Задача. Если считать, что спичка служит эталоном длины (её длина принята за единицу), то 12 спичек можно различными способами расположить на плоскости так, чтобы получились многоугольники с целочисленной площадью. Например, легко построить квадрат с площадью 9 или крест с площадью 5.
Пользуясь всеми 12 спичками (длина каждой спички должна быть использована полностью), требуется выложить периметр многоугольника, площадь которого равна 4.

Решение задачи по ссылке.

Задача. Четыре шара можно расположить так, что каждый из них будет касаться трёх других. Пять монет можно установить так, что каждая монета будет касаться четырёх остальных.
А можно ли расположить семь сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась с шестью остальными?

Решение задачи по ссылке.

В июне 1974 года Гарднер опубликовал в журнале Scientific American в своей колонке "Математические игры" пародию на псевдонаучную статью, в которой рассказал о совершенно невероятных свойствах пирамид. Речь шла о том, что внутри пирамидальных конструкций происходят удивительные процессы: лезвия самозатачиваются, бактерии и грибки погибают, процесс старения останавливается, происходят исцеления...
Не разобравшись в пародийности этой статьи по всему миру начали строить пирамиды, которые «гармонизируют структуру окружающего пространства». Строили их у нас. Самая известная — пирамида инженера А.Е. Голода на 38-м километре Новорижского шоссе (высота пирамиды 44 метра, вес сооружения превышает 55 тонн, стоимость строительства более 1 миллиона долларов) была построена в 1999 г. и разрушена ураганом в 2017 г., но в том же году восстановлена в уменьшенном в 3 раза размере.
На уловки проходимцев, раскрутивших шуточную идею Гарднера, купился и "Газпром" — его управляющие поверили словам мошенников о чудодейственных свойствах пирамид по уменьшению на 30% вязкости нефти в местах их установки и начали строить пирамиды на месторождениях нефти и газа.

Самое большое простое число было обнаружено 12 октября 2024 г. исследователем из Сан-Хосе, Калифорния, Люко Дурантом. Оно принадлежит к классу простых чисел Мерсенна (которые являются крайне редкими среди всех известных простых чисел) и составляет 2¹³⁶²⁶⁹⁸⁴¹–1, состоит из 41 024 320 десятичных цифр. Этот рекорд побил предыдущее крупнейшее известное простое число (обнаруженное в 2018 г.) на 16 миллионов цифр.

24 октября 1906 г. родился Александр Осипович Гельфонд. Внёс существенный вклад в методы исследования трансцендентных чисел. Доказал трансцендентность логарифмов алгебраических чисел при алгебраическом основании. Изучил взаимную трансцендентность чисел и общих вопросов диофантовых приближений. Опубликовал множество работ по теории чисел и теории функций комплексного переменного, по проблемам единственности, полноты систем функций, интерполяции в комплексной области, по арифметическим свойствам функций. Ему принадлежат также исследования о работах Л. Эйлера по теории чисел и анализу, ряд статей по истории трансцендентных чисел, по истории отдельных вопросов теории чисел и теории функций.
Во время ВОВ решал прикладные задачи, поставленные Главным штабом Военно-Морского флота.

В.И. Арнольд: «Один из лучших математиков России — Александр Осипович Гельфонд (24 октября 2006 г. мы отпраздновали 100-летие со дня его рождения) — был главным криптографом флота во время войны. По-моему, с генеральским чином в соответствующем комитете. Он знаменит не только своими гениальными работами по теории чисел (за которые, однако, его так и не выбрали почему-то в академики, хотя член-корреспондентом он был выбран в молодости), но и своими секретными работами. Мало кто в мире подозревал, что Александр Осипович — не академик».

Во многих источниках (включая Википедию) утверждается, что Гельфонд решил 7-ю проблему Гильберта (теорема о том, что число вида αᵝ, где α — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а β — иррациональное алгебраическое число, всегда является трансцендентным).
Правда, В.И. Арнольд отдаёт право первенства решения этой проблемы Родиону Осиевичу Кузьмину:
«Мой близкий друг Александр Осипович Гельфонд бился над этой проблемой несколько лет и смог доказать, что два в степени корень из минус двух — не алгебраическое число. Однако, это не проблема Гильберта — это комплексное число, совсем другое. Он думал несколько лет над этой проблемой, и у него ничего не получалось, он мне говорил, что совершенно отчаялся, думал, что это никогда не выйдет. И тут появился Кузьмин, который, использовав свою лестницу, а также работу Гельфонда, понял, что к ней надо добавить, и решил проблему Гильберта.
Но, интересно, как у Гюнтера, так и у Кузьмина странная судьба: этот результат никто никогда не приписывает Кузьмину. И вот по какой причине. У Кузьмина был враг. В Ленинграде был такой крупный теоретико-числовик Иван Матвеевич Виноградов, который ненавидел Кузьмина как соперника по теории чисел. Иван Матвеевич мне говорил: “Какой я антисемит? Мой ближайший друг Александр Осипович Гельфонд — совершенный еврей!” И вот он результат русского Кузьмина приписал еврею Гельфонду. Он опубликовал статью, в которой сказано: “Мой друг Гельфонд решил проблему Гильберта”. Александр Осипович ужасно удивлялся, говорил: “Зачем ему это надо? Я никогда не претендовал. Кузьмин сделал очень хорошую работу, надо его хвалить”. Однако, слова Виноградова переписали все люди, которые писали о русской математике. Первым переписал Павел Сергеевич Александров, который написал о проблемах Гильберта большую книжку. Вторым переписала Ольга Арсеньевна Олейник, которая тоже писала такой обзор к какому-то юбилею проблем Гильберта. А третьим, как ни странно, переписал то же самое мой друг Андрей Болибрух, который тоже написал книгу о проблемах Гильберта и тоже переписал тот же самый вздор, хотя я ему говорил, и он знал правду. И, наконец, но это не последний случай, очередной обзор написал Яков Григорьевич Синай, который описал 30 крупнейших открытий математики 20 века — и в этой книге опять пропущен Кузьмин, написано, что всё сделал Гельфонд. Уж не знаю, зачем и почему, но факт вот такой».

25 октября 1811 г. родился Эварист Галуа — французский математик, основоположник современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, был застрелен на дуэли в возрасте двадцати лет.
За 4 года занятий математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Галуа исследовал проблему нахождения общего решения уравнения произвольной степени, то есть задачу, как выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.
Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы.
Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить. Решая эти задачи, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле.
Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании.
Эварист Галуа — тот, без кого невозможно представить себе современную математику.

Это самая поразительная биография, которую знает история математики. Ей посвящена небольшая, но очень пронзительная книга Анри Дальма «Эварист Галуа — революционер и математик».

Отрывок из книги — два письма Галуа, написанные им накануне роковой дуэли.

«Я прошу всех моих друзей-патриотов не упрекать меня за то, что я отдаю жизнь не на благо своей страны. Я умираю жертвой подлой кокетки. Мою жизнь гасит жалкая сплетня.
О! Почему приходится умирать из-за такого пустяка, умирать ради того, что так презираешь!
Беру в свидетели небо, что я всеми способами пытался отклонить вызов и принял его лишь по принуждению!
Я раскаиваюсь, что сказал роковую истину людям, так мало способным выслушать её хладнокровно. Но, в конце концов, я сказал правду. Я уношу в могилу совесть, не запятнанную ложью.
Я отдал немалую толику своей жизни для общего блага.
Не вините тех, кто убил меня. Они были искренни».

«Дорогие друзья!
Меня вызвали два патриота… Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из Вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.
Ваша задача очень проста: Вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, о котором шла речь.
Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы моё имя узнала родина.
Я умираю Вашим другом».

25 октября 1915 г. родился канадско-американский математик Айвен Нивен. Работы в теории чисел, является автором одного из доказательств иррациональности числа π.

Это ему принадлежит очень верное замечание:
«Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!»
(«Mathematics cannot be learned by watching the other fellow do it!»)

26 октября 1849 г. родился Фердинанд Георг Фробениус — немецкий математик, автор исследований в теории эллиптических функций, дифференциальных уравнений и теории конечных групп и их представлений матрицами. Дал своё имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам в современной математической физике, известным как многообразия Фробениуса. Наравне с Вейерштрассом заложили основы теории матриц как алгебраической дисциплины.
Наряду с Гамильтоном является одним из творцов алгебры гиперкомплексных чисел. Фробениус первым доказал, что алгебры с делением над полем вещественных чисел существуют только в пространствах размерности один (поле вещественных чисел), два (поле комплексных чисел) и четыре (тело кватернионов). При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (альтернативная 8-мерная алгебра октав Кэли). Трёхмерных чисел не бывает, как не бывает и пяти- или же более -мерных.

Фробениус внёс большой вклад в теорию чисел.
Известна поставленная им довольно трудная и до сих пор не решённая в общем виде проблема монет.
Имеются монеты нескольких номиналов: a, b, с, … — бесконечное количество монет каждого номинала. Требуется найти наибольшую сумму Frob(a, b, с, … ), которую невозможно выплатить этими номиналами, то есть нельзя представить в виде линейной комбинации xa + yb + zc + …, где x, y, z, … — неотрицательные целые числа.

Для двух монет эта задача была решена ещё Сильвестром в 1882 г.: он доказал, что для взаимно простых a и b Frob(a, b) = ab–a–b. Быстрый алгоритм для Frob(a, b, c) был найден лишь в 1978 году. Для больших количеств номиналов общая формула чисел Фробениуса неизвестна. Для любого фиксированного количества номиналов существует алгоритм, который вычисляет число Фробениуса за полиномиальное время.

Формулу Сильвестра Frob(a, b) = ab–a–b несложно доказать.
Пусть для определенности a < b.
Попробуем выяснить, чему должен равняться коэффициент при b в представлении ab – a – b = sa + tb с целыми неотрицательными s и t.
Для этого будем, начиная с ab – a – b, вычитать b, пока не получим число, кратное a. Числа
ab–a–b,
ab–a–2b,
ab–a–3b,
…
ab–a–ab
образуют полную систему вычетов по модулю a. Поэтому среди них ровно одно кратно a. Ясно, что это последнее число. Но оно отрицательно. Поэтому ab–a–b не представимо в требуемом виде. Остается показать, что число ab–a–b+k (k — любое натуральное) обладает необходимым представлением.
Числа
k + ab–a–b,
k + ab–a–2b,
k + ab–a–3b,
…
k + ab–a–ab
также образуют полную систему вычетов по модулю a. Значит, среди них тоже ровно одно число кратно a. При k < a это число не может быть последним, а все остальные числа неотрицательны. Если же k не меньше a, то все числа системы неотрицательны. Поэтому в любом случае мы придем к требуемому представлению.

Имеется ещё интересное геометрическое доказательство этого факта. Оно описано в журнале Квант 1973 г., № 11, с. 44–45, решение задачи М194.
Его идея состоит в следующем. Каждую пару целых чисел (x, y) назовём целой точкой и будем изображать красной точкой, если обе её координаты неотрицательны, и синей точкой — если хотя бы одна координата отрицательна. Для каждого целого n уравнение ax + by = n определяет прямую lₙ. Все прямые lₙ параллельны друг другу. Пусть n — целое. Будем считать прямую lₙ красной, если она проходит хотя бы через одну красную точку, и синей — в противном случае.
Несложно показать, что каждая прямая lₙ проходит ровно через целую одну точку полосы 0 ≤ x ≤ b – 1 (а при b = 1 полоса вырождается в прямую). При этом очевидно, что если прямая красная, то её целая точка в выделенной полосе тоже будет красной (а точка синей прямой, разумеется, синяя).
Теперь заметим, что при симметрии относительно точки (ᵇ⁻¹∕₂, ½) (эта симметрия задаётся формулой (x; y) → (b – 1 – x; –1 – y)) указанная полоса переходит в себя, причём красные точки переходят в синие, и наоборот. Прямую lₙ эта симметрия переводит в прямую lₖ, где k = ab–a–b–n. Ясно, что самая нижняя красная прямая — это l₀. Следовательно, для самой верхней синей прямой n = ab–a–b.

Задача о монетах Фробениуса находит разные интерпретации. Часто её формулируют как задачу о марках определённого номинала, наклеиваемых на конверт. Одна из таких забавных интерпретаций получила название числа макнаггетса. Речь шла о том, что в UK куриные наггетсы от Макдональдса упаковывают в оригинальные коробочки, содержащие 6, 9 или 20 наггетсов. 43 — наибольшее число, не являющееся числом макнаггетса.

Основываясь на доказанном Сильвестром факте, Джон Конвей изобрёл игру Сильверская чеканка:
Два игрока по очереди называют положительные целые числа, которые не являются суммой неотрицательных кратных ранее названных целых чисел. Игрок, назвавший 1, проигрывает.

Пример игры между A и B:
— A начинает с 5. Теперь ни один из игроков не может назвать 5, 10, 15, ....
— B называет 4. Теперь ни один игрок не может назвать 4, 5, 8, 9, 10, или любое число, большее 11. (Пример: 27 = 4·3 + 5·3)
— A называет 11. Теперь остались только числа 2, 3, 6 и 7.
— B называет 6. Теперь остались только числа 2, 3 и 7.
— A называет 7. Теперь остались только числа 2 и 3.
— B называет 2. Теперь осталось только 3.
— A называет 3, ничего не оставляя для B, и выигрывает.
Каждый из ходов А приводил к выигрышной позиции.

«Одни учёные убеждены, что математик утоляет свою жажду непосредственно в источнике знаний, который всегда чист и обилен (в то время как представители других наук вынуждены довольствоваться мутным потоком действительности), что целью математики является прославление человеческого духа. Другие возражают им, утверждая, что жизненные соки математики поступают в неё из корней, уходящих своими бесчисленными разветвлениями в реальность».

«Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости».

30 октября 1920 г. родился Наум Яковлевич Виленкин, советский математик. Занимался теорией топологических групп, изучал системы характеров нульмерных компактных абелевых групп. Эти исследования нашли практическое применение в системах цифровой обработки, в конструировании цифровых фильтров и теории голографии.
Автор более 300 научных работ, учебных пособий и задачников для студентов. Автор известных школьных учебников по математике, используемых в школе последние полвека.
Популяризатор науки, его «Рассказы о множествах» и «Комбинаторика» вошли в золотой фонд научно-популярных книг по математике.

Задачи Н.Я. Виленкина

Задача 1. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями (и только с ними). Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить заколдованную принцессу, но среди выбранных рыцарей не должно быть врагов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение задачи по ссылке.

«Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

31 октября 1815 г. родился Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, выдающийся немецкий математик.

В юности Карл вёл весёлую жизнь нормального студента — увлекался фехтованием, пивом и математикой. Он был не особенно усердным студентом, поэтому получил диплом, дающий право преподавать математику только в школе. И он преподавал: математику, физику, иностранные языки, историю, ботанику, географию, гимнастику и каллиграфию.
Позже он получил почётную докторскую степень и стал профессором математики в Берлине.

Вейерштрасса называют «отцом современного матанализа» и «образцом математической строгости». По сути он реформировал математический анализ, изгнав из него туманные формулировки, перевёл все понятия в буквенно-численные, сделав его язык сухим, ясным и строгим.
Когда Ньютон разрабатывал математический анализ, он вдохновлялся физическим миром: траекториями планет, колебаниями маятника, движением падающего фрукта:) Такое мышление привело к возникновению геометрической интуиции относительно математических структур. Они должны были иметь такой же смысл, что и физический объект. В результате этого многие математики сосредоточились на изучении «непрерывных» функций. Их можно воспринимать как функции, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Непрерывная функция, как считалось, была «естественной». Вейерштрасс был первым, кто с чисто прусской педантичностью дал строгое определение этому интуитивно ясному понятию. Как писал Анри Пуанкаре: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».
По общепринятому тогда мнению, у любой непрерывной кривой можно найти производную в бесконечном числе точек. Казалось, это соответствовало интуитивному понимаю: у линии может быть несколько изломов, но всегда есть части, которые являются гладкими. Андре-Мари Ампер даже опубликовал «доказательство» этого утверждения, и к середине 19 века оно цитировалось почти в каждом учебнике по математическому анализу.
В 1872 г. Карл Вейерштрасс объявил, что нашёл функцию, являющуюся непрерывной, но не гладкую ни в одной точке. Он создал её, сложив вместе бесконечно длинный ряд функций косинуса:
f(x) = cos(3πx)/2 + cos(3²πx)/2² + cos(3³πx)/2³ + …
Как функция она была уродливой и отвратительной, было даже непонятно, как выглядит её график. Но Вейерштрасса это не волновало: он построил своё чудовище на железной логике и доказал, что для этой новой функции производную вычислить невозможно.
Результат привёл математическое сообщество в состояние шока. Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ и вместо вынашивания идей о физике природы завяз бы в попытках пробраться через жёсткие математические преграды. Чудовище стало расшатывать и предыдущие исследования. Результаты, казавшиеся «доказанными», трещали по швам. Ещё хуже было то, что теперь стало неочевидным, из чего же состоит математическое доказательство. Интуитивные геометрические аргументы двух прошедших веков стали бесполезными. Одним странным примером функции Вейерштрасс показал, что физическая интуиция была ненадёжным основанием для построения математических теорий.
Авторитетные математики попытались отмахнуться от результата, утверждая, что он некрасив и не нужен. Шарль Эрмит писал: «Я в отвращении и ужасе отворачиваюсь от прискорбной скверны функций, не имеющих производных». Анри Пуанкаре, впервые назвавший такие функции чудовищами, назвал работу Вейерштрасса «надругательством над здравым смыслом». Он утверждал, что такие функции — нахальное отвлечение от сути предмета. «Их изобрели с целью показать ошибочность рассуждений наших предшественников», — говорил он. «И кроме этого, мы не сможем ничего из них взять».
Многие из «старой гвардии» хотели оставить чудовище Вейерштрасса на задворках математики. Мешало и то, что никто не мог представить облик существа, с которым они встретились — только после изобретения компьютеров появилась возможность создать его график. Его непостижимая форма мешала осознанию математическим сообществом того, как такая функция вообще может существовать.

Однако, сегодня мы можем сказать, что построенный Вейерштрассом монстр изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов математики, таких как стохастическое исчисление и теория фракталов, которые, в свою очередь, находят применение в различных областях — гидродинамике, нейробиологии, при описании распространения заболеваний в популяции, биржевого курса и проч.

Будучи в науке педантом, действующим по строгому плану, в обычной жизни Вейерштрасс оставался открытым и доброжелательным человеком. По сути он за ручку ввёл в математику 20-летнюю Софью Ковалевскую, которую как женщину не брали ни в российские университеты, ни в немецкие, Вейерштрасс преподавал ей дома. А когда её муж покончил с собой, запутавшись в коммерции, и Ковалевская осталась с маленькой дочкой без средств к существованию, Вейерштрасс задействовал свой авторитет, связи и добился для неё места профессора в Стокгольмском университете. Когда Ковалевская неожиданно умерла в Швеции, он слёг и до своей смерти больше не появлялся в университете.
Вейерштрасс очень нежно и заботливо относился к своей ученице. Сохранилось 88 писем, написанных им ей (а письма Софьи он сжёг, когда узнал о её смерти). Вот отрывок из одного письма:

«Этим, милая Соня, я заканчиваю своё письмо в отношении себя. Надеюсь, Ты уже избавилась от цюрихской атмосферы и дышишь свежим горным воздухом. Во время своего пребывания здесь я очень часто думал о Тебе и представлял себе, как прекрасно было бы, если бы я мог пожить несколько недель с Тобой, друг мой сердечный, среди такой восхитительной природы. Как прекрасно было бы нам — Тебе с Твоей душой, полной фантазии, и мне, возбуждённому и освежённому Твоим энтузиазмом, — помечтать тут над многими задачами, которые нам предстоит разрешить: о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировой системы и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я давно уже научился смиряться с тем, что не каждый прекрасный сон осуществляется.
Мне бросилось в глаза, милый друг, что в своем последнем письме Ты совершенно умалчиваешь о состоянии своего здоровья. Это могло бы меня в известной степени успокоить, так как тот, кто чувствует себя совсем хорошо, об этом и не говорит. Однако, Ты знаешь, что я не сторонник доказательств от противного, которые никогда не дают полной уверенности. Поэтому я прошу прямых данных».

Вейерштрасс считал, что «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», и сам писал стихи. Вот одно из его стихотворений в переводе академика П.Я. Кочиной (первое четверостишие — цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К. Вейерштрасса):

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живёт,
Изгони её из жизни — с ней любовь навек умрёт.
Вздрогнет всё от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов всё погаснет в небесах».

Так сказал поэт. Учёных же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.

Всё прекрасное, что людям сердце может обновить,
Всё высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один —
То любви уста вещают из сердец своих глубин.