Как Бируни измерил Землю
Первое известное измерение радиуса Земли сделал Эратосфен ещё в III в. до н.э. — он сопоставил линейное расстояние между двумя египетскими городами — Александрией и Сиеной (ныне Асуан) с разностью их широт. Это был трудоёмкий способ, и он не позволял достичь хорошей точности.
Довольно простой и красивый способ измерения радиуса Земли, доступный современному школьнику, знакомому с тригонометрией, предложил Аль-Бируни.
Если наблюдатель поднимется на вершину горы А высотой h, то увидит линию горизонта в точке С. Измерив угол понижения горизонта α и высоту горы, легко найти радиус Земли.
Для определения высоты горы Бируни измерил с помощью астролябии угол возвышения горы в двух точках, отстоящих друг от друга на расстоянии d.
Доказательство этих формул оставим в качестве несложного упражнения.
Первое известное измерение радиуса Земли сделал Эратосфен ещё в III в. до н.э. — он сопоставил линейное расстояние между двумя египетскими городами — Александрией и Сиеной (ныне Асуан) с разностью их широт. Это был трудоёмкий способ, и он не позволял достичь хорошей точности.
Довольно простой и красивый способ измерения радиуса Земли, доступный современному школьнику, знакомому с тригонометрией, предложил Аль-Бируни.
Если наблюдатель поднимется на вершину горы А высотой h, то увидит линию горизонта в точке С. Измерив угол понижения горизонта α и высоту горы, легко найти радиус Земли.
Для определения высоты горы Бируни измерил с помощью астролябии угол возвышения горы в двух точках, отстоящих друг от друга на расстоянии d.
Доказательство этих формул оставим в качестве несложного упражнения.
👍15🔥6🥰1
«Математика всегда была одним из моих излюбленных занятий; однако, преимущественно лишь в её умозрительной части, как ветви философии, и как средства упражнения в правильном мышлении. Сразу же, при первом ознакомлении с ней, мне стали заметны один-два недостатка, устранением которых я стал заниматься в свои свободные часы, уверяю, не из тщеславия, а из-за внутреннего интереса, который я находил в таких спекуляциях. При более продолжительном размышлении число недостатков, которые я, как мне казалось, обнаружил, ещё больше увеличилось».
«Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший её человек».
5 октября 1781 г. родился Бернард Больцано, чешский математик, философ, теолог и католический священник, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.
За 30 лет до Вейерштрасса он построил непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке. Установил современное понятие сходимости рядов; за несколько лет до выхода в свет «Алгебраического анализа» Коши пользовался критерием сходимости, именуемым обычно критерием Коши. Теорему о том, что всякое бесконечное множество чисел, заключённых в замкнутом интервале, имеет в нём по меньшей мере одну предельную точку, Больцано упоминает за много лет до того, как её сформулировал Вейерштрасс. Также он первым строго доказал теорему о том, что непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, лежащее между двумя её разными значениями. Сформулировал идеи, близкие к теории множеств Кантора, ввёл само понятие множества и взаимно-однозначного соответствия. Развил положения, предвосхитившие идеи математической логики. Приоритет способа обоснования арифметики натуральных чисел методом математической индукции также принадлежит Больцано.
Будучи деканом философского факультета Пражского университета, Больцано последовательно занимал антивоенную позицию, призывал к тотальной реформе образовательной, социальной и экономической систем, которая направила бы интересы нации в сторону мира, а не в сторону вооружённого конфликта между нациями. Либеральные, антимилитаристские взгляды преподавателя, его высказывания в пользу реформирования общественного устройства, системы образования вызывало раздражение церковных властей и австрийского правительства. После его отказа отречься от своих убеждений, Больцано был уволен из университета, сослан в деревню и отдан под тайный надзор полиции, лишён права публичного выступления — и устного, и в печати. Почти все работы Больцано увидели свет лишь после его смерти.
«Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший её человек».
5 октября 1781 г. родился Бернард Больцано, чешский математик, философ, теолог и католический священник, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.
За 30 лет до Вейерштрасса он построил непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке. Установил современное понятие сходимости рядов; за несколько лет до выхода в свет «Алгебраического анализа» Коши пользовался критерием сходимости, именуемым обычно критерием Коши. Теорему о том, что всякое бесконечное множество чисел, заключённых в замкнутом интервале, имеет в нём по меньшей мере одну предельную точку, Больцано упоминает за много лет до того, как её сформулировал Вейерштрасс. Также он первым строго доказал теорему о том, что непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, лежащее между двумя её разными значениями. Сформулировал идеи, близкие к теории множеств Кантора, ввёл само понятие множества и взаимно-однозначного соответствия. Развил положения, предвосхитившие идеи математической логики. Приоритет способа обоснования арифметики натуральных чисел методом математической индукции также принадлежит Больцано.
Будучи деканом философского факультета Пражского университета, Больцано последовательно занимал антивоенную позицию, призывал к тотальной реформе образовательной, социальной и экономической систем, которая направила бы интересы нации в сторону мира, а не в сторону вооружённого конфликта между нациями. Либеральные, антимилитаристские взгляды преподавателя, его высказывания в пользу реформирования общественного устройства, системы образования вызывало раздражение церковных властей и австрийского правительства. После его отказа отречься от своих убеждений, Больцано был уволен из университета, сослан в деревню и отдан под тайный надзор полиции, лишён права публичного выступления — и устного, и в печати. Почти все работы Больцано увидели свет лишь после его смерти.
❤15👍11😁2
«Часто утверждается, что дифференциальное исчисление имеет дело с непрерывной величиной, и тем не менее нигде не даётся объяснения этой непрерывности… Мне удалось это объяснить 24 ноября 1858 года».
«Мой дядя, видя, какими вопросами теории чисел я занимаюсь, заметил, что стоит открыть двери дома умалишённых, чтобы иметь достаточное число гениальных математиков. Я на это ответил, а Дирихле одобрил мой ответ, что, конечно, математика является некоторым родом сумасшествия, но что обратная теорема не всегда верна».
6 октября 1831 г. родился Рихард Дедекинд, немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел.
Обобщив теорию многочленов и алгебраических чисел, Дедекинд ввёл в математику абстрактные алгебраические структуры: кольца, идеалы и модули. Совместно с Кронекером он создал общую теорию делимости. Был одним из первых сторонников канторовской теории множеств, и многие его работы стали наглядным примером применения новых методов. Предложил первый вариант аксиоматики для натурального ряда чисел. Годом позже аналогичную, немного упрощённую, систему аксиом, со ссылкой на Дедекинда, предложил Пеано, чьё имя за ней и закрепилось.
Наряду с Вейерштрассом, создал обоснование теории вещественных чисел. Если Вейерштрасс в качестве модели вещественного числа использовал его формальную десятичную запись, то Дедекинд предложил иной подход, основанный на так называемых дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел; близкое по идее построение неявно присутствовало уже в «Началах» Евклида. Современные курсы математического анализа излагают чаще всего теорию Дедекинда.
Рассказывают, что однажды Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочёл там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый коллега! Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год».
«Мой дядя, видя, какими вопросами теории чисел я занимаюсь, заметил, что стоит открыть двери дома умалишённых, чтобы иметь достаточное число гениальных математиков. Я на это ответил, а Дирихле одобрил мой ответ, что, конечно, математика является некоторым родом сумасшествия, но что обратная теорема не всегда верна».
6 октября 1831 г. родился Рихард Дедекинд, немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел.
Обобщив теорию многочленов и алгебраических чисел, Дедекинд ввёл в математику абстрактные алгебраические структуры: кольца, идеалы и модули. Совместно с Кронекером он создал общую теорию делимости. Был одним из первых сторонников канторовской теории множеств, и многие его работы стали наглядным примером применения новых методов. Предложил первый вариант аксиоматики для натурального ряда чисел. Годом позже аналогичную, немного упрощённую, систему аксиом, со ссылкой на Дедекинда, предложил Пеано, чьё имя за ней и закрепилось.
Наряду с Вейерштрассом, создал обоснование теории вещественных чисел. Если Вейерштрасс в качестве модели вещественного числа использовал его формальную десятичную запись, то Дедекинд предложил иной подход, основанный на так называемых дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел; близкое по идее построение неявно присутствовало уже в «Началах» Евклида. Современные курсы математического анализа излагают чаще всего теорию Дедекинда.
Рассказывают, что однажды Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочёл там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый коллега! Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год».
❤9👍5😁1
С именем учёного связано ещё одно понятие — дедекиндово число, равное количеству монотонных булевых функций от n переменных.
Булева функция выдаёт результат на основе входных данных, состоящий из двух состояний — 0 и 1. Монотонные булевы функции — это функции, для которых замена 0 на 1 на входе приводит только к изменению выхода с 0 на 1, но не с 1 на 0. Обычно это описывают с помощью красного и белого цветов, а не 1 и 0, но идея та же.
Монотонную булеву функцию иногда представляют как игру с n-мерным кубиком: вы балансируете куб на одном углу, а затем окрашиваете каждый из оставшихся углов в белый или красный цвет. При этом есть только одно правило: вы никогда не должны располагать белый угол над красным. Это создаёт своего рода вертикальный красно-белый перекрёсток. Цель игры — подсчитать, сколько различных разрезов существует.
Первые 5 таких чисел вычислил Дедекинд в 1897 г.: 3, 6, 20, 168, 7581, и сформулировал задачу Дедекинда: найти способ вычисления последующих чисел.
Это очень быстро растущая последовательность. Первая точная формула для вычисления этих чисел была получена в 1988 г., ещё одна — в 2014 г. Десятое дедекиндово число было вычислено с использованием суперкомпьютера в 2023 г., он содержит 42 знака и равно: 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366.
Булева функция выдаёт результат на основе входных данных, состоящий из двух состояний — 0 и 1. Монотонные булевы функции — это функции, для которых замена 0 на 1 на входе приводит только к изменению выхода с 0 на 1, но не с 1 на 0. Обычно это описывают с помощью красного и белого цветов, а не 1 и 0, но идея та же.
Монотонную булеву функцию иногда представляют как игру с n-мерным кубиком: вы балансируете куб на одном углу, а затем окрашиваете каждый из оставшихся углов в белый или красный цвет. При этом есть только одно правило: вы никогда не должны располагать белый угол над красным. Это создаёт своего рода вертикальный красно-белый перекрёсток. Цель игры — подсчитать, сколько различных разрезов существует.
Первые 5 таких чисел вычислил Дедекинд в 1897 г.: 3, 6, 20, 168, 7581, и сформулировал задачу Дедекинда: найти способ вычисления последующих чисел.
Это очень быстро растущая последовательность. Первая точная формула для вычисления этих чисел была получена в 1988 г., ещё одна — в 2014 г. Десятое дедекиндово число было вычислено с использованием суперкомпьютера в 2023 г., он содержит 42 знака и равно: 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366.
👍7❤4
«Истинный математик — это тот, кто не только решает задачу, но стремится решить её красиво».
«В процессе научной работы важны две вещи: видеть большое в малом и малое в большом».
«Вся научная работа на 99 процентов состоит из неудач, и, может быть, только один процент составляют удачи…»
6 октября 1908 г. родился Сергей Львович Соболев — один из крупнейших математиков XX века, внёсший основополагающий вклад в современную науку и положивший начало ряду новых научных направлений в современной математике. Предложил новый метод решения задачи Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, что привело к пересмотру классического понятия решения дифференциального уравнения. Определив понятие обобщенной производной, обогатил математику пространствами функций, которые теперь называются «пространствами Соболева».
Проф. С.С. Кутателадзе: «Исследования Соболева связаны с переосмыcлением понятия решения дифференциального уравнения. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции. Фактически Соболев стал считать дифференциальное уравнение решённым даже в тех случаях, когда нам доступны всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. При этом решение как функция времени может быть не только неизвестным, но и просто отсутствующим. В науку вошло качественно новое понимание ключевых принципов прогнозирования. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщённая функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций».
Из воспоминаний проф. Г.А. Чечкина, внука Соболева:
«Будучи на втором курсе, Сергей слушал лекции профессора Николая Максимовича Гюнтера. Речь шла о математической теории потенциала. Соболев не понял одну из теорем, засомневавшись в ее точности. После лекции он подошел к профессору и сказал, что не понял теорему. Гюнтер ответил: «Молодой человек, от кого угодно ждал такого вопроса, но не от вас! Сядьте и разберитесь». Соболев вернулся домой, разобрался в теореме, понял, что она действительно неверна, и построил контрпример. Перед следующей лекцией он показал этот пример Гюнтеру. Николай Максимович отменил лекцию и сел разбираться. Он был шокирован: пример оказался точным и правильным, а теорема — неверной. Гюнтер попросил Соболева написать заметку и представил ее в журнал “Доклады Академии наук”. Так вышла первая печатная работа молодого Сергея, был он в самом начале своей выдающейся научной карьеры…»
«Однажды Сергей Львович сидел у себя в кабинете в Курчатовском институте. В этот кабинет вели огромные, тяжеленные дубовые двери с массивными замками — такие типичные входные двери, как в главное здание МГУ. Сергей Львович занимался оборонными задачами, применяя новые подходы, связанные с обобщенными решениями. И вдруг раздался стук в дверь: оказалось, что это человек из первого отдела с каким-то вопросом. А первый отдел — это отдел НКВД в учреждении, следивший за работой учёных. И вот замок заклинило. Сергей Львович понял, что, если он сейчас не откроет дверь, последствия будут ужасные — вплоть до того, что могут и отстранить от работы, и посадить. Поэтому он разбежался — а он был большого роста, крупный, мощный, с мышцами — и высадил эту дубовую дверь вместе с петлями. При этом он сломал ключицу, его отправили лечиться. Так у него появилась возможность спокойно сесть и написать книгу “Некоторые применения функционального анализа в математической физике”, обобщив свои новые подходы».
«В процессе научной работы важны две вещи: видеть большое в малом и малое в большом».
«Вся научная работа на 99 процентов состоит из неудач, и, может быть, только один процент составляют удачи…»
6 октября 1908 г. родился Сергей Львович Соболев — один из крупнейших математиков XX века, внёсший основополагающий вклад в современную науку и положивший начало ряду новых научных направлений в современной математике. Предложил новый метод решения задачи Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, что привело к пересмотру классического понятия решения дифференциального уравнения. Определив понятие обобщенной производной, обогатил математику пространствами функций, которые теперь называются «пространствами Соболева».
Проф. С.С. Кутателадзе: «Исследования Соболева связаны с переосмыcлением понятия решения дифференциального уравнения. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции. Фактически Соболев стал считать дифференциальное уравнение решённым даже в тех случаях, когда нам доступны всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. При этом решение как функция времени может быть не только неизвестным, но и просто отсутствующим. В науку вошло качественно новое понимание ключевых принципов прогнозирования. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщённая функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций».
Из воспоминаний проф. Г.А. Чечкина, внука Соболева:
«Будучи на втором курсе, Сергей слушал лекции профессора Николая Максимовича Гюнтера. Речь шла о математической теории потенциала. Соболев не понял одну из теорем, засомневавшись в ее точности. После лекции он подошел к профессору и сказал, что не понял теорему. Гюнтер ответил: «Молодой человек, от кого угодно ждал такого вопроса, но не от вас! Сядьте и разберитесь». Соболев вернулся домой, разобрался в теореме, понял, что она действительно неверна, и построил контрпример. Перед следующей лекцией он показал этот пример Гюнтеру. Николай Максимович отменил лекцию и сел разбираться. Он был шокирован: пример оказался точным и правильным, а теорема — неверной. Гюнтер попросил Соболева написать заметку и представил ее в журнал “Доклады Академии наук”. Так вышла первая печатная работа молодого Сергея, был он в самом начале своей выдающейся научной карьеры…»
«Однажды Сергей Львович сидел у себя в кабинете в Курчатовском институте. В этот кабинет вели огромные, тяжеленные дубовые двери с массивными замками — такие типичные входные двери, как в главное здание МГУ. Сергей Львович занимался оборонными задачами, применяя новые подходы, связанные с обобщенными решениями. И вдруг раздался стук в дверь: оказалось, что это человек из первого отдела с каким-то вопросом. А первый отдел — это отдел НКВД в учреждении, следивший за работой учёных. И вот замок заклинило. Сергей Львович понял, что, если он сейчас не откроет дверь, последствия будут ужасные — вплоть до того, что могут и отстранить от работы, и посадить. Поэтому он разбежался — а он был большого роста, крупный, мощный, с мышцами — и высадил эту дубовую дверь вместе с петлями. При этом он сломал ключицу, его отправили лечиться. Так у него появилась возможность спокойно сесть и написать книгу “Некоторые применения функционального анализа в математической физике”, обобщив свои новые подходы».
❤15👍8
«Действительно ценные знания составляются не из того, о чём слышал человек, а из того, чем он умеет пользоваться».
8 октября 1911 г. родился Алексей Андреевич Ляпунов, один из основоположников отечественной кибернетики и информатики. Основные труды относятся к теории множеств, разработке общих вопросов кибернетики, математическим основам программирования и теории алгоритмов, математической лингвистике и машинному переводу, кибернетическим вопросам биологии, а также философским и методологическим вопросам развития научной мысли. Им был создан операторный метод программирования, который получил широкое распространение в реальном программировании и оказал огромное влияние на все последующее развитие теории программирования.
На протяжении ряда лет кибернетика в СССР считалась на государственном уровне «лженаукой мракобесов» (чем её объявил М.Г. Ярошевский, советский психолог и историк науки), так же как и генетика называлась «продажной девкой империализма» (так её охарактеризовал академик Т.Д. Лысенко). А.А. Ляпунов, как и С.Л. Соболев, были теми учёными, что избавили кибернетику от этого позорного статуса, и также внесли весомый вклад в борьбу за признание генетики.
Большое внимание А.А. Ляпунов уделял математическому образованию. Был одним из основателей первой физико-математической школы-интерната, организованной в 1962 г. при НГУ, первым председателем её Учёного совета и активным лектором, организатором Всесибирских математических олимпиад и летних физматшкол в Академгородке.
Алексей Андреевич был племянником великого А.М. Ляпунова, имел также родство с физиком П.С. Капицей, механиком А.М. Крыловым, физиологом И.М. Сеченовым, педиатром Н.М. Филатовым, офтальмологом В.П. Филатовым.
8 октября 1911 г. родился Алексей Андреевич Ляпунов, один из основоположников отечественной кибернетики и информатики. Основные труды относятся к теории множеств, разработке общих вопросов кибернетики, математическим основам программирования и теории алгоритмов, математической лингвистике и машинному переводу, кибернетическим вопросам биологии, а также философским и методологическим вопросам развития научной мысли. Им был создан операторный метод программирования, который получил широкое распространение в реальном программировании и оказал огромное влияние на все последующее развитие теории программирования.
На протяжении ряда лет кибернетика в СССР считалась на государственном уровне «лженаукой мракобесов» (чем её объявил М.Г. Ярошевский, советский психолог и историк науки), так же как и генетика называлась «продажной девкой империализма» (так её охарактеризовал академик Т.Д. Лысенко). А.А. Ляпунов, как и С.Л. Соболев, были теми учёными, что избавили кибернетику от этого позорного статуса, и также внесли весомый вклад в борьбу за признание генетики.
Большое внимание А.А. Ляпунов уделял математическому образованию. Был одним из основателей первой физико-математической школы-интерната, организованной в 1962 г. при НГУ, первым председателем её Учёного совета и активным лектором, организатором Всесибирских математических олимпиад и летних физматшкол в Академгородке.
Алексей Андреевич был племянником великого А.М. Ляпунова, имел также родство с физиком П.С. Капицей, механиком А.М. Крыловым, физиологом И.М. Сеченовым, педиатром Н.М. Филатовым, офтальмологом В.П. Филатовым.
❤12👍5
С.П. Капица:
«С Ляпуновым мы были связаны нашими семьями. Он является троюродным братом моей матушки, и я его называл "дядя Алёша"... Я хотел бы воспользоваться биографией, жизнью и деятельностью А.А., чтобы напомнить, что те силы, против которых боролся Алексей Андреевич, очень активны сегодня, более того, это касается всей науки. Это, пожалуй, печальный итог.
Помню, когда мы обсуждали кибернетику, я пытался внушить дяде Алёше оптимизм и говорил ему: “Наступит время, когда твой портрет, с бородой как у Карла Маркса, будет висеть на кафедре кибернетики и студентов будут снимать со стипендии, если они эту кибернетику не сдадут”. А он: “Как такое может быть! О чём ты говоришь?”. Но так и случилось, и сегодня мы чествуем замечательного человека, патриота и гражданина нашей страны».
В.А. Успенский:
«Алексей Андреевич Ляпунов — яркое явление в духовной культуре нашей страны, яркое явление в судьбе, в памяти каждого человека, с которым он общался… Было видно, что он был влюблён в науку и в истину. Он был готов не просто искать истину, а бороться за неё. Он боролся за кибернетику, рискуя своей карьерой, — за генетику вообще сажали в тюрьму, а за кибернетику в тюрьму всё-таки не сажали, но тем не менее... Он был бесстрашен, как Дон-Кихот. Но Дон-Кихот боролся с ветряными мельницами, а Ляпунов — с совершенно реальным противником и с совершенно не очевидным исходом. Он всегда поддерживал всё новое, которое только пробивается сквозь асфальт и на которое вот-вот наедет асфальтовый каток власти. Ляпунов всегда пытался как бы встать поперёк такого катка, и ему иногда удавалось его отвести. Это производило неслыханное впечатление, в том числе и на меня. Такое впечатление, что в нём как-то вылез ген тех Ляпуновых, которые участвовали в Смуте в конце XVI—начале XVII века».
«Мне вспоминается 1955/1956 учебный год, дело сестёр Ляпуновых на биологическом факультете: их собираются исключать из комсомола, выгонять из университета и т. п. за занятие неправильной биологией — не "мичуринской", не лысенковской, а настоящей биологией — математической биологией и прочим…
Был громкий скандал, и на мехмате это отдаётся очень сильно — что за занятия математической биологией собираются кого-то исключать. Я очень хорошо помню, как примерно в это время я иду по коридору мехмата мимо двери, где происходит какое-то заседание (по-моему, заседание Учёного совета мехмата), и слышу совершенно истерический крик: “Мракобес!”. Это заведующий кафедрой небесной механики Николай Дмитриевич Моисеев орёт на Алексея Андреевича Ляпунова, который сделал какой-то доклад о математических методах в биологии или о чём-то таком. И вот это слово, этот крик “Мракобес!” у меня стоит в ушах до сих пор... Ну, время и история показали, кто мракобес. А Н.Д. Моисеев был человек непростой и неглупый, надо сказать. Ходил на костылях — инвалид войны, увешан орденами. Суперпартийный. Был в те годы серьёзной фигурой».
«С Ляпуновым мы были связаны нашими семьями. Он является троюродным братом моей матушки, и я его называл "дядя Алёша"... Я хотел бы воспользоваться биографией, жизнью и деятельностью А.А., чтобы напомнить, что те силы, против которых боролся Алексей Андреевич, очень активны сегодня, более того, это касается всей науки. Это, пожалуй, печальный итог.
Помню, когда мы обсуждали кибернетику, я пытался внушить дяде Алёше оптимизм и говорил ему: “Наступит время, когда твой портрет, с бородой как у Карла Маркса, будет висеть на кафедре кибернетики и студентов будут снимать со стипендии, если они эту кибернетику не сдадут”. А он: “Как такое может быть! О чём ты говоришь?”. Но так и случилось, и сегодня мы чествуем замечательного человека, патриота и гражданина нашей страны».
В.А. Успенский:
«Алексей Андреевич Ляпунов — яркое явление в духовной культуре нашей страны, яркое явление в судьбе, в памяти каждого человека, с которым он общался… Было видно, что он был влюблён в науку и в истину. Он был готов не просто искать истину, а бороться за неё. Он боролся за кибернетику, рискуя своей карьерой, — за генетику вообще сажали в тюрьму, а за кибернетику в тюрьму всё-таки не сажали, но тем не менее... Он был бесстрашен, как Дон-Кихот. Но Дон-Кихот боролся с ветряными мельницами, а Ляпунов — с совершенно реальным противником и с совершенно не очевидным исходом. Он всегда поддерживал всё новое, которое только пробивается сквозь асфальт и на которое вот-вот наедет асфальтовый каток власти. Ляпунов всегда пытался как бы встать поперёк такого катка, и ему иногда удавалось его отвести. Это производило неслыханное впечатление, в том числе и на меня. Такое впечатление, что в нём как-то вылез ген тех Ляпуновых, которые участвовали в Смуте в конце XVI—начале XVII века».
«Мне вспоминается 1955/1956 учебный год, дело сестёр Ляпуновых на биологическом факультете: их собираются исключать из комсомола, выгонять из университета и т. п. за занятие неправильной биологией — не "мичуринской", не лысенковской, а настоящей биологией — математической биологией и прочим…
Был громкий скандал, и на мехмате это отдаётся очень сильно — что за занятия математической биологией собираются кого-то исключать. Я очень хорошо помню, как примерно в это время я иду по коридору мехмата мимо двери, где происходит какое-то заседание (по-моему, заседание Учёного совета мехмата), и слышу совершенно истерический крик: “Мракобес!”. Это заведующий кафедрой небесной механики Николай Дмитриевич Моисеев орёт на Алексея Андреевича Ляпунова, который сделал какой-то доклад о математических методах в биологии или о чём-то таком. И вот это слово, этот крик “Мракобес!” у меня стоит в ушах до сих пор... Ну, время и история показали, кто мракобес. А Н.Д. Моисеев был человек непростой и неглупый, надо сказать. Ходил на костылях — инвалид войны, увешан орденами. Суперпартийный. Был в те годы серьёзной фигурой».
👍8❤3😢2
Н.Н. Константинов:
«Моя первая встреча с Алексеем Андреевичем произошла осенью 1948 года. Были объявлены лекции для школьников на мехмате МГУ. Я и мой товарищ пришли на лекцию по теоретической арифметике, которую должен был читать Игорь Владимирович Арнольд. Мы пришли, стоит унылая толпа школьников, и нам сообщают, что И.В. умер. Некоторое время мы были в некотором шоке, а потом нашёлся лектор, который занял нас так, чтобы мы не почувствовали, что зря приехали. Это был А. А. Ляпунов. Его, видимо, успели быстро уговорить прочитать лекцию. Она была посвящена теории множеств. А.А. рассказал нам теорему о том, что множество точек отрезка несчётно, а я доказательства не понял. И во время перерыва подошел к доске и стал задавать ему вопросы... Вокруг меня образовалась некоторая толпа. Алексей Андреевич стал объяснять доказательство, но я ровно ничего не понимал. Это была моя первая с ним встреча.
Прошло время, я закончил физический факультет МГУ, пять лет проработал там ассистентом на кафедре Тихонова, а потом решил перейти в аспирантуру, как раз к Алексею Андреевичу. Когда я к нему подошёл, то стал объяснять, кто я такой. А он говорит: “Да, я вас знаю”. Я немножко удивился, как же так, откуда. “Я же помню, я читал лекцию по теории множеств, и Вы были среди слушателей”. Я ему: “Так я тогда ничего не понял”. “Нет, Вы, конечно, не поняли, но не понимать можно по-разному. Я Вас помню и с удовольствием возьму в аспирантуру”.
«Моя первая встреча с Алексеем Андреевичем произошла осенью 1948 года. Были объявлены лекции для школьников на мехмате МГУ. Я и мой товарищ пришли на лекцию по теоретической арифметике, которую должен был читать Игорь Владимирович Арнольд. Мы пришли, стоит унылая толпа школьников, и нам сообщают, что И.В. умер. Некоторое время мы были в некотором шоке, а потом нашёлся лектор, который занял нас так, чтобы мы не почувствовали, что зря приехали. Это был А. А. Ляпунов. Его, видимо, успели быстро уговорить прочитать лекцию. Она была посвящена теории множеств. А.А. рассказал нам теорему о том, что множество точек отрезка несчётно, а я доказательства не понял. И во время перерыва подошел к доске и стал задавать ему вопросы... Вокруг меня образовалась некоторая толпа. Алексей Андреевич стал объяснять доказательство, но я ровно ничего не понимал. Это была моя первая с ним встреча.
Прошло время, я закончил физический факультет МГУ, пять лет проработал там ассистентом на кафедре Тихонова, а потом решил перейти в аспирантуру, как раз к Алексею Андреевичу. Когда я к нему подошёл, то стал объяснять, кто я такой. А он говорит: “Да, я вас знаю”. Я немножко удивился, как же так, откуда. “Я же помню, я читал лекцию по теории множеств, и Вы были среди слушателей”. Я ему: “Так я тогда ничего не понял”. “Нет, Вы, конечно, не поняли, но не понимать можно по-разному. Я Вас помню и с удовольствием возьму в аспирантуру”.
❤10👍4
А.А. Ляпунов писал стихи.
Много шуточных, например:
ЗАДАЧА
На дне глубокого сосуда
Лежат спокойно n шаров.
Поочерёдно их оттуда
Таскают двое дураков.
Ввиду события такого
Как вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул два?
Много стихов им было написано на фронте, во время войны.
МОИМ ДЕТЯМ
Скитаясь в глухих закоулках России,
Встречаясь случайно и бегло с людьми,
Я думаю вечно о вас, дорогие, —
Сиротками будете, видно, расти.
Приходится трудно нам, время плохое
Настало надолго теперь на Руси,
Тяжёлое, бранное время, такое,
Что каждый страдает иль молча грустит.
Когда вы росли, окружённые лаской,
В заботливом, нежном домашнем гнезде,
Хотелось мне дать вам в беседе, иль в сказке
Понятье о том, что творится везде.
Хотелось вам дать представленье о мире
Огромных и вечно живущих светил,
О чувствах, рождаемых в пламенной лире,
О недрах, о жизни мельчайших бацилл.
Хотелось, чтоб вы, подрастая, познали
Законы природы и чувства людей,
Хотелось, чтоб в будущем в жизни вы стали
В ряды неразлучных культуры друзей.
Сейчас раскидало нас вихрем ужасным,
Я в армию брошен, в чужбинину вы,
Придётся скитаться под небом ненастным,
И свидимся ль снова, не знаю, увы.
Но хочется мне, чтобы вы сохранили
Ту искру, что к вам я старался призвать.
Хочу, чтобы вы всей душою любили
Науку, Искусство, Россию и Мать.
Наука даёт нам великие силы
И дух поднимает над жизнью толпы.
И творчества радость вселяет нам в жилы,
И жизнь улучшают Науки столпы.
Священное свойство имеет Искусство.
Оно возвышает и учит людей,
Оно возбуждает прекрасные чувства,
Оно отличает людей от зверей.
Россия нас всех родила и взрастила,
Она нам дала и друзей, и права.
В России возникло всё то, что нам мило,
Родные селенья, понятья, слова.
А Мать подарила нам самое ценное,
Она создала вашу жизнь, ваше Я.
Все помыслы вам посвятила заветные,
Всю жизнь отдаёт она вам за меня.
Растите, о дети, мечтою взлелеяны,
Почувствуйте сердцем отеческий глас,
Храните всё то, что любовью навеяно,
И знайте, что я погибаю за вас.
Много шуточных, например:
ЗАДАЧА
На дне глубокого сосуда
Лежат спокойно n шаров.
Поочерёдно их оттуда
Таскают двое дураков.
Ввиду события такого
Как вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул два?
Много стихов им было написано на фронте, во время войны.
МОИМ ДЕТЯМ
Скитаясь в глухих закоулках России,
Встречаясь случайно и бегло с людьми,
Я думаю вечно о вас, дорогие, —
Сиротками будете, видно, расти.
Приходится трудно нам, время плохое
Настало надолго теперь на Руси,
Тяжёлое, бранное время, такое,
Что каждый страдает иль молча грустит.
Когда вы росли, окружённые лаской,
В заботливом, нежном домашнем гнезде,
Хотелось мне дать вам в беседе, иль в сказке
Понятье о том, что творится везде.
Хотелось вам дать представленье о мире
Огромных и вечно живущих светил,
О чувствах, рождаемых в пламенной лире,
О недрах, о жизни мельчайших бацилл.
Хотелось, чтоб вы, подрастая, познали
Законы природы и чувства людей,
Хотелось, чтоб в будущем в жизни вы стали
В ряды неразлучных культуры друзей.
Сейчас раскидало нас вихрем ужасным,
Я в армию брошен, в чужбинину вы,
Придётся скитаться под небом ненастным,
И свидимся ль снова, не знаю, увы.
Но хочется мне, чтобы вы сохранили
Ту искру, что к вам я старался призвать.
Хочу, чтобы вы всей душою любили
Науку, Искусство, Россию и Мать.
Наука даёт нам великие силы
И дух поднимает над жизнью толпы.
И творчества радость вселяет нам в жилы,
И жизнь улучшают Науки столпы.
Священное свойство имеет Искусство.
Оно возвышает и учит людей,
Оно возбуждает прекрасные чувства,
Оно отличает людей от зверей.
Россия нас всех родила и взрастила,
Она нам дала и друзей, и права.
В России возникло всё то, что нам мило,
Родные селенья, понятья, слова.
А Мать подарила нам самое ценное,
Она создала вашу жизнь, ваше Я.
Все помыслы вам посвятила заветные,
Всю жизнь отдаёт она вам за меня.
Растите, о дети, мечтою взлелеяны,
Почувствуйте сердцем отеческий глас,
Храните всё то, что любовью навеяно,
И знайте, что я погибаю за вас.
❤11👍3🏆2
9 октября 1581 г. родился Баше де Мезириак — французский математик, поэт, лингвист, переводчик, автор исследований по теории чисел. Среди достижений Баше в теории чисел можно выделить следующие:
— Исследование диофантовых уравнений, для решения которых он разработал ряд оригинальных алгоритмов — в том числе с помощью непрерывных дробей.
— Первая публикация фундаментальной формулы, называемой сейчас соотношением Безу — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами: НОД (a, b) = xa + yb. Баше дал её частный случай для взаимно простых чисел a и b.
— Описание общего метода составления магических квадратов любого порядка.
— Гипотеза о представимости любого натурального числа в виде суммы не более четырёх квадратов, доказанная в XVIII веке Лагранжем.
— Исследование диофантовых уравнений, для решения которых он разработал ряд оригинальных алгоритмов — в том числе с помощью непрерывных дробей.
— Первая публикация фундаментальной формулы, называемой сейчас соотношением Безу — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами: НОД (a, b) = xa + yb. Баше дал её частный случай для взаимно простых чисел a и b.
— Описание общего метода составления магических квадратов любого порядка.
— Гипотеза о представимости любого натурального числа в виде суммы не более четырёх квадратов, доказанная в XVIII веке Лагранжем.
👍8❤5
Вопрос телеигры «Что? Где? Когда?»
Клод Гаспар Баше де Мезириак, считавшийся самым учёным человеком Франции, в начале XVII в. перевёл эту книгу с греческого на латынь. Но гораздо больше прославил её не переводчик, а один из читателей. Назовите его фамилию.
Ответ:Ферма. На полях этой книги ("Арифметика" Диофанта) Ферма записал формулировку Великой Теоремы.
Клод Гаспар Баше де Мезириак, считавшийся самым учёным человеком Франции, в начале XVII в. перевёл эту книгу с греческого на латынь. Но гораздо больше прославил её не переводчик, а один из читателей. Назовите его фамилию.
Ответ:
👍9
Баше издал (1612 г.) сборник «Приятные математические задачи», многие задачи этого сборника стали классикой занимательной математики. Вот одна из них.
Задача. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число фунтов от 1 до 40 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?
Решение задачипо ссылке .
Задача. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число фунтов от 1 до 40 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?
Решение задачи
👍8❤3
С именем Баше де Мезириака связана математическая игра Баше, в которой два игрока из кучи, содержащей первоначально N предметов, по очереди берут не менее одного и не более M предметов. Проигравшим считается тот, кому нечего брать. Стратегию выигрыша несложно определить путём «анализа задачи с конца»: нужно брать столько предметов, чтобы после твоего хода количество предметов было кратно (М+1).
Интерактивная игра Баше на Викимедиа с N=21, M=3.
Интерактивная игра Баше на Викимедиа с N=21, M=3.
👍8⚡2
11 октября 1595 г. родился Альбер Жирар, нидердандский математик и музыкант. Труды в области алгебры, плоской и сферической геометрии.
Жирар первым сформулировал утверждение, что простое число вида 4n+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов (теорема Ферма–Эйлера); первым сформулировал основную теорему алгебры (рассматривая и комплексные корни); первым дал геометрическое представление отрицательных чисел на числовой оси; первым нашёл связь ряда Фибоначчи с золотым сечением; задолго до Паскаля описал треугольник Паскаля; первым определил площадь сферического треугольника, связав её с углами. Ввёл обозначения: знака ± и корня произвольной степени ⁿ√, сокращений sin, cos и tan для соответствующих тригонометрических функций.
Жирару также принадлежит теорема о том, что общая площадь вписанных в круг четырёхугольников, которые можно построить по данным четырём сторонам, меняя их порядок, равна произведению трёх различных диагоналей, разделённому на удвоенный диаметр круга.
Жирар первым сформулировал утверждение, что простое число вида 4n+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов (теорема Ферма–Эйлера); первым сформулировал основную теорему алгебры (рассматривая и комплексные корни); первым дал геометрическое представление отрицательных чисел на числовой оси; первым нашёл связь ряда Фибоначчи с золотым сечением; задолго до Паскаля описал треугольник Паскаля; первым определил площадь сферического треугольника, связав её с углами. Ввёл обозначения: знака ± и корня произвольной степени ⁿ√, сокращений sin, cos и tan для соответствующих тригонометрических функций.
Жирару также принадлежит теорема о том, что общая площадь вписанных в круг четырёхугольников, которые можно построить по данным четырём сторонам, меняя их порядок, равна произведению трёх различных диагоналей, разделённому на удвоенный диаметр круга.
❤8🤔3👍1
«Математика — такое же искусство, как музыка, скульптура и рисование, а чтобы основательно овладеть математикой, необходимо терпение и упорство».
11 октября 1910 г. родился Джахит Арф, турецкий математик. Его имя связывают с инвариантом Арфа квадратичной формы, применяемой в теории узлов в топологии, а также с теоремой Хассе – Арфа, с группами и кольцами Арфа. Над пространством ℤ₂ ⁿ квадратичная форма задаётся одним числом. А число это равно тому, какое значение форма принимает чаще всего на всех возможных векторах из нашего пространства — 0 или 1.
Признаться, раньше мне не приходилось слышать имя этого математика. Когда был в Турции, на себя обратила внимание формула на купюре в 10 лир. Выяснил, что она выражает собой инвариант Арфа, а Арф является гордостью турок. И ещё в Турции в память об учёном есть монета, выпущенная в 2001 г., на четвёртый год после его смерти.
11 октября 1910 г. родился Джахит Арф, турецкий математик. Его имя связывают с инвариантом Арфа квадратичной формы, применяемой в теории узлов в топологии, а также с теоремой Хассе – Арфа, с группами и кольцами Арфа. Над пространством ℤ₂ ⁿ квадратичная форма задаётся одним числом. А число это равно тому, какое значение форма принимает чаще всего на всех возможных векторах из нашего пространства — 0 или 1.
Признаться, раньше мне не приходилось слышать имя этого математика. Когда был в Турции, на себя обратила внимание формула на купюре в 10 лир. Выяснил, что она выражает собой инвариант Арфа, а Арф является гордостью турок. И ещё в Турции в память об учёном есть монета, выпущенная в 2001 г., на четвёртый год после его смерти.
👍14❤5
14 октября 1687 г. родился Роберт Симсон, шотландский математик. В честь Сипсона названа прямая, на которую попадают основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника АВС, из точки Р, лежащей на описанной около него окружности (хотя впервые факт коллинеарности этих оснований перпендикуляров был обнаружен и опубликован У. Уоллесом).
Вместе с тем, известное под названием теоремы Стюарта метрическое соотношение в треугольнике, позволяющее выразить чевиану p через боковые стороны b, c и отрезки x, y, на которые она делит сторону a, принадлежит Симсону — он был учителем Стюарта и рассказал ему эту теорему. Формулы для вычисления длин медиан и биссектрис треугольника являются частными случаями теоремы Стюарта.
Вместе с тем, известное под названием теоремы Стюарта метрическое соотношение в треугольнике, позволяющее выразить чевиану p через боковые стороны b, c и отрезки x, y, на которые она делит сторону a, принадлежит Симсону — он был учителем Стюарта и рассказал ему эту теорему. Формулы для вычисления длин медиан и биссектрис треугольника являются частными случаями теоремы Стюарта.
👍5🔥5
«Жизнь затонула на дне океана воздуха».
«У геометра есть особая привилегия, чтобы посредством абстракции выполнять все конструкции с помощью интеллекта».
15 октября 1608 г. родился Эванджелиста Торричелли, итальянский физик и математик. Наиболее знаменит открытием атмосферного давления и изобретением барометра. Первым дал научное объяснение причин ветра — из-за разности температуры воздуха, и, следовательно, плотности в разных регионах. Сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания — скорость пропорциональна квадратному корню из глубины.
Занимаясь вопросами баллистики, пришёл к понятию огибающей семейства кривых (параболических траекторий снарядов) — параболы безопасности.
Открыл пример тела, площадь поверхности которого бесконечна, а объём конечен — рог Гавриила.
Точкой Торричелли (иногда именуемой также точкой Ферма) треугольника называют точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если в треугольнике нет угла больше 120°, то это та точка, из которой каждая сторона видна под углом 120° (а если такой угол есть, то точкой Торричелли служит вершина этого угла).
«У геометра есть особая привилегия, чтобы посредством абстракции выполнять все конструкции с помощью интеллекта».
15 октября 1608 г. родился Эванджелиста Торричелли, итальянский физик и математик. Наиболее знаменит открытием атмосферного давления и изобретением барометра. Первым дал научное объяснение причин ветра — из-за разности температуры воздуха, и, следовательно, плотности в разных регионах. Сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания — скорость пропорциональна квадратному корню из глубины.
Занимаясь вопросами баллистики, пришёл к понятию огибающей семейства кривых (параболических траекторий снарядов) — параболы безопасности.
Открыл пример тела, площадь поверхности которого бесконечна, а объём конечен — рог Гавриила.
Точкой Торричелли (иногда именуемой также точкой Ферма) треугольника называют точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если в треугольнике нет угла больше 120°, то это та точка, из которой каждая сторона видна под углом 120° (а если такой угол есть, то точкой Торричелли служит вершина этого угла).
👍8❤4🔥3
Forwarded from Математика не для всех
📐 Математика ожидания: где встать, чтобы быстрее добраться до лифта?
Представьте три лифта, расположенные вдоль стены, но неравномерно. Вопрос: где нужно встать, чтобы минимизировать ожидаемое расстояние до первого прибывшего лифта?
💡 Многие ошибочно считают, что лучше встать в среднем положении между лифтами, чтобы минимизировать среднее расстояние до любого из них. Однако, это на самом деле минимизирует среднеквадратичное расстояние — не то, что нам нужно! Для минимизации среднего расстояния правильная точка — это медиана расположения лифтов.
Почему медиана, а не среднее?
Представьте, что лифты стоят неравномерно. Если встать перед вторым лифтом, то любое движение влево или вправо увеличит среднее расстояние до всех лифтов.
Если вы сдвинетесь влево к первому лифту, то сократите расстояние до него, но увеличите расстояние до второго и третьего.
Если сдвинетесь вправо, аналогично уменьшите расстояние до третьего лифта, но увеличите до первых двух.
Таким образом, находясь в медианном положении, среднее расстояние до ближайшего лифта будет минимальным, и любое движение только увеличит его.
А если минимизировать наихудший случай?
Если задача — не минимизировать среднее расстояние, а минимизировать максимальное расстояние до любого из лифтов, то правильнее встать посередине между крайними лифтами. Это точка, где максимальное расстояние до любого лифта будет минимальным.
Итог:
Чтобы минимизировать среднее расстояние до первого лифта, встаньте в медиану — перед вторым лифтом.
Чтобы минимизировать максимальное расстояние (наихудший вариант), встаньте на полпути между крайними лифтами.
Представьте три лифта, расположенные вдоль стены, но неравномерно. Вопрос: где нужно встать, чтобы минимизировать ожидаемое расстояние до первого прибывшего лифта?
💡 Многие ошибочно считают, что лучше встать в среднем положении между лифтами, чтобы минимизировать среднее расстояние до любого из них. Однако, это на самом деле минимизирует среднеквадратичное расстояние — не то, что нам нужно! Для минимизации среднего расстояния правильная точка — это медиана расположения лифтов.
Почему медиана, а не среднее?
Представьте, что лифты стоят неравномерно. Если встать перед вторым лифтом, то любое движение влево или вправо увеличит среднее расстояние до всех лифтов.
Если вы сдвинетесь влево к первому лифту, то сократите расстояние до него, но увеличите расстояние до второго и третьего.
Если сдвинетесь вправо, аналогично уменьшите расстояние до третьего лифта, но увеличите до первых двух.
Таким образом, находясь в медианном положении, среднее расстояние до ближайшего лифта будет минимальным, и любое движение только увеличит его.
А если минимизировать наихудший случай?
Если задача — не минимизировать среднее расстояние, а минимизировать максимальное расстояние до любого из лифтов, то правильнее встать посередине между крайними лифтами. Это точка, где максимальное расстояние до любого лифта будет минимальным.
Итог:
Чтобы минимизировать среднее расстояние до первого лифта, встаньте в медиану — перед вторым лифтом.
Чтобы минимизировать максимальное расстояние (наихудший вариант), встаньте на полпути между крайними лифтами.
👍9❤3
Несколько задач от Бена Орлина
12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны.
Какая часть круга закрашена?
Возможная идея решения задачипо ссылке .
12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны.
Какая часть круга закрашена?
Возможная идея решения задачи
👍4🔥4❤3