Задача 6. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может равняться это произведение?

Решение задачи по ссылке.

«Величайшая стратегия обречена, если она плохо реализована»

17 сентября 1826 г. родился Бернхард Риман — великий немецкий математик, внесший весомый вклад в матанализ, теорию чисел, дифференциальную геометрию. Риман первым дал строгое определение интеграла функции вещественной переменной, в комплексном анализе он разработал теорию конформных отображений и теорию многозначных комплексных функций, построив для них носящие его имя римановы поверхности, на которых они однозначны; при этом он использовал не только аналитические, но и топологические методы. Является одним из основоположников классической газовой динамики; ввёл понятие ударной волны и дал её математическое описание. Благодаря своему вкладу в дифференциальную геометрию заложил основы общей теории относительности.

Наибольшую известность имя Римана получило в связи с гипотезой, сформулированной им в 1859 г. Рассказывают, что когда у Гильберта спросили, какой бы вопрос он задал, если бы уснул на 500 лет, когда проснётся, то он ответил, что первым делом поинтересовался бы, доказана ли гипотеза Римана. В совокупности с гипотезой Гольдбаха гипотеза Римана образует восьмую проблему Гильберта и включена в одну из семи проблем тысячелетия.
Эта гипотеза связана с дзета-функцией Римана
ζ(t) = 1ˉᵗ + 2ˉᵗ + 3ˉᵗ + 4ˉᵗ + ... .
Например, ζ(1) — это исследованный ещё в 14-м веке Николаем Оремом гармонический ряд, он расходится.
ζ(2) — сумма ряда обратных квадратов — знаменитая базельская проблема, решённая Эйлером в 1735 г., сумма этого ряда равна π²/6.
ζ(3) — известная, поставленная Эйлером, нерешённая проблема в математике (хотя и не самая важная).
Эйлер уловил тонкую связь между дзета-функцией и простыми числами. Так, умножим ζ(t) на 2ˉᵗ, получим:
2ˉᵗ ζ(t) = 2ˉᵗ + 4ˉᵗ + 6ˉᵗ + 8ˉᵗ + ... .
Теперь вычтем полученное выражение из дзета-функции:
(1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 3ˉᵗ + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 9ˉᵗ + ... .
Аналогично домножим дзета-функцию на 3ˉᵗ, а затем вычтем результат из дзета-функции:
(1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 11ˉᵗ + 13ˉᵗ + ... .
Продолжая эти действия, несложно получить, что
…(1–7ˉᵗ) (1–5ˉᵗ) (1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1, т.е.
∏ (1 – pˉᵗ )ˉ¹ = ∑ nˉᵗ — формула произведения Эйлера.
Чебышёв рассмотрел дзета-функцию не только для натуральных значений t, но и для вещественных, и на этом пути получил важные результаты о распределении простых чисел. Однако самую гениальную догадку сделал Риман — он впустил в игру комплексные числа: t = x+iy!
Риману удалось показать, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. А гипотеза Римана, выдвинутая им практически в качестве случайного лирического отступления, описывает, где находятся её нули. Несложно убедиться, что любое отрицательное четное число является тривиальным нулем. Но есть и другие. По всей видимости, они находятся в комплексной плоскости t на одной прямой, такой что вещественная часть х = ½. Не все такие числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел.

Из книги Дж. Дербишира «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»:

«В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.
Харди оставался в Дании у Боров до самого конца летних каникул, а когда ему наконец пришлось возвращаться в Англию и приступать там к чтению лекций, для путешествия нашлось лишь одно довольно утлое судно <…> Северное море может быть достаточно суровым, и вероятность того, что такое маленькое судно потонет, не была строго равной нулю. Как бы то ни было, Харди сел на этот корабль, но послал Бору открытку: “Я доказал Гипотезу Римана. Подробности по возвращении. Г.X. Харди”. Если корабль потерпит бедствие и Харди утонет, то все будут думать, что он сумел доказать Гипотезу Римана. Однако Господь не допустит, чтобы Харди досталась такая слава, а потому Он сделает так, чтобы корабль не затонул».

Ещё несколько задач на простые числа

Задача 7. Решите в простых числах уравнение xʸ + 1 = z .

Решение задачи по ссылке.

Задача 8. Решите в простых числах уравнение xʸ + yˣ = z.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 9. Решите в простых числах уравнение
x + y = (x – y)³.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 10. Длины сторон треугольника — простые числа. Может ли его площадь быть целым числом?

Решение задачи по ссылке.

22 сентября 1765 г. родился Паоло Руффини, итальянский математик. Дал первое доказательство невозможности решения в радикалах уравнений степеней, начиная с 5-й. Доказательство Руффини содержало неточности и занимало около 500 страниц. Позже Абель дал полное доказательство. Сегодня этот факт известен как Теорема Абеля–Руффини.

22 сентября 1837 г. умер Уильям Джордж Горнер, британский математик. Основные труды относятся к теории алгебраических уравнений. С именем Горнера в школьной практике связано правило деления многочлена на двучлен — т.н. «схема Горнера» (1819 г.). Но на 15 лет раньше него изобрёл это правило Паоло Руффини (1804 г.).

22 сентября 1903 г. родился Андрей Андреевич Марков (младший), сын известного русского математика А. А. Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики и логики. Основные труды — по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории сложности алгоритмов и кибернетике.
Учитывая специфику того времени (в частности, общеизвестную ситуацию с кибернетикой в нашей стране), не приходится удивляться тому, что Марков никогда не был избран действительным членом Академии наук, а его школа по существу подвергалась репрессиям. Марков-сын, как и отец, был очень смелым человеком — он подписал письмо 99 (в защиту А.С. Есенина-Вольпина), выступал в защиту Р.И. Пименова и И.Д. Заславского, осужденных за “антисоветскую деятельность”.

А ещё А.А. Марков писал стихи.

ЛИЧНОСТИ
Историю делают сильные лица.
Они достигают всего, что хотят;
Они запрягают в свои колесницы
Богов и учёных, быков и котят.
Бывает однако, что лица с замашками
В помойную яму летят вверх тормашками


ВЕЧНЫЙ ПЛАМЕНЬ
Смешная утварь — голова.
Она как тыква изощренна.
Как полуночная сова,
она остра и извращенна.

Разбита мира скорлупа,
и кротким некуда деваться.
Смешная доля у клопа:
плясать, кусать и издеваться.

Пусть он приплюснут и вонюч,
и слеп как крот, и глух как камень,
но в сердце у него живуч
неугасимый яркий пламень.

ГИППОМОНАДА
Черная гиппомонада
вышла из бездны времен
и говорит, что не надо
ей ни гербов, ни знамен.

Черная гиппомонада
вышла из дали веков
и говорит, что не надо
ей ни вождей, ни полков.

Черная гиппомонада
вышла из чащи лесов
и говорит, что не надо
ей большинства голосов.

Черная гиппомонада
вышла на берег одна.
Ей не нужна канонада,
ей ненавистна война.

Черная гиппомонада
бодро бежит без подков,
и ничего ей не надо,
кроме жиров и белков.


КВАДРИГА
Родриго из залива Виго три брига двигал в город Ригу,
а умный виг
в тот самый миг
уже постиг,
что близок сдвиг.

Родриго, покорив Гедвигу, воздвиг над Ригою квадригу,
а хитрый виг
в тот самый миг
всего достиг
путем интриг.

Родриго, сотворив квадригу, над Ригой преломил ковригу,
а прыткий виг
в тот самый миг
младую Бригг
в лесу настиг.

Родриго, бросив город Ригу, три брига двигал в бухту Виго,
а пылкий виг
в тот самый миг
свою мисс Бригг
с другим застиг.

«Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти».

24 сентября 1501 г. родился Джероламо Кардано — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.
Несмотря на то, что Кардано практически всю жизнь занимался медициной, он оставил свой след во многих областях науки, что было характерно для учёных-энциклопедистов эпохи Возрождения. Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры. Он первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения — Кардано был их первым публикатором.
В опубликованной посмертно работе «Книгой об игре в кости» Кардано изложил исследования по математической теории азартных игр. Это был один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории вероятностей. Хотя Кардано допустил там ряд ошибок, он первым близко подошёл к общему понятию вероятности.
Кардано также сделал проницательное замечание, предвосхитившее «закон больших чисел»: реальное количество исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия меньше.
В качестве инженера Кардано в своих трудах подробно описал множество механизмов, в том числе свои собственные изобретения — например, масляную лампу с автоматической подачей масла и кодовый замок. С его именем связаны карданный вал и карданов подвес, хотя их Кардано не изобретал, но лишь описал в своей книге.
В историю криптографии Кардано вошёл как изобретатель несложного шифровального устройства, использовавшегося в переписках и получившего название «решётка Кардано».
В медицине Кардано оставил первое детальное описание тифа, нереализованный проект переливания крови и предположение о том, что причинами инфекционных болезней являются живые существа, невидимые глазом из-за малых размеров; также разработал метод обучения слепых, сходный с брайлевским.
Кардано сильно увлекался азартными играми, написал трактат о вероятности выигрыша.
Увлекался астрологией, написал гороскоп Иисуса Христа, за что испанской инквизицией был обвинён в ереси и посажен в тюрьму, но затем отрёкся от своих высказываний и был отпущен.
Есть легенда, что Кардано предсказал дату своей смерти и, чтобы оправдать свои предсказания, покончил собой. Но по другим сведениям он прожил после предсказанной даты ещё 3 года.

«Лучше учится не тот, кто усердно запоминает прочитанное, а тот, кто приобретает умение применять пройденное к своему делу!»
«Все полагают, что математика наука сухая, скучная, состоящая только в умении считать. Это нелепость. Цифры в математике играют самую ничтожную, самую последнюю роль. Это — высшая философская наука, наука величайших поэтов… Я ведь считать совсем не умею; ты сам знаешь, что многие из моих учеников считают лучше меня. Я часто путаюсь, решая какую-нибудь цифирную задачу, и если бы экзаменовался, положим, у Паукера, то он поставил бы мне нуль. А между тем я всё-таки математик, а Паукер нет».

24 сентября 1801 г. родился Михаил Васильевич Остроградский. Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории магнетизма, теории вероятностей. Он внёс весомый вклад в алгебру и теорию чисел. Многие свои труды посвятил математической физике и механике, став одним из тех, кто заложил фундамент этих наук. Большая часть работ по математической физике относится к задачам распространения тепла, теории упругости, гидродинамики. Первым из отечественных учёных Остроградский стал заниматься аналитической механикой. Ему принадлежат исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщённых принципов статики и динамики. К наибольшим достижениям можно отнести интегрально-вариационный принцип Гамильтона–Остроградского и формулу Остроградского–Гаусса, связывающую объёмный интеграл с интегралом по поверхности.

Несколько исторических анекдотов об Остроградском

Именем Остроградского назван эллиптический интеграл, который Михаил Васильевич впервые сумел взять в 1837 году.
Руководивший строительством железной дороги из Петербурга в Москву Петр Клейнмихель доложил царю, что в одном месте придётся обходить возвышенность, так как профиль местности не поддаётся расчёту. Вычисления приводят к эллиптическому интегралу, а такие интегралы не берутся. Российский самодержец Николай I, однако, начертал на рапорте Клейнмихеля: «Повелеваю интегрировать». Тот кинулся за помощью в университет, и молодой профессор Остроградский уже через месяц дал решение эллиптических интегралов.

Однажды Остроградскому пришла в голову какая-то необыкновенно заманчивая математическая идея в тот момент, когда он шёл по одной из петербургских улиц. Немедленно он стал покрывать формулами то, что считал черной доской, предназначенной для записи вычисления. Неожиданно доска стала удаляться от него. Оказалось, что это не классная доска, а карета. Изумленный математик, догоняя карету, стал кричать кучеру: «Постой! Куда спешишь? Я сейчас!»

Михаил Васильевич Остроградский, будучи человеком высоким и полным, не любил модной одежды. Прекрасно зная это, портной всё же уговорил его сшить костюм по последней моде. Ученый нашел брюки слишком узкими и отказался взять костюм. Портной удивился:
— Но я сделал всё, как нужно, — уверял он Остроградского. — Вы не должны отставать от века.
— Помилуйте, — возразил академик — как же мне угнаться за веком в таких узких штанах.

Парижская академия наук объявила конкурс на тему «О распространении волн в цилиндрических бассейнах». За 10 лет не было подано ни одной работы. В то время в Париже проживал Остроградский. Он слушал лекции Коши, Лапласа, Фурье. По какой-то причине в 1826 г. Остроградский задолжал в гостинице "за харч и постой" и по жалобе хозяина был посажен в «Клиши» — долговую тюрьму в Париже. Здесь он написал свою знаменитую работу "Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне" и послал эту работу Коши. Коши представил этот мемуар с самым лестным отзывом Парижской академии, которая удостоила эту работу высшего отличия — напечатания в «Memoires des savants etrangers a l'Academie». Более того, Коши сам, не будучи богатым человеком, выкупил Остроградского из тюрьмы. Когда Михаила Васильевича, спустя годы, спросили, чему он обязан в решении столь трудной проблемы, он кратко ответил: «Тюрьме!».

Остроградский долго бился над решением одной вариационной задачи. Однажды, будучи в Париже, он решил обратиться за консультацией во Французскую академию наук. Там долго медлили, а потом пришёл ответ: "Эту задачу может решить только один человек — русский профессор Остроградский. Он живёт в Петербурге. К нему вам и следует обратиться".