Задача. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на параллелограммы?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Докажите, что в каждом 17-угольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 2°.

Решение задачи по ссылке.

Задача. В выпуклом 17-многоугольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Выберем среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Внутри выпуклого 17-угольника расположено 100 точек так, что никакие три из этих 117 точек (включая вершины многоугольника) не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершины каждого — какие-нибудь три точки из этих 117. Какое наибольшее число треугольников могло получиться?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. У какого из многоугольников длина стороны больше: у 7-угольника или 17-угольника?

Сначала проголосуйте ⬆️

Решение задачи по ссылке.

Задача. Существует ли выпуклый 27-угольник, у которого все углы различны и выражаются целым числом градусов?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 34 в вершинах и серединах сторон правильного 17-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Решение задачи по ссылке.

Задача. У некоторого k-угольника (не обязательно выпуклого) ровно 17 углов больше 90°. Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение задачи по ссылке.

29 сентября 1803 г. родился Жак Шарль Франсуа Штурм, французский и швейцарский математик. Основные труды по краевым задачам уравнений математической физики и связанной с ними задаче о разыскании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Штурма - Лиувилля). Дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке (правило Штурма). Ему принадлежат также работы по оптике и механике.

С именем Штурма связан метод доказательства неравенств с несколькими переменными. Основная его идея заключается в следующем: менять одновременно две переменные, сохраняя их сумму (или произведение) так, чтобы при этом одна из частей неравенства всегда изменялась в одну сторону. Обычно переменные либо пытаются сделать равными, либо наоборот — раздвинуть как можно дальше друг от друга.
Метод Штурма используется при решении многих олимпиадных задач. Познакомиться с ним можно в статье С.В. Попова в журнале Потенциал.

«Настоящего человека тянет туда, где трудно».

30 сентября 1891 г. родился Отто Юльевич Шмидт, математик — основатель московской алгебраической школы и кафедры алгебры на физико-математическом факультете МГУ.
Кроме того, геофизик, астроном, исследователь Севера, организатор книгоиздания и реформы системы образования, главный редактор знаменитой Большой советской энциклопедии. Во время ВОВ организатор эвакуации научно-исследовательских институтов на восток.
Автор гипотезы возникновения Солнечной системы из газо-пылевого облака. Шмидту удалось доказать принципиальную возможность захвата Солнцем случайно встреченного им протопланетного облака. Благодаря этой гипотезе удалось дать научное объяснение распределению момента количества движения между Солнцем и планетами Солнечной системы.
Наибольшую известность учёному принесли организованные им географические экспедиции, проходившие в духе жуль-верновских путешествий. Он возглавил первую международную экспедицию на Памир, где в ходе опасного путешествия провёл колоссальную работу по исследованию ледников.
Был организатором и руководителем двух Арктических экспедиций. В результате первой экспедиции, совершённой на ледокольном пароходе «Седов», был освоен Северный морской путь и закреплены права СССР на Землю Франца Иосифа (в это время архипелаг был объектом международных споров, и Б. Муссолини намеревался создать на нём итальянскую колонию). Также во время этой экспедиции был, в частности, открыт в Карском море остров Визе, существование которого было ранее предсказано чисто теоретически (подобно предсказанию существования планеты Нептун) — по отклонению морского течения.
Во время второй экспедиции, на пароходе «Челюскин», судно попало в ледовую блокаду посреди Чукотского моря, а экипаж был вынужден высадиться на льдину и разбить лагерь. Первый самолет для эвакуации людей прибыл только спустя практически месяц. Однако, благодаря грамотному руководству Отто Шмидта, во время вынужденной зимовки не погиб ни один член экипажа. Во время зимовки на льдине Шмидт читал членам экипажа лекции по математике и вообще сохранял полную невозмутимость. Британский драматург Б. Шоу с восхищением заметил тогда: «Даже трагедию СССР смог превратить в триумф!»
Ещё Шмидт был организатором научной экспедиции на Северный полюс, в результате которой была оборудована первая дрейфующая станция.

Считается, что термин «аспирант» был введён в употребление в русском языке именно Отто Шмидтом.

👶 В 30-е годы прошлого века в нашей стране была мода на необычные имена для детей. Такие имена образовывались как аббревиатуры из имен знаменитых людей или целых событий. В честь Шмидта появились такие имена, как Оюшминальд(а): «Отто Юльевич Шмидт на льдине», Лагшминальд(а): «лагерь Шмидта на льдине», Лашмивар(а): «Лагерь Шмидта в Арктике».

Комментарий к предыдущему посту. Сначала проголосуйте ⬆️.

Академик В.И. Арнольд сформулировал эту шуточную задачу в таком виде: «Почему американские школьники 30 лет успешно справлялись с этой задачей на выпускном экзамене, а советские школьники не смогли её решить?»

В каком-то смысле, годится любой ответ. Уточним формулировку.
«Что даёт формула площади треугольника при заданных значениях гипотенузы и высоты?». Ответ: 30.
А если: «Какова площадь треугольника с такими характеристиками?», то: такого треугольника не существует, потому его площадь невозможно определить. Но годится и ответ 0, поскольку мера пустого множества равна нулю.
Если же: «Что можно сказать о площади треугольника в предположении, что он существует?», то из ложной предпосылки можно вывести вообще любой ответ.

Upd. Сделанное выше утверждение, что годится и ответ 0, — неверно, на что обратил внимание в комментариях наш подписчик Антон. Здесь была допущена следующая ошибка: треугольник с нереализуемыми характеристиками сам принадлежит к пустому множеству, но нельзя утверждать, что он состоит из пустого множества точек.