Задача 2. Определите, с какой стороны расположен руль у изображенного на рисунке автомобиля.

Задача 3. Треугольник разбили на пять треугольников, ему подобных. Верно ли, что исходный треугольник — прямоугольный?

Задача 4. Шесть отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Верно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?

Задача 5. ABCDE — правильный пятиугольник. Точка K симметрична точке B относительно прямой AC. Можно ли пятиугольниками, равными AKCDE, замостить плоскость?

«Я обнаружил такие удивительные вещи, что был поражён... Из ничего я создал странную новую Вселенную»

«У математических открытий, как у весенних фиалок в лесу, есть свой сезон, который никто не может ни ускорить, ни отсрочить»

15 декабря 1802 г. родился Янош Больяи, выдающийся венгерский математик. Больяи обессмертил свое имя открытием новой геометрии, которая до него была открыта (он это узнал позднее) русским учёным Н.И. Лобачевским. Но Больяи (как и Лобаческий) при жизни не вкусил славы великого ученого.

Отец Яноша, Фаркаш Больяи, тоже был выдающимся математиком, другом великого Гаусса. Фаркаш Больяи предупреждал сына против попыток доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых: «Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта чёрная пропасть в состоянии, может быть, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон». Но сын предупреждению не внял.
Он опубликовал свое открытие в качестве приложения в книге отца. В 1832 г. отдельный оттиск работы Яноша был послан Гауссу в Геттинген. Через шесть месяцев был получен долгожданный ответ. В нём Гаусс писал, что разделяет и поддерживает работу Больяи, т.к. раньше и сам пришёл к тем же выводам.
Такой ответ роковым образом повлиял на всю дальнейшую жизнь молодого математика. Янош воспринял письмо Гаусса крайне враждебно, не поверив в то, что тот пришёл к аналогичным результатам независимо от него. Он даже заподозрил Гаусса в желании присвоить его открытие.
В то время как Гаусс высоко ценил не только достижения, но и дарование Яноша Больяи. Одному из своих друзей он написал: «Этот юный геометр Больяи — гений высшего класса».
Физическое и душевное здоровье Больяи ухудшилось. В возрасте 31 года Янош оставил службу. Пенсии он не выслужил и жил на средства отца.

Янош Больяи много занимался теорией комплексных чисел. В 1834 г. Лейпцигское ученое общество объявило конкурс на усовершенствование геометрической теории комплексных чисел. В этом конкурсе принял участие Больяи. Работа победителя была удостоена премии, тогда как более значительная работа Яноша Больяи не была даже упомянута организаторами. Этот несправедливый акт непризнания научных заслуг был новым ударом для Яноша. Больяи пытается продолжить математические работы, начинает и вскоре забрасывает несколько сочинений, очень интересных по своим идеям.
Последние годы жизни Больяи омрачены тяжёлым душевным разладом. Постоянные переживания и недуги сломили и без того слабое здоровье Яноша.

Помимо математики, Янош Больяи отличался и другими талантами. Он знал девять языков, в том числе восточные, и прекрасно играл на скрипке.

Век, начавшийся с мартобря:
Что ему Гоголь, что Евклид?
Лампочки кончились. Свечка горит
И разгорается, как заря,
Переходящая в пламя. Летит

К чёрту граница добра и зла.
Нет ни месяца, ни числа…
А Бойяи-старший сыну писал:
— Ты не ходи, не ходи туда,
Где параллельные иногда
Сходятся. Там тебя ждёт беда.

Как в воду глядел: ведь сын потом
И вправду попал в сумасшедший дом.
А всё они, параллельные! Вот —
До добра наука не доведёт.

И всё ж это был девятнадцатый век.
Там были месяцы — без мартобрей.
И числа были, и свет фонарей
С летящим снегом. Видать, тот снег

Веку двадцатому стал не впрок.
Как о нём пел красавец Блок
В своих «Двенадцати»! Но и стихи
Не довели до добра. Петухи

Кричали с зарёй, а он замолчал
Навек. Двадцатый век умчал
В неведомый край своих певцов:
Кто сгинул в стране голубых песцов,

Кого расстреляли в подвалах глухих,
Кого согнули: и новый стих
Пошёл прославлять дела палачей.
Стихло всё: ни смешка, ни речей…
……
Тишина. И нового века заря
Без месяца и числа. С мартобря?..
Осколки ли, камни ли соберём:
Не зря ж новый век начался мартобрём.
(О.Кардаш-Горелик)

18 декабря родился Виктор Павлович Скитович, математик, завкафедрой матстатистики Ленинградского университета, замдекана мат-меха, один из создателей факультета прикладной математики.
Участник ВОВ.
Теорема Дармуа–Скитовича о характеризации нормального распределения независимостью двух линейных форм от независимых случайных величин вошла в учебники по матстатистике.
Но всё же, наибольшую известность среди студентов математических специальностей Скитовичу принесли тексты его шуточных песен.


Гимн математиков (на мотив «Марша авиаторов»)

Мы соль земли, мы украшенье мира,
Мы полубоги — это постулат,
Пусть в нашу честь играет звонче лира,
Литавры медные пускай звучат.

Мы дали миру интеграл и синус,
Мы научили множить и делить,
Мы знаем, где поставить плюс, где минус,
Какие числа в степень возводить.

Припев:
Все дальше, и дальше и дальше
Другие от нас отстают.
И физики — младшие братья
Нам громкую славу поют.

До наших дней от мира сотворенья
Заслуги математиков важны:
Мы создали таблицу умноженья,
Бином и пифагоровы штаны.

В своих делах мы все неутомимы
И интеллектом как один полны,
Мы лишь с собой по модулю сравнимы,
Другие нам в подмётки не годны.

Припев:
Куда там, куда там приматам
Теперь дотянуться до нас
Отлично владеем мы МАТом
И МЕХ выручал нас не раз.

В.Скитович. Баллада (на мотив «Раскинулось море широко…»)

Раскинулось поле по модулю пять,
Вдали полиномы стояли.
Товарищ не смог производную взять,
Ему очень строго сказали:

Анализ нельзя «на арапа» сдавать,
Гавурин тобой недоволен,
Изволь теорему Коши доказать,
Иль будешь с мат-меха уволен.

Он начал бубнить, но сознанья уж нет,
В глазах у него помутилось.
И, бросивши на пол коварный билет,
Упал, сердце в ноль обратилось.

Напрасно билет предлагали другой,
Старались привесть его в чувство.
А Явец сказал, покачав головой —
Вот кара ему за беспутство.

Всю ночь в деканате покойник лежал,
Кривою Пеано одетый,
В руках квадратичную форму держал
И синус на вектор надетый.

Наутро, лишь только раздался звонок,
Друзья с ним проститься решили.
Из векторов крест, из астроид венок
На тело его возложили.

К ногам привязали ему интеграл,
Гиперболой труп обернули.
Надгробную речь замдекана сказал,
И слёзы у многих блеснули.

Марксизм свое веское слово сказал:
«Материя не исчезает!
Загнётся студент, на могиле его
Такой же лопух вырастает…»

Напрасно мамаша ждет сына домой,
Ей скажут — она зарыдает,
А синуса график волна за волной
Вдоль оси абсцисс убегает.

В.Скитович. Теория вероятностей (на мотив «Когда б имел златые горы»)

На дне глубокого сосуда
Лежат спокойно N шаров.
Поочередно их оттуда
Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно,
Они таскают t минут.
И, взявши шар, его обратно
В сосуд немедленно кладут.
Ввиду условия такого,
Сколь вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул k?

А теперь, в память о Викторе Павловиче, задача.

Имеются две урны. В одной из них лежит один шар, о котором мы знаем, что он может быть белым или чёрным с одинаковой вероятностью. В другой урне лежат один белый шар и два чёрных. В первую урну добавили белый шар, встряхнули и наудачу вытащили один шар, который оказался белым.
Теперь вопрос:
Если мы хотим вытащить ещё один белый шар, какая стратегия даст большую вероятность успеха:
(1): выбрать наугад одну урну из двух и из неё тащить шар, или
(2): сначала не глядя пересыпать все шары в одну какую-нибудь урну и тащить из неё?

Сначала проголосуйте ⤴️

Решение задачи по ссылке.

По какой траектории двигался бы артиллерийский снаряд в безвоздушном пространстве? Как сильно влияет на траекторию снаряда сопротивление воздуха, которым принято пренебрегать во всех школьных задачах?

За идею поста благодарю Дмитрия Калинина.

Примем школьную модель: тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. Как известно, парабола задаётся директрисой и фокусом. Какой смысл этих понятий применительно к траектории движения?

Параболы покатые бока
Прекрасны. Траектория полёта
Той шайбы, что в ворота «Миннесоты»
Влетает от удара Дацюка.

В тени своих раскидистых ветвей
Парабола от нас скрывает фокус,
О, женщина! Подобная жестокость,
Увы, натуре свойственна твоей!
(С. Гулевич)


За идею поста благодарю Павла Лесовского.

22.12.1869 г. родился Дмитрий Фёдорович Егоров, выдающийся математик и педагог, один из создателей и глава Московской математической школы. Основные труды относятся к дифференциальной геометрии, теории интегральных уравнений, вариационному исчислению и теории функций вещественной переменной. Предложил теорему о связи между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости последовательности функций.
Среди его учеников Н.Н. Лузин, В.В. Степанов, И.И. Привалов, В.В. Голубев, И.Г. Петровский, Л.Н. Сретенский, С.С. Бюшгенс, С.П. Фиников и др.
Егоров сделал очень многое для улучшения научной жизни в Математическом обществе и в Университете. Он возобновил издание журнала «Математический сборник» и за короткое время ему удалось превратить его в один из лучших математических журналов Европы. В 1927 г. им был организован Всероссийский съезд математиков. Благодаря ему многие впоследствии знаменитые математики непролетарского происхождения (И.Г. Петровский и др.) смогли окончить Университет и стать профессиональными учёными.

Д.Ф. Егоров мог бы служить науке, но его мировоззрение расходилось с материалистической идеологией, пропагандируемой большевиками. Он не считал нужным это скрывать, и был на заседании коллектива университета подвергнут обструкции с формулировкой: «за косность, оторванность и аполитичность в реформе и перестройке всей педагогической, научно-исследовательской работы и методологии, а также за свою религиозность».
Выступая в дискуссии по программному докладу нового директора Института математики и механики О.Ю. Шмидта, в ответ на заявление последнего, что те, кто не пожелает изучать марксизм и перестраивать на его основании всю свою работу, являются вредителями, он заявил, что «не что-либо другое, а навязывание стандартного мировоззрения учёным является подлинным вредительством».
А во время Всесоюзного математического съезда, проходившего в 1930 г. в Харькове, когда кто-то предложил послать приветственную телеграмму в адрес проходившего тогда в Москве XVI съезда партии (что стало уже к тому времени обязательным ритуалом), председательствовавший на заседании Егоров, твёрдый в своих убеждениях, заявил, что считает это неуместным, поскольку наука не имеет ничего общего с политикой.
Егоров был глубоко религиозным человеком, активным участником религиозно-философской жизни России 1910–20-х годов. Описан случай, как он отказался читать лекцию по математике в бывшей церкви, приспособленной под аудиторию.
После его демарша на съезде математиков он был арестован в сентябре 1930 г. по сфабрикованному делу «Всесоюзной контрреволюционной организации церковников “Истинно-Православная Церковь”», по которому проходил в качестве одного из главных обвиняемых вместе философом А.Ф. Лосевым и математиком Н.Н. Бухгольцем.
То, что это дело было сфабриковано следователями ОГПУ, причём весьма топорно, видно из заключительного обвинения, авторы которого даже не позаботились о том, чтобы оно выглядело достоверно: в нём представлена «организация» (и даже «церковь»!), в которой соединены идейно и духовно несоединимые имяславцы и последователи главного их духовного противника митрополита Антония (Храповицкого).
Но идеи имяславия — мистического направления в православии, заключающегося в особом почитании имени Божия (не признаваемые, но и не осуждаемые ныне официальной православной церковью), — действительно были близки Егорову. Имяславие получило распространение среди монахов Афона, а после их выдворения с острова (претерпев определённое переосмысление) сохранило существенное влияние в среде интеллектуалов в России. В защиту имяславия выступали многие крупные религиозные мыслители — Владимир Эрн, Михаил Новосёлов, Митрофан Муретов, о. Павел Флоренский, о. Сергий Булгаков, Николай Бердяев, Алексей Лосев.
Егоров, занимаясь математическим исследованием трансфинитных чисел и проблематикой актуальной бесконечности, вдохновлялся идеями имяславия.
В письме к Н.Н. Лузину он писал: «Достал я себе диссертацию П.А. Флоренского и нашёл в ней много интересного. В частности, мысль о неизбежности антиномичности догматов, хотя, может быть не нова, но хорошо выставлена и проведена. Интересны замечания об Ангеле-Хранителе как об “intelligibiler Charakter” Канта».
Егоров был приговорён к 5 годам лагерей, заменённым ссылкой в Казань. В знак протеста против ложного обвинения и необоснованного приговора он объявил голодовку, которая, возможно, явилась одной из причин его смерти.

«Существует целый мир, представляющий собой совокупность математических истин, к которым у нас есть доступ только с помощью нашего разума, точно так же, как существует мир физической реальности, независимый от нас самих, оба являются божественным творением»

«Самым плодотворным источником математических открытий является внимательное наблюдение фактов»

«Подлинно мы по призванию поэты, только удел наш — всё, что свободно творим мы, строго потом доказать»

24 декабря 1822 г. родился Шарль Эрмит, французский математик. Характерной особенностью научных работ Эрмита было открытие связей между различными разделами математики, что нередко приводило к созданию новых разделов.
в 19 лет разработал доказательство невозможности решения общего уравнения 5-й степени алгебраическим путем в радикалах. Мемуар о том же предмете Абеля, написанный в 1824 г., был напечатан на немецком языке, а потому в 1842 г. был неизвестен во Франции.
Основные работы относятся к теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов, эллиптических функций и алгебре. Исследовал класс ортогональных многочленов (многочлены Эрмита).
Внёс вклад в теорию алгебраических форм и их инвариантов. В ходе этих работ открыл особые билинейные формы (формы Эрмита). Показал, что число e (основание натурального логарифма) является трансцендентным; позднее немецкий математик Ф.Линдеман доказал методом, аналогичным методу Эрмита, трансцендентность числа π.

Эрмит был убеждён, что числа и аналитические функции не являются произвольным плодом человеческого разума, а реально существуют вне нас и независимо от нас, подобно предметам реального мира, и что математики открывают их и исследуют так, как это делают учёные других отраслей науки, например физики, химики или зоологи. Поэтому нет ничего удивительного, что в одном из писем нидерландскому математику Стилтьесу, своему другу, он писал: «Я с отвращением отвергаю это, достойное сожаления, болото непрерывных функций без производных».

Был математик, шахматист,
Философом весьма довольным...
В позиции он был артист
И в эндшпиле всем делал “больно”.

Он стал профессором потом
И носит имя теорема,
И есть по философии том
О человеке, о вселенной.
(О. Хуторянский)

24 декабря 1868 г. родился Эмануэль Ласкер, немецкий шахматист и математик. Ласкер сохранял звание чемпиона мира 27 лет, что является рекордным достижением для шахмат, и продолжал выступать на высшем уровне до 68 лет.
В самой известной математической работе Ласкера доказан аналог разложения на простые множители для колец многочленов. Эта теорема в дальнейшем была обобщена Эмми Нётер на случай произвольных коммутативных нётеровых колец и получила название теоремы Ласкера–Нётер.
В работе «Борьба» Ласкер предложил своё видение теории игр, распространив её на различные сферы человеческой деятельности, в частности экономику. Эта работа повлияла на ряд математиков, работавших в области теории игр, включая Цермело и фон Неймана. Среди идей, высказанных Ласкером, было деление игр на «равновесные» и «игры с перевесом», то есть игры, в которых право первого хода даёт преимущество. Шахматы Ласкер относил к равновесным играм, отрицая преимущество первого хода белых.

Ласкер также серьёзно увлекался бриджем, играл за сборную Германии по бриджу. Он был одним из популяризаторов игры го в Европе, открыл в Берлине первый клуб го. Кроме того, он изобрёл игру, соединившую черты шашек и военной стратегии — она получила название «Ласка».

Однажды чемпион Ласкер и гроссмейстер Мароци играли на крупную ставку партию в «алкогольные шахматы» — фигуры были сделаны в виде стеклянных бутылочек со спиртным, размеры же бутылки и вид спиртного определялся силой фигуры. По условиям игры, после взятия фигуры противника, игрок был обязан выпить всё её содержимое. Играя белыми, Ласкер выиграл партию на четвёртом ходу, отдав в жертву ферзя: Мароци был вынужден выпить бутылку коньяка, после чего ему было засчитано автоматическое поражение.

Эйнштейн ценил чемпиона, как замечательного собеседника и «уникальную самобытную личность». Однажды на одном из заседаний математического общества в Берлине, Ласкер заявил, что многие из выводов теории относительности несостоятельны. Четырнадцать оппонентов Эмануэля, среди которых был и Эйнштейн, так и не смогли его опровергнуть.

26 декабря 1937 г. родился Джон Хортон Конвей, британский математик. Конвей утверждал, что не проработал ни дня в своей жизни, а лишь всегда играл в игры. Однако его вклад в математику весьма многообразен и значителен: он открыл группы Конвея; сформулировал «гипотезу чудовищного вздора» (в теории групп); открыл сюрреальные числа; является одним из основоположников комбинаторной теории игр; имеет работы по теории чисел; нашёл инвариант узла, позволяющий доказывать, что определённые узлы нельзя развязать; и мн. др.
Конвей также доказал теорему о свободной воле, в которой говорится, что если наблюдатель, измеряя характеристики частицы (например, электрона), обладает свободой воли (в том смысле, что его выбор не является функцией прошлого), то и наблюдаемая частица также будет обладать свободой воли.
Но, наверное, главное, что доказал Конвей — можно стать успешным математиком, следуя своему любопытству и не беспокоясь о том, чтобы выглядеть «серьёзным».