«Целью настоящего трактата является исследование фундаментальных законов тех операций ума, посредством которых осуществляется рассуждение; выражение их на символическом языке исчисления и на этой основе установление науки логики и построение её метода».

2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.

Жена Джорджа Буля Мэри Эверест являлась племянницей географа Джорджа Эвереста, генерал-инспектора Индии; за вклад в картографию в его честь названа высочайшая вершина земного шара.
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».

Формально-логический метод недооценён при решении логических задач. В заметке описано применение разновидности этого метода — на основе полиномов Жегалкина.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.

Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?

Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.

Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?

Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Однажды Джордж Буль, путешествуя по белу свету, оказался на необыкновенном острове: жители этого острова были либо рыцарями, т.е. всегда говорили правду, либо лжецами, т.е. всегда лгали. Нет уверенности, конечно, что все описанные сюжеты правдивы:), но все они посвящены создателю математической логики.

Задача 1. Желая получше ознакомится с островом, Дж. Буль нанял себе проводника. Увидев вдали туземца, Буль сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец». Буль сразу уволил проводника и решил, что впредь будет путешествовать один. Почему он так поступил?

Решение. Проводник был лжецом, так как ни один житель острова не может сказать про себя, что он лжец.

Задача 2. Уволив проводника, Буль пошёл гулять по острову. Он встретил двух туземцев — Ло и Лу. На вопрос о том, кто они, Ло сказал ему: «Или я лжец, Или Лу рыцарь». Кто есть кто?

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. Как-то Буль встретил двух жителей, То и Та, и захотел узнать, кто они. Он спросил у То: «Вы оба рыцари?» То ответил. Буль понял, что не может определить, кто такие То и Та, и задал ещё один вопрос: «Вы одного типа?». То опять ответил, и тогда Джордж понял, к какому типу относятся То и Та. К какому же?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. Джордж повстречал двух близнецов — Ша и Ща. Про них известно, что один из них лжец, а другой — рыцарь. Буль захотел узнать, кто из них Ша. Но братья согласились отвечать только на один и тот же вопрос, на который можно ответить только «да» или «нет». Какой вопрос им может задать Буль?

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Троих островитян Буль спросил: «Сколько рыцарей среди двух других?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. В другой раз Буль встретил четырёх туземцев и задал им вопрос: «Кто вы?». Он получил такие ответы. Первый: «Все мы лжецы». Второй: «Среди нас один лжец». Третий: «Среди нас два лжеца». Четвёртый: «Я ни разу не соврал и сейчас не вру». Джордж быстро сообразил, кем является четвёртый житель. Как он рассуждал?

Решение задачи по ссылке.

Задача 7. Ещё Булю довелось наблюдать такую картину. Встретились как-то четверо жителей и говорят друг другу. Первый: «Среди вас нет рыцарей». Второй: «Среди вас один рыцарь». Третий: «Среди нас два рыцаря». Четвёртый: «Среди нас четыре рыцаря». Кто из них кто?

Решение задачи по ссылке.

Задача 8. Пятерых жителей острова Буль спросил, сколько среди них рыцарей. «Один», — ответил первый. «Два», — ответил второй. «Три», — ответил третий. «Не верьте им, они все лжецы», — сказал четвёртый. «Сам ты лжец!» — сказал пятый четвёртому. Сколько рыцарей было на самом деле?

Решение задачи по ссылке.

Задача 9. Однажды Буль оказался в компании островитян, в которой было одинаковое количество рыцарей и лжецов. У каждого из островитян спросили: «Сколько лжецов в вашей компании?». Ответы были: «Не менее шести» и «Не менее девяти». Затем у каждого спросили: «Сколько рыцарей в вашей компании?». Ответы были: «Не более семи» и «Не более десяти». Сколько было островитян в этой компании?

Решение задачи по ссылке.

Задача 10. Во время проведения опроса Буль выяснил, что всего на острове проживают 2026 жителей. Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он — рыцарь!», либо «Он — лжец!» Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Решение задачи по ссылке.

Задача 11. Буль зашёл в трактир и увидел, что за круглым столом сидят 15 островитян. Каждый из них говорит: «Оба моих соседа — это лжецы». Сколько рыцарей за столом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 12. Пришло время отправляться домой. Джордж шёл по дороге к пристани и наткнулся на развилку. К сожалению, никаких табличек с указанием правильной дороги не было, зато был находчивый абориген, который предложил ответить на любой вопрос за 10 монет. Буль задумался: путешествие было уже долгим, и денег у него оставалось ровно на один вопрос, а кем был этот островитянин, он не знал. Какой вопрос нужно задать туземцу, чтобы узнать дорогу к пристани?

Решение задачи по ссылке.

Сначала проголосуйте ↑

https://telegra.ph/Paradoks-Mamoj-klyanus-otygrayus-10-27

«Если, согласно тому, что мы уже сказали, она снова вернётся около 1758 года, беспристрастное потомство не откажется признать, что это было впервые обнаружено англичанином».

8 ноября 1656 г. родился Эдмунд Галлей, английский астроном, математик, поэт. Галлей был единственным членом Лондонского королевского общества, у которого не было высшего образования. Известен, прежде всего, как человек, чьё имя носит комета, появление которой он предсказал с блестящей точностью.
Предложил высокоточный метод определения расстояния до Солнца.
Возглавил несколько морских экспедиций в отдалённые уголки планеты, чтобы собрать данные о магнитном поле Земли.
Построил первый водолазный колокол — устройство, в котором атмосфера пополнялась с помощью утяжелённых баллонов с воздухом, спускаемых с поверхности; сам нырнул в нём на глубину 60 футов (18 м) в реку Темзу и оставался там более полутора часов.
Внёс большой вклад в развитие демографической науки: составил первую таблицу смертности для города Вроцлав, ввёл понятие средней продолжительности жизни, рассчитал тарифы страхования жизни; форма таблицы смертности Галлея и принципы её построения используются в страховании по сей день.
Объяснил причину пассатов и муссонов.
Один из авторов фотометрического парадокса.
Учёный также работал в сфере археологии, геофизики и истории.
Является автором геометрических методов решения численных уравнений, расчёта логарифмов и тригонометрических функций.
Занимался исследованием силы, которая управляет движением планет. Самостоятельно вывел, что она обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты, но решить задачу, каковы будут формы орбит, определяемые действием такой силы, не мог. В результате совместной работы с Исааком Ньютоном вышли «Математические начала натуральной философии», сыграл большую роль в публикации книги.

Э. Галлей. Ода Исааку Ньютону. 1687 г.

Перевод с латинского Валерия Брюсова

К знаменитейшему мужу
Исааку Ньютону на сей его труд
математико-физический, великую славу
нашего века и народа нашего

Вот тебе мера Небес и весы божественной Массы,
Вот и Юпитера счёт. Утвердив вещей изначалье,
Эти законы свои нарушать всеродящий Создатель
Не пожелал, положив вековечные мира основы
Се – побежденного Неба вскрываются тайные недра,
Не утаиться и крайний светилам, вращаемым Силой;
Солнце, на троне воссев, всё к себе наставляет стремиться
Быстрым наклонным путём; невозможно нигде колесницам
Звёздным свой путь повести по прямой в пустоте бесконечной,
Всё увлекает оно, в центре став неизменной орбиты.
Ныне зловещих комет путь загнутый стал нам понятен.
И не дивимся мы боле звезды появленьям косматой.
Мы познаём, наконец, почему серебристая Феба
Шагом неровным свершает свой путь; почему, не подвластна
Ни одному астроному досель, числ узду отвергала.
Вспять возвращая Узлы, Апогеи вперед продвигая,
Мы познаём, и какими бродячая Цинтия движет
Силами Понт восстающий, когда тростники покидает
Спавшими волнами, ил морякам обнажая коварный,
речными сменами в берег последний стучась неустанно.
Всё, что терзало не раз мудрецов стародавних раздумья.
Всё, что бесплодно колеблет охриплыми спорами Школы,
Ныне мы можем решить, облака разгоняя Познаньем.
Кто сомневался, тех мглой никакой ум не давит ошибка,
Коим проникнуть в дома небожителей, к высям небесным
Путь обрести — даровала чудесная Гения тонкость.
Смертные! время воспрянуть, земные отбросить заботы!
Первый учил и людей одарил кто благами Цереры,
Кто утешенье скорбей выжимать сказал из винограда,
Кто показал, как на Нильских тростинках возможно нам звуки
Объединять в письменах, голоса пред очами являя, –
Меньше судьбу человека возвысил, как будто бы видеть
Был он способен лишь блага немногие в бедственной жизни.
Доступ уж мы получили к пирам Небожителей, Неба
Вышнего вправе законы судить, и засовы открыты
Тайные темной Земли, всех вещей изначальный порядок,
Было что утаено от веков предыдущего мира.
Оное вскрывшего нам прославляйте со мной в песнопеньях,
Вы, кто питаться при жизни божественным нектаром рады,
Ньютона славьте, ковчег нам открывшего истины скрытой,
Ньютона, Музам Парнаса любезного, в чьей груди чистой
Феб пребывает, сознанье ему божеством наполняя.
Смертному больше, чем это, к богам не дано приближаться.

«Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг!»
«Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность. Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».

8 ноября 1868 г. родился Феликс Хаусдорф — немецкий математик, один из основоположников современной топологии. Обогатил принципиально новыми идеями и подходами ряд областей математики. В теории множеств Хаусдорф полностью решил проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств. Хаусдорф является основателем общей топологии и общей теории метрических пространств, которые благодаря ему, особенно его теории топологических пространств, заняли центральное место в современной математике. Фундаментальные результаты получены Хаусдорфом также в математическом анализе, теории непрерывных групп, в теории чисел и других областях математической науки.

Несмотря на то, что Хаусдорф был немецким патриотом и во время Первой мировой войны несколько лет в качестве добровольца служил в немецкой пехоте, он, будучи евреем, во время национал-социалистического режима был вынужден носить звёзды Давида, подвергался преследованию и унижениям вплоть до 26 января 1942 года, когда вместе с женой предпочёл самоубийство неизбежной депортации в концентрационный лагерь Эндених. Сохранилось письмо, которое Хаусдорф написал в воскресенье, 25 января 1942 г. В нем он писал: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich». Эта фраза является жутким каламбуром слов «Endenich», район Бонна, и «Ende» и «Nicht», что означает «конец» и «нет»: «Несмотря на это, Эндених, может быть, ещё не конец».