«Человек полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума»

17 января 1847 г. родился Николай Егорович Жуковский, российский математик и инженер, основатель аэро- и гидродинамики. Жуковский был первым, кто занялся изучением воздушного потока. Основные достижения:
объяснил происхождение аэродинамической подъёмной силы;
вывел формулу расчёта подъёмной силы крыла и нашёл его идеальную форму;
сформулировал теорию винта;
определил необходимые для подъёма самолёта в воздух условия
издал труд «Теоретические основы воздухоплавания», положив начало масштабным исследованиям в области аэродинамики;
стал инициатором создания Центрального аэрогидродинамического института в Москве.

Ну, что, Николай Егорыч? Вот видишь, мы все летаем:
Кто — в гости, а кто — от скуки, на отдых и по делам.
Пакуемся в чемоданы, сбиваясь в аэростаи.
Отдельно летают души, а в креслах сидят тела.
Глотнув веселящий гелий, летает воздушный шарик,
А дети во сне летают и быстро растут потом.
И мускулы нам не в помощь, и разум порой мешает,
Забыв про земные корни, воздушный поймать поток.
(Серафима 17)

При построении своей теории крыла Жуковский использовал математический аппарат комплексных чисел. Он построил идеальную форму аэродинамического профиля на основе очень простой конструкции, называемой теперь функция Жуковского. Функция Жуковского — это конформное (сохраняющее углы) отображение, задаваемое формулой
f(z) = (z + 1/z)/2, где z — комплексная переменная.
Эта функция относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.
Применение её в аэродинамике основано на том факте, что функция Жуковского отображает окружность на некую замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла в разрезе. Вариацией радиуса и положения круга относительно начала координат можно менять угол изгиба и толщину крыла.
Функция Жуковского получила широкое применение в авиации для расчёта аэродинамических характеристик крыльев. С ее помощью можно:
моделировать форму крыла нужной конфигурации;
рассчитывать подъёмную силу и лобовое сопротивление;
оптимизировать форму крыла для конкретных условий полёта.
Кроме того, с помощью функции Жуковского описывают движение крыльев птиц, насекомых и даже плавников рыб! Также с помощью функции Жуковского моделируются обтекатели для подводных лодок, корпуса судов, лопасти гребных винтов. Её используют в теплообменниках для расчета эффективной площади теплообмена. Она позволяет описывать диаграммы направленности антенн, что важно при проектировании радиолокационных систем и средств связи. Бионические разработки, такие как летающие роботы-дроны или подводные аппараты, часто используют принципы, основанные на функции Жуковского, для создания эффективных "крыльев" и "плавников". В лазерной физике с помощью функции Жуковского описывается распределение интенсивности в лазерных пучках. И даже в финансовой математике она находит применение для оценки рисков инвестиционных портфелей.

17 января 1905 г. родился Даттатрея Капрекар, индийский математик-любитель, известный достижениями в занимательной математике — тот самый, который придумал числа харшад.

Именем Капрекара названы натуральны числа, обладающие таким интересным свойством: запись квадратов этих чисел можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число.
Например, 297 — число Капрекара, поскольку 297² = 88209, а 88+209 = 297.
Ещё пример числа Капрекара — 45: 45² = 2025, 20+25 = 45.

Капрекар открыл и исследовал интересные свойства числа 6174, назаванного впоследствии постоянной Капрекара.
Выберем любое 4-значное число, в котором не все цифры одинаковы. Построим из него два числа: для этого расположим цифры сначала в порядке возрастания, а затем — убывания. Вычтем из большего числа меньшее. Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.
Например, для числа 2025 имеем:
5220 – 0225 = 4995,
9954 – 4599 = 5355,
5553 – 3555 = 1998,
9981 – 1899 = 8082,
8820 – 0288 = 8532,
8532 – 2358 = 6174.
Повторение с этого момента оставляет то же число (7641 − 1467 = 6174).
Аналогичная константа для трёхзначных чисел — 495.
Для двух-, пяти- и семизначных чисел аналога постоянной Капрекара не существует, а вот для 6-значных имеется целых две неподвижных точки — 549945 и 631764.
Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой числа (однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде).
Почему неподвижные точки есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов? Являются ли эти красивые результаты случайными или за ними стоит какая-то большая математика? Всё это просто забавные математические трюки или же ключ к чему-то большему?
На эти вопросы пока нет ответа. Но ведь век назад и простые числа многим казались пустой забавой.

«На административную работу можно назначать лишь того, кто её ненавидит»
«Я не спрашиваю вас, кто занимается этим вопросом. Мне нужен тот, кто его решает»
«Администратор не может принести пользы! Задача хорошего администратора — минимизировать вред, который он наносит»

18 января 1901 г. родился Иван Георгиевич Петровский, выдающийся математик, специалист в области дифференциальных и интегральных уравнений, а также теории вероятностей. Заложил основы общей теории систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Петровский изучал задачу Коши для гиперболических и параболических систем. Предложил наиболее полное решение 19-й проблемы Гильберта: им выделены так называемые эллиптические (по Петровскому) системы, для которых при условии аналитичности по всем аргументам функций, образующих уравнения, все достаточно гладкие решения будут аналитическими.

Один из самых знаменитых его трудов — работа о лакунах (пробелах, промежутках).
Суть в следующем. Если вы будете достаточно долго издавать громкий звук, то человек, стоящий от вас на большом расстоянии, не услышит вашего крика на старте, но звук всё же докатится до него с опозданием, и человек будет слышать его некоторое время, а затем звук прекратится (чуть позже, чем вы перестанете кричать). Это и есть лакуна в распространении звуковой волны. Она прошла, и ее больше нет — там образовалась пустота.
Любопытно вот что: если бы наше пространство было двухмерным (что, конечно, трудно вообразить), и мы жили бы на плоскости, расчётные уравнения дали бы совершенно другой эффект. Например, ваш крик никогда не закончился бы: дойдя до удаленного слушателя, он продолжал бы длиться бесконечно, все более и более затихая, но продолжая звучать.

Исключительную память о себе Петровский оставил как администратор — он был деканом мехмата и более 20 лет — ректором МГУ.
В период ректорства Петровского появилось 70 новых кафедр и более 200 лабораторий. Невозможно представить, как ему в 50-е годы удалось создать на биофаке кафедру генетики, привлечь на биофак таких гигантов, как Тимофеев-Ресовский. Петровский организовал кафедру физических методов в биологии на физфаке, и там все опальные генетики совершенно легально читали лекции. Система преследовала людей «неправильного» происхождения — Петровский все свои силы употреблял на то, чтобы талантливые люди оставались в университете.

…Вспомните, ведь именно при нём
Выросла громада над Москвою.
Ахнул весь послевоенный мир,
Прославляя разум наш и руки:
«Русские – без хлеба и квартир —
Создают великий храм науки!»
Столько сделать света и добра,
Ничего науке не жалея!
Кажется, что будто бы вчера
Он гулял по липовым аллеям…
(В. Виноградский)

Вспоминает С.Э. Шноль:
«В университете боролись с распитием напитков: ввели сухой закон, а потом стали ловить в общежитии, не пьёт ли кто чего. Двух студентов химического факультета, застукав в общежитии, что они пили напитки, —отчислить, с пятого курса. И вот они вдвоём пришли к И.Г., два больших дяди, и жалобными голосами стали ему заливать, как они несчастны. Он очень взволновался и стал спрашивать: “А скажите, как было?” — “А вот, Иван Георгиевич, вот у него был день рождения…” — “И что же?” — “Мы купили бутылку сухого вина…” — “Бутылку сухого вина?” — “Да. Ну и выпили её с товарищем”. — “Как? Целую бутылку? Целую бутылку вдвоём! Боже мой!.. Посмотрите, это погибающие люди. Это ужасно! Ведь они погибнут, они сопьются, их нельзя оставлять в одиночестве, их надо беречь, надо за ними следить. Сейчас же скажите декану, что их ни в коем случае… эти люди погибнут. Не исключать! Отменить!” Я не знаю, это чистая наивность ли, или такой уровень игры…»

А.Д. Мышкис:
«И.Г. со смехом рассказывал, что он как-то подписал приказ по МГУ, в котором был пункт об отчислении одного студента за пьянство. Приказ пошёл в типографию для размножения, откуда вернулся обратно, поскольку упомянутый пункт, как оказалось, был сформулирован так: “За нарушение установленных мной правил пьянки и хулиганства и т.д.”
Гораздо более серьёзный случай: группа студентов была отчислена из МГУ за создание “организации”. Они написали устав, собирали взносы (уходившие, в основном, на чай), собирались на дому и обсуждали разные вопросы. При отчислении им собирались выдать характеристику, в которой кроме общих слов было сказано: “Отчислен из МГУ за участие в антисоветской организации”. И.Г. говорил, что он с трудом добился изменения этой формулировки».
«Рассказывая (с определённым порицанием) о весьма известном математике, беспартийном, который о своём сотруднике сказал, что тот плохой коммунист, И.Г. вспомнил анекдот: прокурор сказал судьям: “Совесть подсудимого так же черна, как его борода”, на что подсудимый ответил: “А у Вас, гражданин прокурор, совсем бороды нет”. И.Г. тоже был беспартийным».

В.М. Тихомиров:
«Моему сокурснику П. Якоби выпала трагическая судьба. Один наш общий друг называл его Иовом, которого Господь решил подвергнуть беспримерным испытаниям. Но один счастливый поворот судьбы Павла был связан с И.Г. Не по своей вине он оказался на Балхаше, без какой-либо перспективы вернуться в Москву. Жена от него ушла. Друзей рядом с ним не оказалось. Положение его было полно безысходности.
Тогда мы вместе с одним моим другом решились пойти на приём к И.Г. Мы начали сбивчиво излагать суть дела. “Майор Якоби... Специалист по моделированию на ЭВМ сложных систем... Балхаш... Нельзя ли...” Петровский резко прервал нас: “Будет ли он полезен на военной кафедре?” Эта идея была за пределами наших мечтаний. “Кому я должен позвонить?” — с тем же резким напором спросил И.Г. Мы смущённо молчали. Как-то в письме промелькнуло имя Байдукова, и мы назвали его.
Георгий Филиппович Байдуков... Он летал с Чкаловым через Северный Полюс. Кумир нашего детства. Герой Советского Союза. Генерал-полковник авиации.
“Соедините меня с Байдуковым”, — попросил он секретаршу.
“С Вами говорит член Президиума Верховного Совета Петровский. Мне нужен майор Якоби, который служит в Вашем округе”. После короткой паузы: “Для модернизации военной кафедры”. Байдуков что-то кратко ответил. “Благодарю”, – сказал Петровский и повесил трубку.
...Через несколько дней майор Якоби прибыл в Москву для прохождения службы на военной кафедре Московского государственного университета».

В.И. Арнольд:
«Петровский никогда не был членом партии. Он был очень влиятелен, что частично объяснялось его связями с бывшими учениками, занявшими высокие посты в советской иерархии. Петровского сделали членом Президиума Верховного Совета. Он умер перед дверью здания ЦК КПСС в Москве от сердечного приступа после долгой борьбы на заседании, посвящённом финансированию фундаментальной науки. Последние его слова были: "Я победил"».

Однажды Петровскому принесли на подпись список болезней, при которых противопоказано поступление на факультет. Он внимательно изучил его, и, наткнувшись в конце на пункт «Шизофрения», воскликнул:
— А это зачем? Кто же тогда теоремы доказывать будет?

19 января 1912 г. родился Леонид Витальевич Канторович, советский математик и экономист, известный разработкой методов оптимального распределения ресурсов. Создатель линейного программирования — метода определения наилучшего результата, например, максимальной прибыли или наименьших затрат в заданной математической модели для некоторого списка требований, представленных в виде линейных отношений.

В 1937 г. к уже известному учёному-математику обратились за консультацией работники Фанерного треста с вопросом о наиболее выгодном распределении материала между имеющимися станками. Берясь за работу, молодой учёный понимал, что задача эта типичная для большинства предприятий. В основе модели лежала система линейных уравнений и неравенств со многими переменными. Канторович модифицировал метод разрешающих множителей Лагранжа для её решения. И при этом пришёл к мысли, что к подобным задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. Найденный им новый метод эффективного решения такой задачи сразу нашёл применение в разных отраслях.
Канторович предложил оптимальный метод распила фанерного листа, и этот метод можно было применять в других производствах. Например, его тут же внедрили на одной из фабрик по распилу стальных листов — показатели взлетели, но… обернулись выговорами сверху. Дело в том, что система социалистического планирования требовала, чтобы каждый следующий год по показателям был лучше предыдущего. Это было принципиально невозможно при тех же ресурсах, поскольку найденное Канторовичем решение давало абсолютно максимальный результат. Кроме того, руководство фабрики обвинили в невыполнении плана по металлолому, потому что по методу Канторовича лист разрезался полностью, почти без отходов из стальных обрезков.
Через год его метод и вовсе подвергли широкой критике как антимарксистский и «заимствующий положения буржуазных теорий». Но именно принципы, изложенные Канторовичем в указанной работе, и зафиксированные в ней открытия через 36 лет принесли ему Нобелевскую премию по экономике.

Материал от подписчика Topalov Nikolay — Метод переброски коэффициентов при решении квадратных уравнений.


Напоминаем, что если вы хотите поделиться своими ценными материалами — интересными задачами, оригинальными методами решения, методическими разработками и проч., можно присылать их сюда: @math_essence_bot.

#предложка

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.

«Математика — это гимнастика ума»
«Математика и техника живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому что между ними нет ничего общего»
«Разрешите мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма!»

23 января 1862 г. родился Давид Гильберт, немецкий математик и философ математики, один из самых влиятельных математиков своего времени. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.

В 1900 г. в Париже на II Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал 23 наиболее кардинальные проблемы, определившие многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Гильберт составил первую полную аксиоматику евклидовой геометрии. Также он детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (с помощью ряда остроумных моделей) непротиворечивость и независимость каждой из своих аксиом.
Гильберт создал метаматематику — раздел логики, изучающий основания математики, — и чётко обозначил требования к идеальной аксиоматической теории: непротиворечивость, полнота и независимость аксиом.
(Непротиворечивость — невозможность вывести противоречие;
полнота — отсутствие недоказуемых утверждений;
независимость аксиом — невозможность вывести никакую аксиому из остальных аксиом.)
Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии» (1899 г.), Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе (1922 г.). Он считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — вообще все установленные в математике результаты). Более того, он верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту.
Однако, как впоследствии (1931 г.) показал К. Гёдель, программа Гильберта оказалась невыполнимой, хотя и послужила значительным стимулом к развитию математической логики. Гёдель обнаружил, что любая непротиворечивая формальная система, которая была бы достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью своих собственных аксиом. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в значительной мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции. Хотя стремление Гильберта к полной формализации математики (особенно после работ Гёделя) породило в научной среде дискуссию: часть математиков обвинили теорию доказательств Гильберта в бессодержательности и назвали её пустой игрой с формулами.

Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen — wir werden wissen); эта же фраза высечена в качестве эпитафии на его надгробном камне. Это антитеза изречению Э. Дюбуа-Реймона, стоявшего на философских позициях непознаваемости: «Мы не знаем — мы не узнаем» («Ignoramus — ignorabimus»).

Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
— Ах, этот-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».

Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушёл. Прошёл час, а он всё не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лёг в кровать.

В Гёттингенском университете Гильберт 35 лет руководил кафедрой математики. Один из новых сотрудников кафедры нанёс уважаемому профессору визит. Он пришёл к нему домой, расположился в приёмной и, сев в кресло, поставил свой головной убор — модный цилиндр — на пол. Визитёр оказался чрезмерно разговорчивым и своей болтовнёй довольно быстро утомил пожилого профессора. Гильберт долго хмурился, а потом встал, надел чужой цилиндр на свою голову, тронул жену за руку и сказал: «Дорогая, мне кажется, что мы задерживаем уважаемого коллегу». С этими словами рассеянный учёный вышел из собственного дома.

Один слишком навязчивый аспирант довёл Гильберта до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 (= 2¹⁶ + 1) сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (которое хранится в архивах в Гёттингене).

Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Р. Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись, устроив это так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов. Тогда Курант и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».
Кстати, именно благодарю Куранту возникла шутка о том, что Гильберт был «истинным арийцем», в жилах которого текла еврейская кровь: во время одной болезни Гильберту перелили кровь, которую сдал для него Рихард Курант.

У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил ошибку. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья рыдают под дождём возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одарённый молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжил Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»

«До тех пор, пока алгебра и геометрия были разделены, их прогресс был медленным и их использование ограничено; но когда эти две науки были объединены, они совместили друг с другом силы и пошли вместе к совершенству»

25 января 1736 г. родился Жозеф Луи Лагранж, крупнейший французский математик, механик, астроном итальянского происхождения. Огромен вклад Лагранжа в развитие анализа, теории чисел, теории вероятностей и численных методов.
Является первооткрывателем принципа возможных перемещений и вариационного исчисления. Он вывел уравнение Эйлера–Лагранжа для функционалов (уравнение Лагранжа II рода). На его основании переформулировал классическую ньютонову механику так, чтобы упростить формулы и облегчить вычисления; эта механика называется лагранжевой механикой.
Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих уравнений. Уравнения движения Лагранжа замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и её потенциальной энергии.
Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ, с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путём я расширил область его применения».

Одним из наиболее эффективных и широко применяемых методов для решения задач математической оптимизации является метод множителей Лагранжа. Его основная идея заключается в том, чтобы преобразовать задачу с ограничениями в задачу без ограничений путём введения дополнительных переменных — множителей Лагранжа. Это позволяет существенно упростить нахождение оптимального решения.
Пусть имеется задача оптимизации вида:
найти минимум функции f(x) при выполнении ограничений gᵢ(x) = 0, i = 1, …, m.
Здесь x — вектор неизвестных переменных размерности n. Функция f(x) называется целевой функцией, а функции gᵢ(x) — ограничениями. Чтобы найти оптимальное решение, нужно подобрать такой вектор x, который минимизирует значение целевой функции f(x) и удовлетворяет всем ограничениям gᵢ(x).
Рассматривается функция Лагранжа
L(x, k) = f(x) + Σ kᵢgᵢ(x),
где kᵢ - множители Лагранжа. Тогда исходная задача сводится к поиску безусловного экстремума функции Лагранжа по переменным x и k:
1) Найти стационарные точки функции L(x, k) по x и k:
∇ₓL(x, k) = 0,
∇ₖL(x, k) = 0.
2) Проверить, является ли найденная точка решением исходной задачи.
Использование метода Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи оптимизации за счёт объединения целевой функции и ограничения в одну функцию.
Величина множителей Лагранжа (k) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения gᵢ(x) = 0. Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы.
Метод Лагранжа показывает высокую эффективность и позволяет находить оптимальные решения даже для сложных задач оптимизации. Благодаря своей универсальности, простоте и хорошей сходимости метод Лагранжа нашёл применение во многих областях — от инженерии до экономики и машинного обучения.

В своём исследовании «Проблема трёх тел» Лагранж вычислил, что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение Солнца в пяти областях пространства. По сути, эти пять точек являются единственными местами в системе Земля – Солнце, где силы гравитации этих двух тел уравновешивают друг друга. Эти точки называют точками Лагранжа, или точками либрации.
Коллинеарные точки либрации L1, L2, L3 неустойчивые. Это значит, что космический аппарат или природное тело, попавшее в такую точку, будет колебаться около неё только в течение определенного времени, после чего из неё вылетит.
Точки L4 и L5 — самые интересные: любой объект, попавший «в поле зрения» L4 или L5, останется там очень надолго, если не навсегда. Они расположены на расстоянии 150 млн км от Земли, на плоскости земной орбиты, причем L4 вращается вокруг Солнца на 60° впереди Земли, а L5 находится под точно таким углом позади планеты. Из-за способности захватывать космические тела эти точки называют «троянскими». Астрономы то и дело находят астероиды в естественных положениях L4 и L5 в системе больших планет, таких как Юпитер. Это т. н. троянские астероиды, захваченные в естественные гравитационные колодцы благодаря взаимодействию Юпитера и Солнца.
Точки Лагранжа имеют огромный потенциал для космических исследований. Прежде всего, в них удобно размещать зонды и телескопы и вести наблюдение за небесными телами. Аппараты долгое время могут работать в L-точках с минимальными затратами энергии, почти не расходуя ее на корректировку своего положения, чем уже пользуются астрофизики.
Если перейти в область научной фантастики, точки Лагранжа могут стать «пересадочными пунктами» на пути к другим планетам или Луне. Сторонники колонизации космоса рассматривают их для возможного размещения в них космических станций. Кстати, топливо можно сэкономить не только когда аппараты зафиксированы в точках Лагранжа, но и когда они совершают перелёты между ними.

Галактики путь совершенен,
но каждой планеты удел —
зависимость от притяженья
далёких космических тел.
Под внешней иллюзией лоска
мы все — притяженья рабы,
и внутренний наш микрокосмос
дрожит под влияньем толпы!
Мы вечно зависим от места,
от времени и от корней.
Душе беспокойно и тесно
в ментальности чуждых идей.
Пройти бы сквозь годы бесстрашно,
себя не теряя в пути,
и тихую точку Лагранжа
в толпе многоликой найти...
(Н. Рыбалко)