«Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск».
«Судя по некоторым специфическим особенностям Своего творения, великий Создатель вселенной начинает представать перед нами как чистый математик».
«Вселенная — это не гигантская машина, а гигантская мысль».

11 сентября 1877 г. родился британский физик-теоретик, астроном, математик Джеймс Джинс.
Джинс является создателем теории гравитационной неустойчивости, позволяющей объяснить, как из разреженного вещества образуются небесные тела; эта теория лежит в основе современных исследований в области космогонии и космологии. Джинс внёс важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звёздную эволюцию. Из-под его пера вышли основополагающие работы по звёздной динамике. Его анализ вращающихся тел привёл к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой. Несмотря на то, что в настоящее время теория Джинса представляет лишь исторический интерес, некоторые его теоретические результаты в этой области сохранили значение до наших дней.

☺️ Профессор Джеймс Джинс любил признаваться, что он хочет выпить чего-нибудь алкогольного после всех этих лекций по квантовой механике, а ещё в том, как сложна геометрия. И неожиданно для самого себя он в промежутках между изучением глубоких вопросов изобрёл фразу, которая позволяет запомнить 24 цифры числа π:
How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard...

Задачи про муравьёв

В вершинах правильного треугольника сидит по муравью. В один момент все три муравья начинают двигаться вдоль стороны треугольника, выбираю сторону случайным образом. Каков шанс, что муравьи не столкнутся при этом движении?

Сначала проголосуйте ⬆️
Решение задачи по ссылке.

В вершинах A и C прямоугольника ABCD сидит по муравью. Эти муравьи одновременно начинают двигаться по контуру прямоугольника с постоянными скоростями: один по часовой стрелке, другой — против. В первый раз эти муравьи встретились в вершине D, а во второй раз — в вершине A. Найдите длину стороны AD прямоугольника, если его периметр равен 45.

Решение задачи по ссылке.

На горизонтальной поверхности нарисован квадрат ABCD. В вершине A этого квадрата сидит муравей. Точки A и C разделяет вертикальная стена в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Чему равен кратчайший путь для муравья из точки A в точку C?

Решение задачи по ссылке.

Два муравья бегут по окружности навстречу друг другу с постоянными скоростями. Пока один из них пробегает 14 кругов, второй пробегает 4. Там, где муравьи встречаются, появляется красная точка. Сколько красных точек на окружности?

Решение. Отношения скоростей:
14 : 4 = 7 : 2. Пока один пробегает 2 части окружности, другой — оставшиеся 7 частей. Всего 9 частей — 9 точек.
Ответ: 9.

На бревне длиной 1 метр находятся 100 муравьев. По команде каждый муравей начинает двигаться влево или вправо, причём все муравьи двигаются с одинаковой постоянной скоростью. Когда два муравья встречаются, они меняют движение на противоположное. Дойдя до края бревна, муравьи падают с него. Какое наибольшее число встреч могло быть?

Решение задачи по ссылке.

Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром а. Муравей находится в точке Р, расположенной на медиане AM грани ACD так, что 2АР = РМ. Он хочет попасть в точку Q, которая лежит на медиане BM грани BCD так, что 2BQ = QM. Найдите длину кратчайшего пути муравья из P в Q по поверхности тетраэдра.

Решение задачи по ссылке.

14 сентября 1891 г. родился Иван Матвеевич Виноградов, российский и советский математик. Виноградов посвятил свою деятельность аналитической теории чисел. Ему принадлежит решение тернарной проблемы Гольдбаха — гипотезы, выдвинутой К. Гольдбахом в письме Л. Эйлеру: каждое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел. Виноградов в 1937 г. доказал справедливость гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы. (Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Окончательно теорема была доказана только в 2013 г. Х. Гольфготтом). Также он получил формулу, выражающую количество таких представлений; по этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечётное число может быть разложено на сумму трёх простых чисел. При попытке решения проблемы Гольдбаха учёный создал один из самых общих и мощных методов теории чисел — метод тригонометрических сумм. Применяя этот метод, он сам и его последователи получили большое количество выдающихся результатов как в теории чисел, так и в других областях математики. С помощью своего метода, в частности, он дал новое решение проблемы Варинга, получив лучшую оценку для числа слагаемых, чем оценки, полученные английскими математиками Харди и Литлвудом.

Из воспоминаний Е.С. Вентцель о Виноградове:
«Это был дикий человек, необработанный, гениальный, имел наружность небольшого медведя, кое-чему выученного. Очень был силён физически. Но чувствовалось, что — гений. Со студентами держался запанибрата. Всё время что-то выдумывал. “Если кто из вас меня поборет — сейчас же зачёт”. Но никто не мог его побороть. Он, например, брал за ножку стул с сидящим на нём человеком и поднимал в воздух. Этого никто из нас, студентов, сделать не мог. На свои лекции (и “семинарии”, так тогда назывались сегодняшние “семинары:) часто являлся с большим опозданием. Часа на полтора-два. Мы терпеливо его ждали. Коли погода была относительно хороша, он брал нас и выводил на Неву. Тут начиналась потеха: он играл в чехарду сразу с тремя студентами, заставлял их перетягивать канат, боролся с ними (сразу с тремя) и, в общем, позволял себе самые рискованные штуки, вплоть до обмакивания в Неву побеждённого... В том, что он — гений, никому из нас сомневаться не приходилось…»

Из воспоминаний знаменитого шахматиста М.М. Ботвинника:
«Хотя мы редко встречались с Иваном Матвеевичем, он почему-то относился ко мне с доверием. Зимой 1928 г. давал я сеанс одновременной игры профессорам Политехнического. Оригинально ставил партию знаменитый математик Виноградов (Иван Матвеевич скончался, когда ему было за девяносто): он прежде всего выдвигал все пешки на один ряд вперёд, “чтобы фигуры имели свободу”, — пояснял профессор; затем играл неплохо, но спасти партию было уже невозможно.
В основном мы с ним подружились в 1934 году в Теберде, когда он пожелал, чтобы мы жили в одной комнате. Виноградов развлекал меня смешными историями — рассказчик он был отличный. Последний раз виделись мы несколько десятилетий назад.
— Как проводите конец недели? — спросил я.
— Пни корчую на даче.
— Ломом?
— Нет, руками, мне бы только за пень ухватиться…
Иван Матвеевич вышел из народа, и он всегда это демонстрировал, никогда не скрывая свои привычки. В молодые годы выпивал и напивался — рассказывал, как в пьяном азарте боролся с приятелем, и тот сломал ногу... Поведал, как рано стал академиком; и с удовольствием рассказывал, что именитые академики (в том числе А.Ф. Иоффе) протестовали…
Но главный его рассказ относился к тому, как он пробился в науку. Явился он к знаменитому математику Чебышёву — заявил, что хочет стать научным работником. Чебышёв посмотрел на Ивана Матвеевича (вид у него был неказистый) и чтобы отвязаться от странного молодого человека, протянул листок бумаги: “Здесь изложена задачка (оказывается, её 200 лет решить не могли) — когда решите заходите”…
Через две недели Виноградов вновь явился к Чебышёву и, в свою очередь, протянул тому лист бумаги. Чебышёв прочёл и оторопел: задача была решена, и дорога в науку была открыта».

Кроме тернарной проблемы Гольдбаха, решённой Виноградовым, есть ещё знаменитая бинарная проблема Гольдбаха (1742 г.) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Это открытая математическая проблема — до сих пор она не решена. В совокупности с проблемой Римана она включена в список проблем Гильберта под номером 8.
К настоящему времени сделаны следующие продвижения в её решении. Доказано (Чень Цзинжунь, 1966 г.), что любое чётное число представимо в виде суммы двух простых чисел или в виде суммы простого и полупростого (произведения двух простых); например, 100 = 23 + 7·11. Доказано (О. Рамаре, 1995 г.), что любое чётное число — сумма не более шести простых чисел. К 2016 г. были проверены все чётные числа до 10²⁷, и проверка продолжается. Но о решении проблемы в обозримой перспективе говорить пока не приходится.
Проблема Гольдбах — яркий пример сложной, красивой, глубокой и интересной задачи, решение которой, однако, не несёт совершенно никакой практической пользы! Это поиск истины с опорой на чисто логическое мышление. И непонятно даже, можно ли в принципе доказать или опровергнуть эту гипотезу.

Сам Христиан Гольдбах, кстати, большую часть своей жизни (с 1725 и до смерти в 1764 г.) проживший в России, проф. СПб Академии наук, друг Эйлера, известен больше не личными математическими достижениями, но своими идеями, высказанными в переписке с Эйлером, Лейбницем и Бернулли.
С именем Гольдбаха связана ещё одна т.н. малая гипотеза Гольдбаха. Гольдбах предположил, что каждое нечётное составное число может быть записано как сумма простого и дважды квадрата. Например, 27 = 19 + 2·2², 57 = 7 + 2·5². Оказалось, однако, что гипотеза неверна. Но доказать это перебором вручную не так просто: наименьшее число, не представимое таким образом, равно 5777.

Несколько непростых задач на простые числа

Задача 1. Докажите, что число 2¹⁰ + 5¹² — составное.

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. Найдите все простые числа p такие, что число p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей.

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. Найдите три последовательных простых числа, сумма квадратов которых является простым числом.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. Найдите все натуральные числа n, для которых каждое из шести чисел n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 является простым.

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, …, 2025 так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может равняться это произведение?

Решение задачи по ссылке.

«Величайшая стратегия обречена, если она плохо реализована»

17 сентября 1826 г. родился Бернхард Риман — великий немецкий математик, внесший весомый вклад в матанализ, теорию чисел, дифференциальную геометрию. Риман первым дал строгое определение интеграла функции вещественной переменной, в комплексном анализе он разработал теорию конформных отображений и теорию многозначных комплексных функций, построив для них носящие его имя римановы поверхности, на которых они однозначны; при этом он использовал не только аналитические, но и топологические методы. Является одним из основоположников классической газовой динамики; ввёл понятие ударной волны и дал её математическое описание. Благодаря своему вкладу в дифференциальную геометрию заложил основы общей теории относительности.

Наибольшую известность имя Римана получило в связи с гипотезой, сформулированной им в 1859 г. Рассказывают, что когда у Гильберта спросили, какой бы вопрос он задал, если бы уснул на 500 лет, когда проснётся, то он ответил, что первым делом поинтересовался бы, доказана ли гипотеза Римана. В совокупности с гипотезой Гольдбаха гипотеза Римана образует восьмую проблему Гильберта и включена в одну из семи проблем тысячелетия.
Эта гипотеза связана с дзета-функцией Римана
ζ(t) = 1ˉᵗ + 2ˉᵗ + 3ˉᵗ + 4ˉᵗ + ... .
Например, ζ(1) — это исследованный ещё в 14-м веке Николаем Оремом гармонический ряд, он расходится.
ζ(2) — сумма ряда обратных квадратов — знаменитая базельская проблема, решённая Эйлером в 1735 г., сумма этого ряда равна π²/6.
ζ(3) — известная, поставленная Эйлером, нерешённая проблема в математике (хотя и не самая важная).
Эйлер уловил тонкую связь между дзета-функцией и простыми числами. Так, умножим ζ(t) на 2ˉᵗ, получим:
2ˉᵗ ζ(t) = 2ˉᵗ + 4ˉᵗ + 6ˉᵗ + 8ˉᵗ + ... .
Теперь вычтем полученное выражение из дзета-функции:
(1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 3ˉᵗ + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 9ˉᵗ + ... .
Аналогично домножим дзета-функцию на 3ˉᵗ, а затем вычтем результат из дзета-функции:
(1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1 + 5ˉᵗ + 7ˉᵗ + 11ˉᵗ + 13ˉᵗ + ... .
Продолжая эти действия, несложно получить, что
…(1–7ˉᵗ) (1–5ˉᵗ) (1–3ˉᵗ) (1–2ˉᵗ) ζ(t) = 1, т.е.
∏ (1 – pˉᵗ )ˉ¹ = ∑ nˉᵗ — формула произведения Эйлера.
Чебышёв рассмотрел дзета-функцию не только для натуральных значений t, но и для вещественных, и на этом пути получил важные результаты о распределении простых чисел. Однако самую гениальную догадку сделал Риман — он впустил в игру комплексные числа: t = x+iy!
Риману удалось показать, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. А гипотеза Римана, выдвинутая им практически в качестве случайного лирического отступления, описывает, где находятся её нули. Несложно убедиться, что любое отрицательное четное число является тривиальным нулем. Но есть и другие. По всей видимости, они находятся в комплексной плоскости t на одной прямой, такой что вещественная часть х = ½. Не все такие числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел.

Из книги Дж. Дербишира «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»:

«В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.
Харди оставался в Дании у Боров до самого конца летних каникул, а когда ему наконец пришлось возвращаться в Англию и приступать там к чтению лекций, для путешествия нашлось лишь одно довольно утлое судно <…> Северное море может быть достаточно суровым, и вероятность того, что такое маленькое судно потонет, не была строго равной нулю. Как бы то ни было, Харди сел на этот корабль, но послал Бору открытку: “Я доказал Гипотезу Римана. Подробности по возвращении. Г.X. Харди”. Если корабль потерпит бедствие и Харди утонет, то все будут думать, что он сумел доказать Гипотезу Римана. Однако Господь не допустит, чтобы Харди досталась такая слава, а потому Он сделает так, чтобы корабль не затонул».

Ещё несколько задач на простые числа

Задача 7. Решите в простых числах уравнение xʸ + 1 = z .

Решение задачи по ссылке.