12_способов_нахождения_расстояния_между_скрещивающимися_прямыми.pdf
633.7 KB
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.
В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.
👍15❤6
«Математика — это гимнастика ума»
«Математика и техника живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому что между ними нет ничего общего»
«Разрешите мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма!»
23 января 1862 г. родился Давид Гильберт, немецкий математик и философ математики, один из самых влиятельных математиков своего времени. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.
В 1900 г. в Париже на II Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал 23 наиболее кардинальные проблемы, определившие многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
«Математика и техника живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому что между ними нет ничего общего»
«Разрешите мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма!»
23 января 1862 г. родился Давид Гильберт, немецкий математик и философ математики, один из самых влиятельных математиков своего времени. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.
В 1900 г. в Париже на II Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал 23 наиболее кардинальные проблемы, определившие многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
👍12❤4🔥2
Гильберт составил первую полную аксиоматику евклидовой геометрии. Также он детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (с помощью ряда остроумных моделей) непротиворечивость и независимость каждой из своих аксиом.
Гильберт создал метаматематику — раздел логики, изучающий основания математики, — и чётко обозначил требования к идеальной аксиоматической теории: непротиворечивость, полнота и независимость аксиом.
(Непротиворечивость — невозможность вывести противоречие;
полнота — отсутствие недоказуемых утверждений;
независимость аксиом — невозможность вывести никакую аксиому из остальных аксиом.)
Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии» (1899 г.), Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе (1922 г.). Он считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — вообще все установленные в математике результаты). Более того, он верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту.
Однако, как впоследствии (1931 г.) показал К. Гёдель, программа Гильберта оказалась невыполнимой, хотя и послужила значительным стимулом к развитию математической логики. Гёдель обнаружил, что любая непротиворечивая формальная система, которая была бы достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью своих собственных аксиом. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в значительной мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции. Хотя стремление Гильберта к полной формализации математики (особенно после работ Гёделя) породило в научной среде дискуссию: часть математиков обвинили теорию доказательств Гильберта в бессодержательности и назвали её пустой игрой с формулами.
Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen — wir werden wissen); эта же фраза высечена в качестве эпитафии на его надгробном камне. Это антитеза изречению Э. Дюбуа-Реймона, стоявшего на философских позициях непознаваемости: «Мы не знаем — мы не узнаем» («Ignoramus — ignorabimus»).
Гильберт создал метаматематику — раздел логики, изучающий основания математики, — и чётко обозначил требования к идеальной аксиоматической теории: непротиворечивость, полнота и независимость аксиом.
(Непротиворечивость — невозможность вывести противоречие;
полнота — отсутствие недоказуемых утверждений;
независимость аксиом — невозможность вывести никакую аксиому из остальных аксиом.)
Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии» (1899 г.), Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе (1922 г.). Он считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — вообще все установленные в математике результаты). Более того, он верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту.
Однако, как впоследствии (1931 г.) показал К. Гёдель, программа Гильберта оказалась невыполнимой, хотя и послужила значительным стимулом к развитию математической логики. Гёдель обнаружил, что любая непротиворечивая формальная система, которая была бы достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью своих собственных аксиом. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в значительной мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции. Хотя стремление Гильберта к полной формализации математики (особенно после работ Гёделя) породило в научной среде дискуссию: часть математиков обвинили теорию доказательств Гильберта в бессодержательности и назвали её пустой игрой с формулами.
Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen — wir werden wissen); эта же фраза высечена в качестве эпитафии на его надгробном камне. Это антитеза изречению Э. Дюбуа-Реймона, стоявшего на философских позициях непознаваемости: «Мы не знаем — мы не узнаем» («Ignoramus — ignorabimus»).
👍14❤3🔥2
Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
— Ах, этот-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».
Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушёл. Прошёл час, а он всё не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лёг в кровать.
В Гёттингенском университете Гильберт 35 лет руководил кафедрой математики. Один из новых сотрудников кафедры нанёс уважаемому профессору визит. Он пришёл к нему домой, расположился в приёмной и, сев в кресло, поставил свой головной убор — модный цилиндр — на пол. Визитёр оказался чрезмерно разговорчивым и своей болтовнёй довольно быстро утомил пожилого профессора. Гильберт долго хмурился, а потом встал, надел чужой цилиндр на свою голову, тронул жену за руку и сказал: «Дорогая, мне кажется, что мы задерживаем уважаемого коллегу». С этими словами рассеянный учёный вышел из собственного дома.
Один слишком навязчивый аспирант довёл Гильберта до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 (= 2¹⁶ + 1) сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (которое хранится в архивах в Гёттингене).
Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Р. Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись, устроив это так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов. Тогда Курант и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».
Кстати, именно благодарю Куранту возникла шутка о том, что Гильберт был «истинным арийцем», в жилах которого текла еврейская кровь: во время одной болезни Гильберту перелили кровь, которую сдал для него Рихард Курант.
У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил ошибку. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья рыдают под дождём возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одарённый молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжил Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»
— Ах, этот-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».
Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушёл. Прошёл час, а он всё не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лёг в кровать.
В Гёттингенском университете Гильберт 35 лет руководил кафедрой математики. Один из новых сотрудников кафедры нанёс уважаемому профессору визит. Он пришёл к нему домой, расположился в приёмной и, сев в кресло, поставил свой головной убор — модный цилиндр — на пол. Визитёр оказался чрезмерно разговорчивым и своей болтовнёй довольно быстро утомил пожилого профессора. Гильберт долго хмурился, а потом встал, надел чужой цилиндр на свою голову, тронул жену за руку и сказал: «Дорогая, мне кажется, что мы задерживаем уважаемого коллегу». С этими словами рассеянный учёный вышел из собственного дома.
Один слишком навязчивый аспирант довёл Гильберта до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 (= 2¹⁶ + 1) сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (которое хранится в архивах в Гёттингене).
Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Р. Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись, устроив это так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов. Тогда Курант и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».
Кстати, именно благодарю Куранту возникла шутка о том, что Гильберт был «истинным арийцем», в жилах которого текла еврейская кровь: во время одной болезни Гильберту перелили кровь, которую сдал для него Рихард Курант.
У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил ошибку. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья рыдают под дождём возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одарённый молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжил Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»
👍19😁13🔥8❤6
«До тех пор, пока алгебра и геометрия были разделены, их прогресс был медленным и их использование ограничено; но когда эти две науки были объединены, они совместили друг с другом силы и пошли вместе к совершенству»
25 января 1736 г. родился Жозеф Луи Лагранж, крупнейший французский математик, механик, астроном итальянского происхождения. Огромен вклад Лагранжа в развитие анализа, теории чисел, теории вероятностей и численных методов.
Является первооткрывателем принципа возможных перемещений и вариационного исчисления. Он вывел уравнение Эйлера–Лагранжа для функционалов (уравнение Лагранжа II рода). На его основании переформулировал классическую ньютонову механику так, чтобы упростить формулы и облегчить вычисления; эта механика называется лагранжевой механикой.
Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих уравнений. Уравнения движения Лагранжа замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и её потенциальной энергии.
Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ, с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путём я расширил область его применения».
25 января 1736 г. родился Жозеф Луи Лагранж, крупнейший французский математик, механик, астроном итальянского происхождения. Огромен вклад Лагранжа в развитие анализа, теории чисел, теории вероятностей и численных методов.
Является первооткрывателем принципа возможных перемещений и вариационного исчисления. Он вывел уравнение Эйлера–Лагранжа для функционалов (уравнение Лагранжа II рода). На его основании переформулировал классическую ньютонову механику так, чтобы упростить формулы и облегчить вычисления; эта механика называется лагранжевой механикой.
Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих уравнений. Уравнения движения Лагранжа замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и её потенциальной энергии.
Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ, с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путём я расширил область его применения».
🔥7👍4❤1
Одним из наиболее эффективных и широко применяемых методов для решения задач математической оптимизации является метод множителей Лагранжа. Его основная идея заключается в том, чтобы преобразовать задачу с ограничениями в задачу без ограничений путём введения дополнительных переменных — множителей Лагранжа. Это позволяет существенно упростить нахождение оптимального решения.
Пусть имеется задача оптимизации вида:
найти минимум функции f(x) при выполнении ограничений gᵢ(x) = 0, i = 1, …, m.
Здесь x — вектор неизвестных переменных размерности n. Функция f(x) называется целевой функцией, а функции gᵢ(x) — ограничениями. Чтобы найти оптимальное решение, нужно подобрать такой вектор x, который минимизирует значение целевой функции f(x) и удовлетворяет всем ограничениям gᵢ(x).
Рассматривается функция Лагранжа
L(x, k) = f(x) + Σ kᵢgᵢ(x),
где kᵢ - множители Лагранжа. Тогда исходная задача сводится к поиску безусловного экстремума функции Лагранжа по переменным x и k:
1) Найти стационарные точки функции L(x, k) по x и k:
∇ₓL(x, k) = 0,
∇ₖL(x, k) = 0.
2) Проверить, является ли найденная точка решением исходной задачи.
Использование метода Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи оптимизации за счёт объединения целевой функции и ограничения в одну функцию.
Величина множителей Лагранжа (k) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения gᵢ(x) = 0. Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы.
Метод Лагранжа показывает высокую эффективность и позволяет находить оптимальные решения даже для сложных задач оптимизации. Благодаря своей универсальности, простоте и хорошей сходимости метод Лагранжа нашёл применение во многих областях — от инженерии до экономики и машинного обучения.
Пусть имеется задача оптимизации вида:
найти минимум функции f(x) при выполнении ограничений gᵢ(x) = 0, i = 1, …, m.
Здесь x — вектор неизвестных переменных размерности n. Функция f(x) называется целевой функцией, а функции gᵢ(x) — ограничениями. Чтобы найти оптимальное решение, нужно подобрать такой вектор x, который минимизирует значение целевой функции f(x) и удовлетворяет всем ограничениям gᵢ(x).
Рассматривается функция Лагранжа
L(x, k) = f(x) + Σ kᵢgᵢ(x),
где kᵢ - множители Лагранжа. Тогда исходная задача сводится к поиску безусловного экстремума функции Лагранжа по переменным x и k:
1) Найти стационарные точки функции L(x, k) по x и k:
∇ₓL(x, k) = 0,
∇ₖL(x, k) = 0.
2) Проверить, является ли найденная точка решением исходной задачи.
Использование метода Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи оптимизации за счёт объединения целевой функции и ограничения в одну функцию.
Величина множителей Лагранжа (k) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения gᵢ(x) = 0. Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы.
Метод Лагранжа показывает высокую эффективность и позволяет находить оптимальные решения даже для сложных задач оптимизации. Благодаря своей универсальности, простоте и хорошей сходимости метод Лагранжа нашёл применение во многих областях — от инженерии до экономики и машинного обучения.
👍4❤3🔥2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В своём исследовании «Проблема трёх тел» Лагранж вычислил, что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение Солнца в пяти областях пространства. По сути, эти пять точек являются единственными местами в системе Земля – Солнце, где силы гравитации этих двух тел уравновешивают друг друга. Эти точки называют точками Лагранжа, или точками либрации.
Коллинеарные точки либрации L1, L2, L3 неустойчивые. Это значит, что космический аппарат или природное тело, попавшее в такую точку, будет колебаться около неё только в течение определенного времени, после чего из неё вылетит.
Точки L4 и L5 — самые интересные: любой объект, попавший «в поле зрения» L4 или L5, останется там очень надолго, если не навсегда. Они расположены на расстоянии 150 млн км от Земли, на плоскости земной орбиты, причем L4 вращается вокруг Солнца на 60° впереди Земли, а L5 находится под точно таким углом позади планеты. Из-за способности захватывать космические тела эти точки называют «троянскими». Астрономы то и дело находят астероиды в естественных положениях L4 и L5 в системе больших планет, таких как Юпитер. Это т. н. троянские астероиды, захваченные в естественные гравитационные колодцы благодаря взаимодействию Юпитера и Солнца.
Точки Лагранжа имеют огромный потенциал для космических исследований. Прежде всего, в них удобно размещать зонды и телескопы и вести наблюдение за небесными телами. Аппараты долгое время могут работать в L-точках с минимальными затратами энергии, почти не расходуя ее на корректировку своего положения, чем уже пользуются астрофизики.
Если перейти в область научной фантастики, точки Лагранжа могут стать «пересадочными пунктами» на пути к другим планетам или Луне. Сторонники колонизации космоса рассматривают их для возможного размещения в них космических станций. Кстати, топливо можно сэкономить не только когда аппараты зафиксированы в точках Лагранжа, но и когда они совершают перелёты между ними.
Галактики путь совершенен,
но каждой планеты удел —
зависимость от притяженья
далёких космических тел.
Под внешней иллюзией лоска
мы все — притяженья рабы,
и внутренний наш микрокосмос
дрожит под влияньем толпы!
Мы вечно зависим от места,
от времени и от корней.
Душе беспокойно и тесно
в ментальности чуждых идей.
Пройти бы сквозь годы бесстрашно,
себя не теряя в пути,
и тихую точку Лагранжа
в толпе многоликой найти...
(Н. Рыбалко)
Коллинеарные точки либрации L1, L2, L3 неустойчивые. Это значит, что космический аппарат или природное тело, попавшее в такую точку, будет колебаться около неё только в течение определенного времени, после чего из неё вылетит.
Точки L4 и L5 — самые интересные: любой объект, попавший «в поле зрения» L4 или L5, останется там очень надолго, если не навсегда. Они расположены на расстоянии 150 млн км от Земли, на плоскости земной орбиты, причем L4 вращается вокруг Солнца на 60° впереди Земли, а L5 находится под точно таким углом позади планеты. Из-за способности захватывать космические тела эти точки называют «троянскими». Астрономы то и дело находят астероиды в естественных положениях L4 и L5 в системе больших планет, таких как Юпитер. Это т. н. троянские астероиды, захваченные в естественные гравитационные колодцы благодаря взаимодействию Юпитера и Солнца.
Точки Лагранжа имеют огромный потенциал для космических исследований. Прежде всего, в них удобно размещать зонды и телескопы и вести наблюдение за небесными телами. Аппараты долгое время могут работать в L-точках с минимальными затратами энергии, почти не расходуя ее на корректировку своего положения, чем уже пользуются астрофизики.
Если перейти в область научной фантастики, точки Лагранжа могут стать «пересадочными пунктами» на пути к другим планетам или Луне. Сторонники колонизации космоса рассматривают их для возможного размещения в них космических станций. Кстати, топливо можно сэкономить не только когда аппараты зафиксированы в точках Лагранжа, но и когда они совершают перелёты между ними.
Галактики путь совершенен,
но каждой планеты удел —
зависимость от притяженья
далёких космических тел.
Под внешней иллюзией лоска
мы все — притяженья рабы,
и внутренний наш микрокосмос
дрожит под влияньем толпы!
Мы вечно зависим от места,
от времени и от корней.
Душе беспокойно и тесно
в ментальности чуждых идей.
Пройти бы сквозь годы бесстрашно,
себя не теряя в пути,
и тихую точку Лагранжа
в толпе многоликой найти...
(Н. Рыбалко)
👍16🔥9🥰3❤🔥1💘1
27 января 1832 г. родился английский писатель, математик, логик, философ, диакон, фотограф Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный по псевдониму Льюис Кэрролл (образованному путём перестановки своих имён местами, переводу их на латынь —«Людовикус Каролус» — а затем обратному переводу на родной английский язык).
Рассказывают, что, когда в 1865 г. книжка Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» попала в руки королевы Великобритании Виктории, она пришла в восторг и тут же потребовала принести ей другие книги такого замечательного писателя. Каково же было её разочарование, когда выяснилось, что прочие труды этого автора посвящены математике.
Кэрролл питал интерес ко всем отраслям математики: евклидовой геометрии, матанализу, теории вероятностей, линейной и матричной алгебре. Одна из самых известных работ Доджсона — «Алгебраический разбор 5-й книги Эвклида», в которой математик подробно рассматривает общую теорию пропорций, изложенную древнегреческим учёным.
Писатель-математик не следовал стереотипам и свободно сочетал в себе способности технаря и гуманитария. Художественный язык Кэрролл использовал даже в научных трудах. Например, в работе «Эвклид и его современные соперники» повествование ведётся в форме забавных диалогов между математиком по имени Минос и «адвокатом дьявола» профессором Никто, который воплощает в себе соперников древнегреческого ученого.
Он написал книгу «Элементарное руководство по теории детерминантов», где, в частности, придумал метод вычисления определителей, который известен теперь как конденсация Доджсона.
В историю точных наук Кэрролл вошёл, прежде всего, как новатор в сфере математической логики, разработав графическую технику решения логических задач (или построение «дерева логических условий»). Все достижения в области математической логики Доджсона собраны в двухтомнике «Символической логики».
Ещё одной его сильной стороной были игры и головоломки — он не только любил их сочинять, но и с огромным удовольствием смотрел на реакцию детей на эти нестандартные задачки.
По ночам писателя часто мучала бессонница, и, чтобы скоротать время, Льюис Кэрролл придумывал задачки. Впоследствии они вошли в сборники «Полуночные задачи», «Математические курьёзы», «Логическая игра», «История с узелками».
По мнению некоторых биографов Кэрролла, история Алисы, возможно, была сатирой на новые разделы математики, такие как неевклидова геометрия. Подобно остальным сферам своей жизни, Доджсон был консервативным математиком, жившим и работавшим в эпоху резкого изменения дисциплины, а приключения Алисы были его пародией на зарождавшуюся в то время концептуальную математику, где фигурировали мнимые числа и кватернионы. Чеширский кот может представлять собой усиливающуюся абстракцию в этой сфере, а общая абсурдность Страны чудес означать противостояние «абсурдности» традициям, которое Доджсон видел в своей дисциплине.
Рассказывают, что, когда в 1865 г. книжка Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» попала в руки королевы Великобритании Виктории, она пришла в восторг и тут же потребовала принести ей другие книги такого замечательного писателя. Каково же было её разочарование, когда выяснилось, что прочие труды этого автора посвящены математике.
Кэрролл питал интерес ко всем отраслям математики: евклидовой геометрии, матанализу, теории вероятностей, линейной и матричной алгебре. Одна из самых известных работ Доджсона — «Алгебраический разбор 5-й книги Эвклида», в которой математик подробно рассматривает общую теорию пропорций, изложенную древнегреческим учёным.
Писатель-математик не следовал стереотипам и свободно сочетал в себе способности технаря и гуманитария. Художественный язык Кэрролл использовал даже в научных трудах. Например, в работе «Эвклид и его современные соперники» повествование ведётся в форме забавных диалогов между математиком по имени Минос и «адвокатом дьявола» профессором Никто, который воплощает в себе соперников древнегреческого ученого.
Он написал книгу «Элементарное руководство по теории детерминантов», где, в частности, придумал метод вычисления определителей, который известен теперь как конденсация Доджсона.
В историю точных наук Кэрролл вошёл, прежде всего, как новатор в сфере математической логики, разработав графическую технику решения логических задач (или построение «дерева логических условий»). Все достижения в области математической логики Доджсона собраны в двухтомнике «Символической логики».
Ещё одной его сильной стороной были игры и головоломки — он не только любил их сочинять, но и с огромным удовольствием смотрел на реакцию детей на эти нестандартные задачки.
По ночам писателя часто мучала бессонница, и, чтобы скоротать время, Льюис Кэрролл придумывал задачки. Впоследствии они вошли в сборники «Полуночные задачи», «Математические курьёзы», «Логическая игра», «История с узелками».
По мнению некоторых биографов Кэрролла, история Алисы, возможно, была сатирой на новые разделы математики, такие как неевклидова геометрия. Подобно остальным сферам своей жизни, Доджсон был консервативным математиком, жившим и работавшим в эпоху резкого изменения дисциплины, а приключения Алисы были его пародией на зарождавшуюся в то время концептуальную математику, где фигурировали мнимые числа и кватернионы. Чеширский кот может представлять собой усиливающуюся абстракцию в этой сфере, а общая абсурдность Страны чудес означать противостояние «абсурдности» традициям, которое Доджсон видел в своей дисциплине.
👍11❤7🔥3🥰1
Льюис Кэрролл отличался живым умом и любознательностью. Он постоянно изобретал хитроумные приспособления и придумывал способы, как по-новому использовать обычные предметы или вещи. Свои новшества и открытия он с завидной педантичностью записывал в дневник.
Кэрролл изобрёл никтограф и никтографию (от греч. νύξ – «ночь»). Никтограф — прибор, с помощью которого писатель записывал свои идеи ночью в темноте при помощи специального квадратного алфавита. Он представлял собой карточку с сеткой из 16 квадратных отверстий, через которые чертились придуманные писателем символы. Каждый символ состоял из линий и точек, смещенных к углам квадратов для простоты использования.
Экономическое новаторство Кэрролла — упрощённый метод денежных переводов — успешно используется в современной банковской системе. Его суть состоит в том, что отправитель заполняет два бланка перевода, один из которых он для пересылки отдает на почту. В двух бланках содержится номер-код, который должен назвать получатель.
Льюис Кэрролл также придумал:
• правило расчёта, на какой день недели приходится конкретная дата;
• способ выравнивания строк по правому полю пишущей машины;
• руль для трёхколесного велосипеда (а в некоторых источниках утверждается, что и сам 3-колёсный велосипед);
• более точные и справедливые правила исключения из теннисных турниров;
• правила оплаты почтовых расходов;
• картонную шкалу, чтобы сверять количество налитого ликера с заказанным;
• оригинальные методы решения силлогизмов и соритов;
• мнемонические приёмы для запоминания последовательности цифр;
• круглый стол для бильярда;
• двустороннюю клейкую ленту, чтобы запечатывать конверты;
• суперобложку для книг;
• устройство для лежачих больных, которое облегчает чтение книг;
• шахматы для путешественников, где фигуры удерживаются на доске благодаря маленькому выступу и углублению;
• два шифра криптографии.
Образ Безумного Шляпника появился благодаря английской пословице «Безумен, как шляпник». Эта пословица отражала реальное положение вещей, потому что в XIX в. при обработке фетра использовали ртуть и свинец. Отравление опасными испарениями нередко заканчивалось для мастеров шляпных дел помешательством.
Кэрролл изобрёл никтограф и никтографию (от греч. νύξ – «ночь»). Никтограф — прибор, с помощью которого писатель записывал свои идеи ночью в темноте при помощи специального квадратного алфавита. Он представлял собой карточку с сеткой из 16 квадратных отверстий, через которые чертились придуманные писателем символы. Каждый символ состоял из линий и точек, смещенных к углам квадратов для простоты использования.
Экономическое новаторство Кэрролла — упрощённый метод денежных переводов — успешно используется в современной банковской системе. Его суть состоит в том, что отправитель заполняет два бланка перевода, один из которых он для пересылки отдает на почту. В двух бланках содержится номер-код, который должен назвать получатель.
Льюис Кэрролл также придумал:
• правило расчёта, на какой день недели приходится конкретная дата;
• способ выравнивания строк по правому полю пишущей машины;
• руль для трёхколесного велосипеда (а в некоторых источниках утверждается, что и сам 3-колёсный велосипед);
• более точные и справедливые правила исключения из теннисных турниров;
• правила оплаты почтовых расходов;
• картонную шкалу, чтобы сверять количество налитого ликера с заказанным;
• оригинальные методы решения силлогизмов и соритов;
• мнемонические приёмы для запоминания последовательности цифр;
• круглый стол для бильярда;
• двустороннюю клейкую ленту, чтобы запечатывать конверты;
• суперобложку для книг;
• устройство для лежачих больных, которое облегчает чтение книг;
• шахматы для путешественников, где фигуры удерживаются на доске благодаря маленькому выступу и углублению;
• два шифра криптографии.
Образ Безумного Шляпника появился благодаря английской пословице «Безумен, как шляпник». Эта пословица отражала реальное положение вещей, потому что в XIX в. при обработке фетра использовали ртуть и свинец. Отравление опасными испарениями нередко заканчивалось для мастеров шляпных дел помешательством.
👍9❤5🔥3🥰1💘1
В 1867 г. диакон англиканской церкви Ч. Доджсон, имея при себе рекомендательные письма Сэмюэла Уилберфорса, епископа Оксфордского, отправился в далёкую Россию, чтобы познакомиться с её культурой, а особенно — с православными храмами и священниками. Главной целью визита было установление более тесных связей между Англиканской и Русской православной церквями.
Из дневника путешественника:
«Должно быть, два самых продаваемых товара в Кенигсберге — это перчатки и фейерверки (поскольку ими торгует примерно половина всех магазинов). Тем не менее я встречаю здесь много господ, которые ходят по улице без перчаток: возможно, перчатками пользуются только для защиты рук при запуске фейерверков. Утром мы посетили Dom-Kirche, прекрасное старинное здание, и поездом в 12.54 выехали в Санкт-Петербург, куда и прибыли точно по расписанию в пять тридцать вечера следующего дня, проведя, таким образом, в пути двадцать восемь с половиной часов! К несчастью, места в том купе, в котором мы ехали, позволяли лечь только четверым, а поскольку вместе с нами ехали две дамы и еще один господин, я спал на полу, используя в качестве подушки саквояж и пальто, и хотя особенно не роскошествовал, однако устроился вполне удобно, чтобы крепко проспать всю ночь. Оказалось, что ехавший с нами господин — англичанин, который живет в Петербурге уже пятнадцать лет и возвращается туда после поездки в Париж и Лондон. Он был весьма любезен и ответил на наши вопросы, а также дал нам огромное множество советов по поводу того, что следует посмотреть в Петербурге. Он поговорил по-русски, чтобы дать нам представление о языке, однако обрисовал нам весьма унылые перспективы, поскольку, по его словам, в России мало кто говорит на каком-либо другом языке, кроме русского. В качестве примера необычайно длинных слов, из которых состоит этот язык, он написал и произнес для меня следующее: защищающихся, что, записанное английскими буквами, выглядит как Zashtsheeshtshayoushtsheekhsya: это пугающее слово — форма родительного падежа множественного числа причастия и означает «лиц, защищающих себя» («those who protect themselves»). Он оказался весьма приятным дополнением к нашей компании, и мы с ним сыграли три партии в шахматы в течение второго дня; эти партии я записывать не стал и, возможно, правильно сделал, поскольку все они закончились моим поражением…
На одной из станций, где мы остановились на обед, был человек, игравший на гитаре с свиристелями, прикрепленными к верхней ее части, и колокольчиками; на всем этом он ухитрялся играть чисто и в такт; это место было замечательно также тем, что мы впервые попробовали местный суп, Щи (произносится как shtshee), который оказался вполне съедобным, хотя и содержал некий кислый ингредиент, возможно, необходимый для русского вкуса…
После ужина у нас оставалось время только для короткой прогулки, но она была полна нового и удивительного. Огромная ширина улиц (второстепенные улицы, похоже, шире, чем что-либо подобное в Лондоне), маленькие дрожки, которые беспрестанно проносились мимо, похоже, совершенно безучастные к тому, что могут кого-нибудь переехать (вскоре мы обнаружили, что нужно постоянно быть начеку, потому что возницы никогда не кричали, давая о себе знать, как бы близко к нам ни подбирались), огромные освещенные вывески над магазинами и гигантские церкви с их голубыми, в золотых звездах куполами и приводящая в замешательство тарабарщина местных жителей,— все это внесло свой вклад в копилку впечатлений от чудес нашей первой прогулки по Санкт-Петербургу. По пути мы прошли мимо усыпальницы, прекрасно украшенной и позолоченной изнутри и снаружи, в которой хранится Распятие, картины и проч. Почти все бедняки, проходившие мимо, обнажали головы, кланялись ей и множество раз осеняли себя крестным знамением — странное зрелище посреди оживленной толпы».
Из дневника путешественника:
«Должно быть, два самых продаваемых товара в Кенигсберге — это перчатки и фейерверки (поскольку ими торгует примерно половина всех магазинов). Тем не менее я встречаю здесь много господ, которые ходят по улице без перчаток: возможно, перчатками пользуются только для защиты рук при запуске фейерверков. Утром мы посетили Dom-Kirche, прекрасное старинное здание, и поездом в 12.54 выехали в Санкт-Петербург, куда и прибыли точно по расписанию в пять тридцать вечера следующего дня, проведя, таким образом, в пути двадцать восемь с половиной часов! К несчастью, места в том купе, в котором мы ехали, позволяли лечь только четверым, а поскольку вместе с нами ехали две дамы и еще один господин, я спал на полу, используя в качестве подушки саквояж и пальто, и хотя особенно не роскошествовал, однако устроился вполне удобно, чтобы крепко проспать всю ночь. Оказалось, что ехавший с нами господин — англичанин, который живет в Петербурге уже пятнадцать лет и возвращается туда после поездки в Париж и Лондон. Он был весьма любезен и ответил на наши вопросы, а также дал нам огромное множество советов по поводу того, что следует посмотреть в Петербурге. Он поговорил по-русски, чтобы дать нам представление о языке, однако обрисовал нам весьма унылые перспективы, поскольку, по его словам, в России мало кто говорит на каком-либо другом языке, кроме русского. В качестве примера необычайно длинных слов, из которых состоит этот язык, он написал и произнес для меня следующее: защищающихся, что, записанное английскими буквами, выглядит как Zashtsheeshtshayoushtsheekhsya: это пугающее слово — форма родительного падежа множественного числа причастия и означает «лиц, защищающих себя» («those who protect themselves»). Он оказался весьма приятным дополнением к нашей компании, и мы с ним сыграли три партии в шахматы в течение второго дня; эти партии я записывать не стал и, возможно, правильно сделал, поскольку все они закончились моим поражением…
На одной из станций, где мы остановились на обед, был человек, игравший на гитаре с свиристелями, прикрепленными к верхней ее части, и колокольчиками; на всем этом он ухитрялся играть чисто и в такт; это место было замечательно также тем, что мы впервые попробовали местный суп, Щи (произносится как shtshee), который оказался вполне съедобным, хотя и содержал некий кислый ингредиент, возможно, необходимый для русского вкуса…
После ужина у нас оставалось время только для короткой прогулки, но она была полна нового и удивительного. Огромная ширина улиц (второстепенные улицы, похоже, шире, чем что-либо подобное в Лондоне), маленькие дрожки, которые беспрестанно проносились мимо, похоже, совершенно безучастные к тому, что могут кого-нибудь переехать (вскоре мы обнаружили, что нужно постоянно быть начеку, потому что возницы никогда не кричали, давая о себе знать, как бы близко к нам ни подбирались), огромные освещенные вывески над магазинами и гигантские церкви с их голубыми, в золотых звездах куполами и приводящая в замешательство тарабарщина местных жителей,— все это внесло свой вклад в копилку впечатлений от чудес нашей первой прогулки по Санкт-Петербургу. По пути мы прошли мимо усыпальницы, прекрасно украшенной и позолоченной изнутри и снаружи, в которой хранится Распятие, картины и проч. Почти все бедняки, проходившие мимо, обнажали головы, кланялись ей и множество раз осеняли себя крестным знамением — странное зрелище посреди оживленной толпы».
👍9❤4🔥3🥰2😁1💘1
Логическая задача Кэрролла. Найдите заключение следующего сорита:
1. Всякий, кто не танцует на туго натянутом канате и не ест пирожков за один пенс, стар.
2. Со свиньями, которые временами испытывают головокружение, обращаются почтительно.
3. Разумный человек, отправляясь в путешествие на воздушном шаре, берет с собой зонтик.
4. Не следует завтракать в присутствии посторонних тому, кто имеет смешной вид и ест пирожки за один пенс.
5. Юные существа, отправляющиеся в путешествие на воздушном шаре, временами испытывают головокружение.
6. Жирные существа, имеющие смешной вид, могут завтракать при посторонних, если только они не танцуют на туго натянутом канате.
7. Ни одно разумное существо не станет танцевать на туго натянутом канате, если оно временами испытывает головокружение.
8. Свинья с зонтиком имеет смешной вид.
9. Все, кто не танцует на туго натянутом канате и с кем обращаются почтительно, жирны.
Ответ. Ни один разумный поросенок не отправится путешествовать на воздушном шаре.
1. Всякий, кто не танцует на туго натянутом канате и не ест пирожков за один пенс, стар.
2. Со свиньями, которые временами испытывают головокружение, обращаются почтительно.
3. Разумный человек, отправляясь в путешествие на воздушном шаре, берет с собой зонтик.
4. Не следует завтракать в присутствии посторонних тому, кто имеет смешной вид и ест пирожки за один пенс.
5. Юные существа, отправляющиеся в путешествие на воздушном шаре, временами испытывают головокружение.
6. Жирные существа, имеющие смешной вид, могут завтракать при посторонних, если только они не танцуют на туго натянутом канате.
7. Ни одно разумное существо не станет танцевать на туго натянутом канате, если оно временами испытывает головокружение.
8. Свинья с зонтиком имеет смешной вид.
9. Все, кто не танцует на туго натянутом канате и с кем обращаются почтительно, жирны.
Ответ.
🔥4👍3🥰2❤🔥1
Задача Кэрролла. Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определённым количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4 раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Ответ:7 человек, 2 шиллинга.
Ответ:
👍5❤3🥰1💘1
Задача Кэрролла. Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внёс в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой — продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой). В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею. На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею. Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «Вина ровно на 11 фунтов стерлингов», — заметил он себе под нос, покидая погреб. На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею. Поскольку всё вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею, и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трёх дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
По какой цене друзья покупали вино?
Ответ:Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
По какой цене друзья покупали вино?
Ответ:
👍5🔥1🥰1😁1🍾1
28 января 1540 г. родился Лудольф ван Кейлен (Цейлен) — нидерландский математик, преподаватель фехтования в Лейденском университете. Его главным вкладом было вычисление числа π с 35 десятичными знаками. В своём вычислении Кейлен следовал известному со времён Архимеда пути определения числа π при помощи нахождения отношения к диаметру периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при последовательном удваивании чисел их сторон — так он дошёл до 2⁶²-угольника. В этой работе в течение многих лет учёному помогала его жена. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». В честь него это приближение числа π называют лудольфовым числом. Найденные знаки он завещал выбить на своём надгробном камне, что и было исполнено.
Практической пользы в такой точности вычисления числа π, конечно, нет — это была гонка за усиление результата, когда пытаются выжать всё, что можно, имеющимися способами. Если бы можно было начертить идеальный вплоть до атомного масштаба круг радиуса расстояния от Земли до Солнца, то тепловые колебания молекул чернил сделали бы добрую половину этих цифр физически бессмысленными. Однако, результаты таких гонок хороши для проверки новых методов — до сих пор вычисление знаков числа π используют для тестирования компьютеров.
Однако собственно математической ценности эта упорная многолетняя работа Кейлена не представляла: оставалось так и невыясненным, является ли число π рациональным (т.е. отношением двух целых чисел), или иррациональным. Ответ пришёл только тогда, когда появился математический анализ и задача поиска аналитического выражения для отношения длины окружности к диаметру перекочевала туда. В 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально. А ещё через сто с лишним лет, в 1882 г., другой немецкий математик — Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, (что означало, в частности, и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу).
Картина мира такова:
Я — твой, ты — мой объект.
Боготворить, лепить, ковать,
есть плюшки на обед…
Сквозь щели промелькнувших лет —
рекордами сорить
и ни о чём не сожалеть,
времён умерив прыть.
Но как ты «пи» не приближай,
Всё уже жизни круг.
Лудольфова числа скрижаль
приснится поутру.
Твоя вселенная во мне
сомненьем создана.
На ирреальнейшей волне
луна всплывёт со дна, —
увидеть в триллионный раз
как нежностью горит
в сияньи говорящих глаз
любви александрит…
(Е. Чаусова)
Практической пользы в такой точности вычисления числа π, конечно, нет — это была гонка за усиление результата, когда пытаются выжать всё, что можно, имеющимися способами. Если бы можно было начертить идеальный вплоть до атомного масштаба круг радиуса расстояния от Земли до Солнца, то тепловые колебания молекул чернил сделали бы добрую половину этих цифр физически бессмысленными. Однако, результаты таких гонок хороши для проверки новых методов — до сих пор вычисление знаков числа π используют для тестирования компьютеров.
Однако собственно математической ценности эта упорная многолетняя работа Кейлена не представляла: оставалось так и невыясненным, является ли число π рациональным (т.е. отношением двух целых чисел), или иррациональным. Ответ пришёл только тогда, когда появился математический анализ и задача поиска аналитического выражения для отношения длины окружности к диаметру перекочевала туда. В 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально. А ещё через сто с лишним лет, в 1882 г., другой немецкий математик — Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, (что означало, в частности, и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу).
Картина мира такова:
Я — твой, ты — мой объект.
Боготворить, лепить, ковать,
есть плюшки на обед…
Сквозь щели промелькнувших лет —
рекордами сорить
и ни о чём не сожалеть,
времён умерив прыть.
Но как ты «пи» не приближай,
Всё уже жизни круг.
Лудольфова числа скрижаль
приснится поутру.
Твоя вселенная во мне
сомненьем создана.
На ирреальнейшей волне
луна всплывёт со дна, —
увидеть в триллионный раз
как нежностью горит
в сияньи говорящих глаз
любви александрит…
(Е. Чаусова)
👍10🔥5❤1🥰1😁1
29 января 1810 г. родился Эрнст Эдуард Куммер — немецкий математик, наиболее существенные труды которого относятся к алгебре и теории чисел. Внёс значительный вклад в анализ, теорию алгебраических чисел, геометрию, теоретическую механику.
В анализе продолжил работы Гаусса по гипергеометрическим рядам. Его имя носит известный признак сходимости.
В теории чисел много занимался Великой теоремой Ферма и доказал её для целого класса простых показателей. Проблему не решил, но в ходе исследования получил множество ценных результатов.
Куммер также доказал закон взаимности для всех степенных вычетов с простым показателем. Продвинуться дальше удалось только Гильберту спустя несколько десятилетий.
В анализе продолжил работы Гаусса по гипергеометрическим рядам. Его имя носит известный признак сходимости.
В теории чисел много занимался Великой теоремой Ферма и доказал её для целого класса простых показателей. Проблему не решил, но в ходе исследования получил множество ценных результатов.
Куммер также доказал закон взаимности для всех степенных вычетов с простым показателем. Продвинуться дальше удалось только Гильберту спустя несколько десятилетий.
👍8🔥7
Куммер был в сильных неладах с устным счётом. Если при чтении лекции ему надо было выполнить простенький расчёт, он обычно прибегал к помощи студентов.
Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать:
— Гм... это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остается только 63...
Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать:
— Гм... это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остается только 63...
😁16🔥5👍3💘1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Не Куммер, но, сразу видно, настоящий математик:)
😁27🥰3🔥2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Вообще, серьёзные учёные имеют радость хотя бы отчасти пребывать в «иных пространствах». И когда им приходится возвращаться в обыденную реальность, не всегда бывают к тому готовы. Что, конечно, никак не умаляет их настоящих заслуг, хотя, выглядит это бывает порой весьма курьёзно (и даёт злым языкам повод для насмешек).
😁11🥴4😭3👍1🤣1
Ког..pdf
2 MB
В недавней заметке, посвящённой Г. Штейнгаузу, была приведена задача из его книги «Сто задач» с авторским решением (из которого, однако, не понятно, как до него можно было бы додуматься):
Доказать, что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z является симметрическим относительно переменных x, y, z.
Наш подписчик математик Leonid Koganov прислал решение, раскрывающее природу явления, лежащего в основе этой задачи.
#предложка
Доказать, что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z является симметрическим относительно переменных x, y, z.
Наш подписчик математик Leonid Koganov прислал решение, раскрывающее природу явления, лежащего в основе этой задачи.
#предложка
👍10