По какой траектории двигался бы артиллерийский снаряд в безвоздушном пространстве? Как сильно влияет на траекторию снаряда сопротивление воздуха, которым принято пренебрегать во всех школьных задачах?

За идею поста благодарю Дмитрия Калинина.

Примем школьную модель: тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. Как известно, парабола задаётся директрисой и фокусом. Какой смысл этих понятий применительно к траектории движения?

Параболы покатые бока
Прекрасны. Траектория полёта
Той шайбы, что в ворота «Миннесоты»
Влетает от удара Дацюка.

В тени своих раскидистых ветвей
Парабола от нас скрывает фокус,
О, женщина! Подобная жестокость,
Увы, натуре свойственна твоей!
(С. Гулевич)


За идею поста благодарю Павла Лесовского.

22.12.1869 г. родился Дмитрий Фёдорович Егоров, выдающийся математик и педагог, один из создателей и глава Московской математической школы. Основные труды относятся к дифференциальной геометрии, теории интегральных уравнений, вариационному исчислению и теории функций вещественной переменной. Предложил теорему о связи между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости последовательности функций.
Среди его учеников Н.Н. Лузин, В.В. Степанов, И.И. Привалов, В.В. Голубев, И.Г. Петровский, Л.Н. Сретенский, С.С. Бюшгенс, С.П. Фиников и др.
Егоров сделал очень многое для улучшения научной жизни в Математическом обществе и в Университете. Он возобновил издание журнала «Математический сборник» и за короткое время ему удалось превратить его в один из лучших математических журналов Европы. В 1927 г. им был организован Всероссийский съезд математиков. Благодаря ему многие впоследствии знаменитые математики непролетарского происхождения (И.Г. Петровский и др.) смогли окончить Университет и стать профессиональными учёными.

Д.Ф. Егоров мог бы служить науке, но его мировоззрение расходилось с материалистической идеологией, пропагандируемой большевиками. Он не считал нужным это скрывать, и был на заседании коллектива университета подвергнут обструкции с формулировкой: «за косность, оторванность и аполитичность в реформе и перестройке всей педагогической, научно-исследовательской работы и методологии, а также за свою религиозность».
Выступая в дискуссии по программному докладу нового директора Института математики и механики О.Ю. Шмидта, в ответ на заявление последнего, что те, кто не пожелает изучать марксизм и перестраивать на его основании всю свою работу, являются вредителями, он заявил, что «не что-либо другое, а навязывание стандартного мировоззрения учёным является подлинным вредительством».
А во время Всесоюзного математического съезда, проходившего в 1930 г. в Харькове, когда кто-то предложил послать приветственную телеграмму в адрес проходившего тогда в Москве XVI съезда партии (что стало уже к тому времени обязательным ритуалом), председательствовавший на заседании Егоров, твёрдый в своих убеждениях, заявил, что считает это неуместным, поскольку наука не имеет ничего общего с политикой.
Егоров был глубоко религиозным человеком, активным участником религиозно-философской жизни России 1910–20-х годов. Описан случай, как он отказался читать лекцию по математике в бывшей церкви, приспособленной под аудиторию.
После его демарша на съезде математиков он был арестован в сентябре 1930 г. по сфабрикованному делу «Всесоюзной контрреволюционной организации церковников “Истинно-Православная Церковь”», по которому проходил в качестве одного из главных обвиняемых вместе философом А.Ф. Лосевым и математиком Н.Н. Бухгольцем.
То, что это дело было сфабриковано следователями ОГПУ, причём весьма топорно, видно из заключительного обвинения, авторы которого даже не позаботились о том, чтобы оно выглядело достоверно: в нём представлена «организация» (и даже «церковь»!), в которой соединены идейно и духовно несоединимые имяславцы и последователи главного их духовного противника митрополита Антония (Храповицкого).
Но идеи имяславия — мистического направления в православии, заключающегося в особом почитании имени Божия (не признаваемые, но и не осуждаемые ныне официальной православной церковью), — действительно были близки Егорову. Имяславие получило распространение среди монахов Афона, а после их выдворения с острова (претерпев определённое переосмысление) сохранило существенное влияние в среде интеллектуалов в России. В защиту имяславия выступали многие крупные религиозные мыслители — Владимир Эрн, Михаил Новосёлов, Митрофан Муретов, о. Павел Флоренский, о. Сергий Булгаков, Николай Бердяев, Алексей Лосев.
Егоров, занимаясь математическим исследованием трансфинитных чисел и проблематикой актуальной бесконечности, вдохновлялся идеями имяславия.
В письме к Н.Н. Лузину он писал: «Достал я себе диссертацию П.А. Флоренского и нашёл в ней много интересного. В частности, мысль о неизбежности антиномичности догматов, хотя, может быть не нова, но хорошо выставлена и проведена. Интересны замечания об Ангеле-Хранителе как об “intelligibiler Charakter” Канта».
Егоров был приговорён к 5 годам лагерей, заменённым ссылкой в Казань. В знак протеста против ложного обвинения и необоснованного приговора он объявил голодовку, которая, возможно, явилась одной из причин его смерти.

«Существует целый мир, представляющий собой совокупность математических истин, к которым у нас есть доступ только с помощью нашего разума, точно так же, как существует мир физической реальности, независимый от нас самих, оба являются божественным творением»

«Самым плодотворным источником математических открытий является внимательное наблюдение фактов»

«Подлинно мы по призванию поэты, только удел наш — всё, что свободно творим мы, строго потом доказать»

24 декабря 1822 г. родился Шарль Эрмит, французский математик. Характерной особенностью научных работ Эрмита было открытие связей между различными разделами математики, что нередко приводило к созданию новых разделов.
в 19 лет разработал доказательство невозможности решения общего уравнения 5-й степени алгебраическим путем в радикалах. Мемуар о том же предмете Абеля, написанный в 1824 г., был напечатан на немецком языке, а потому в 1842 г. был неизвестен во Франции.
Основные работы относятся к теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов, эллиптических функций и алгебре. Исследовал класс ортогональных многочленов (многочлены Эрмита).
Внёс вклад в теорию алгебраических форм и их инвариантов. В ходе этих работ открыл особые билинейные формы (формы Эрмита). Показал, что число e (основание натурального логарифма) является трансцендентным; позднее немецкий математик Ф.Линдеман доказал методом, аналогичным методу Эрмита, трансцендентность числа π.

Эрмит был убеждён, что числа и аналитические функции не являются произвольным плодом человеческого разума, а реально существуют вне нас и независимо от нас, подобно предметам реального мира, и что математики открывают их и исследуют так, как это делают учёные других отраслей науки, например физики, химики или зоологи. Поэтому нет ничего удивительного, что в одном из писем нидерландскому математику Стилтьесу, своему другу, он писал: «Я с отвращением отвергаю это, достойное сожаления, болото непрерывных функций без производных».

Был математик, шахматист,
Философом весьма довольным...
В позиции он был артист
И в эндшпиле всем делал “больно”.

Он стал профессором потом
И носит имя теорема,
И есть по философии том
О человеке, о вселенной.
(О. Хуторянский)

24 декабря 1868 г. родился Эмануэль Ласкер, немецкий шахматист и математик. Ласкер сохранял звание чемпиона мира 27 лет, что является рекордным достижением для шахмат, и продолжал выступать на высшем уровне до 68 лет.
В самой известной математической работе Ласкера доказан аналог разложения на простые множители для колец многочленов. Эта теорема в дальнейшем была обобщена Эмми Нётер на случай произвольных коммутативных нётеровых колец и получила название теоремы Ласкера–Нётер.
В работе «Борьба» Ласкер предложил своё видение теории игр, распространив её на различные сферы человеческой деятельности, в частности экономику. Эта работа повлияла на ряд математиков, работавших в области теории игр, включая Цермело и фон Неймана. Среди идей, высказанных Ласкером, было деление игр на «равновесные» и «игры с перевесом», то есть игры, в которых право первого хода даёт преимущество. Шахматы Ласкер относил к равновесным играм, отрицая преимущество первого хода белых.

Ласкер также серьёзно увлекался бриджем, играл за сборную Германии по бриджу. Он был одним из популяризаторов игры го в Европе, открыл в Берлине первый клуб го. Кроме того, он изобрёл игру, соединившую черты шашек и военной стратегии — она получила название «Ласка».

Однажды чемпион Ласкер и гроссмейстер Мароци играли на крупную ставку партию в «алкогольные шахматы» — фигуры были сделаны в виде стеклянных бутылочек со спиртным, размеры же бутылки и вид спиртного определялся силой фигуры. По условиям игры, после взятия фигуры противника, игрок был обязан выпить всё её содержимое. Играя белыми, Ласкер выиграл партию на четвёртом ходу, отдав в жертву ферзя: Мароци был вынужден выпить бутылку коньяка, после чего ему было засчитано автоматическое поражение.

Эйнштейн ценил чемпиона, как замечательного собеседника и «уникальную самобытную личность». Однажды на одном из заседаний математического общества в Берлине, Ласкер заявил, что многие из выводов теории относительности несостоятельны. Четырнадцать оппонентов Эмануэля, среди которых был и Эйнштейн, так и не смогли его опровергнуть.

26 декабря 1937 г. родился Джон Хортон Конвей, британский математик. Конвей утверждал, что не проработал ни дня в своей жизни, а лишь всегда играл в игры. Однако его вклад в математику весьма многообразен и значителен: он открыл группы Конвея; сформулировал «гипотезу чудовищного вздора» (в теории групп); открыл сюрреальные числа; является одним из основоположников комбинаторной теории игр; имеет работы по теории чисел; нашёл инвариант узла, позволяющий доказывать, что определённые узлы нельзя развязать; и мн. др.
Конвей также доказал теорему о свободной воле, в которой говорится, что если наблюдатель, измеряя характеристики частицы (например, электрона), обладает свободой воли (в том смысле, что его выбор не является функцией прошлого), то и наблюдаемая частица также будет обладать свободой воли.
Но, наверное, главное, что доказал Конвей — можно стать успешным математиком, следуя своему любопытству и не беспокоясь о том, чтобы выглядеть «серьёзным».

Конвей придумал огромное количество разных игр, самая знаменитая из которых игра Жизнь. Вдохновлённый задачей самовоспроизведения, сформулированной Джоном фон Нейманом, Конвей разработал набор простых правил, управляющих «жизнью» клеток на поле. Эти правила, основанные на количестве «живых» соседей, определяют, будет ли клетка «жить» в следующем поколении, «родится» или «умрёт»:
– «живая» клетка с двумя или тремя «живыми» соседями продолжает «жить»;
– «живая» клетка с менее чем двумя или более чем тремя «живыми» соседями «умирает»;
– «мёртвая» клетка с ровно тремя «живыми» соседями «рождается» и становится «живой» в следующем поколении.
Игра протекает пошагово: на каждом шаге состояние всех клеток обновляется одновременно в соответствии с этими правилами. Наблюдая за эволюцией системы, можно заметить появление устойчивых конфигураций, периодических структур и других удивительных паттернов. Игра прекращается в следующих случаях:
– на поле не осталось ни одной "живой" клетки;
– в следующей итерации в точности повторяется конфигурация предыдущего шага или конфигурация, предшествующая на несколько шагов ранее (периодическая конфигурация);
– в следующей конфигурации ни одна из клеток не поменяет своего состояния (стабильная конфигурация).
В результате реализуется одна из следующих возможностей:
– устойчивые фигуры (которые остаются неизменными в следующих поколениях);
– периодические фигуры (у которых состояние повторяется через некоторое число поколений);
– двигающиеся фигуры ( у которых состояние повторяется при это их положение в пространстве изменяется);
– ружья (у которых состояние повторяется, но дополнительно появляется двигающаяся фигура);
– паровозы (которые оставляют за собой следы в виде устойчивых или периодических фигур);
– пожиратели (которые могут пережить столкновения с некоторыми двигающимися фигурами).
Игра Жизнь не просто развлечение, но мощный инструмент для изучения сложных систем. Эта игра и её модификации повлияли на многие разделы математики, информатики, физики — теорию автоматов, теорию графов, фрактальную геометрию и др. Она демонстрирует, как простые правила могут приводить к появлению сложного поведения, и находит применение в различных областях, от моделирования биологических процессов до изучения искусственного интеллекта.
Здесь можно «поиграть» в Жизнь — создать начальную конфигурацию и понаблюдать за её эволюцией.

Задачка Конвея. Найти десятизначное число ABCDEFGHIJ (буквами обозначены его цифры), такое что
A делится на 1,
AB делится на 2,
ABC делится на 3,
ABCD делится на 4,
ABCDE делится на 5,
ABCDEF делится на 6,
ABCDEFG делится на 7,
ABCDEFGH делится на 8,
ABCDEFGHI делится на 9,
ABCDEFGHIJ делится на 10.

Ответ: 3816547290.

В декабре 1934 г. родился Николя Бурбаки — великий математик, внесший фундаментальный вклад в теорию множеств и функциональный анализ; он произвёл революцию в математике, сделав упор на строгости вместо гипотез. Книги Бурбаки написаны в строгой аксиоматической манере и дают замкнутое изложение математики на основе теории множеств Цермело–Френкеля.
Бурбаки ввёл, в частности, символ пустого множества ⌀, символы числовых множеств ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, повсеместно используемые термины для отношений между множествами «инъекция», «сюръекция» и «биекция», с его именем связаны многие важные теоремы.

Есть только одна проблема: Николя Бурбаки никогда не было.
Хотя существуют доказательства обратного: например, имеется объявление о свадьбе его дочери Бетти, свидетельство о крещении на его имя и впечатляющая родословная, восходящая к предку, которого Наполеон воспитывал как собственного сына и проч.
Даже профессиональное математическое сообщество было введено в заблуждение на некоторое время. Когда Ральф Боас, редактор журнала Mathematical Reviews, написал, что Бурбаки — это псевдоним, его тут же опроверг никто иной, как сам Бурбаки: в реферативном журнале на свою очередную работу Боас прочитал: «BOAS – коллективный псевдоним группы молодых американских математиков, занимающихся издательской деятельностью. В работе исследуется (...), однако сформулированные результаты малозначительны, к тому же имеется грубая ошибка в ключевой Лемме 3.2...». В конце рецензии стояла подпись: «Н. Бурбаки (Университет Нанкаго)».

На самом деле, Николя Бурбаки — это имя группы математиков, первоначально Высшей нормальной школы Парижа, в которую входили Анри Картан, Клод Шевалле, Жан Дельсарт, Жан Дьёдонне, Рене де Поссель, Шолем Мандельбройт и Андре Вейль. Далее в разное время в её состав входили другие известные математики, такие как Лоран Шварц, Жан-Пьер Серр, Александр Гротендик, Джон Тэйт, Самуэль Эйленберг, Серж Ленг, Пьер Самюэль, Арман Борель.

И хотя книги Бурбаки оказали значительное влияние на современную математику, а авторитет учёных, составлявших группу, бесспорно признаётся математическим сообществом, представители современной математики часто критикуют подход, представленный в книгах Бурбаки, ныне называемый «бурбакизмом», обвиняя его в излишней заформализованности и «истреблении духа математики». В России одним из наиболее заметных критиков бурбакизма был академик В.И. Арнольд.
Для того чтобы представить себе степень этой заформализованности, достаточно познакомиться с определением обыкновенного натурального числа 1, представленным на фото. Причём, в этой записи уже произведены все возможные сокращения, например, для символа пустого множества. Полная же запись обыкновенной единицы состоит из 2 409 875 496 393 137 472 149 767 527 877 436 912 979 508 338 752 092 897 знаков и 871 880 233 733 949 069 946 182 804 910 912 227 472 430 953 034 182 177 связей, то есть полная запись терма, обозначающего единицу, заняла бы сто миллиардов квинтиллионов квинтиллионов книг.

Праздничный вариант профильного ЕГЭ