16 ноября 1835 г. родился Эудженио Бельтрами — итальянский математик, известный своими работами по дифференциальной геометрии и математической физике. Бельтрами сыграл значительную роль в признании неевклидовой геометрии. В частности, он показал, что геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой или поверхностью Бельтрами; первым построил проективную модель и конформно-евклидову модель геометрии Лобачевского. Разработал метод решения волнового уравнения с тремя пространственными переменными.

17 ноября 1790 г. родился Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик, механик и астроном-теоретик. Установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель ленты Мёбиуса — простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное евклидово пространство. Ввёл однородные и барицентрические координаты.

Наталья Иванова. Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса — символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нём — простота, и вместе с нею — сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад — тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность — Мёбиуса лист!

На фото: из письма В.И. Арнольда Н.Ю. Ивановой.

«Необъяснимо высокая эффективность математики в науке — это дар, который мы не понимаем и не заслуживаем».

17 ноября 1902 г. родился Юджин Вигнер, лауреат Нобелевской премии по физике «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии». Он первым понял силу принципов симметрии в предсказании инвариантностей физических процессов.

Из вступления к статье Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»:

«Рассказывают такую историю. Встретились как-то раз два приятеля, знавшие друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения численности народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику. Начиналась работа, как обычно, с гауссова распределения. Статистик растолковал своему приятелю смысл используемых в работе обозначений для истинных показателей народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного недоверчив и отнюдь не был уверен в том, что статистик его не разыгрывает. — Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? — спросил он. — А это что за символ? — Ах, это, — ответил статистик. — Это число π. — А что оно означает? — Отношение длины окружности к ее диаметру. — Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, — обиделся приятель статистика. — Какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности?
Мы, естественно, склонны улыбаться, видя такую непосредственность. Но когда я слушал эту историю, мною, признаться, овладело чувство ужаса. В самом деле: ведь реакция молодого человека была проявлением обычного здравого смысла. Такое же чувство я испытал с еще большей силой несколько позже, когда ко мне зашел студент, выразивший свое удивление ограниченным выбором фактов, на основе которых мы устанавливаем справедливость своих теорий, так: «Откуда известно, что нельзя — если обратить внимание на явления, которыми мы пренебрегали, и игнорировать те явления, которые сейчас являются для нас определяющими, — построить другую теорию, мало похожую на существующую, но объясняющую столько же явлений, сколько объясняет современная теория?». Следует признать очевидным, что никто не может доказать невозможность такой теории.
Эти две истории подчеркивают две главные идеи, которым посвящена статья. Первая идея: математические представления могут оказаться в совершенно неожиданной связи. Более того, они часто приводят к неожиданно удачному и точному описанию явлений в этой связи. Вторая идея: именно благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не может узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками.
Большая часть того, что здесь будет сказано по этому поводу, отнюдь не ново. Сходные мысли в том или ином виде, вероятно, приходили в голову многим ученым. Моя главная цель — осветить этот вопрос с нескольких сторон. С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».

«Будучи языком, математика может использоваться не только для информирования, но и для соблазнения»

«К сожалению, мир создан не для удобства математиков»

«Бездонные чудеса рождаются из простых правил, которые повторяются без конца»

«Задавать правильные вопросы не менее важно, чем отвечать на них»

20 ноября 1924 г. родился Бенуа Б. Мандельброт — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии.
Фракталы представляют собой бесконечно повторяющиеся математические фигуры. Независимо от того, насколько вы увеличиваете их, одна и та же неправильная форма будет повторяться снова и снова в бесконечно меньших масштабах.

Фракталы имеют дробную размерность множества в метрическом пространстве. Для определения размерности таких множеств используют подход, разработанный Хаусдорфом. Здесь небольшая заметка о фигурах дробной размерности.

Рассказывают, что среднюю букву «Б» в имени «Бенуа Б. Мандельброт» математик сам добавил в своё имя. Она расшифровывается «Бенуа Б. Мандельброт» — так Мандельброт превратил своё имя в фрактал.

Ариолла Милодан. Раздумья о множествах Мандельброта

Ветреной осени рыжей фрактальностью
Выстелен путь от меня и до прошлого.
Веток обугленных строгой детальностью
Вычерчен вечер… Сырой и взъерошенный.

Осень, скажи мне, а правда ли, надо ли
Так бесноваться, единственность празднуя? –
Множества полнились, множества падали,
Множества царствуют… Броские, разные.

Множества луж. Антрацитные, рыжие,
Серые с синью и с проседью, кажется…
Кажется, улицы лужами выжжены —
Осень опять с Мандельбротом куражится.

Множества листьев. Пурпурные, жёлтые,
Яркие с хрустом и блеклые с шорохом…
Капли развеяны, грани расколоты —
По ветру — стаями, по ноги — ворохом.

Множества нас… Захлебнулись подобием! —
И повторяем их пляски! — Но подле них
Мы — только копии, копии, копии…
В прошлом, быть может, имевшие подлинник.

Осень безумна, правдива и образна
Листьями, синью, фракталами, временем…
Взглядом из прошлого, осень, ты можешь знать,
Что делать нам, единицам потерянным?

Станут ли лужи и листья ответами?
Будут ли правдою? Примем ли это мы?

Звонко мурчит, не терзаясь вопросами,
Рыжая кошка… Она не из осени.

21 ноября 1891 г. родился Родион Осиевич Кузьмин. Основные труды в области теории чисел, математического анализа и теории специальных функций. Его работы характеризовались трудностью поставленных вопросов и остроумием решения. Решил проблему Гаусса о цепных дробях. Решил седьмую проблему Гильберта (о трансцендентности большого класса чисел). Получил важные результаты в теории дзета-функции Римана, связанные с вопросом о распределении простых чисел. Соавтор (совместно с Н.М. Гюнтером) учебного пособия «Задачник по высшей математике», выдержавшего множество изданий, переведён на иностранные языки. В течение многих лет именно этот задачник составлял основу экзамена по математике в знаменитом «ТеорМинимуме» Л.Д.Ландау.

Из воспоминаний Д.Р. Меркина: «Родион Осиевич Кузьмин читал нам курс дифференциальных уравнений. Он очень любил добродушную шутку, бывал на наших вечерах, рассказывал о студентах, приезжавших в Университет на рысаках, и как он сам зарабатывал себе на пропитание частными уроками (50 копеек за урок), идя пешком через весь город. Читал лекции Родион Осиевич спокойно, возможно, не очень усердно готовясь к ним, иногда кое-что забывал и сбивался, но, как ни странно, это приносило нам пользу — мы видели процесс мышления этого сильного математика. Один раз он рассматривал сложный, но принципиально важный пример. Он запутался, как-то выкрутился и получил ответ. Некоторые студенты на лекции говорили ему, что здесь что-то не то, но он посмотрел на выписанный ответ ещё раз и сказал, что всё верно. Следующую лекцию он начал словами: “Зачеркните все прошлые выкладки; по дороге домой я вспомнил, что ответ значительно короче”. Такие промашки нисколько не снижали его авторитета. Мне кажется, что у студентов и Родиона Осиевича была взаимная симпатия».

Наткнулся на письмо Н.Г. Чернышевского своим детям.
Поразительно, с какой лёгкостью и настойчивостью «великий русский писатель и вождь революционной демократии» судит о предмете, ему совершенно не ведомом! Откуда берётся такое воинственное невежество? «Что делать»?

(1) … Никакое развитие математики не внесет в математику вообще ровно ничего несогласного с правилами сложения и вычитания, и — спустимся еще ниже по лестнице знаний — ничего несогласного даже с арифметикой дикарей, умеющих считать только до трех. Неужели Гельмгольц не знает этого? — Сбился, зафилософствавшись; вот и весь его грех; только. Так. Он лишь сбился. Но каково же он сбился-то, это курьез. Нашел он с компанией какие-то — по-моему, пустяки, — по его мнению, великие открытия. Пусть великие открытия. Нашел их и — вообразил: найдены «новые системы геометрии», не согласные с «Эвклидом». Вот до чего доводит «обсуждение философского значения», когда пустится философствовать человек, ни уха, ни рыла не смыслящий в философии. И надобно отдать справедливость этим «новым системам геометрии»: в них такие новости, что читать приятно. Приведу примеры: «Вообразим себе мыслящие существа только двух измерений». Эти существа «живут на поверхности», и вне этой «поверхности» нет «пространства» для них. Они сами «существа двух измерений», и «пространство» у них имеет лишь «два измерения». Что это за глупая нескладица? — Этак позволительно болтать лишь маленькому ребенку, едва начавшему учиться элементарной геометрии и сбившемуся, по нетвердому знанию первого урока, в ответе на вопрос учителя: «Что такое геометрическое тело?» — Малютка перепутал слово «поверхность» со словом «тело» — и говорит по «новой системе геометрии» Гельмгольца. Но сам Гельмгольц говорит по «системе геометрии» этого малютки — от избытка «философских изысканий». Дальше, на той же странице, Гельмгольц пресерьезно рассуждает о «пространстве четырех измерений»; — да, четырех измерений. Это что такое? — дело просто: Напишем букву а; припишем с бока, вверху, маленькую цифру 4; будет что? Будет а⁴. А это что? — Это: количество или величина а в четвертой степени. Переложим на геометрический язык. Степень на языке геометрии называется «измерение». Что же будет это а⁴? — Будет «пространство четырех измерений». А если вместо 4 напишем, например, 999, то будет скольких измерений пространство? — Будет «пространство девятисот девяноста девяти измерений». А если вместо 999 запишем 1/10, то будет? — «пространство одной десятой доли одного измерения». — А ведь оно точно: очень, очень недурны «новые системы геометрии». Но Гельмгольцу воображается, что сочинившаяся у него в голове белиберда о «пространстве двух измерений» и о «пространстве четырех измерений» — нечто имеющее важный смысл. И он рассуждает о «возможности» таких «пространств» совершенно серьезно. Например: «Так как никакое чувственное впечатление от такого неслыханного события, как появление четвертого измерения, нам неведомо, так же как неведомо и впечатление от образования нашего третьего измерения гипотетическим существам двух измерений, то представление четвертого измерения для нас столь же недоступно, как недоступно для слепорожденного представление о цветах». Итак, несуществование четвертого измерения для нас лишь следствие особенного устройства наших чувств! — Это не факт, что пространство имеет три измерения, — это лишь так кажется нам! Это не природа вещей иметь три измерения, — это лишь иллюзия, производимая плохим устройством наших чувств! Мы в этом отношении лишь «слепорожденные»! Милые мои друзья, возможно ли человеку, находящемуся в здравом рассудке, иметь такую нелепую белиберду в голове? — Пока он не «философствует», невозможно. Но если он, не будучи подготовлен к пониманию и оценке философии Канта, пустится философствовать во вкусе — он полагает — Канта, то всякая бессмыслица может образоваться в его голове от возникновения в этой его бедненькой голове комбинации слов, смысл которых не ясен ему.

(2) Вообразим, что какая-нибудь русская деревенская женщина, не знающая по-французски, хочет щегольнуть в качестве великосветской дамы, прекрасно говорящей по-французски. Она ловит на лету кое-какие французские фразы; вслушаться в чуждую ей интонацию она не умеет; да и те звуки, которые удалось расслышать ей, она не умеет порядочно выговорить; — а конструкция фраз вовсе непонятна ей. И что выйдет из ее великосветского французского разговора? — Она окажется дурою, говорящею нечто совершенно идиотское. Но она, быть может, очень умна; лишь один порок в ее уме: глупое желание щегольнуть своею великосветскостью. Только. Но до чего может довести ее эта ее слабость? — Границ глупостям и бедам, которым она может подвергнуться через эту свою фанаберию, нет никаких; но обыкновенно дело не доходит до того, чтобы такие дуры теряли рассудок в медицинском смысле слова, хоть и до этого доходят многие из них. Обыкновенно бедствия таких дур ограничиваются тем, что они попадают в руки плутов и плутовок, бывают обобраны и, обобранные, осмеянные, оплеванные, возвращаются в свою деревенскую глушь. Мы увидим, что с Гельмгольцем и подобными ему его товарищами по естествознанию, любящими щеголять в качестве философов, происходит то же лишь маленькое, сравнительно говоря, — лишь маленькое бедствие: они не утрачивают рассудка; они лишь попадаются в руки недобросовестных людей. Только. Возвращаемся к статье этой мужского пола мужички, очень умной деревенской бабы в своей деревне, но — к сожалению — бабы, пустившейся в столицу дивить столичных жителей своей великосветскостью. — Математика. — Что, математика! — Кому она интересна, кроме математиков? Это глухая деревня, до которой никому нет дела, кроме ее жителей. Философия — вот это совсем иное. О философах идет говор по всему образованному обществу целого света. Это — столичные люди, вельможи в столице. И что будет, что, если та баба появится на бале столичных вельмож? — Она прославит себя на весь свет своим умом и великосветскими своими знаниями и талантами. И вот мы видели, эта почтенная, не спорю, напротив, сам говорю: глубоко уважаемая мною за свою хорошую деревенскую деятельность — баба мужского пола, г. Гельмгольц, — предприняла экскурсию в столицу, и мы уже созерцали с восхищением первые подвиги ее на бале в вельможеском салоне Канта. Баба щегольнула в качестве «гипотетического существа двух измерений» и очень занимательно изобличила людей: они не знают пространства четырех измерений лишь потому, что у них недостает физиологического органа для восприятия впечатлений от четвертого измерения. Почтенная персона приобрела апломб, торжествуя успешность этих своих подвигов. Дальше она очень грациозно объясняет нам, что «разумные существа двух измерений могут жить в разных, совершенно разнохарактерных „пространствах“, имеющих по два измерения». Друзья мои, ведь это буквально так в статье этой деревенской бабы, господина Гельмгольца. Из разных пространств двух измерений — первое «пространство» есть «бесконечная плоскость». В этом «пространстве» существуют, как и в нашем, «параллельные линии». Кто открыл, что плоскости — то есть наша мысль о границе геометрической части пространства, о границе геометрического тела, есть сама уж «пространство», — из статьи Гельмгольца не видно. Кто этот родоначальник «новых систем геометрии»? — Я не знаю. Я предположил, в нашей прошлой беседе, что это — Гаус. Верна ли моя догадка? — не знаю, разумеется. Но я желал бы, для чести математики, чтоб оказалось: я не ошибся в моей догадке. Потому что, иначе — позор распространяется на всех, на всех великих математиков, живших после Лагранжа и Лапласа. Все эти эпигоны, все окажутся виновниками позора, если не виновен в нем лишь один из них, величайший из них, Гаус. Я поговорю о неизбежности этой «рогатой дилеммы»: если не один Гаус, то все авторитетные математики, жившие после Лапласа и живущие теперь. Я делал мою догадку о Гаусе лишь для того, чтобы сохранять для себя возможность не винить хоть других. А Гаус уж во всяком случае виноват.

(3) А пока возвращаемся к просмотру белиберды Гельмгольца. Итак, первый сорт «пространства двух измерений» — бесконечная плоскость. Кто сочинил это нелепое сочетание слов, не знаю. — Хочу думать: Гаус. — Так ли? — Для сущности дела все равно. Второй сорт: «сферическая поверхность». В этом пространстве нет «параллельных линий». — И много у него других оригинальностей, не согласных с «геометриею Эвклида». Все эти оригинальности, впрочем, известны мне: я еще не забыл теорем «Эвклида» о поверхности шара. Они вовсе не те, какие относятся у «Эвклида» к фигурам на плоскости. Начать хоть с того, что, например, треугольник на плоскости вовсе не «сферическая поверхность». Это и все тому подобное не только изложено у «Эвклида», но и памятно до сих пор мне, хоть я забыл почти всего «Эвклида». Есть еще «яйцеобразная поверхность». И это я знаю. Теорем о ней не знаю. Но все то, что толкует о ней Гельмгольц, вот уже лет сорок знаю, — лет с десяти знаю, с той поры, когда учился «Эвклиду». У «Эвклида» об этой поверхности не говорится. Но все те разницы ее от сферической поверхности, о которых толкует Гельмгольц, известны всякому, знающему теоремы «Эвклида» о поверхности шара. — Точно так же с десятилетнего возраста известно мне и все остальное, о чем толкует техническая, собственно геометрическая часть статьи Гельмгольца: вся эта новооткрытая премудрость известна со времени «Эвклида» всем, хоть немного учившимся «Эвклиду». Новость лишь то, что «новейшие» мудрецы, г. Гельмгольц с компаниею, избитые кулаками Канта, воображают, в расстройстве мыслей от головной боли, эти «поверхности», эти границы геометрических тел, «пространствами». Новость такого же рода, как то, что можно, например, возводить «пару сапогов» в квадрат или куб или извлекать из «пары сапогов» квадратный корень. «Новейшие создатели» новых «систем» математики, разумеется, не затруднятся задачею возвести «пару сапогов», например, в квадрат. Стоит им написать формулу: n²а² и они тотчас сообразят: пусть а будет «сапог»; пара сапогов будет 2а: и, возводя 2а в квадрат, они получат 4а² и прочтут это так: «пара сапогов, возведенная в квадрат, равняется четырем сапогам в квадрате». Но что ж это такое, четыре сапога в квадрате? — Для нас, говорящих по-русски, очевидно, что это такое: четыре сапога в квадрате, — это «сапоги всмятку». — Так легко разрешается по «новой системе математики» задача, совершенно несовместная с человеческим смыслом, по ошибочному мнению людей, держащихся старой, общеизвестной «системы математики». Вот другая задача, которую так же легко разрешит Гельмгольц с компаниею: «Дано сборище из 64 педантов, одуревших от избытка тщеславия; требуется: извлечь квадратный корень». — Ответ будет: «8 квадратных корней таких педантов». — Так. А кубический корень? — Ответ: «4 кубические корня таких педантов». Возвращаемся к статье бедняги, сбившегося с толку на щегольстве своим знакомством с философиею Канта. Яйцеобразное пространство двух измерений неудобно для жизни разумных существ двух измерений: передвигаясь по нем, они растягивались бы и сжимались бы неравномерно, вроде того как мнется передвигаемый по скорлупе яйца кусочек плевы того яйца. Это правильно, я знаю. И точно: какой уж тут был бы «разум» у «существ двух измерений», когда их головы были бы постоянно размяты растягиванием и сжиманием. Но… но… но… если предположить, что эти «разумные существа двух измерений» — устрицы двух измерений? Тогда они сидят, приросши к месту, и неудобства им нет, да и голов-то у них нет. Какое же затруднение для них яйцеобразность их пространства? — Ах, да, впрочем! Устрицы не имеют рук; писать книг не могут поэтому. А для Гельмгольца вся сущность «разумной жизни» — писание книг и статей о математике. Понятно: о «яйцеобразном пространстве двух измерений» не стоит и толковать: разумным существам двух измерений не стоит жить в нем. Но «сферическое пространство двух измерений» — очень хороший сорт пространства.

(4) Третий прекрасный сорт — «псевдосферическое пространство двух измерений». Его вид? — Поверхность кольца, сделанного из проволоки, согнутой и спаянной концами. Изобретатель этого пространства — известный, по словам Гельмгольца, — известный! — Чем же именно? глупостью? Итальянский математик Бельтрами. — Я надеюсь, эта его глупость была и у него, — как, я надеюсь того же и о Гельмгольце, — лишь мимолетным расстройством мыслей, и известен он не этою своею глупостью, а какими-нибудь дельными работами. — В одном отношении, впрочем, очень прискорбна эта, хоть и мимолетная, глупость! Образумившись, Бельтрами должен был бы отступиться от нее. А он этого, по-видимому, не сделал. Итак: он еще не вполне исцелился. И она продолжает давить, как свинцовая дурацкая шапка, его голову. Да; впасть в глупость легко невежде, одолеваемому тщеславием. Исцелится трудно. Потому-то и непростительна коренная глупость тщеславных невежд: глупость оставаться невеждами, когда им хочется философской славы. Поучились бы; — авось, и тщеславие исчезло бы вместе с невежеством. А то лишь стыдят себя и позорят свою специальность своими дикими фантазиями. «Псевдосферическую поверхность», по словам Гельмгольца, имеют и некоторые другие фигуры, кроме фигуры проволоки, согнутой в кольцо. Он перечисляет эти разные формы псевдосферической поверхности. Все они формы очень элементарные. Были ль даны каждой из них особые формулы до Бельтрами? — Не знаю. Но даже для меня ясно: все эти формулы очень легкие видоизменения формул линий второй степени. Например: поверхность кольца из круглой проволоки имеет своими формулами очень легкие видоизменения формул цилиндрической поверхности прямого цилиндра; то есть формулы поверхности того кольца очень легко и просто выводятся из формул круга. И я полагаю: если у Бельтрами в той его глупости есть какие-нибудь формулы, не находящиеся в трактатах или статьях Эйлера и Лагранжа, то лишь потому не напечатали этих формул Эйлер и Лагранж, что находили не заслуживающими печати, очевидными для всякого порядочного математика короллариями других формул. Но так ли, или нет, — для сущности дела все равно. Пусть Бельтрами в той своей глупости дал какие-нибудь новые формулы, не совсем маловажные. Все-таки неизмеримо глуп общий характер обеих его работ, на которые ссылается Гельмгольц. Это видно по самым заглавиям их. — «Опыт истолкования не-Эвклидовой геометрии»; и — «Основная теория пространств постоянной кривизны». — Я рад был бы свалить всю вину глупости на Гельмгольца, предположивши, что он вложил сам дикую фантазию свою в работы Бельтрами, имевшие лишь дельную, разумную цель найти формулы для тех поверхностей: кольцеобразной, двуседловидной и бокалообразной. Важны ли, не важны ли эти формулы, новы ли они, или не новы в науке, — было бы все равно: цель работ, — дельная; и если автор доискивался решений, уж данных другими, лишь неизвестных ему, это могло бы оказаться лишь случайным его незнанием, и я рад признавать все такие случаи извинительными. Но — нет! — Бельтрами сочинял «не-Эвклидову геометрию», — он сам; не Гельмгольц вложил в его работы эту невежественную фантазию; он сам хвалится: он изобрел новую геометрию. И не Гельмгольц вложил в его работы нелепое перепутывание понятий «линия» и «поверхность» с понятием «пространство»; нет, он сам говорит о «кривых пространствах»; — о, урод! Гельмгольц нашел, впрочем, что Бельтрами имел предшественника. Этот предтеча сочинителя «кривых пространств», бывший профессором в Казани, некто Лобачевский. Еще в 1829 г., говорит Гельмгольц, «была составлена Лобачевским система геометрии», которая «исключала аксиому параллельных линий; — и тогда еще было вполне доказано, что эта система столь же состоятельна, как и Эвклидова». И система Лобачевского «вполне согласуется» с новою геометриею Бельтрами…

(5) Что такое «геометрия без аксиомы параллельных линий»? — Ребятишки забавляются тем, что прыгают на одной ноге. Быстро продвигаться вперед этим способом они, разумеется, не могут; и передвинуться далеко, — например, версты на две — не могут. Но при усердии все-таки не очень медленно передвигаются на расстояния, не вовсе ничтожные: иной, прыгая, не отстает от человека, идущего тихо; и провожает его целую четверть версты. Это очень трудный подвиг. И достойный всякой похвалы. Но лишь когда это — шалость ребенка. А если взрослый человек, — и не для шалости, а серьезно, по своим серьезным делам, пустится путешествовать, прыгая на одной ноге, это будет путешествие не вполне безуспешное, — нет! — только совершенно дурацкое. Можно ли писать по-русски без глаголов? — Можно. Для шутки пишут так. И это бывает, иной раз, довольно забавною шалостью. Но вы знаете стихотворение:
Шелест, робкое дыханье,
Трели соловья, —
только и помнится мне из целой пьесы. Она вся составлена, как эти два стиха, без глаголов. Автор ее — некто Фет, бывший в свое время известным поэтом. И есть у него пьесы, очень миленькие. Только все они такого содержания, что их могла бы написать лошадь, если б выучилась писать стихи — везде речь идет лишь о впечатлениях и желаниях, существующих и у лошадей, как у человека. Я знавал Фета. Он положительный идиот: идиот, каких мало на свете. Но с поэтическим талантом. И ту пьеску без глаголов он написал, как вещь серьезную…
… Продолжать ли разбор глупости Гельмгольца? — «Довольно», — давно думаете, вероятно, вы. — Нет, мои милые дети, — по-моему, следовало бы продолжать. Я люблю доводить все до прозрачнейшей ясности, и не знаю сам, не хочу замечать в других утомления длиннотою моих разъяснений. Но пора кончать, потому что через несколько часов будет пора отдавать письмо на почту; и я оставляю без разбора все дальнейшие подробности белиберды Гельмгольца. Перехожу к восстановлению математической истины, изуродованной этою белибердою. В чем реальный смысл формул, дурацки примененных Гельмгольцем с компаниею к понятию «пространство»? — Это формулы «о пути луча света». В нашем непосредственном соседстве, — на расстоянии нескольких метров от наших глаз, путь луча света, при обыкновенных условиях прозрачности и температуры атмосферы — прямая линия. Если мы берем пук лучей, он, расходясь по прямым линиям, образует простой конус, прямой конус, конус — «Эвклида», — единственный конус, формулу которого я знаю. Правильно ли я называю этот конус элементарной геометрии? — Все равно; дело не в том, знаток ли я математики; я не знаю и не хочу знать ее. Мне некогда узнавать ее. И никогда у меня не было досуга на то. Дело лишь о том, чтобы вам были понятны мои мысли. Я говорю о том конусе, который для удобства нашего анализа мы рассматриваем как геометрическое тело, производимое вращением прямолинейного, плоского прямоугольного треугольника около одного из катетов; этот катет будет «ось», другой катет даст базис конуса; гипотенуза даст поверхность конуса. Правильны ли мои выражения? — Плевать я хочу на то. У меня дело не о словах. Я хочу лишь, чтобы вы видели, о каком конусе я говорю. Этот конус, конус Эвклида, конус пука лучей света в нашем непосредственном соседстве. Вот об этих-то прямолинейных лучах света верны формулы, глупейшим образом превращенные нелепостью фантазии — чьей? — не знаю; хочу думать: фантазии Гауса, — в формулы «гомалоидного пространства трех измерений», — или «Эвклидова пространства». Кто сочинил термин «гомалоидное пространство»? — По-видимому, только уж сам Бельтрами, сочинитель «кривых пространств», а не Гаус. Но все равно во всех нелепостях ничтожного ученика виноват великий учитель. Все эти разные «пространства» повытасканы из исследования Гауса «о мере кривизны поверхностей». Я полагаю, что эта работа Гауса — работа дельная и очень важная. Так ли, не знаю. Но думаю: так. И готов превозносить за него Гауса. Но, очевидно, что Гаус был сбит с толку философиею Канта и, когда пускался философствовать, завирался.

(6) И — в исследовании ли «о мере кривизны» или в каком другом своем труде он зафилософствовался, по Канту, о «формах нашего чувственного восприятия», о предмете вовсе чуждом его специальности. И, зафилософствовавшись, сбился; ему вообразилось, что Кант отчасти прав, отчасти не прав в своей «теории чувственного восприятия». И он принялся поправлять Канта, оставаясь в сущности, — он, простодушная, невежественная деревенщина по этому «диалектическому», а вовсе не математическому вопросу, — по вопросу о достоверности наших чувственных восприятий, — одурачен Кантом. Ему ли, неотесанному мужику из глухой деревни, бороться с Кантом? — Он даже не понял Канта; и, опровергая его, повторил его мысли в изуродованном виде. Об этом после. Довольно пока того, что у Канта нет таких мужицких несуразностей невежественной деревенской нескладной речи, как «пространство двух измерений» или «четырех измерений». — Сам ли Гаус сочинил эти глупости? — Или только наболтал такой чепухи, что Гельмгольц, Бельтрами и компания нашли в этой чепухе материал для своих собственных глупостей, — это по отношению к сущности дела все равно. Но для чести математики было бы лучше, если бы эти глупости оказались высказанными у самого Гауса. Тогда, — тогда, — я не винил бы других авторитетных математиков, что они или повторяют Гауса, или молчат, не хохочут, читая нелепости Гельмгольца, Бельтрами, Римана, Либмана и компании, цитируемых Гельмгольцем в качестве его сподвижников. Сила гения Гауса — сила гиганта, — сравнительно со всеми, жившими после Лапласа и нынешними математиками. Пигмеи охвачены руками гиганта, — чего требовать от них, Гельмгольца с компаниею? — Как винить их? — Дрыгают ручонками и ножонками и пищат, как велит гигант. А остальные пигмеи, — масса «великих», — великих! — Но пусть они «великие», — масса остальных великих математиков, — эти посторонние, эти зрители, пигмеи — трепещут, и недоумевают, и дивятся, и молчат; — как винить и их? Так судил бы о них я, — если виноват, собственно, Гаус: не презирал бы я их, а лишь сожалел бы о них. Они были бы, собственно говоря, невинные жертвы Гауса. Но едва ли так. Вникая в тон статьи Гельмгольца, я нахожу себя принужденным полагать: правда, непосредственным образом, именно из Гауса почерпнули свою белиберду Гельмгольц, Бельтрами и компания. Но те дикие фантазии Гауса во вкусе Канта — это, по-видимому, общие фантазии всех авторитетных математиков нашего времени. Все они возводят сапоги в квадрат, извлекают кубические корни из голенищ и из ваксы, потому все совершенно благосклонны к пространствам и двух, и четырех, и миллион четырех измерений, к пространствам и треугольным, и яйцеобразным, и табакообразным, и шоколадообразным, и чаеобразным, и дубообразным, и дубинообразным, и болванообразным, — словом, ко всему дурацки-бессмысленному. Это горько писать. Но тон статьи Гельмгольца ведет к такому предположению. Отчего положение дел в математике таково, что приводит меня к такому предположению, — хочу надеяться, все-таки ошибочному? — Вы видите, я все еще только добираюсь до изложения первой причины тому, до зависимости естествознания вообще, и, в частности, математики, от доктрин идеалистической философии и главным образом от системы Канта. Мы доберемся до этого. Но прежде покончим со статьею жалкого бедняжки Гельмгольца, раскрывшею передо мною позор несчастной, осиротевшей по кончине великого старика Лапласа, бедной, преданной на поругание людям средневекового мрака, — несчастной обесчещенной математики. К чему писал простофиля-деревенщина, баба-мужичка мужского пола, великий — знаю — натуралист и великий — охотно верю — математик Гельмгольц свою злополучную статью? Прежде чем цитировать идиотски-самохвальный финал ее, припомним реальную истину, искаженную философскою белибердою его диких фантазий. Луч света идет в непосредственном соседстве наших глаз, положим на пространстве нескольких метров — при обыкновенном состоянии атмосферы, по прямой линии.

(7) Пук лучей света в этом случае — прямой конус. Те чудаки начинают свои фантазии, сознательно ли, или, по-видимому, вовсе бессознательно, — с мыслей, относящихся к этому факту; с мыслей правильных. Но Кант выбил из их бедных голов научную истину: «три измерения — это качество вещества, это сама природа вещей». Они хотят щеголять в качестве философов. Они забывают о конусе лучей света; раздумывают лишь о базисе этого конуса; базис этот — поверхность, произошедшая от вращения одного из катетов, то есть от вращения прямой линии; то есть это: плоскость. Они расширяют эту плоскость «до бесконечности» и — воображают, что они изобрели «гомалоидное пространство двух измерений». Как пойдут лучи света по этому «пространству»? — О конусе лучей они уж давно забыли. И решают: лучи пойдут параллельными линиями по этой плоскости. Но и о лучах они забывают; и — готовы «формулы аналитического исследования», создающего «геометрию гомалоидного пространства двух измерений». Мило. Но и сам-то конус лучей света совершенно ли прямой? Луч света, доходящий до нас, — от солнца ли, от свечи ли под носом у нас, безусловно ли прямая линия? Они забыли: нет; никогда; фактически это невозможный лучу путь. Падая от солнца через атмосферу, луч гнется. Идя от свечи, — переходя из горячего воздуха в прохладный, он гнется. Этот изгиб ничтожен при обыкновенных обстоятельствах. Но он неизбежен. А при мираже кривизна велика. Но мираж — это лишь очень высокая ступень того, что постоянный факт обо всех лучах, идущих под углом не далеким угла = 0 с горизонтальной линиею: все нижние слои воздуха — путаница слоев и клочков воздуха различных температур. Потому; но кто ж не знает всего, что сказано мною, и всего, что следует из того? И эти чудаки знают. Но в избитых Кантом жалких, больных головенках все перепутывается, расплывается в туман, и из тумана вырастают дикие фантазии о сферическом и псевдо-сферическом пространствах. А простой научный смысл дела в чем? — Путь луча света не совершенно прямая линия; на пространстве нескольких метров этот изгиб при обыкновенных обстоятельствах ничтожен; но иногда кривизна и велика. Словом? — Эти чудаки перепутали «диоптрику», одну из глав оптики, с формулами абстрактной геометрии. Они перепутали свою деревенскую геодезию, совершаемую растопыриванием рук или пальцев рук, — «вот, три сажени», — «вот, пять четвертей с вершком», — они перепутали свою деревенскую геодезию с законами вселенной. Только. Беды, в серьезном смысле слова, никому от того нет. Да? Так ли? Но пусть беды нет; пусть дело лишь в том, что сами они оказались дураками и предали свою науку, математику, на поругание людям средневекового мрака. Только. Беда не велика. Да. Что за беда была бы, если бы от времен первобытного дикарства счетом по пальцам, потом арифметикою и т. д. занимались только дураки? — Мы не имели б Архимеда, Гиппарха, Коперника и т. д. до Лапласа, — мы оставались бы полудикими номадами. Только. Итак? — беда от ослиной премудрости Гельмгольца с компаниею невелика. Но нельзя ж сказать: «не особенно велика». Они, одуревши, проповедуют, вместо научной истины, одуряющую доктрину дикого, невежественного фантазерства. Только. Беда не велика? — Да, сравнительно с чумою или сильным неурожаем, не велика. Довольно об этом. И перейдем к финалу статьи Гельмгольца, к дифирамбу победы, который воспевает он в честь себе и своим сподвижникам. Перед удивленной вселенной раскрывается непостижимая умом цель бессмысленной статьи: автор торжествует, как оказывается, победу; и одержал он эту победу, — оказывается, — над Кантом, мысли которого, в изуродованном виде, составляли весь материал его изумительных мудрствований.

(8) Он провозглашает: «Подвожу итоги: Геометрические аксиомы, взятые сами по себе, вне всякой связи с основами механики, не выражают отношений реальных вещей». Душенька мужичок, заврался ты. Не смыслишь ты, ничего не смыслишь ни в механике, ни в геометрии. — Треугольник сам по себе неужели ж не треугольник? И неужели ж у него не три угла? А аксиомы — это элементы, известная комбинация которых дает треугольник. Как же они сами по себе не выражают «отношений реальных вещей»? — Неужели ж треугольник становится треугольником, лишь передвинувшись с одного места на другое? — Душенька мужичок, «механика» говорит о «равновесии» и о «движении». А «геометрия» о телах и элементах геометрических тел независимо от того, лежат ли они, или двигаются, — так, в элементарнейшей части геометрии; в «Теории функций» — иная точка зрения. Но ты, душенька, не умеешь различать «Эвклида» от «Теории функций». — Правда, и у «Эвклида» говорится: «проведем линию», «будем обращать линию около одного из ее концов» и т. д.; но это, душенька, лишь «учебные приемы» для облегчения тебе, душенька; а ты, по своему невежеству, сбился на этом и перепутал «Эвклида» с механикою. — Продолжай, душенька мужичок. «Если мы», — продолжает деревенщина-простофиля, — «если мы, таким образом изолировав их» (аксиомы геометрии от механики) «будем смотреть на них вместе с Кантом». О, берегись, мужичок! Прихлопнет тебя, простофилю, Кант! («вместе с Кантом будем смотреть на аксиомы») — «как на трансцендентально данные формы интуиции, то они явятся…» Душенька, ни математику, ни вообще натуралисту, непозволительно «смотреть» ни на что «вместе с Кантом». Кант отрицает все естествознание, отрицает и реальность чистой математики. Душенька, Кант плюет на все, чем ты занимаешься, и на тебя. Не компаньон тебе Кант. И уж был ты прихлопнут им, прежде чем вспомнил о нем. Это он вбил в твою деревянную голову то, с чего ты начал свою песнь победы, — он вбил в твою голову это отрицание самобытной научной истины в аксиомах геометрии. И тебе ли, простофиля, толковать о «трансцендентально данных формах интуиции», — это идеи, непостижимые с твоей деревенской точки зрения. Эти «формы» придуманы Кантом для того, чтобы отстоять свободу воли, бессмертие души, существование бога, промысел божий о благе людей на земле и о вечном блаженстве их в будущей жизни, — чтобы отстоять эти дорогие сердцу его убеждения от кого? — собственно, от Дидро и его друзей; вот о чем думал Кант. И для этого он изломал все, на чем опирался Дидро со своими друзьями. Дидро опирался на естествознание, на математику, — у Канта не дрогнула рука разбить вдребезги все естествознание, разбить в прах все формулы математики; не дрогнула у него рука на это, хоть сам он был натуралист получше тебя, милашка, и математик получше твоего Гауса. Таковы вельможи столицы: они добрее тебя, дурачок; дурачок с одеренелой душою; ты — дерево; они — люди; и для блага человечества не церемонятся разрушать приюты разбойников. Такой приют, твоя деревушка. Кант был родом из нее. Любил ее. Но — благо людей требует! — и он истребил эту деревушку, бывшую приютом разбойников. Таков-то был Кант; человек широких, горячих желаний блага людям. И тебе ли, дурачок, для которого твоя деревушка дороже всего на свете, — тебе ли дерзать хоть помыслить «буду компаньоном Канта»? — Он ведет людей во имя блага и вечного блаженства и земного счастья на истребление твоей деревушки. — Прав ли он? — Не тебе, простофиля, судить. Но ты беги от него, беги. Но эти мизерно-головые людишки, для которых «благо людей» — пустяки, а важны лишь «резонаторы», да «аккорды верхних созвучий», — эти мизерно-головые людишки не в состоянии понимать великих забот Канта. Они воображают, что Кант, как они сами, думал лишь об акустике или оптике… Весь этот финал — сплошь переложение мыслей Канта, отрицающих естествознание и математику, на нескладное деревенское наречие математики. Мысли выходят изуродованными. А дурачок, оплеванный своим руководителем Кантом, воображает, что опроверг его своею глупостью о «сферическом пространстве двух измерений» — глупостью, подсказанною ему Кантом…

Нам нужна новая физика. Дело в том, что положения старой физики фактически дезавуированы квантовой механикой и в еще большей степени общей теорией поля и теорией суперструн. Что может быть, а чего не может быть в свете новейших физических представлений существенно отличается от классических подходов.
Но подавляющее большинство технических аппаратов построены на принципах старой ньютоновской физики. А стоило бы более плотно заняться новейшими направлениями. У догоняющего развития нет шансов. Надо поставить новые цели и идти к ним новыми путями. Более того, следует снова вернуться к якобы решенному вопросу о соотношении физики и метафизики. Ведь тот же кот Шредингера или концепт Мирового Листа или духов Фаддеева-Попова в теории суперструн суть смена метафизического толкования, движение разума, которое позволяет увидеть вещи под новым углом зрения.
Нам нужна суверенная физика. Пока же мы просто импортозамещаем или пытаемся нагнать западные разработки. С ракетами получается и даже перегнать, но с цифровыми технологиями, машинами, связью и космосом все обстоит явно не очень.
Все приборы, включая ИИ, это проекции нашего сознания. Если в стране нет суверенной философии, не будет и суверенной техники. С этим надо что-то делать. И желательно не откладывая.

Достойный ученик Чернышевского. Дедушка умер, а дело живёт:)

«Точно так же, как энтропия является мерой дезорганизации, информация, которую несет набор сообщений, является мерой организации. На самом деле можно интерпретировать информацию, которую несет сообщение, по существу, как отрицательную величину его энтропии и отрицательный логарифм его вероятности. То есть чем вероятнее сообщение, тем меньше информации оно дает. Клише, например, менее информативны, чем великие стихи».

26 ноября 1894 г. родился Норберт Винер — выдающийся американский математик и философ, основоположник кибернетики и теории искусственного интеллекта.
Заслуга Норберта Винера в том, что он впервые понял принципиальное значение информации в процессах управления, связал информацию и процесс управления в единый содержательный модуль.

Винер славился чрезвычайной забывчивостью. Приводимые ниже истории были рассказаны его коллегами.

Однажды студент встретил Норберта Винера в почтовом отделении. Профессор держал в руке ручку и сосредоточенно глядел на пустой лист бумаги.
Студент хотел обратиться к профессору, но не стал прерывать процесс мышления выдающегося учёного. Вдруг Винер отбросил лист бумаги, рванул к выходу и чуть не сбил студента с ног. Студент только и промолвил: «Здравствуйте, профессор Винер!».
Учёный остановился и хлопнул себя по лбу:
«Винер — вот как меня зовут!»

Однажды Винер столкнулся со своим студентом около университетского кампуса. Они поздоровались и, слово за слово, увлеклись обсуждением одной интересной математической задачи. Когда Винер закончил объяснять способы её решения, он вдруг виновато взглянул на студента и спросил: «Простите, а с какой стороны я пришел сюда?» Студент почтительно указал направление. «Ага. Значит, я еще не ел», — с грустью констатировал профессор…

Администратор факультета математики Массачусетсского технологического института Филлис Блок вспоминал, как Винер любил навещать его в офисе и подолгу беседовать с ним о научных материях. Так продолжалось несколько лет, пока офис мистера Блока не переехал в другое помещение. И тогда Винер пришел к нему снова… представился и познакомился. «Он не помнил, что я — это тот самый человек, — смеялся Блок, — с которым он часто общался. Меня он помнил только по комнате, в которой я сидел…»

Однажды он отправился на конференцию, а свою машину оставил на большой стоянке. Когда конференция закончилась, он вышел на улицу, но забыл, где припарковался. Он даже забыл, как выглядела его машина. Поэтому он решил подождать, пока все не разъедутся, после чего забрал оставшийся автомобиль.

С машинами Винеру "не везло" постоянно. Однажды он приехал на своем автомобиле на конференцию в Йельский университет. По окончании конференции он обнаружил, что у него нет с собой водительских прав, поэтому он спокойно вернулся домой (в Кембридж, штат Массачусетс) на рейсовом автобусе. На следующее утро, дойдя до своего гаража, Винер обнаружил его пустым и написал заявление в полицию о том, что пока он уезжал на конференцию, у него угнали автомобиль...

Когда однажды его семья переехала на новую квартиру, жена положила ему в бумажник листок, на котором записала их новый адрес, — Маргарет отлично понимала, что иначе муж не сможет найти дорогу домой. Тем не менее в первый же день, когда ему на работе пришла в голову очередная замечательная идея, он полез в бумажник, достал оттуда листок с адресом, написал на его обороте несколько формул, понял, что идея неверна, и выбросил листок в мусорную корзину. Вечером, как ни в чем ни бывало, он поехал по своему прежнему адресу. Когда обнаружилось, что в старом доме уже никто не живет, он в полной растерянности вышел на улицу… Внезапно его осенило, он подошел к стоявшей неподалеку девочке и сказал: «Извините, возможно, вы помните меня. Я профессор Винер, и моя семья недавно переехала отсюда. Вы не могли бы мне сказать, куда именно?» Девочка выслушала его очень внимательно и ответила: «Да, папа, мама так и думала, что ты это забудешь»…

Задача ЕГЭ. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?