Несколько непростых задач на простые числа

Задача 1. Докажите, что число 2¹⁰ + 5¹² — составное.

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. Найдите все простые числа p такие, что число p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей.

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. Найдите три последовательных простых числа, сумма квадратов которых является простым числом.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. Найдите все натуральные числа n, для которых каждое из шести чисел n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 является простым.

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, …, 2025 так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может равняться это произведение?

Решение задачи по ссылке.

«Величайшая стратегия обречена, если она плохо реализована»

17 сентября 1826 г. родился Бернхард Риман — великий немецкий математик, внесший весомый вклад в матанализ, теорию чисел, дифференциальную геометрию. Риман первым дал строгое определение интеграла функции вещественной переменной, в комплексном анализе он разработал теорию конформных отображений и теорию многозначных комплексных функций, построив для них носящие его имя римановы поверхности, на которых они однозначны; при этом он использовал не только аналитические, но и топологические методы. Является одним из основоположников классической газовой динамики; ввёл понятие ударной волны и дал её математическое описание. Благодаря своему вкладу в дифференциальную геометрию заложил основы общей теории относительности.

Наибольшую известность имя Римана получило в связи с гипотезой, сформулированной им в 1859 г. Рассказывают, что когда у Гильберта спросили, какой бы вопрос он задал, если бы уснул на 500 лет, когда проснётся, то он ответил, что первым делом поинтересовался бы, доказана ли гипотеза Римана. В совокупности с гипотезой Гольдбаха гипотеза Римана образует восьмую проблему Гильберта и включена в одну из семи проблем тысячелетия.
Эта гипотеза связана с дзета-функцией Римана
ζ(t) = 1ˉᵗ + 2ˉᵗ + 3ˉᵗ + 4ˉᵗ + ... .
Например, ζ(1) — это исследованный ещё в 14-м веке Николаем Оремом гармонический ряд, он расходится.
ζ(2) — сумма ряда обратных квадратов — знаменитая базельская проблема, решённая Эйлером в 1735 г., сумма этого ряда равна π²/6.
ζ(3) — известная, поставленная Эйлером, нерешённая проблема в математике (хотя и не самая важная).
Эйлер уловил тонкую связь между дзета-функцией и простыми числами. Так, умножим ζ(t) на 2ˉᵗ, получим:
2ˉᵗ ζ(t) = 2ˉᵗ + 4ˉᵗ + 6ˉᵗ + 8ˉᵗ + ... .
Теперь вычтем полученное выражение из дзета-функции:
(1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 3ˉᵗ + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 9ˉᵗ + ... .
Аналогично домножим дзета-функцию на 3ˉᵗ, а затем вычтем результат из дзета-функции:
(1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 11ˉᵗ + 13ˉᵗ + ... .
Продолжая эти действия, несложно получить, что
…(1–7ˉᵗ) (1–5ˉᵗ) (1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1, т.е.
∏ (1 – pˉᵗ )ˉ¹ = ∑ nˉᵗ — формула произведения Эйлера.
Чебышёв рассмотрел дзета-функцию не только для натуральных значений t, но и для вещественных, и на этом пути получил важные результаты о распределении простых чисел. Однако самую гениальную догадку сделал Риман — он впустил в игру комплексные числа: t = x+iy!
Риману удалось показать, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. А гипотеза Римана, выдвинутая им практически в качестве случайного лирического отступления, описывает, где находятся её нули. Несложно убедиться, что любое отрицательное четное число является тривиальным нулем. Но есть и другие. По всей видимости, они находятся в комплексной плоскости t на одной прямой, такой что вещественная часть х = ½. Не все такие числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел.

Из книги Дж. Дербишира «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»:

«В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.
Харди оставался в Дании у Боров до самого конца летних каникул, а когда ему наконец пришлось возвращаться в Англию и приступать там к чтению лекций, для путешествия нашлось лишь одно довольно утлое судно <…> Северное море может быть достаточно суровым, и вероятность того, что такое маленькое судно потонет, не была строго равной нулю. Как бы то ни было, Харди сел на этот корабль, но послал Бору открытку: “Я доказал Гипотезу Римана. Подробности по возвращении. Г.X. Харди”. Если корабль потерпит бедствие и Харди утонет, то все будут думать, что он сумел доказать Гипотезу Римана. Однако Господь не допустит, чтобы Харди досталась такая слава, а потому Он сделает так, чтобы корабль не затонул».

Ещё несколько задач на простые числа

Задача 7. Решите в простых числах уравнение xʸ + 1 = z .

Решение задачи по ссылке.

Задача 8. Решите в простых числах уравнение xʸ + yˣ = z.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 9. Решите в простых числах уравнение
x + y = (x – y)³.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 10. Длины сторон треугольника — простые числа. Может ли его площадь быть целым числом?

Решение задачи по ссылке.

22 сентября 1765 г. родился Паоло Руффини, итальянский математик. Дал первое доказательство невозможности решения в радикалах уравнений степеней, начиная с 5-й. Доказательство Руффини содержало неточности и занимало около 500 страниц. Позже Абель дал полное доказательство. Сегодня этот факт известен как Теорема Абеля–Руффини.

22 сентября 1837 г. умер Уильям Джордж Горнер, британский математик. Основные труды относятся к теории алгебраических уравнений. С именем Горнера в школьной практике связано правило деления многочлена на двучлен — т.н. «схема Горнера» (1819 г.). Но на 15 лет раньше него изобрёл это правило Паоло Руффини (1804 г.).

22 сентября 1903 г. родился Андрей Андреевич Марков (младший), сын известного русского математика А. А. Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики и логики. Основные труды — по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории сложности алгоритмов и кибернетике.
Учитывая специфику того времени (в частности, общеизвестную ситуацию с кибернетикой в нашей стране), не приходится удивляться тому, что Марков никогда не был избран действительным членом Академии наук, а его школа по существу подвергалась репрессиям. Марков-сын, как и отец, был очень смелым человеком — он подписал письмо 99 (в защиту А.С. Есенина-Вольпина), выступал в защиту Р.И. Пименова и И.Д. Заславского, осужденных за “антисоветскую деятельность”.

А ещё А.А. Марков писал стихи.

ЛИЧНОСТИ
Историю делают сильные лица.
Они достигают всего, что хотят;
Они запрягают в свои колесницы
Богов и учёных, быков и котят.
Бывает однако, что лица с замашками
В помойную яму летят вверх тормашками


ВЕЧНЫЙ ПЛАМЕНЬ
Смешная утварь — голова.
Она как тыква изощренна.
Как полуночная сова,
она остра и извращенна.

Разбита мира скорлупа,
и кротким некуда деваться.
Смешная доля у клопа:
плясать, кусать и издеваться.

Пусть он приплюснут и вонюч,
и слеп как крот, и глух как камень,
но в сердце у него живуч
неугасимый яркий пламень.

ГИППОМОНАДА
Черная гиппомонада
вышла из бездны времен
и говорит, что не надо
ей ни гербов, ни знамен.

Черная гиппомонада
вышла из дали веков
и говорит, что не надо
ей ни вождей, ни полков.

Черная гиппомонада
вышла из чащи лесов
и говорит, что не надо
ей большинства голосов.

Черная гиппомонада
вышла на берег одна.
Ей не нужна канонада,
ей ненавистна война.

Черная гиппомонада
бодро бежит без подков,
и ничего ей не надо,
кроме жиров и белков.


КВАДРИГА
Родриго из залива Виго три брига двигал в город Ригу,
а умный виг
в тот самый миг
уже постиг,
что близок сдвиг.

Родриго, покорив Гедвигу, воздвиг над Ригою квадригу,
а хитрый виг
в тот самый миг
всего достиг
путем интриг.

Родриго, сотворив квадригу, над Ригой преломил ковригу,
а прыткий виг
в тот самый миг
младую Бригг
в лесу настиг.

Родриго, бросив город Ригу, три брига двигал в бухту Виго,
а пылкий виг
в тот самый миг
свою мисс Бригг
с другим застиг.