25 октября 1811 г. родился Эварист Галуа — французский математик, основоположник современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, был застрелен на дуэли в возрасте двадцати лет.
За 4 года занятий математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Галуа исследовал проблему нахождения общего решения уравнения произвольной степени, то есть задачу, как выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.
Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы.
Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить. Решая эти задачи, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле.
Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании.
Эварист Галуа — тот, без кого невозможно представить себе современную математику.

Это самая поразительная биография, которую знает история математики. Ей посвящена небольшая, но очень пронзительная книга Анри Дальма «Эварист Галуа — революционер и математик».

Отрывок из книги — два письма Галуа, написанные им накануне роковой дуэли.

«Я прошу всех моих друзей-патриотов не упрекать меня за то, что я отдаю жизнь не на благо своей страны. Я умираю жертвой подлой кокетки. Мою жизнь гасит жалкая сплетня.
О! Почему приходится умирать из-за такого пустяка, умирать ради того, что так презираешь!
Беру в свидетели небо, что я всеми способами пытался отклонить вызов и принял его лишь по принуждению!
Я раскаиваюсь, что сказал роковую истину людям, так мало способным выслушать её хладнокровно. Но, в конце концов, я сказал правду. Я уношу в могилу совесть, не запятнанную ложью.
Я отдал немалую толику своей жизни для общего блага.
Не вините тех, кто убил меня. Они были искренни».

«Дорогие друзья!
Меня вызвали два патриота… Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из Вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.
Ваша задача очень проста: Вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, о котором шла речь.
Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы моё имя узнала родина.
Я умираю Вашим другом».

25 октября 1915 г. родился канадско-американский математик Айвен Нивен. Работы в теории чисел, является автором одного из доказательств иррациональности числа π.

Это ему принадлежит очень верное замечание:
«Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!»
(«Mathematics cannot be learned by watching the other fellow do it!»)

26 октября 1849 г. родился Фердинанд Георг Фробениус — немецкий математик, автор исследований в теории эллиптических функций, дифференциальных уравнений и теории конечных групп и их представлений матрицами. Дал своё имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам в современной математической физике, известным как многообразия Фробениуса. Наравне с Вейерштрассом заложили основы теории матриц как алгебраической дисциплины.
Наряду с Гамильтоном является одним из творцов алгебры гиперкомплексных чисел. Фробениус первым доказал, что алгебры с делением над полем вещественных чисел существуют только в пространствах размерности один (поле вещественных чисел), два (поле комплексных чисел) и четыре (тело кватернионов). При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (альтернативная 8-мерная алгебра октав Кэли). Трёхмерных чисел не бывает, как не бывает и пяти- или же более -мерных.

Фробениус внёс большой вклад в теорию чисел.
Известна поставленная им довольно трудная и до сих пор не решённая в общем виде проблема монет.
Имеются монеты нескольких номиналов: a, b, с, … — бесконечное количество монет каждого номинала. Требуется найти наибольшую сумму Frob(a, b, с, … ), которую невозможно выплатить этими номиналами, то есть нельзя представить в виде линейной комбинации xa + yb + zc + …, где x, y, z, … — неотрицательные целые числа.

Для двух монет эта задача была решена ещё Сильвестром в 1882 г.: он доказал, что для взаимно простых a и b Frob(a, b) = ab–a–b. Быстрый алгоритм для Frob(a, b, c) был найден лишь в 1978 году. Для больших количеств номиналов общая формула чисел Фробениуса неизвестна. Для любого фиксированного количества номиналов существует алгоритм, который вычисляет число Фробениуса за полиномиальное время.

Формулу Сильвестра Frob(a, b) = ab–a–b несложно доказать.
Пусть для определенности a < b.
Попробуем выяснить, чему должен равняться коэффициент при b в представлении ab – a – b = sa + tb с целыми неотрицательными s и t.
Для этого будем, начиная с ab – a – b, вычитать b, пока не получим число, кратное a. Числа
ab–a–b,
ab–a–2b,
ab–a–3b,
…
ab–a–ab
образуют полную систему вычетов по модулю a. Поэтому среди них ровно одно кратно a. Ясно, что это последнее число. Но оно отрицательно. Поэтому ab–a–b не представимо в требуемом виде. Остается показать, что число ab–a–b+k (k — любое натуральное) обладает необходимым представлением.
Числа
k + ab–a–b,
k + ab–a–2b,
k + ab–a–3b,
…
k + ab–a–ab
также образуют полную систему вычетов по модулю a. Значит, среди них тоже ровно одно число кратно a. При k < a это число не может быть последним, а все остальные числа неотрицательны. Если же k не меньше a, то все числа системы неотрицательны. Поэтому в любом случае мы придем к требуемому представлению.

Имеется ещё интересное геометрическое доказательство этого факта. Оно описано в журнале Квант 1973 г., № 11, с. 44–45, решение задачи М194.
Его идея состоит в следующем. Каждую пару целых чисел (x, y) назовём целой точкой и будем изображать красной точкой, если обе её координаты неотрицательны, и синей точкой — если хотя бы одна координата отрицательна. Для каждого целого n уравнение ax + by = n определяет прямую lₙ. Все прямые lₙ параллельны друг другу. Пусть n — целое. Будем считать прямую lₙ красной, если она проходит хотя бы через одну красную точку, и синей — в противном случае.
Несложно показать, что каждая прямая lₙ проходит ровно через целую одну точку полосы 0 ≤ x ≤ b – 1 (а при b = 1 полоса вырождается в прямую). При этом очевидно, что если прямая красная, то её целая точка в выделенной полосе тоже будет красной (а точка синей прямой, разумеется, синяя).
Теперь заметим, что при симметрии относительно точки (ᵇ⁻¹∕₂, ½) (эта симметрия задаётся формулой (x; y) → (b – 1 – x; –1 – y)) указанная полоса переходит в себя, причём красные точки переходят в синие, и наоборот. Прямую lₙ эта симметрия переводит в прямую lₖ, где k = ab–a–b–n. Ясно, что самая нижняя красная прямая — это l₀. Следовательно, для самой верхней синей прямой n = ab–a–b.

Задача о монетах Фробениуса находит разные интерпретации. Часто её формулируют как задачу о марках определённого номинала, наклеиваемых на конверт. Одна из таких забавных интерпретаций получила название числа макнаггетса. Речь шла о том, что в UK куриные наггетсы от Макдональдса упаковывают в оригинальные коробочки, содержащие 6, 9 или 20 наггетсов. 43 — наибольшее число, не являющееся числом макнаггетса.

Основываясь на доказанном Сильвестром факте, Джон Конвей изобрёл игру Сильверская чеканка:
Два игрока по очереди называют положительные целые числа, которые не являются суммой неотрицательных кратных ранее названных целых чисел. Игрок, назвавший 1, проигрывает.

Пример игры между A и B:
— A начинает с 5. Теперь ни один из игроков не может назвать 5, 10, 15, ....
— B называет 4. Теперь ни один игрок не может назвать 4, 5, 8, 9, 10, или любое число, большее 11. (Пример: 27 = 4·3 + 5·3)
— A называет 11. Теперь остались только числа 2, 3, 6 и 7.
— B называет 6. Теперь остались только числа 2, 3 и 7.
— A называет 7. Теперь остались только числа 2 и 3.
— B называет 2. Теперь осталось только 3.
— A называет 3, ничего не оставляя для B, и выигрывает.
Каждый из ходов А приводил к выигрышной позиции.

«Одни учёные убеждены, что математик утоляет свою жажду непосредственно в источнике знаний, который всегда чист и обилен (в то время как представители других наук вынуждены довольствоваться мутным потоком действительности), что целью математики является прославление человеческого духа. Другие возражают им, утверждая, что жизненные соки математики поступают в неё из корней, уходящих своими бесчисленными разветвлениями в реальность».

«Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости».

30 октября 1920 г. родился Наум Яковлевич Виленкин, советский математик. Занимался теорией топологических групп, изучал системы характеров нульмерных компактных абелевых групп. Эти исследования нашли практическое применение в системах цифровой обработки, в конструировании цифровых фильтров и теории голографии.
Автор более 300 научных работ, учебных пособий и задачников для студентов. Автор известных школьных учебников по математике, используемых в школе последние полвека.
Популяризатор науки, его «Рассказы о множествах» и «Комбинаторика» вошли в золотой фонд научно-популярных книг по математике.

Задачи Н.Я. Виленкина

Задача 1. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями (и только с ними). Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить заколдованную принцессу, но среди выбранных рыцарей не должно быть врагов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение задачи по ссылке.

«Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

31 октября 1815 г. родился Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, выдающийся немецкий математик.

В юности Карл вёл весёлую жизнь нормального студента — увлекался фехтованием, пивом и математикой. Он был не особенно усердным студентом, поэтому получил диплом, дающий право преподавать математику только в школе. И он преподавал: математику, физику, иностранные языки, историю, ботанику, географию, гимнастику и каллиграфию.
Позже он получил почётную докторскую степень и стал профессором математики в Берлине.

Вейерштрасса называют «отцом современного матанализа» и «образцом математической строгости». По сути он реформировал математический анализ, изгнав из него туманные формулировки, перевёл все понятия в буквенно-численные, сделав его язык сухим, ясным и строгим.
Когда Ньютон разрабатывал математический анализ, он вдохновлялся физическим миром: траекториями планет, колебаниями маятника, движением падающего фрукта:) Такое мышление привело к возникновению геометрической интуиции относительно математических структур. Они должны были иметь такой же смысл, что и физический объект. В результате этого многие математики сосредоточились на изучении «непрерывных» функций. Их можно воспринимать как функции, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Непрерывная функция, как считалось, была «естественной». Вейерштрасс был первым, кто с чисто прусской педантичностью дал строгое определение этому интуитивно ясному понятию. Как писал Анри Пуанкаре: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».
По общепринятому тогда мнению, у любой непрерывной кривой можно найти производную в бесконечном числе точек. Казалось, это соответствовало интуитивному понимаю: у линии может быть несколько изломов, но всегда есть части, которые являются гладкими. Андре-Мари Ампер даже опубликовал «доказательство» этого утверждения, и к середине 19 века оно цитировалось почти в каждом учебнике по математическому анализу.
В 1872 г. Карл Вейерштрасс объявил, что нашёл функцию, являющуюся непрерывной, но не гладкую ни в одной точке. Он создал её, сложив вместе бесконечно длинный ряд функций косинуса:
f(x) = cos(3πx)/2 + cos(3²πx)/2² + cos(3³πx)/2³ + …
Как функция она была уродливой и отвратительной, было даже непонятно, как выглядит её график. Но Вейерштрасса это не волновало: он построил своё чудовище на железной логике и доказал, что для этой новой функции производную вычислить невозможно.
Результат привёл математическое сообщество в состояние шока. Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ и вместо вынашивания идей о физике природы завяз бы в попытках пробраться через жёсткие математические преграды. Чудовище стало расшатывать и предыдущие исследования. Результаты, казавшиеся «доказанными», трещали по швам. Ещё хуже было то, что теперь стало неочевидным, из чего же состоит математическое доказательство. Интуитивные геометрические аргументы двух прошедших веков стали бесполезными. Одним странным примером функции Вейерштрасс показал, что физическая интуиция была ненадёжным основанием для построения математических теорий.
Авторитетные математики попытались отмахнуться от результата, утверждая, что он некрасив и не нужен. Шарль Эрмит писал: «Я в отвращении и ужасе отворачиваюсь от прискорбной скверны функций, не имеющих производных». Анри Пуанкаре, впервые назвавший такие функции чудовищами, назвал работу Вейерштрасса «надругательством над здравым смыслом». Он утверждал, что такие функции — нахальное отвлечение от сути предмета. «Их изобрели с целью показать ошибочность рассуждений наших предшественников», — говорил он. «И кроме этого, мы не сможем ничего из них взять».
Многие из «старой гвардии» хотели оставить чудовище Вейерштрасса на задворках математики. Мешало и то, что никто не мог представить облик существа, с которым они встретились — только после изобретения компьютеров появилась возможность создать его график. Его непостижимая форма мешала осознанию математическим сообществом того, как такая функция вообще может существовать.

Однако, сегодня мы можем сказать, что построенный Вейерштрассом монстр изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов математики, таких как стохастическое исчисление и теория фракталов, которые, в свою очередь, находят применение в различных областях — гидродинамике, нейробиологии, при описании распространения заболеваний в популяции, биржевого курса и проч.

Будучи в науке педантом, действующим по строгому плану, в обычной жизни Вейерштрасс оставался открытым и доброжелательным человеком. По сути он за ручку ввёл в математику 20-летнюю Софью Ковалевскую, которую как женщину не брали ни в российские университеты, ни в немецкие, Вейерштрасс преподавал ей дома. А когда её муж покончил с собой, запутавшись в коммерции, и Ковалевская осталась с маленькой дочкой без средств к существованию, Вейерштрасс задействовал свой авторитет, связи и добился для неё места профессора в Стокгольмском университете. Когда Ковалевская неожиданно умерла в Швеции, он слёг и до своей смерти больше не появлялся в университете.
Вейерштрасс очень нежно и заботливо относился к своей ученице. Сохранилось 88 писем, написанных им ей (а письма Софьи он сжёг, когда узнал о её смерти). Вот отрывок из одного письма:

«Этим, милая Соня, я заканчиваю своё письмо в отношении себя. Надеюсь, Ты уже избавилась от цюрихской атмосферы и дышишь свежим горным воздухом. Во время своего пребывания здесь я очень часто думал о Тебе и представлял себе, как прекрасно было бы, если бы я мог пожить несколько недель с Тобой, друг мой сердечный, среди такой восхитительной природы. Как прекрасно было бы нам — Тебе с Твоей душой, полной фантазии, и мне, возбуждённому и освежённому Твоим энтузиазмом, — помечтать тут над многими задачами, которые нам предстоит разрешить: о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировой системы и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я давно уже научился смиряться с тем, что не каждый прекрасный сон осуществляется.
Мне бросилось в глаза, милый друг, что в своем последнем письме Ты совершенно умалчиваешь о состоянии своего здоровья. Это могло бы меня в известной степени успокоить, так как тот, кто чувствует себя совсем хорошо, об этом и не говорит. Однако, Ты знаешь, что я не сторонник доказательств от противного, которые никогда не дают полной уверенности. Поэтому я прошу прямых данных».

Вейерштрасс считал, что «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», и сам писал стихи. Вот одно из его стихотворений в переводе академика П.Я. Кочиной (первое четверостишие — цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К. Вейерштрасса):

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живёт,
Изгони её из жизни — с ней любовь навек умрёт.
Вздрогнет всё от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов всё погаснет в небесах».

Так сказал поэт. Учёных же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.

Всё прекрасное, что людям сердце может обновить,
Всё высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один —
То любви уста вещают из сердец своих глубин.

«Проблема с целыми числами в том, что мы рассмотрели только самые маленькие. Может быть, всё самое интересное происходит в очень больших числах, о которых мы даже не можем думать в какой-то определенной форме. Наш мозг эволюционировал, чтобы спасти нас от дождя, найти, где ягоды, и не дать нам погибнуть. Наш мозг эволюционировал не для того, чтобы помогать нам схватывать действительно большие числа или смотреть на вещи в сотнях тысяч измерений».

«Между прочим, когда мы сталкиваемся с вопросом “доказать или опровергнуть”, обычно лучше попытаться сначала опровергнуть с помощью контрпримера по двум причинам: опровержение потенциально проще (нам нужен только один контрпример); и придирки пробуждают наши творческие соки. Даже если данное утверждение истинно, наши поиски контрпримера часто приводят к доказательству, как только мы видим, почему контрпример невозможен. Кроме того, здорово быть скептиком».

«Некоторые думают, что математика — серьёзное дело, которое всегда должно быть холодным и сухим; но мы думаем, что математика — это весело, и нам не стыдно признать этот факт».

«В идеальном математическом выступлении должно быть одно доказательство и одна шутка, и они не должны совпадать».

31 октября 1935 г. родился Рональд Грэм, американский математик, оказавший заметное влияние на развитие дискретной математики.
Он известен как один из трёх соавторов блестящей книги «Конкретная математика», а также в связи с «самым большим» числом — числом Грэма. Это число он получил, работая над одной комбинаторной задачей из теории Рамсея.
Он рассматривал N-мерные кубы. В каждом кубе соединял ребром каждую вершину с каждой, то есть строил полные графы на вершинах N-мерного куба. Каждое ребро он красил в синий или красный цвет. При больших N получалась большая структура. А подструктуру он искал следующую: это должен быть граф с четырьмя вершинам, и притом полный — каждая вершина соединена ребром с каждой. К тому же все вершины должны быть в одной плоскости (граф планарный), а все рёбра одного цвета.
Грэм пытался оценить число N: как велико оно должно быть, чтобы в полном графе на вершинах N-мерного куба нашёлся бы одноцветный планарный граф на четырёх вершинах.
Оценить-то он смог, да только оценка оказалась очень велика. Мартин Гарднер когда-то прославил это число как самое большое, какое только использовалось для математического доказательства.
Для того чтобы представить масштаб этого числа, необходимо познакомиться со специальной стрелочной нотацией, разработанным Кнутом.
Мы же ограничимся тем, что скажем, что если всю обозримую вселенную плотно заполнить атомами, и число этих атомов возвести в равную этому числу степень, то получится ничтожно малая часть от числа Грэма.

«Целью настоящего трактата является исследование фундаментальных законов тех операций ума, посредством которых осуществляется рассуждение; выражение их на символическом языке исчисления и на этой основе установление науки логики и построение её метода».

2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.

Жена Джорджа Буля Мэри Эверест являлась племянницей географа Джорджа Эвереста, генерал-инспектора Индии; за вклад в картографию в его честь названа высочайшая вершина земного шара.
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».

Формально-логический метод недооценён при решении логических задач. В заметке описано применение разновидности этого метода — на основе полиномов Жегалкина.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.

Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?

Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.

Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?

Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.