Задачи Н.Я. Виленкина
Задача 1. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?
Решение задачипо ссылке .
Задача 1. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?
Решение задачи
🔥5👍4
Задача 2. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями (и только с ними). Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить заколдованную принцессу, но среди выбранных рыцарей не должно быть врагов. Сколькими способами это можно сделать?
Решение задачи по ссылке .
Решение задачи
👍3🔥2
В юности Карл вёл весёлую жизнь нормального студента — увлекался фехтованием, пивом и математикой. Он был не особенно усердным студентом, поэтому получил диплом, дающий право преподавать математику только в школе. И он преподавал: математику, физику, иностранные языки, историю, ботанику, географию, гимнастику и каллиграфию.
Позже он получил почётную докторскую степень и стал профессором математики в Берлине.
Позже он получил почётную докторскую степень и стал профессором математики в Берлине.
❤7🔥4
Вейерштрасса называют «отцом современного матанализа» и «образцом математической строгости». По сути он реформировал математический анализ, изгнав из него туманные формулировки, перевёл все понятия в буквенно-численные, сделав его язык сухим, ясным и строгим.
Когда Ньютон разрабатывал математический анализ, он вдохновлялся физическим миром: траекториями планет, колебаниями маятника, движением падающего фрукта:) Такое мышление привело к возникновению геометрической интуиции относительно математических структур. Они должны были иметь такой же смысл, что и физический объект. В результате этого многие математики сосредоточились на изучении «непрерывных» функций. Их можно воспринимать как функции, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Непрерывная функция, как считалось, была «естественной». Вейерштрасс был первым, кто с чисто прусской педантичностью дал строгое определение этому интуитивно ясному понятию. Как писал Анри Пуанкаре: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».
По общепринятому тогда мнению, у любой непрерывной кривой можно найти производную в бесконечном числе точек. Казалось, это соответствовало интуитивному понимаю: у линии может быть несколько изломов, но всегда есть части, которые являются гладкими. Андре-Мари Ампер даже опубликовал «доказательство» этого утверждения, и к середине 19 века оно цитировалось почти в каждом учебнике по математическому анализу.
В 1872 г. Карл Вейерштрасс объявил, что нашёл функцию, являющуюся непрерывной, но не гладкую ни в одной точке. Он создал её, сложив вместе бесконечно длинный ряд функций косинуса:
f(x) = cos(3πx)/2 + cos(3²πx)/2² + cos(3³πx)/2³ + …
Как функция она была уродливой и отвратительной, было даже непонятно, как выглядит её график. Но Вейерштрасса это не волновало: он построил своё чудовище на железной логике и доказал, что для этой новой функции производную вычислить невозможно.
Результат привёл математическое сообщество в состояние шока. Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ и вместо вынашивания идей о физике природы завяз бы в попытках пробраться через жёсткие математические преграды. Чудовище стало расшатывать и предыдущие исследования. Результаты, казавшиеся «доказанными», трещали по швам. Ещё хуже было то, что теперь стало неочевидным, из чего же состоит математическое доказательство. Интуитивные геометрические аргументы двух прошедших веков стали бесполезными. Одним странным примером функции Вейерштрасс показал, что физическая интуиция была ненадёжным основанием для построения математических теорий.
Авторитетные математики попытались отмахнуться от результата, утверждая, что он некрасив и не нужен. Шарль Эрмит писал: «Я в отвращении и ужасе отворачиваюсь от прискорбной скверны функций, не имеющих производных». Анри Пуанкаре, впервые назвавший такие функции чудовищами, назвал работу Вейерштрасса «надругательством над здравым смыслом». Он утверждал, что такие функции — нахальное отвлечение от сути предмета. «Их изобрели с целью показать ошибочность рассуждений наших предшественников», — говорил он. «И кроме этого, мы не сможем ничего из них взять».
Многие из «старой гвардии» хотели оставить чудовище Вейерштрасса на задворках математики. Мешало и то, что никто не мог представить облик существа, с которым они встретились — только после изобретения компьютеров появилась возможность создать его график. Его непостижимая форма мешала осознанию математическим сообществом того, как такая функция вообще может существовать.
Однако, сегодня мы можем сказать, что построенный Вейерштрассом монстр изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов математики, таких как стохастическое исчисление и теория фракталов, которые, в свою очередь, находят применение в различных областях — гидродинамике, нейробиологии, при описании распространения заболеваний в популяции, биржевого курса и проч.
Когда Ньютон разрабатывал математический анализ, он вдохновлялся физическим миром: траекториями планет, колебаниями маятника, движением падающего фрукта:) Такое мышление привело к возникновению геометрической интуиции относительно математических структур. Они должны были иметь такой же смысл, что и физический объект. В результате этого многие математики сосредоточились на изучении «непрерывных» функций. Их можно воспринимать как функции, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Непрерывная функция, как считалось, была «естественной». Вейерштрасс был первым, кто с чисто прусской педантичностью дал строгое определение этому интуитивно ясному понятию. Как писал Анри Пуанкаре: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».
По общепринятому тогда мнению, у любой непрерывной кривой можно найти производную в бесконечном числе точек. Казалось, это соответствовало интуитивному понимаю: у линии может быть несколько изломов, но всегда есть части, которые являются гладкими. Андре-Мари Ампер даже опубликовал «доказательство» этого утверждения, и к середине 19 века оно цитировалось почти в каждом учебнике по математическому анализу.
В 1872 г. Карл Вейерштрасс объявил, что нашёл функцию, являющуюся непрерывной, но не гладкую ни в одной точке. Он создал её, сложив вместе бесконечно длинный ряд функций косинуса:
f(x) = cos(3πx)/2 + cos(3²πx)/2² + cos(3³πx)/2³ + …
Как функция она была уродливой и отвратительной, было даже непонятно, как выглядит её график. Но Вейерштрасса это не волновало: он построил своё чудовище на железной логике и доказал, что для этой новой функции производную вычислить невозможно.
Результат привёл математическое сообщество в состояние шока. Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ и вместо вынашивания идей о физике природы завяз бы в попытках пробраться через жёсткие математические преграды. Чудовище стало расшатывать и предыдущие исследования. Результаты, казавшиеся «доказанными», трещали по швам. Ещё хуже было то, что теперь стало неочевидным, из чего же состоит математическое доказательство. Интуитивные геометрические аргументы двух прошедших веков стали бесполезными. Одним странным примером функции Вейерштрасс показал, что физическая интуиция была ненадёжным основанием для построения математических теорий.
Авторитетные математики попытались отмахнуться от результата, утверждая, что он некрасив и не нужен. Шарль Эрмит писал: «Я в отвращении и ужасе отворачиваюсь от прискорбной скверны функций, не имеющих производных». Анри Пуанкаре, впервые назвавший такие функции чудовищами, назвал работу Вейерштрасса «надругательством над здравым смыслом». Он утверждал, что такие функции — нахальное отвлечение от сути предмета. «Их изобрели с целью показать ошибочность рассуждений наших предшественников», — говорил он. «И кроме этого, мы не сможем ничего из них взять».
Многие из «старой гвардии» хотели оставить чудовище Вейерштрасса на задворках математики. Мешало и то, что никто не мог представить облик существа, с которым они встретились — только после изобретения компьютеров появилась возможность создать его график. Его непостижимая форма мешала осознанию математическим сообществом того, как такая функция вообще может существовать.
Однако, сегодня мы можем сказать, что построенный Вейерштрассом монстр изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов математики, таких как стохастическое исчисление и теория фракталов, которые, в свою очередь, находят применение в различных областях — гидродинамике, нейробиологии, при описании распространения заболеваний в популяции, биржевого курса и проч.
🔥14❤7👍3🤔1
Будучи в науке педантом, действующим по строгому плану, в обычной жизни Вейерштрасс оставался открытым и доброжелательным человеком. По сути он за ручку ввёл в математику 20-летнюю Софью Ковалевскую, которую как женщину не брали ни в российские университеты, ни в немецкие, Вейерштрасс преподавал ей дома. А когда её муж покончил с собой, запутавшись в коммерции, и Ковалевская осталась с маленькой дочкой без средств к существованию, Вейерштрасс задействовал свой авторитет, связи и добился для неё места профессора в Стокгольмском университете. Когда Ковалевская неожиданно умерла в Швеции, он слёг и до своей смерти больше не появлялся в университете.
Вейерштрасс очень нежно и заботливо относился к своей ученице. Сохранилось 88 писем, написанных им ей (а письма Софьи он сжёг, когда узнал о её смерти). Вот отрывок из одного письма:
«Этим, милая Соня, я заканчиваю своё письмо в отношении себя. Надеюсь, Ты уже избавилась от цюрихской атмосферы и дышишь свежим горным воздухом. Во время своего пребывания здесь я очень часто думал о Тебе и представлял себе, как прекрасно было бы, если бы я мог пожить несколько недель с Тобой, друг мой сердечный, среди такой восхитительной природы. Как прекрасно было бы нам — Тебе с Твоей душой, полной фантазии, и мне, возбуждённому и освежённому Твоим энтузиазмом, — помечтать тут над многими задачами, которые нам предстоит разрешить: о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировой системы и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я давно уже научился смиряться с тем, что не каждый прекрасный сон осуществляется.
Мне бросилось в глаза, милый друг, что в своем последнем письме Ты совершенно умалчиваешь о состоянии своего здоровья. Это могло бы меня в известной степени успокоить, так как тот, кто чувствует себя совсем хорошо, об этом и не говорит. Однако, Ты знаешь, что я не сторонник доказательств от противного, которые никогда не дают полной уверенности. Поэтому я прошу прямых данных».
Вейерштрасс очень нежно и заботливо относился к своей ученице. Сохранилось 88 писем, написанных им ей (а письма Софьи он сжёг, когда узнал о её смерти). Вот отрывок из одного письма:
«Этим, милая Соня, я заканчиваю своё письмо в отношении себя. Надеюсь, Ты уже избавилась от цюрихской атмосферы и дышишь свежим горным воздухом. Во время своего пребывания здесь я очень часто думал о Тебе и представлял себе, как прекрасно было бы, если бы я мог пожить несколько недель с Тобой, друг мой сердечный, среди такой восхитительной природы. Как прекрасно было бы нам — Тебе с Твоей душой, полной фантазии, и мне, возбуждённому и освежённому Твоим энтузиазмом, — помечтать тут над многими задачами, которые нам предстоит разрешить: о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировой системы и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я давно уже научился смиряться с тем, что не каждый прекрасный сон осуществляется.
Мне бросилось в глаза, милый друг, что в своем последнем письме Ты совершенно умалчиваешь о состоянии своего здоровья. Это могло бы меня в известной степени успокоить, так как тот, кто чувствует себя совсем хорошо, об этом и не говорит. Однако, Ты знаешь, что я не сторонник доказательств от противного, которые никогда не дают полной уверенности. Поэтому я прошу прямых данных».
👍8❤6🔥4
Вейерштрасс считал, что «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», и сам писал стихи. Вот одно из его стихотворений в переводе академика П.Я. Кочиной (первое четверостишие — цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К. Вейерштрасса):
«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живёт,
Изгони её из жизни — с ней любовь навек умрёт.
Вздрогнет всё от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов всё погаснет в небесах».
Так сказал поэт. Учёных же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.
Всё прекрасное, что людям сердце может обновить,
Всё высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один —
То любви уста вещают из сердец своих глубин.
«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живёт,
Изгони её из жизни — с ней любовь навек умрёт.
Вздрогнет всё от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов всё погаснет в небесах».
Так сказал поэт. Учёных же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.
Всё прекрасное, что людям сердце может обновить,
Всё высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один —
То любви уста вещают из сердец своих глубин.
👍7❤3
31 октября 1902 г. родился Абрахам Вальд, венгерский математик и статистик.
В годы Второй мировой войны он использовал статистические методы для решения проблемы уменьшения потерь американской боевой авиатехники.
Командование американских и британских ВВС ежедневно отправляли сотни бомбардировщиков — бомбить немецкие города, военные заводы, склады оружия и другие объекты. В результате немецкой защиты обратно на базы самолёты союзников возвращались сильно потрёпанные, с многочисленными пробоинами в крыльях и хвостовом оперении от зенитной артиллерии и истребителей. Латать дыры на боевом самолёте — дело довольно сложное и дорогое; поэтому, устав от бесконечного ремонта, инженеры предложили закрыть крылья и оперение дополнительной бронёй. Военное руководство дало своё согласие, но тут вмешался Абрахам Вальд, работавший в те годы в Нью-Йорке.
— Вы делаете глупость! — заявил он. — Вы видите многочисленные пробоины в крыльях и на хвосте не потому, что туда чаще попадают снаряды немецких пушек! А потому, что те самолёты, которым снаряды попали в другие части, например, в двигатель или топливный бак, вообще не вернулись, они были сбиты, их пилоты погибли или попали в плен! Если самолёту попали в крыло, он может вернуться на базу — вот он, стоит здесь, живое тому свидетельство. А вот при попадании в бак или двигатель самолёт уже не возвращается, потому-то мы таких пробоин и не видим! Так что закрывать дополнительной бронёй нужно не те места, где много пробоин. А наоборот — те места, где их нет!
Этот исторический случай стал хрестоматийным примером ошибки выжившего.
В годы Второй мировой войны он использовал статистические методы для решения проблемы уменьшения потерь американской боевой авиатехники.
Командование американских и британских ВВС ежедневно отправляли сотни бомбардировщиков — бомбить немецкие города, военные заводы, склады оружия и другие объекты. В результате немецкой защиты обратно на базы самолёты союзников возвращались сильно потрёпанные, с многочисленными пробоинами в крыльях и хвостовом оперении от зенитной артиллерии и истребителей. Латать дыры на боевом самолёте — дело довольно сложное и дорогое; поэтому, устав от бесконечного ремонта, инженеры предложили закрыть крылья и оперение дополнительной бронёй. Военное руководство дало своё согласие, но тут вмешался Абрахам Вальд, работавший в те годы в Нью-Йорке.
— Вы делаете глупость! — заявил он. — Вы видите многочисленные пробоины в крыльях и на хвосте не потому, что туда чаще попадают снаряды немецких пушек! А потому, что те самолёты, которым снаряды попали в другие части, например, в двигатель или топливный бак, вообще не вернулись, они были сбиты, их пилоты погибли или попали в плен! Если самолёту попали в крыло, он может вернуться на базу — вот он, стоит здесь, живое тому свидетельство. А вот при попадании в бак или двигатель самолёт уже не возвращается, потому-то мы таких пробоин и не видим! Так что закрывать дополнительной бронёй нужно не те места, где много пробоин. А наоборот — те места, где их нет!
Этот исторический случай стал хрестоматийным примером ошибки выжившего.
👍16🔥4❤3👏3
«Проблема с целыми числами в том, что мы рассмотрели только самые маленькие. Может быть, всё самое интересное происходит в очень больших числах, о которых мы даже не можем думать в какой-то определенной форме. Наш мозг эволюционировал, чтобы спасти нас от дождя, найти, где ягоды, и не дать нам погибнуть. Наш мозг эволюционировал не для того, чтобы помогать нам схватывать действительно большие числа или смотреть на вещи в сотнях тысяч измерений».
«Между прочим, когда мы сталкиваемся с вопросом “доказать или опровергнуть”, обычно лучше попытаться сначала опровергнуть с помощью контрпримера по двум причинам: опровержение потенциально проще (нам нужен только один контрпример); и придирки пробуждают наши творческие соки. Даже если данное утверждение истинно, наши поиски контрпримера часто приводят к доказательству, как только мы видим, почему контрпример невозможен. Кроме того, здорово быть скептиком».
«Некоторые думают, что математика — серьёзное дело, которое всегда должно быть холодным и сухим; но мы думаем, что математика — это весело, и нам не стыдно признать этот факт».
«В идеальном математическом выступлении должно быть одно доказательство и одна шутка, и они не должны совпадать».
31 октября 1935 г. родился Рональд Грэм, американский математик, оказавший заметное влияние на развитие дискретной математики.
Он известен как один из трёх соавторов блестящей книги «Конкретная математика», а также в связи с «самым большим» числом — числом Грэма. Это число он получил, работая над одной комбинаторной задачей из теории Рамсея.
Он рассматривал N-мерные кубы. В каждом кубе соединял ребром каждую вершину с каждой, то есть строил полные графы на вершинах N-мерного куба. Каждое ребро он красил в синий или красный цвет. При больших N получалась большая структура. А подструктуру он искал следующую: это должен быть граф с четырьмя вершинам, и притом полный — каждая вершина соединена ребром с каждой. К тому же все вершины должны быть в одной плоскости (граф планарный), а все рёбра одного цвета.
Грэм пытался оценить число N: как велико оно должно быть, чтобы в полном графе на вершинах N-мерного куба нашёлся бы одноцветный планарный граф на четырёх вершинах.
Оценить-то он смог, да только оценка оказалась очень велика. Мартин Гарднер когда-то прославил это число как самое большое, какое только использовалось для математического доказательства.
Для того чтобы представить масштаб этого числа, необходимо познакомиться со специальной стрелочной нотацией, разработанным Кнутом.
Мы же ограничимся тем, что скажем, что если всю обозримую вселенную плотно заполнить атомами, и число этих атомов возвести в равную этому числу степень, то получится ничтожно малая часть от числа Грэма.
«Между прочим, когда мы сталкиваемся с вопросом “доказать или опровергнуть”, обычно лучше попытаться сначала опровергнуть с помощью контрпримера по двум причинам: опровержение потенциально проще (нам нужен только один контрпример); и придирки пробуждают наши творческие соки. Даже если данное утверждение истинно, наши поиски контрпримера часто приводят к доказательству, как только мы видим, почему контрпример невозможен. Кроме того, здорово быть скептиком».
«Некоторые думают, что математика — серьёзное дело, которое всегда должно быть холодным и сухим; но мы думаем, что математика — это весело, и нам не стыдно признать этот факт».
«В идеальном математическом выступлении должно быть одно доказательство и одна шутка, и они не должны совпадать».
31 октября 1935 г. родился Рональд Грэм, американский математик, оказавший заметное влияние на развитие дискретной математики.
Он известен как один из трёх соавторов блестящей книги «Конкретная математика», а также в связи с «самым большим» числом — числом Грэма. Это число он получил, работая над одной комбинаторной задачей из теории Рамсея.
Он рассматривал N-мерные кубы. В каждом кубе соединял ребром каждую вершину с каждой, то есть строил полные графы на вершинах N-мерного куба. Каждое ребро он красил в синий или красный цвет. При больших N получалась большая структура. А подструктуру он искал следующую: это должен быть граф с четырьмя вершинам, и притом полный — каждая вершина соединена ребром с каждой. К тому же все вершины должны быть в одной плоскости (граф планарный), а все рёбра одного цвета.
Грэм пытался оценить число N: как велико оно должно быть, чтобы в полном графе на вершинах N-мерного куба нашёлся бы одноцветный планарный граф на четырёх вершинах.
Оценить-то он смог, да только оценка оказалась очень велика. Мартин Гарднер когда-то прославил это число как самое большое, какое только использовалось для математического доказательства.
Для того чтобы представить масштаб этого числа, необходимо познакомиться со специальной стрелочной нотацией, разработанным Кнутом.
Мы же ограничимся тем, что скажем, что если всю обозримую вселенную плотно заполнить атомами, и число этих атомов возвести в равную этому числу степень, то получится ничтожно малая часть от числа Грэма.
👍9🔥9❤4
«Целью настоящего трактата является исследование фундаментальных законов тех операций ума, посредством которых осуществляется рассуждение; выражение их на символическом языке исчисления и на этой основе установление науки логики и построение её метода».
2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.
2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.
👍11❤🔥4👏3
Жена Джорджа Буля Мэри Эверест являлась племянницей географа Джорджа Эвереста, генерал-инспектора Индии; за вклад в картографию в его честь названа высочайшая вершина земного шара.
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».
👏9❤7👍3
Формально-логический метод недооценён при решении логических задач. В заметке описано применение разновидности этого метода — на основе полиномов Жегалкина.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.
Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?
Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.
Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.
Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?
Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.
Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
👍11🔥6
Однажды Джордж Буль, путешествуя по белу свету, оказался на необыкновенном острове: жители этого острова были либо рыцарями, т.е. всегда говорили правду, либо лжецами, т.е. всегда лгали. Нет уверенности, конечно, что все описанные сюжеты правдивы:), но все они посвящены создателю математической логики.
Задача 1. Желая получше ознакомится с островом, Дж. Буль нанял себе проводника. Увидев вдали туземца, Буль сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец». Буль сразу уволил проводника и решил, что впредь будет путешествовать один. Почему он так поступил?
Решение.Проводник был лжецом, так как ни один житель острова не может сказать про себя, что он лжец.
Задача 1. Желая получше ознакомится с островом, Дж. Буль нанял себе проводника. Увидев вдали туземца, Буль сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец». Буль сразу уволил проводника и решил, что впредь будет путешествовать один. Почему он так поступил?
Решение.
👍14🔥1
Задача 2. Уволив проводника, Буль пошёл гулять по острову. Он встретил двух туземцев — Ло и Лу. На вопрос о том, кто они, Ло сказал ему: «Или я лжец, Или Лу рыцарь». Кто есть кто?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍8
Задача 3. Как-то Буль встретил двух жителей, То и Та, и захотел узнать, кто они. Он спросил у То: «Вы оба рыцари?» То ответил. Буль понял, что не может определить, кто такие То и Та, и задал ещё один вопрос: «Вы одного типа?». То опять ответил, и тогда Джордж понял, к какому типу относятся То и Та. К какому же?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍6
Задача 4. Джордж повстречал двух близнецов — Ша и Ща. Про них известно, что один из них лжец, а другой — рыцарь. Буль захотел узнать, кто из них Ша. Но братья согласились отвечать только на один и тот же вопрос, на который можно ответить только «да» или «нет». Какой вопрос им может задать Буль?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍7
Задача 5. Троих островитян Буль спросил: «Сколько рыцарей среди двух других?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍6
Задача 6. В другой раз Буль встретил четырёх туземцев и задал им вопрос: «Кто вы?». Он получил такие ответы. Первый: «Все мы лжецы». Второй: «Среди нас один лжец». Третий: «Среди нас два лжеца». Четвёртый: «Я ни разу не соврал и сейчас не вру». Джордж быстро сообразил, кем является четвёртый житель. Как он рассуждал?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍4
Задача 7. Ещё Булю довелось наблюдать такую картину. Встретились как-то четверо жителей и говорят друг другу. Первый: «Среди вас нет рыцарей». Второй: «Среди вас один рыцарь». Третий: «Среди нас два рыцаря». Четвёртый: «Среди нас четыре рыцаря». Кто из них кто?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍5
Задача 8. Пятерых жителей острова Буль спросил, сколько среди них рыцарей. «Один», — ответил первый. «Два», — ответил второй. «Три», — ответил третий. «Не верьте им, они все лжецы», — сказал четвёртый. «Сам ты лжец!» — сказал пятый четвёртому. Сколько рыцарей было на самом деле?
Решение задачи по ссылке.
Решение задачи по ссылке.
👍3