Не менее красивый и значимый результат великого французского математика — Малая теорема Ферма (1640 г.). Эта теорема сыграла важную роль в криптографии, так как она дала основу для создания первой системы кодирования с открытым ключом RSA.
У Малой теоремы Ферма имеется много доказательств. Рассмотрим одно из самых красивых — комбинаторное.

«Между духом и материей посредничает математика»

14 января 1887 г. родился Гуго Штейнгауз, польский математик, один из основоположников польской математической школы. Внёс вклад в функциональный анализ, геометрию, математическую логику. Один из пионеров современных подходов в теории игр и теории вероятностей. Известен также как популяризатор науки и автор афоризмов.

Штейнгауз шутливо утверждал, что существует закон, который формулируется так: «Математик сделает это лучше». То есть, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает её лучше.

Задачка из «Сто задач» Штейнгауза
Доказать что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z — симметрическое относительно переменных x, y, z (т.е. не меняется, если произвольно переставить их значения).

Решение.
Обозначим
t = |x–y| + x + y.
Тогда если t ≥ 2z, то S = 2t.
А если t < 2z, то S = 4z.
Если x ≥ y, то t = 2x, a если x < y, то t = 2у.
Таким образом, выражение S в любом случае равно 4 mах (x, y, z), т.е. является симметрической функцией, от x, y, z. Утверждение доказано.

Школьники делают проект по статистике по теме Утилизация технических отходов.
Просят принять участие в небольшом опросе, заполнив форму:

https://forms.yandex.ru/u/67855593068ff037a13f310b/

«Поэт должен видеть то, чего не видят другие. И это же должен и математик»

15 января 1850 г. родилась Софья Васильевна Ковалевская — русский математик и механик. Она стала первой в мире женщиной-профессором математики, получившей докторскую степень, и первой женщиной-профессором в Европе, удостоенной престижных наград. Её открытия в теории уравнений частных производных и теории функций привели к созданию новых методов решения этих задач, которые до этого были не изученными. Исследования в области механики способствовали созданию новых моделей движения жидкостей и газов, что нашло практическое применение в аэродинамике и метеорологии.

В то время в Российской империи девушкам запрещалось учиться в вузах. Выходом был переезд за рубеж, но только при согласии родителей. Однако отец Ковалевской являлся ярым противником того, чтобы его дочь стала учёным. По этой причине Софья вышла замуж и уехала в Германию, чтобы там получить образование. Берлинский университет отказался принять Софью по тем же самым причинам, однако немецкий математик Вейерштрасс, восхищённый её способностями, согласился лично обучать талантливую девушку.

Любопытство Сони к математике пробудилось почти случайно: из-за незаконченности ремонта стена одной из детских комнат вместо обоев была оклеена литографированными лекциями по математическому анализу М.В. Остроградского.

С. Ковалевская. Если ты в жизни...

Если ты в жизни хотя на мгновенье
Истину в сердце твоём ощутил,
Если луч правды сквозь мрак и сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы, в решенье своём неизменном,
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню, в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется чёрною мглой —
С ясной решимостью, с верой спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.
Лживые призраки, злые виденья
Сбить тебя будут пытаться с пути;
Против всех вражеских козней спасенье
В собственном сердце ты сможешь найти;
Если хранится в нём искра святая,
Ты всемогущ и всесилен, но знай,
Горе тебе, коль, врагам уступая,
Дашь ты похитить её невзначай!
Лучше бы было тебе не родиться,
Лучше бы истины вовсе не знать,
Нежели, зная, от ней отступиться,
Чем первенство за похлёбку продать
Ведь грозные боги ревнивы и строги,
Их приговор ясен, решенье одно:
С того человека и взыщется много,
Кому было много талантов дано.
Ты знаешь в Писанье суровое слово:
Прощенье замолит за всё человек;
Но только за грех против Духа Святого
Прощения нет и не будет вовек.

Задача Софьи Ковалевской.
На доске нарисовали квадрат. Потом его стёрли, но оставили по одной точке на каждой стороне. Как по этим четырём точкам восстановить квадрат?

«Человек полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума»

17 января 1847 г. родился Николай Егорович Жуковский, российский математик и инженер, основатель аэро- и гидродинамики. Жуковский был первым, кто занялся изучением воздушного потока. Основные достижения:
объяснил происхождение аэродинамической подъёмной силы;
вывел формулу расчёта подъёмной силы крыла и нашёл его идеальную форму;
сформулировал теорию винта;
определил необходимые для подъёма самолёта в воздух условия
издал труд «Теоретические основы воздухоплавания», положив начало масштабным исследованиям в области аэродинамики;
стал инициатором создания Центрального аэрогидродинамического института в Москве.

Ну, что, Николай Егорыч? Вот видишь, мы все летаем:
Кто — в гости, а кто — от скуки, на отдых и по делам.
Пакуемся в чемоданы, сбиваясь в аэростаи.
Отдельно летают души, а в креслах сидят тела.
Глотнув веселящий гелий, летает воздушный шарик,
А дети во сне летают и быстро растут потом.
И мускулы нам не в помощь, и разум порой мешает,
Забыв про земные корни, воздушный поймать поток.
(Серафима 17)

При построении своей теории крыла Жуковский использовал математический аппарат комплексных чисел. Он построил идеальную форму аэродинамического профиля на основе очень простой конструкции, называемой теперь функция Жуковского. Функция Жуковского — это конформное (сохраняющее углы) отображение, задаваемое формулой
f(z) = (z + 1/z)/2, где z — комплексная переменная.
Эта функция относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.
Применение её в аэродинамике основано на том факте, что функция Жуковского отображает окружность на некую замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла в разрезе. Вариацией радиуса и положения круга относительно начала координат можно менять угол изгиба и толщину крыла.
Функция Жуковского получила широкое применение в авиации для расчёта аэродинамических характеристик крыльев. С ее помощью можно:
моделировать форму крыла нужной конфигурации;
рассчитывать подъёмную силу и лобовое сопротивление;
оптимизировать форму крыла для конкретных условий полёта.
Кроме того, с помощью функции Жуковского описывают движение крыльев птиц, насекомых и даже плавников рыб! Также с помощью функции Жуковского моделируются обтекатели для подводных лодок, корпуса судов, лопасти гребных винтов. Её используют в теплообменниках для расчета эффективной площади теплообмена. Она позволяет описывать диаграммы направленности антенн, что важно при проектировании радиолокационных систем и средств связи. Бионические разработки, такие как летающие роботы-дроны или подводные аппараты, часто используют принципы, основанные на функции Жуковского, для создания эффективных "крыльев" и "плавников". В лазерной физике с помощью функции Жуковского описывается распределение интенсивности в лазерных пучках. И даже в финансовой математике она находит применение для оценки рисков инвестиционных портфелей.

17 января 1905 г. родился Даттатрея Капрекар, индийский математик-любитель, известный достижениями в занимательной математике — тот самый, который придумал числа харшад.

Именем Капрекара названы натуральны числа, обладающие таким интересным свойством: запись квадратов этих чисел можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число.
Например, 297 — число Капрекара, поскольку 297² = 88209, а 88+209 = 297.
Ещё пример числа Капрекара — 45: 45² = 2025, 20+25 = 45.

Капрекар открыл и исследовал интересные свойства числа 6174, назаванного впоследствии постоянной Капрекара.
Выберем любое 4-значное число, в котором не все цифры одинаковы. Построим из него два числа: для этого расположим цифры сначала в порядке возрастания, а затем — убывания. Вычтем из большего числа меньшее. Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.
Например, для числа 2025 имеем:
5220 – 0225 = 4995,
9954 – 4599 = 5355,
5553 – 3555 = 1998,
9981 – 1899 = 8082,
8820 – 0288 = 8532,
8532 – 2358 = 6174.
Повторение с этого момента оставляет то же число (7641 − 1467 = 6174).
Аналогичная константа для трёхзначных чисел — 495.
Для двух-, пяти- и семизначных чисел аналога постоянной Капрекара не существует, а вот для 6-значных имеется целых две неподвижных точки — 549945 и 631764.
Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой числа (однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде).
Почему неподвижные точки есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов? Являются ли эти красивые результаты случайными или за ними стоит какая-то большая математика? Всё это просто забавные математические трюки или же ключ к чему-то большему?
На эти вопросы пока нет ответа. Но ведь век назад и простые числа многим казались пустой забавой.

«На административную работу можно назначать лишь того, кто её ненавидит»
«Я не спрашиваю вас, кто занимается этим вопросом. Мне нужен тот, кто его решает»
«Администратор не может принести пользы! Задача хорошего администратора — минимизировать вред, который он наносит»

18 января 1901 г. родился Иван Георгиевич Петровский, выдающийся математик, специалист в области дифференциальных и интегральных уравнений, а также теории вероятностей. Заложил основы общей теории систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Петровский изучал задачу Коши для гиперболических и параболических систем. Предложил наиболее полное решение 19-й проблемы Гильберта: им выделены так называемые эллиптические (по Петровскому) системы, для которых при условии аналитичности по всем аргументам функций, образующих уравнения, все достаточно гладкие решения будут аналитическими.

Один из самых знаменитых его трудов — работа о лакунах (пробелах, промежутках).
Суть в следующем. Если вы будете достаточно долго издавать громкий звук, то человек, стоящий от вас на большом расстоянии, не услышит вашего крика на старте, но звук всё же докатится до него с опозданием, и человек будет слышать его некоторое время, а затем звук прекратится (чуть позже, чем вы перестанете кричать). Это и есть лакуна в распространении звуковой волны. Она прошла, и ее больше нет — там образовалась пустота.
Любопытно вот что: если бы наше пространство было двухмерным (что, конечно, трудно вообразить), и мы жили бы на плоскости, расчётные уравнения дали бы совершенно другой эффект. Например, ваш крик никогда не закончился бы: дойдя до удаленного слушателя, он продолжал бы длиться бесконечно, все более и более затихая, но продолжая звучать.

Исключительную память о себе Петровский оставил как администратор — он был деканом мехмата и более 20 лет — ректором МГУ.
В период ректорства Петровского появилось 70 новых кафедр и более 200 лабораторий. Невозможно представить, как ему в 50-е годы удалось создать на биофаке кафедру генетики, привлечь на биофак таких гигантов, как Тимофеев-Ресовский. Петровский организовал кафедру физических методов в биологии на физфаке, и там все опальные генетики совершенно легально читали лекции. Система преследовала людей «неправильного» происхождения — Петровский все свои силы употреблял на то, чтобы талантливые люди оставались в университете.

…Вспомните, ведь именно при нём
Выросла громада над Москвою.
Ахнул весь послевоенный мир,
Прославляя разум наш и руки:
«Русские – без хлеба и квартир —
Создают великий храм науки!»
Столько сделать света и добра,
Ничего науке не жалея!
Кажется, что будто бы вчера
Он гулял по липовым аллеям…
(В. Виноградский)

Вспоминает С.Э. Шноль:
«В университете боролись с распитием напитков: ввели сухой закон, а потом стали ловить в общежитии, не пьёт ли кто чего. Двух студентов химического факультета, застукав в общежитии, что они пили напитки, —отчислить, с пятого курса. И вот они вдвоём пришли к И.Г., два больших дяди, и жалобными голосами стали ему заливать, как они несчастны. Он очень взволновался и стал спрашивать: “А скажите, как было?” — “А вот, Иван Георгиевич, вот у него был день рождения…” — “И что же?” — “Мы купили бутылку сухого вина…” — “Бутылку сухого вина?” — “Да. Ну и выпили её с товарищем”. — “Как? Целую бутылку? Целую бутылку вдвоём! Боже мой!.. Посмотрите, это погибающие люди. Это ужасно! Ведь они погибнут, они сопьются, их нельзя оставлять в одиночестве, их надо беречь, надо за ними следить. Сейчас же скажите декану, что их ни в коем случае… эти люди погибнут. Не исключать! Отменить!” Я не знаю, это чистая наивность ли, или такой уровень игры…»

А.Д. Мышкис:
«И.Г. со смехом рассказывал, что он как-то подписал приказ по МГУ, в котором был пункт об отчислении одного студента за пьянство. Приказ пошёл в типографию для размножения, откуда вернулся обратно, поскольку упомянутый пункт, как оказалось, был сформулирован так: “За нарушение установленных мной правил пьянки и хулиганства и т.д.”
Гораздо более серьёзный случай: группа студентов была отчислена из МГУ за создание “организации”. Они написали устав, собирали взносы (уходившие, в основном, на чай), собирались на дому и обсуждали разные вопросы. При отчислении им собирались выдать характеристику, в которой кроме общих слов было сказано: “Отчислен из МГУ за участие в антисоветской организации”. И.Г. говорил, что он с трудом добился изменения этой формулировки».
«Рассказывая (с определённым порицанием) о весьма известном математике, беспартийном, который о своём сотруднике сказал, что тот плохой коммунист, И.Г. вспомнил анекдот: прокурор сказал судьям: “Совесть подсудимого так же черна, как его борода”, на что подсудимый ответил: “А у Вас, гражданин прокурор, совсем бороды нет”. И.Г. тоже был беспартийным».

В.М. Тихомиров:
«Моему сокурснику П. Якоби выпала трагическая судьба. Один наш общий друг называл его Иовом, которого Господь решил подвергнуть беспримерным испытаниям. Но один счастливый поворот судьбы Павла был связан с И.Г. Не по своей вине он оказался на Балхаше, без какой-либо перспективы вернуться в Москву. Жена от него ушла. Друзей рядом с ним не оказалось. Положение его было полно безысходности.
Тогда мы вместе с одним моим другом решились пойти на приём к И.Г. Мы начали сбивчиво излагать суть дела. “Майор Якоби... Специалист по моделированию на ЭВМ сложных систем... Балхаш... Нельзя ли...” Петровский резко прервал нас: “Будет ли он полезен на военной кафедре?” Эта идея была за пределами наших мечтаний. “Кому я должен позвонить?” — с тем же резким напором спросил И.Г. Мы смущённо молчали. Как-то в письме промелькнуло имя Байдукова, и мы назвали его.
Георгий Филиппович Байдуков... Он летал с Чкаловым через Северный Полюс. Кумир нашего детства. Герой Советского Союза. Генерал-полковник авиации.
“Соедините меня с Байдуковым”, — попросил он секретаршу.
“С Вами говорит член Президиума Верховного Совета Петровский. Мне нужен майор Якоби, который служит в Вашем округе”. После короткой паузы: “Для модернизации военной кафедры”. Байдуков что-то кратко ответил. “Благодарю”, – сказал Петровский и повесил трубку.
...Через несколько дней майор Якоби прибыл в Москву для прохождения службы на военной кафедре Московского государственного университета».

В.И. Арнольд:
«Петровский никогда не был членом партии. Он был очень влиятелен, что частично объяснялось его связями с бывшими учениками, занявшими высокие посты в советской иерархии. Петровского сделали членом Президиума Верховного Совета. Он умер перед дверью здания ЦК КПСС в Москве от сердечного приступа после долгой борьбы на заседании, посвящённом финансированию фундаментальной науки. Последние его слова были: "Я победил"».

Однажды Петровскому принесли на подпись список болезней, при которых противопоказано поступление на факультет. Он внимательно изучил его, и, наткнувшись в конце на пункт «Шизофрения», воскликнул:
— А это зачем? Кто же тогда теоремы доказывать будет?

19 января 1912 г. родился Леонид Витальевич Канторович, советский математик и экономист, известный разработкой методов оптимального распределения ресурсов. Создатель линейного программирования — метода определения наилучшего результата, например, максимальной прибыли или наименьших затрат в заданной математической модели для некоторого списка требований, представленных в виде линейных отношений.

В 1937 г. к уже известному учёному-математику обратились за консультацией работники Фанерного треста с вопросом о наиболее выгодном распределении материала между имеющимися станками. Берясь за работу, молодой учёный понимал, что задача эта типичная для большинства предприятий. В основе модели лежала система линейных уравнений и неравенств со многими переменными. Канторович модифицировал метод разрешающих множителей Лагранжа для её решения. И при этом пришёл к мысли, что к подобным задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. Найденный им новый метод эффективного решения такой задачи сразу нашёл применение в разных отраслях.
Канторович предложил оптимальный метод распила фанерного листа, и этот метод можно было применять в других производствах. Например, его тут же внедрили на одной из фабрик по распилу стальных листов — показатели взлетели, но… обернулись выговорами сверху. Дело в том, что система социалистического планирования требовала, чтобы каждый следующий год по показателям был лучше предыдущего. Это было принципиально невозможно при тех же ресурсах, поскольку найденное Канторовичем решение давало абсолютно максимальный результат. Кроме того, руководство фабрики обвинили в невыполнении плана по металлолому, потому что по методу Канторовича лист разрезался полностью, почти без отходов из стальных обрезков.
Через год его метод и вовсе подвергли широкой критике как антимарксистский и «заимствующий положения буржуазных теорий». Но именно принципы, изложенные Канторовичем в указанной работе, и зафиксированные в ней открытия через 36 лет принесли ему Нобелевскую премию по экономике.

Материал от подписчика Topalov Nikolay — Метод переброски коэффициентов при решении квадратных уравнений.


Напоминаем, что если вы хотите поделиться своими ценными материалами — интересными задачами, оригинальными методами решения, методическими разработками и проч., можно присылать их сюда: @math_essence_bot.

#предложка

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.

«Математика — это гимнастика ума»
«Математика и техника живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому что между ними нет ничего общего»
«Разрешите мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма!»

23 января 1862 г. родился Давид Гильберт, немецкий математик и философ математики, один из самых влиятельных математиков своего времени. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.

В 1900 г. в Париже на II Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал 23 наиболее кардинальные проблемы, определившие многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Гильберт составил первую полную аксиоматику евклидовой геометрии. Также он детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (с помощью ряда остроумных моделей) непротиворечивость и независимость каждой из своих аксиом.
Гильберт создал метаматематику — раздел логики, изучающий основания математики, — и чётко обозначил требования к идеальной аксиоматической теории: непротиворечивость, полнота и независимость аксиом.
(Непротиворечивость — невозможность вывести противоречие;
полнота — отсутствие недоказуемых утверждений;
независимость аксиом — невозможность вывести никакую аксиому из остальных аксиом.)
Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии» (1899 г.), Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе (1922 г.). Он считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — вообще все установленные в математике результаты). Более того, он верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту.
Однако, как впоследствии (1931 г.) показал К. Гёдель, программа Гильберта оказалась невыполнимой, хотя и послужила значительным стимулом к развитию математической логики. Гёдель обнаружил, что любая непротиворечивая формальная система, которая была бы достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью своих собственных аксиом. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в значительной мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции. Хотя стремление Гильберта к полной формализации математики (особенно после работ Гёделя) породило в научной среде дискуссию: часть математиков обвинили теорию доказательств Гильберта в бессодержательности и назвали её пустой игрой с формулами.

Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen — wir werden wissen); эта же фраза высечена в качестве эпитафии на его надгробном камне. Это антитеза изречению Э. Дюбуа-Реймона, стоявшего на философских позициях непознаваемости: «Мы не знаем — мы не узнаем» («Ignoramus — ignorabimus»).