14 сентября 1891 г. родился Иван Матвеевич Виноградов, российский и советский математик. Виноградов посвятил свою деятельность аналитической теории чисел. Ему принадлежит решение тернарной проблемы Гольдбаха — гипотезы, выдвинутой К. Гольдбахом в письме Л. Эйлеру: каждое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел. Виноградов в 1937 г. доказал справедливость гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы. (Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Окончательно теорема была доказана только в 2013 г. Х. Гольфготтом). Также он получил формулу, выражающую количество таких представлений; по этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечётное число может быть разложено на сумму трёх простых чисел. При попытке решения проблемы Гольдбаха учёный создал один из самых общих и мощных методов теории чисел — метод тригонометрических сумм. Применяя этот метод, он сам и его последователи получили большое количество выдающихся результатов как в теории чисел, так и в других областях математики. С помощью своего метода, в частности, он дал новое решение проблемы Варинга, получив лучшую оценку для числа слагаемых, чем оценки, полученные английскими математиками Харди и Литлвудом.

Из воспоминаний Е.С. Вентцель о Виноградове:
«Это был дикий человек, необработанный, гениальный, имел наружность небольшого медведя, кое-чему выученного. Очень был силён физически. Но чувствовалось, что — гений. Со студентами держался запанибрата. Всё время что-то выдумывал. “Если кто из вас меня поборет — сейчас же зачёт”. Но никто не мог его побороть. Он, например, брал за ножку стул с сидящим на нём человеком и поднимал в воздух. Этого никто из нас, студентов, сделать не мог. На свои лекции (и “семинарии”, так тогда назывались сегодняшние “семинары:) часто являлся с большим опозданием. Часа на полтора-два. Мы терпеливо его ждали. Коли погода была относительно хороша, он брал нас и выводил на Неву. Тут начиналась потеха: он играл в чехарду сразу с тремя студентами, заставлял их перетягивать канат, боролся с ними (сразу с тремя) и, в общем, позволял себе самые рискованные штуки, вплоть до обмакивания в Неву побеждённого... В том, что он — гений, никому из нас сомневаться не приходилось…»

Из воспоминаний знаменитого шахматиста М.М. Ботвинника:
«Хотя мы редко встречались с Иваном Матвеевичем, он почему-то относился ко мне с доверием. Зимой 1928 г. давал я сеанс одновременной игры профессорам Политехнического. Оригинально ставил партию знаменитый математик Виноградов (Иван Матвеевич скончался, когда ему было за девяносто): он прежде всего выдвигал все пешки на один ряд вперёд, “чтобы фигуры имели свободу”, — пояснял профессор; затем играл неплохо, но спасти партию было уже невозможно.
В основном мы с ним подружились в 1934 году в Теберде, когда он пожелал, чтобы мы жили в одной комнате. Виноградов развлекал меня смешными историями — рассказчик он был отличный. Последний раз виделись мы несколько десятилетий назад.
— Как проводите конец недели? — спросил я.
— Пни корчую на даче.
— Ломом?
— Нет, руками, мне бы только за пень ухватиться…
Иван Матвеевич вышел из народа, и он всегда это демонстрировал, никогда не скрывая свои привычки. В молодые годы выпивал и напивался — рассказывал, как в пьяном азарте боролся с приятелем, и тот сломал ногу... Поведал, как рано стал академиком; и с удовольствием рассказывал, что именитые академики (в том числе А.Ф. Иоффе) протестовали…
Но главный его рассказ относился к тому, как он пробился в науку. Явился он к знаменитому математику Чебышёву — заявил, что хочет стать научным работником. Чебышёв посмотрел на Ивана Матвеевича (вид у него был неказистый) и чтобы отвязаться от странного молодого человека, протянул листок бумаги: “Здесь изложена задачка (оказывается, её 200 лет решить не могли) — когда решите заходите”…
Через две недели Виноградов вновь явился к Чебышёву и, в свою очередь, протянул тому лист бумаги. Чебышёв прочёл и оторопел: задача была решена, и дорога в науку была открыта».

Кроме тернарной проблемы Гольдбаха, решённой Виноградовым, есть ещё знаменитая бинарная проблема Гольдбаха (1742 г.) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Это открытая математическая проблема — до сих пор она не решена. В совокупности с проблемой Римана она включена в список проблем Гильберта под номером 8.
К настоящему времени сделаны следующие продвижения в её решении. Доказано (Чень Цзинжунь, 1966 г.), что любое чётное число представимо в виде суммы двух простых чисел или в виде суммы простого и полупростого (произведения двух простых); например, 100 = 23 + 7·11. Доказано (О. Рамаре, 1995 г.), что любое чётное число — сумма не более шести простых чисел. К 2016 г. были проверены все чётные числа до 10²⁷, и проверка продолжается. Но о решении проблемы в обозримой перспективе говорить пока не приходится.
Проблема Гольдбах — яркий пример сложной, красивой, глубокой и интересной задачи, решение которой, однако, не несёт совершенно никакой практической пользы! Это поиск истины с опорой на чисто логическое мышление. И непонятно даже, можно ли в принципе доказать или опровергнуть эту гипотезу.

Сам Христиан Гольдбах, кстати, большую часть своей жизни (с 1725 и до смерти в 1764 г.) проживший в России, проф. СПб Академии наук, друг Эйлера, известен больше не личными математическими достижениями, но своими идеями, высказанными в переписке с Эйлером, Лейбницем и Бернулли.
С именем Гольдбаха связана ещё одна т.н. малая гипотеза Гольдбаха. Гольдбах предположил, что каждое нечётное составное число может быть записано как сумма простого и дважды квадрата. Например, 27 = 19 + 2·2², 57 = 7 + 2·5². Оказалось, однако, что гипотеза неверна. Но доказать это перебором вручную не так просто: наименьшее число, не представимое таким образом, равно 5777.

Несколько непростых задач на простые числа

Задача 1. Докажите, что число 2¹⁰ + 5¹² — составное.

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. Найдите все простые числа p такие, что число p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей.

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. Найдите три последовательных простых числа, сумма квадратов которых является простым числом.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. Найдите все натуральные числа n, для которых каждое из шести чисел n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 является простым.

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, …, 2025 так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может равняться это произведение?

Решение задачи по ссылке.

«Величайшая стратегия обречена, если она плохо реализована»

17 сентября 1826 г. родился Бернхард Риман — великий немецкий математик, внесший весомый вклад в матанализ, теорию чисел, дифференциальную геометрию. Риман первым дал строгое определение интеграла функции вещественной переменной, в комплексном анализе он разработал теорию конформных отображений и теорию многозначных комплексных функций, построив для них носящие его имя римановы поверхности, на которых они однозначны; при этом он использовал не только аналитические, но и топологические методы. Является одним из основоположников классической газовой динамики; ввёл понятие ударной волны и дал её математическое описание. Благодаря своему вкладу в дифференциальную геометрию заложил основы общей теории относительности.

Наибольшую известность имя Римана получило в связи с гипотезой, сформулированной им в 1859 г. Рассказывают, что когда у Гильберта спросили, какой бы вопрос он задал, если бы уснул на 500 лет, когда проснётся, то он ответил, что первым делом поинтересовался бы, доказана ли гипотеза Римана. В совокупности с гипотезой Гольдбаха гипотеза Римана образует восьмую проблему Гильберта и включена в одну из семи проблем тысячелетия.
Эта гипотеза связана с дзета-функцией Римана
ζ(t) = 1ˉᵗ + 2ˉᵗ + 3ˉᵗ + 4ˉᵗ + ... .
Например, ζ(1) — это исследованный ещё в 14-м веке Николаем Оремом гармонический ряд, он расходится.
ζ(2) — сумма ряда обратных квадратов — знаменитая базельская проблема, решённая Эйлером в 1735 г., сумма этого ряда равна π²/6.
ζ(3) — известная, поставленная Эйлером, нерешённая проблема в математике (хотя и не самая важная).
Эйлер уловил тонкую связь между дзета-функцией и простыми числами. Так, умножим ζ(t) на 2ˉᵗ, получим:
2ˉᵗ ζ(t) = 2ˉᵗ + 4ˉᵗ + 6ˉᵗ + 8ˉᵗ + ... .
Теперь вычтем полученное выражение из дзета-функции:
(1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 3ˉᵗ + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 9ˉᵗ + ... .
Аналогично домножим дзета-функцию на 3ˉᵗ, а затем вычтем результат из дзета-функции:
(1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 11ˉᵗ + 13ˉᵗ + ... .
Продолжая эти действия, несложно получить, что
…(1–7ˉᵗ) (1–5ˉᵗ) (1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1, т.е.
∏ (1 – pˉᵗ )ˉ¹ = ∑ nˉᵗ — формула произведения Эйлера.
Чебышёв рассмотрел дзета-функцию не только для натуральных значений t, но и для вещественных, и на этом пути получил важные результаты о распределении простых чисел. Однако самую гениальную догадку сделал Риман — он впустил в игру комплексные числа: t = x+iy!
Риману удалось показать, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. А гипотеза Римана, выдвинутая им практически в качестве случайного лирического отступления, описывает, где находятся её нули. Несложно убедиться, что любое отрицательное четное число является тривиальным нулем. Но есть и другие. По всей видимости, они находятся в комплексной плоскости t на одной прямой, такой что вещественная часть х = ½. Не все такие числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел.

Из книги Дж. Дербишира «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»:

«В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.
Харди оставался в Дании у Боров до самого конца летних каникул, а когда ему наконец пришлось возвращаться в Англию и приступать там к чтению лекций, для путешествия нашлось лишь одно довольно утлое судно <…> Северное море может быть достаточно суровым, и вероятность того, что такое маленькое судно потонет, не была строго равной нулю. Как бы то ни было, Харди сел на этот корабль, но послал Бору открытку: “Я доказал Гипотезу Римана. Подробности по возвращении. Г.X. Харди”. Если корабль потерпит бедствие и Харди утонет, то все будут думать, что он сумел доказать Гипотезу Римана. Однако Господь не допустит, чтобы Харди досталась такая слава, а потому Он сделает так, чтобы корабль не затонул».

Ещё несколько задач на простые числа

Задача 7. Решите в простых числах уравнение xʸ + 1 = z .

Решение задачи по ссылке.

Задача 8. Решите в простых числах уравнение xʸ + yˣ = z.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 9. Решите в простых числах уравнение
x + y = (x – y)³.

Решение задачи по ссылке.

Задача № 10. Длины сторон треугольника — простые числа. Может ли его площадь быть целым числом?

Решение задачи по ссылке.

22 сентября 1765 г. родился Паоло Руффини, итальянский математик. Дал первое доказательство невозможности решения в радикалах уравнений степеней, начиная с 5-й. Доказательство Руффини содержало неточности и занимало около 500 страниц. Позже Абель дал полное доказательство. Сегодня этот факт известен как Теорема Абеля–Руффини.

22 сентября 1837 г. умер Уильям Джордж Горнер, британский математик. Основные труды относятся к теории алгебраических уравнений. С именем Горнера в школьной практике связано правило деления многочлена на двучлен — т.н. «схема Горнера» (1819 г.). Но на 15 лет раньше него изобрёл это правило Паоло Руффини (1804 г.).

22 сентября 1903 г. родился Андрей Андреевич Марков (младший), сын известного русского математика А. А. Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики и логики. Основные труды — по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории сложности алгоритмов и кибернетике.
Учитывая специфику того времени (в частности, общеизвестную ситуацию с кибернетикой в нашей стране), не приходится удивляться тому, что Марков никогда не был избран действительным членом Академии наук, а его школа по существу подвергалась репрессиям. Марков-сын, как и отец, был очень смелым человеком — он подписал письмо 99 (в защиту А.С. Есенина-Вольпина), выступал в защиту Р.И. Пименова и И.Д. Заславского, осужденных за “антисоветскую деятельность”.

А ещё А.А. Марков писал стихи.

ЛИЧНОСТИ
Историю делают сильные лица.
Они достигают всего, что хотят;
Они запрягают в свои колесницы
Богов и учёных, быков и котят.
Бывает однако, что лица с замашками
В помойную яму летят вверх тормашками


ВЕЧНЫЙ ПЛАМЕНЬ
Смешная утварь — голова.
Она как тыква изощренна.
Как полуночная сова,
она остра и извращенна.

Разбита мира скорлупа,
и кротким некуда деваться.
Смешная доля у клопа:
плясать, кусать и издеваться.

Пусть он приплюснут и вонюч,
и слеп как крот, и глух как камень,
но в сердце у него живуч
неугасимый яркий пламень.

ГИППОМОНАДА
Черная гиппомонада
вышла из бездны времен
и говорит, что не надо
ей ни гербов, ни знамен.

Черная гиппомонада
вышла из дали веков
и говорит, что не надо
ей ни вождей, ни полков.

Черная гиппомонада
вышла из чащи лесов
и говорит, что не надо
ей большинства голосов.

Черная гиппомонада
вышла на берег одна.
Ей не нужна канонада,
ей ненавистна война.

Черная гиппомонада
бодро бежит без подков,
и ничего ей не надо,
кроме жиров и белков.


КВАДРИГА
Родриго из залива Виго три брига двигал в город Ригу,
а умный виг
в тот самый миг
уже постиг,
что близок сдвиг.

Родриго, покорив Гедвигу, воздвиг над Ригою квадригу,
а хитрый виг
в тот самый миг
всего достиг
путем интриг.

Родриго, сотворив квадригу, над Ригой преломил ковригу,
а прыткий виг
в тот самый миг
младую Бригг
в лесу настиг.

Родриго, бросив город Ригу, три брига двигал в бухту Виго,
а пылкий виг
в тот самый миг
свою мисс Бригг
с другим застиг.