Задача. Докажите, что в каждом 17-угольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 2°.

Решение задачи по ссылке.

Задача. В выпуклом 17-многоугольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Выберем среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Внутри выпуклого 17-угольника расположено 100 точек так, что никакие три из этих 117 точек (включая вершины многоугольника) не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершины каждого — какие-нибудь три точки из этих 117. Какое наибольшее число треугольников могло получиться?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. У какого из многоугольников длина стороны больше: у 7-угольника или 17-угольника?

Сначала проголосуйте ⬆️

Решение задачи по ссылке.

Задача. Существует ли выпуклый 27-угольник, у которого все углы различны и выражаются целым числом градусов?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 34 в вершинах и серединах сторон правильного 17-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Решение задачи по ссылке.

Задача. У некоторого k-угольника (не обязательно выпуклого) ровно 17 углов больше 90°. Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение задачи по ссылке.

29 сентября 1803 г. родился Жак Шарль Франсуа Штурм, французский и швейцарский математик. Основные труды по краевым задачам уравнений математической физики и связанной с ними задаче о разыскании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Штурма - Лиувилля). Дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке (правило Штурма). Ему принадлежат также работы по оптике и механике.

С именем Штурма связан метод доказательства неравенств с несколькими переменными. Основная его идея заключается в следующем: менять одновременно две переменные, сохраняя их сумму (или произведение) так, чтобы при этом одна из частей неравенства всегда изменялась в одну сторону. Обычно переменные либо пытаются сделать равными, либо наоборот — раздвинуть как можно дальше друг от друга.
Метод Штурма используется при решении многих олимпиадных задач. Познакомиться с ним можно в статье С.В. Попова в журнале Потенциал.

«Настоящего человека тянет туда, где трудно».

30 сентября 1891 г. родился Отто Юльевич Шмидт, математик — основатель московской алгебраической школы и кафедры алгебры на физико-математическом факультете МГУ.
Кроме того, геофизик, астроном, исследователь Севера, организатор книгоиздания и реформы системы образования, главный редактор знаменитой Большой советской энциклопедии. Во время ВОВ организатор эвакуации научно-исследовательских институтов на восток.
Автор гипотезы возникновения Солнечной системы из газо-пылевого облака. Шмидту удалось доказать принципиальную возможность захвата Солнцем случайно встреченного им протопланетного облака. Благодаря этой гипотезе удалось дать научное объяснение распределению момента количества движения между Солнцем и планетами Солнечной системы.
Наибольшую известность учёному принесли организованные им географические экспедиции, проходившие в духе жуль-верновских путешествий. Он возглавил первую международную экспедицию на Памир, где в ходе опасного путешествия провёл колоссальную работу по исследованию ледников.
Был организатором и руководителем двух Арктических экспедиций. В результате первой экспедиции, совершённой на ледокольном пароходе «Седов», был освоен Северный морской путь и закреплены права СССР на Землю Франца Иосифа (в это время архипелаг был объектом международных споров, и Б. Муссолини намеревался создать на нём итальянскую колонию). Также во время этой экспедиции был, в частности, открыт в Карском море остров Визе, существование которого было ранее предсказано чисто теоретически (подобно предсказанию существования планеты Нептун) — по отклонению морского течения.
Во время второй экспедиции, на пароходе «Челюскин», судно попало в ледовую блокаду посреди Чукотского моря, а экипаж был вынужден высадиться на льдину и разбить лагерь. Первый самолет для эвакуации людей прибыл только спустя практически месяц. Однако, благодаря грамотному руководству Отто Шмидта, во время вынужденной зимовки не погиб ни один член экипажа. Во время зимовки на льдине Шмидт читал членам экипажа лекции по математике и вообще сохранял полную невозмутимость. Британский драматург Б. Шоу с восхищением заметил тогда: «Даже трагедию СССР смог превратить в триумф!»
Ещё Шмидт был организатором научной экспедиции на Северный полюс, в результате которой была оборудована первая дрейфующая станция.

Считается, что термин «аспирант» был введён в употребление в русском языке именно Отто Шмидтом.

👶 В 30-е годы прошлого века в нашей стране была мода на необычные имена для детей. Такие имена образовывались как аббревиатуры из имен знаменитых людей или целых событий. В честь Шмидта появились такие имена, как Оюшминальд(а): «Отто Юльевич Шмидт на льдине», Лагшминальд(а): «лагерь Шмидта на льдине», Лашмивар(а): «Лагерь Шмидта в Арктике».

Комментарий к предыдущему посту. Сначала проголосуйте ⬆️.

Академик В.И. Арнольд сформулировал эту шуточную задачу в таком виде: «Почему американские школьники 30 лет успешно справлялись с этой задачей на выпускном экзамене, а советские школьники не смогли её решить?»

В каком-то смысле, годится любой ответ. Уточним формулировку.
«Что даёт формула площади треугольника при заданных значениях гипотенузы и высоты?». Ответ: 30.
А если: «Какова площадь треугольника с такими характеристиками?», то: такого треугольника не существует, потому его площадь невозможно определить. Но годится и ответ 0, поскольку мера пустого множества равна нулю.
Если же: «Что можно сказать о площади треугольника в предположении, что он существует?», то из ложной предпосылки можно вывести вообще любой ответ.

Upd. Сделанное выше утверждение, что годится и ответ 0, — неверно, на что обратил внимание в комментариях наш подписчик Антон. Здесь была допущена следующая ошибка: треугольник с нереализуемыми характеристиками сам принадлежит к пустому множеству, но нельзя утверждать, что он состоит из пустого множества точек.

Как Бируни измерил Землю

Первое известное измерение радиуса Земли сделал Эратосфен ещё в III в. до н.э. — он сопоставил линейное расстояние между двумя египетскими городами — Александрией и Сиеной (ныне Асуан) с разностью их широт. Это был трудоёмкий способ, и он не позволял достичь хорошей точности.

Довольно простой и красивый способ измерения радиуса Земли, доступный современному школьнику, знакомому с тригонометрией, предложил Аль-Бируни.
Если наблюдатель поднимется на вершину горы А высотой h, то увидит линию горизонта в точке С. Измерив угол понижения горизонта α и высоту горы, легко найти радиус Земли.
Для определения высоты горы Бируни измерил с помощью астролябии угол возвышения горы в двух точках, отстоящих друг от друга на расстоянии d.
Доказательство этих формул оставим в качестве несложного упражнения.

«Математика всегда была одним из моих излюбленных занятий; однако, преимущественно лишь в её умозрительной части, как ветви философии, и как средства упражнения в правильном мышлении. Сразу же, при первом ознакомлении с ней, мне стали заметны один-два недостатка, устранением которых я стал заниматься в свои свободные часы, уверяю, не из тщеславия, а из-за внутреннего интереса, который я находил в таких спекуляциях. При более продолжительном размышлении число недостатков, которые я, как мне казалось, обнаружил, ещё больше увеличилось».
«Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший её человек».

5 октября 1781 г. родился Бернард Больцано, чешский математик, философ, теолог и католический священник, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.
За 30 лет до Вейерштрасса он построил непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке. Установил современное понятие сходимости рядов; за несколько лет до выхода в свет «Алгебраического анализа» Коши пользовался критерием сходимости, именуемым обычно критерием Коши. Теорему о том, что всякое бесконечное множество чисел, заключённых в замкнутом интервале, имеет в нём по меньшей мере одну предельную точку, Больцано упоминает за много лет до того, как её сформулировал Вейерштрасс. Также он первым строго доказал теорему о том, что непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, лежащее между двумя её разными значениями. Сформулировал идеи, близкие к теории множеств Кантора, ввёл само понятие множества и взаимно-однозначного соответствия. Развил положения, предвосхитившие идеи математической логики. Приоритет способа обоснования арифметики натуральных чисел методом математической индукции также принадлежит Больцано.

Будучи деканом философского факультета Пражского университета, Больцано последовательно занимал антивоенную позицию, призывал к тотальной реформе образовательной, социальной и экономической систем, которая направила бы интересы нации в сторону мира, а не в сторону вооружённого конфликта между нациями. Либеральные, антимилитаристские взгляды преподавателя, его высказывания в пользу реформирования общественного устройства, системы образования вызывало раздражение церковных властей и австрийского правительства. После его отказа отречься от своих убеждений, Больцано был уволен из университета, сослан в деревню и отдан под тайный надзор полиции, лишён права публичного выступления — и устного, и в печати. Почти все работы Больцано увидели свет лишь после его смерти.

«Часто утверждается, что дифференциальное исчисление имеет дело с непрерывной величиной, и тем не менее нигде не даётся объяснения этой непрерывности… Мне удалось это объяснить 24 ноября 1858 года».
«Мой дядя, видя, какими вопросами теории чисел я занимаюсь, заметил, что стоит открыть двери дома умалишённых, чтобы иметь достаточное число гениальных математиков. Я на это ответил, а Дирихле одобрил мой ответ, что, конечно, математика является некоторым родом сумасшествия, но что обратная теорема не всегда верна».

6 октября 1831 г. родился Рихард Дедекинд, немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел.
Обобщив теорию многочленов и алгебраических чисел, Дедекинд ввёл в математику абстрактные алгебраические структуры: кольца, идеалы и модули. Совместно с Кронекером он создал общую теорию делимости. Был одним из первых сторонников канторовской теории множеств, и многие его работы стали наглядным примером применения новых методов. Предложил первый вариант аксиоматики для натурального ряда чисел. Годом позже аналогичную, немного упрощённую, систему аксиом, со ссылкой на Дедекинда, предложил Пеано, чьё имя за ней и закрепилось.
Наряду с Вейерштрассом, создал обоснование теории вещественных чисел. Если Вейерштрасс в качестве модели вещественного числа использовал его формальную десятичную запись, то Дедекинд предложил иной подход, основанный на так называемых дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел; близкое по идее построение неявно присутствовало уже в «Началах» Евклида. Современные курсы математического анализа излагают чаще всего теорию Дедекинда.

Рассказывают, что однажды Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочёл там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый коллега! Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год».

С именем учёного связано ещё одно понятие — дедекиндово число, равное количеству монотонных булевых функций от n переменных.
Булева функция выдаёт результат на основе входных данных, состоящий из двух состояний — 0 и 1. Монотонные булевы функции — это функции, для которых замена 0 на 1 на входе приводит только к изменению выхода с 0 на 1, но не с 1 на 0. Обычно это описывают с помощью красного и белого цветов, а не 1 и 0, но идея та же.
Монотонную булеву функцию иногда представляют как игру с n-мерным кубиком: вы балансируете куб на одном углу, а затем окрашиваете каждый из оставшихся углов в белый или красный цвет. При этом есть только одно правило: вы никогда не должны располагать белый угол над красным. Это создаёт своего рода вертикальный красно-белый перекрёсток. Цель игры — подсчитать, сколько различных разрезов существует.
Первые 5 таких чисел вычислил Дедекинд в 1897 г.: 3, 6, 20, 168, 7581, и сформулировал задачу Дедекинда: найти способ вычисления последующих чисел.
Это очень быстро растущая последовательность. Первая точная формула для вычисления этих чисел была получена в 1988 г., ещё одна — в 2014 г. Десятое дедекиндово число было вычислено с использованием суперкомпьютера в 2023 г., он содержит 42 знака и равно: 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366.

«Истинный математик — это тот, кто не только решает задачу, но стремится решить её красиво».
«В процессе научной работы важны две вещи: видеть большое в малом и малое в большом».
«Вся научная работа на 99 процентов состоит из неудач, и, может быть, только один процент составляют удачи…»

6 октября 1908 г. родился Сергей Львович Соболев — один из крупнейших математиков XX века, внёсший основополагающий вклад в современную науку и положивший начало ряду новых научных направлений в современной математике. Предложил новый метод решения задачи Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, что привело к пересмотру классического понятия решения дифференциального уравнения. Определив понятие обобщенной производной, обогатил математику пространствами функций, которые теперь называются «пространствами Соболева».
Проф. С.С. Кутателадзе: «Исследования Соболева связаны с переосмыcлением понятия решения дифференциального уравнения. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции. Фактически Соболев стал считать дифференциальное уравнение решённым даже в тех случаях, когда нам доступны всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. При этом решение как функция времени может быть не только неизвестным, но и просто отсутствующим. В науку вошло качественно новое понимание ключевых принципов прогнозирования. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщённая функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций».

Из воспоминаний проф. Г.А. Чечкина, внука Соболева:
«Будучи на втором курсе, Сергей слушал лекции профессора Николая Максимовича Гюнтера. Речь шла о математической теории потенциала. Соболев не понял одну из теорем, засомневавшись в ее точности. После лекции он подошел к профессору и сказал, что не понял теорему. Гюнтер ответил: «Молодой человек, от кого угодно ждал такого вопроса, но не от вас! Сядьте и разберитесь». Соболев вернулся домой, разобрался в теореме, понял, что она действительно неверна, и построил контрпример. Перед следующей лекцией он показал этот пример Гюнтеру. Николай Максимович отменил лекцию и сел разбираться. Он был шокирован: пример оказался точным и правильным, а теорема — неверной. Гюнтер попросил Соболева написать заметку и представил ее в журнал “Доклады Академии наук”. Так вышла первая печатная работа молодого Сергея, был он в самом начале своей выдающейся научной карьеры…»

«Однажды Сергей Львович сидел у себя в кабинете в Курчатовском институте. В этот кабинет вели огромные, тяжеленные дубовые двери с массивными замками — такие типичные входные двери, как в главное здание МГУ. Сергей Львович занимался оборонными задачами, применяя новые подходы, связанные с обобщенными решениями. И вдруг раздался стук в дверь: оказалось, что это человек из первого отдела с каким-то вопросом. А первый отдел — это отдел НКВД в учреждении, следивший за работой учёных. И вот замок заклинило. Сергей Львович понял, что, если он сейчас не откроет дверь, последствия будут ужасные — вплоть до того, что могут и отстранить от работы, и посадить. Поэтому он разбежался — а он был большого роста, крупный, мощный, с мышцами — и высадил эту дубовую дверь вместе с петлями. При этом он сломал ключицу, его отправили лечиться. Так у него появилась возможность спокойно сесть и написать книгу “Некоторые применения функционального анализа в математической физике”, обобщив свои новые подходы».