера, санкт-петербургским (по месту жительства Даниила Бернулли).
Американский математик У. Феллер, уже в ХХ в., попытался решить парадокс через введение запрета на неограниченное количество игровых сеансов — при изначальном ограничении на число попыток матожидание сходится к заметно меньшему показателю.
Английский экономист Дж. Кейнс создал свою теорию вероятности, основанную на постулате, что вероятность является в большей степени логическим, нежели числовым отношением. Применительно к санкт-петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (достаточно большая сумма), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Наиболее убедительное решение санкт-петербургского парадокса предложил всё же Даниил Бернулли. Он продемонстрировал экономические приложения парадокса, но, конечно, не пытался применить свои расчёты для каких-либо макроэкономических схем. Этот потенциал увидели и оценили учёные-экономисты спустя столетия.
Даниил Бернулли предложил презумпцию убывающей предельной полезности денег, когда одна и та же сумма более ценна для нищего, но уже не так критична для богача. С развитием экономики, финансовых рынков и банковской системы эти идеи стали основой исследований для учёных-теоретиков, на их основе пытались строить финансовые модели представители страховой и многих других сфер.
Хорошо изложены экономические аспекты санкт-петербургского парадокса в статье П. Ватника «Даниил Бернулли – экономист».

Даниил Бернулли впервые применил теорию вероятностей к статистике народонаселения. Независимо от А. Муавра вывел предельные теоремы Муавра – Лапласа, впервые ввёл в теорию ошибок нормальные распределения и разделил погрешности наблюдений на случайные и систематические, опубликовал первую таблицу случайного распределения.

13 февраля 1805 г. родился Петр Густав Лежён Дирихле — немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел, а также в механику и математическую физику. Ввёл понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости. Доказал разложимость в ряд Фурье всякой монотонной кусочно-непрерывной функции. Одним из самых известных достижений Дирихле является теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.
Доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно простые числа. Изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввёл функциональные ряды особого вида (ряды Дирихле). Доказал справедливость великой теоремы Ферма для случая n = 5 (Эйлер и Лагранж до него рассматривали случай n = 3 и n = 4).

В основе очень многих математических утверждений лежит идея, называемая принципом Дирихле. Его формулировка кажется очевидной: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой находится не менее ᶻ /ₖ зайцев».
Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем
k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!

Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.

Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани.
Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.

Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта?
Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.

Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.

Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).
Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.

Дирихле был женат на Ребекке Мендельсон, сестре известного композитора Феликса Мендельсона. Учёный любил формулы больше слов, был очень молчаливым и категорически отказывался писать письма — его друзья никогда не получали от него никакой корреспонденции. Единственное исключение Дирихле сделал, когда у него родился первенец. В тот день Феликс Мендельсон получил телеграммой весьма короткое послание: "2+1 = 3".

Ещё несколько задач на принцип Дирихле.


Задача 1. Найдите значение дроби (разным буквам соответствуют разные цифры).