Задача Кэрролла. Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определённым количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4 раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

Задача Кэрролла. Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внёс в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой — продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой). В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею. На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею. Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «Вина ровно на 11 фунтов стерлингов», — заметил он себе под нос, покидая погреб. На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею. Поскольку всё вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею, и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трёх дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
По какой цене друзья покупали вино?
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.

28 января 1540 г. родился Лудольф ван Кейлен (Цейлен) — нидерландский математик, преподаватель фехтования в Лейденском университете. Его главным вкладом было вычисление числа π с 35 десятичными знаками. В своём вычислении Кейлен следовал известному со времён Архимеда пути определения числа π при помощи нахождения отношения к диаметру периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при последовательном удваивании чисел их сторон — так он дошёл до 2⁶²-угольника. В этой работе в течение многих лет учёному помогала его жена. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». В честь него это приближение числа π называют лудольфовым числом. Найденные знаки он завещал выбить на своём надгробном камне, что и было исполнено.
Практической пользы в такой точности вычисления числа π, конечно, нет — это была гонка за усиление результата, когда пытаются выжать всё, что можно, имеющимися способами. Если бы можно было начертить идеальный вплоть до атомного масштаба круг радиуса расстояния от Земли до Солнца, то тепловые колебания молекул чернил сделали бы добрую половину этих цифр физически бессмысленными. Однако, результаты таких гонок хороши для проверки новых методов — до сих пор вычисление знаков числа π используют для тестирования компьютеров.
Однако собственно математической ценности эта упорная многолетняя работа Кейлена не представляла: оставалось так и невыясненным, является ли число π рациональным (т.е. отношением двух целых чисел), или иррациональным. Ответ пришёл только тогда, когда появился математический анализ и задача поиска аналитического выражения для отношения длины окружности к диаметру перекочевала туда. В 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально. А ещё через сто с лишним лет, в 1882 г., другой немецкий математик — Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, (что означало, в частности, и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу).

Картина мира такова:
Я — твой, ты — мой объект.
Боготворить, лепить, ковать,
есть плюшки на обед…
Сквозь щели промелькнувших лет —
рекордами сорить
и ни о чём не сожалеть,
времён умерив прыть.

Но как ты «пи» не приближай,
Всё уже жизни круг.
Лудольфова числа скрижаль
приснится поутру.

Твоя вселенная во мне
сомненьем создана.
На ирреальнейшей волне
луна всплывёт со дна, —
увидеть в триллионный раз
как нежностью горит
в сияньи говорящих глаз
любви александрит…
(Е. Чаусова)

29 января 1810 г. родился Эрнст Эдуард Куммер — немецкий математик, наиболее существенные труды которого относятся к алгебре и теории чисел. Внёс значительный вклад в анализ, теорию алгебраических чисел, геометрию, теоретическую механику.
В анализе продолжил работы Гаусса по гипергеометрическим рядам. Его имя носит известный признак сходимости.
В теории чисел много занимался Великой теоремой Ферма и доказал её для целого класса простых показателей. Проблему не решил, но в ходе исследования получил множество ценных результатов.
Куммер также доказал закон взаимности для всех степенных вычетов с простым показателем. Продвинуться дальше удалось только Гильберту спустя несколько десятилетий.

Куммер был в сильных неладах с устным счётом. Если при чтении лекции ему надо было выполнить простенький расчёт, он обычно прибегал к помощи студентов.
Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать:
— Гм... это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остается только 63...

Не Куммер, но, сразу видно, настоящий математик:)

Вообще, серьёзные учёные имеют радость хотя бы отчасти пребывать в «иных пространствах». И когда им приходится возвращаться в обыденную реальность, не всегда бывают к тому готовы. Что, конечно, никак не умаляет их настоящих заслуг, хотя, выглядит это бывает порой весьма курьёзно (и даёт злым языкам повод для насмешек).

В недавней заметке, посвящённой Г. Штейнгаузу, была приведена задача из его книги «Сто задач» с авторским решением (из которого, однако, не понятно, как до него можно было бы додуматься):
Доказать, что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z является симметрическим относительно переменных x, y, z.

Наш подписчик математик Leonid Koganov прислал решение, раскрывающее природу явления, лежащего в основе этой задачи.

#предложка

3 февраля 1898 г. родился Павел Самуилович Урысон, советский математик. Основные результаты в области топологии, нелинейных дифференциальных уравнений, геометрии.
Совместно с П.С. Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введённым им понятием размерности. Но ему никак не удавалось доказать, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашёл замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Упрощённо его можно пояснить на примерах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам. При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырём частям. Но если уложить части так, как кирпичи на стройке, то удаётся добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трём различным частям. Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка принадлежит не более чем четырём параллелепипедам.
Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если её можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.
Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.
Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене (где до прихода к власти нацистов была самая сильная математическая школа). После доклада руководитель геттингенской математической школы Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале “Mathematische Annalen” — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. “Но я же ясно сказал, что её надо не рецензировать, а печатать!” — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.

Павел Самуилович трагически погиб в возрасте 26 лет во время купания в шторм в Бискайском заливе.

В традиционный университетский праздник Татьянин день, 25.01.1922 г., московские математики разных поколений — от студентов-первокурсников до профессоров — собрались на торжество. П. Урысон «открыл» праздник шуточным докладом — он прочёл его со всей серьёзностью — на тему: «Интеграл от субъективного счастья в пределах от рождения до смерти человека равен нулю».
Субъективное счастье — производная от объективного. По теореме Ньютона–Лейбница этот интеграл равен разности значения объективного счастья в моменты рождения и смерти. Но эти значения равны нулю (если кто-либо не думает, что объективное счастье человека в момент его смерти равно нулю, пусть возьмёт какой-либо момент после смерти). Что доказывает теорему.

У одного из основателей современной топологии П.С. Александрова было прозвище «ПЁС». Оно появилось благодаря дарственной надписи на книге, которую он презентовал П.С. Урысону: «ПСУ от ПСА».

«По мере того, как сложность возрастает, точные утверждения теряют значимость, а значимые утверждения теряют точность».

4 февраля 1921 г. родился Лотфи Заде, американский математик и логик азербайджанского происхождения, автор термина «нечёткая логика» и один из основателей теории нечётких множеств.

В своей речи мы часто оперируем множествами. Например, когда называем кого-то молодым, то формально делим всё человечество на «молодых» и «не молодых» людей. И таким образом причисляем обсуждаемого персонажа к множеству «молодых».
Однако, в реальном мире возраст, температура, богатство и большинство прочих оценочных категорий, которыми мы оперируем, имеют нечёткие границы. Практически всегда существуют переходные формы, при которых человек может быть «не совсем молодым», воздух в комнате «чуть тёплым» и так далее. Как объяснить это бездушной машине?
Учёный предложил ввести понятие частичного вхождения элемента в множество, глубину которого можно измерять в пределах от 0 (полностью не принадлежит) до 1 (полностью принадлежит). Этот параметр Заде назвал «степенью принадлежности». Можно записать, что человек входит в множество «молодых» со степенью принадлежности 0,7 или температура соответствует множеству «тёплая» со степенью 0,2.
Нечёткая логика, построенная подобным образом, позволяет микропроцессору оперировать промежуточными понятиями: например, не просто «холодно» и «жарко», а ещё и «прохладно», «тепло» и «очень тепло». Благодаря этому «электронный мозг» может гибко реагировать на меняющиеся параметры среды и принимать решения из широкого набора вариантов, заложенных в его память.
Предложенная Заде «нечёткая логика» стала попыткой связать математику с интуитивным способом, с которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Очертания таких множеств Лотфи сравнил с тенями, которые предметы отбрасывают на стены. Он назвал эти множества «нечёткими», применив английское слово fuzzy, обозначающее нечто туманное и расплывчатое.
Заде разработал приёмы, позволяющие работать с лингвистическими переменными подобно тому, как программисты работают с обычными логическими (Boolean) переменными.
Он определил правила для выполнения логических операций AND, OR, NOT над нечёткими высказываниями. В простейшем случае результатом операции «A AND B» будет минимум из степеней истинности A и B, а для операции «A OR B» — максимум. Отрицание реализуется путём вычитания значения истинности из единицы.
С 1990-х годов нечёткую логику широко используют в различных системах управления — от сложных производственных процессов до бытовых приборов. На рынке появилось множество устройств, на корпусе которых красуется надпись «Fuzzy Logic», ставшая своеобразным символом ИИ.
Например, стиральные машины с шильдиком «Fuzzy Logic» самостоятельно проводят анализ таких факторов, как объём белья, тип порошка, уровень загрязнения, и выбирает оптимальный режим стирки из более чем 4000 возможных вариантов.
Но в отличие от искусственных нейронных сетей, классические нечёткие системы не имеют возможности машинного обучения и не могут самостоятельно корректировать свою работу.

«Я никогда не делал чего-нибудь "полезного". Ни одно моё открытие не принесло и не могло бы принести, явно или неявно, к добру или ко злу, ни малейшего изменения в благоустройстве этого мира»

«Подобно живописцу и поэту, математик — творец образов. И если его образы более долговечны, чем их, то это потому, что они состоят из идей»

«Главный тест — это красота: в этом мире нет места для уродливой математики»

«Архимеда будут помнить и тогда, когда Эсхила уже забудут, потому что языки умирают, а математические идеи бессмертны»


7 февраля 1877 г. родился Годфри Харолд Харди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. Широко известен вне круга математиков благодаря эссе «Апология математика» (1940), одном из лучших изложений сущности математики и профессии математика для неспециалистов. В биологии известен законом Харди–Вайнберга, являющимся базовым принципом популяционной генетики.
Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики, имевшей прикладное, особенное военное значение. Для Харди, самой красивой математикой — «математикой для математики» — была теория чисел; он искренне был убеждён, что она никогда не будет иметь практического значения.
Вместе с Литлвудом они выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с Райт нашёл два решения задачи о четырёх кубах. Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика функции p(n), где p(n) — разбиение натурального числа n, т.е. представление его в виде суммы положительных целых чисел — один из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.
В теории функций Харди занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд его работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Симпатии и антипатии Харди хорошо иллюстрирует открытка, отправленная другу, в которой он сформулировал свои цели (ни одной из которых не было суждено осуществиться):
1) доказать гипотезу Римана;
2) в четвёртом иннинге последнего тест-матча на «Овале» сделать 211 пробежек, пока не выбит никто из игроков своей команды (Харди любил играть в крикет);
3) найти доказательство несуществования Бога, способное убедить широкую общественность;
4) оказаться первым человеком на вершине Эвереста;
5) быть провозглашённым первым президентом Союза Советских Социалистических Республик Великобритании и Германии;
6) убить Муссолини.

Однажды, работая с известным математиком Пойя, Харди понравилась высказанная Пойя идея. Но впоследствии Пойя работал над ней не очень усердно. Харди это не понравилось. Будучи в Швеции, Харди гулял по зоопарку с Марселем Рицем, швейцарским математиком. Остановились они перед клеткой медведя. На клетке висел замок. Медведь подошёл вплотную к решётке, потрогал замок, фыркнул, и ушёл в глубь клетки. Харди засмеялся: "Он похож на Пойя. У него тоже бывают великолепные идеи, но он тоже не доводит их до конца".

1729 — число Харди–Рамануджана

Число 1729 получило известность благодаря анекдоту, приведённому в книге Г. Х. Харди "Апология математика". Когда Харди навещал в больнице Рамануджана, он начал разговор с того, что "пожаловался" на то, что приехал на такси со скучным, непримечательным номером "1729". Рамануджан разнервничался и воскликнул: "Харди, ну как же, Харди, это же число — наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!"
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
Это число примечательно не только суммами кубов. Также существует 1729 невырожденных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, не превышающие 26. Число невырожденных разносторонних треугольников с целыми длинами сторон, не превышающими 29, тоже равно 1729.
Ещё это число харшад, поскольку оно делится на сумму своих цифр:
1729 = (1+7+2+9) · 91,
А также это одно из четырёх натуральных чисел, обладающих следующим свойством: произведение числа, образованного суммой его цифр на «разворот» этого числа даёт исходное число:
1+7+2+9 = 19, 19 · 91 = 1729.
И ещё 1729 — третье число Кармайкла. Число Кармайкла — это составное число n, удовлетворяющее сравнению: bⁿ⁻¹≡1 (mod n) для всех целых b, взаимно простых с n. Существование таких чисел делает недостаточным условие простоты в Малой теореме Ферма.

8 февраля 1700 г. родился Даниил Бернулли, швейцарский математик и физик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Сын Иоганна Бернулли, племянник Якоба Бернулли.
Главный научный труд Бернулли — «Гидродинамика» (1738 г.). Среди прочего, там содержится основополагающий закон Бернулли. (Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет — их установил Эйлер в 1750-е годы.) Бернулли принадлежит формулировка закона сохранения энергии и формулировка закона сохранения момента количества движения. Современная аэродинамика базируется на выводах, впервые сделанных Даниилом.
Даниил Бернулли первым предположил, что причиной давления является движение молекул. С точки зрения своей теории учёный объяснил закон Бойля-Мариотта.
С помощью сконструированного им электрометра пришёл к выводу, что сила взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Придал магнитам подковообразную форму. Предложил принцип сложения и скоростей.
Важная серия работ Бернулли посвящена колебаниям струны и теории упругости. Исходя из физических соображений, учёный догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд — не менее общий, чем степенной. Эйлер и д’Аламбер выступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
Бернулли является одним из основоположников математической физики. Его труды имели большое значение в придании математике роли универсального инструмента для исследований в разных отраслях науки.

Почему шарик не падает?

Согласно закону Бернулли, чем выше скорость потока жидкости, тем ниже давление внутри этого потока. Шарик попадает в струю воды, вокруг него создаются потоки жидкости, при этом со всех сторон на шарик действует атмосферное давление, которое выше давления внутри потока.

Ах если б мне крылья обратно вернули,
Что отняли боги за грех мой земной, —
Взлетел бы я ввысь по закону Бернулли
И вновь бы парил над мирской суетой!

Но свергнутый наземь увы не взлетает,
И давит поток мой Бернулли закон —
Ну что ж, как бескрылый его соблюдая,
Полью хоть из шланга свой чёртов газон.
(В. Яковлев)

Значительный вклад внёс Даниил Бернулли в развитие теории вероятностей.
В частности, он опубликовал работу, в которой рассматривалось утверждение, получившее название санкт-петербургского парадокса. Оно касалось игры, впервые упомянутой двоюродным братом Даниила — Николаем Бернулли:
пусть при игре в орлянку ваш выигрыш растёт в геометрической прогрессии каждый раз, когда выпадает орёл, и так до тех пор, пока не выпадет решка. Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д.
Несложно посчитать математическое ожидание выигрыша при неограниченном числе бросаний:
1·½ + 2·¼ + 4·⅛ + … = ∞.
Математическое ожидание выигрыша является бесконечным, но здравый смысл показывает, что вознаграждение за участие в игре должно иметь конечную величину.
За трёхсотлетнюю историю существования парадокса предложено множество вариантов его объяснения.
Так, сам автор парадокса Николай Бернулли предлагал решать задачу через идею взвешенных вероятностей: он полагал, что люди склонны рассматривать маловероятные события как невозможные. Поскольку ожидать длинную последовательность падения монеты «денежной» стороной с первого или второго сеанса игры маловероятно, люди не рискуют играть «в долгую». В общем-то, они боятся потерять и не отыграть даже свой первоначальный взнос. Эта гипотеза сразу показалась научной общественности малоубедительной, и поэтому парадокс не стал «базельским» (по месту жительства автора Николая Бернулли), но стал, с лёгкой руки д’Аламбера, санкт-петербургским (по месту жительства Даниила Бернулли).
Американский математик У. Феллер, уже в ХХ в., попытался решить парадокс через введение запрета на неограниченное количество игровых сеансов — при изначальном ограничении на число попыток матожидание сходится к заметно меньшему показателю.
Английский экономист Дж. Кейнс создал свою теорию вероятности, основанную на постулате, что вероятность является в большей степени логическим, нежели числовым отношением. Применительно к санкт-петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (достаточно большая сумма), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Наиболее убедительное решение санкт-петербургского парадокса предложил всё же Даниил Бернулли. Он продемонстрировал экономические приложения парадокса, но, конечно, не пытался применить свои расчёты для каких-либо макроэкономических схем. Этот потенциал увидели и оценили учёные-экономисты спустя столетия.
Даниил Бернулли предложил презумпцию убывающей предельной полезности денег, когда одна и та же сумма более ценна для нищего, но уже не так критична для богача. С развитием экономики, финансовых рынков и банковской системы эти идеи стали основой исследований для учёных-теоретиков, на их основе пытались строить финансовые модели представители страховой и многих других сфер.
Хорошо изложены экономические аспекты санкт-петербургского парадокса в статье П. Ватника «Даниил Бернулли – экономист».

Даниил Бернулли впервые применил теорию вероятностей к статистике народонаселения. Независимо от А. Муавра вывел предельные теоремы Муавра – Лапласа, впервые ввёл в теорию ошибок нормальные распределения и разделил погрешности наблюдений на случайные и систематические, опубликовал первую таблицу случайного распределения.

13 февраля 1805 г. родился Петр Густав Лежён Дирихле — немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел, а также в механику и математическую физику. Ввёл понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости. Доказал разложимость в ряд Фурье всякой монотонной кусочно-непрерывной функции. Одним из самых известных достижений Дирихле является теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.
Доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно простые числа. Изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввёл функциональные ряды особого вида (ряды Дирихле). Доказал справедливость великой теоремы Ферма для случая n = 5 (Эйлер и Лагранж до него рассматривали случай n = 3 и n = 4).