«Добросовестное отношение к труду является прирождённым свойством каждого человека, а чтобы развить в нём аморальное отношение к труду и склонность к халтуре, нужно приложить большие усилия. Для этого нужно создать особенно неблагоприятные условия работы. Эти неблагоприятные условия могут выражаться, например, в противоестественно низкой оплате труда или в том, что плоды труда используются столь нерационально, что практически идут впустую. И то, и другое у нас имеется в достаточной мере».

3 сентября 1908 г. родился Лев Семёнович Понтрягин, один из крупнейших математиков XX века, автор фундаментальных трудов по алгебраической и дифференциальной топологии, теории колебаний, вариационному исчислению, дифференциальным играм, создатель теории оптимальных процессов, в основе которого лежит т.н. принцип максимума Понтрягина, нашедший многочисленные применения, в частности, в космонавтике.

Из статьи И.Р. Шафаревича: «Громадную роль в жизни Понтрягина сыграла, конечно, трагедия, пережитая им в возрасте 13 лет: он пытался починить примус, тот взорвался, и в результате ожогов и неудачного лечения Понтрягин полностью ослеп. И наиболее характерно для Понтрягина то, как он нечеловеческим напряжением воли преодолел эту трагедию. Он просто отказался её признать. Он никогда не пользовался никакой техникой, предназначенной для слепых. Всегда пытался ходить сам, без сопровождения других. В результате у него на лице всегда были ссадины и царапины. Он научился кататься на коньках, на лыжах, плавал на байдарке, танцевал. Представьте себе, каково было учиться студенту, который не мог записывать лекций! Меня когда-то потряс такой его рассказ. Я пожаловался, что после 30 лет стал хуже спать. А он сказал: “Я потерял сон в 20 лет. Я запоминал все лекции, которые за день прослушал в университете, а всю ночь курил и восстанавливал их в памяти”».

Из воспоминаний математика М.И. Зеликина: «Изредка он просил меня перечитать какую-нибудь из формул, но чаще он их и так помнил. В какой-то момент он надолго задумался над доказательством. Потом сказал: “Кажется, что-то похожее было у Осгуда. Миша, возьмите на второй слева и третьей сверху полке седьмую слева книгу. Это книга Осгуда по теории функций. Откройте такую-то главу и прочтите её мне”.
Ещё студентом он как-то поразил аудиторию. Прервал лекцию профессора Бухгольца громкой фразой: “Профессор, вы ошиблись в чертеже”. Он слушал стук мела о доску, и в какой-то момент обнаружил несоответствие реальных звуков и тех, что раздавались у него в голове».

Понтрягиным написано несколько замечательных книг, предназначенных для старшеклассников, интересующихся математикой; среди них: «Математический анализ для школьников», «Знакомство с высшей математикой: Алгебра», «Обобщения чисел».

В поисках справедливости — 7

Продолжаем наши поиски справедливости. Предыдущие сюжеты можно найти по ссылкам:
В поисках справедливости — 1
В поисках справедливости — 2
В поисках справедливости — 3
В поисках справедливости — 4
В поисках справедливости — 5
В поисках справедливости — 6

Сегодня рассмотрим не совсем корректную с точки зрения математики (а потому не вполне серьёзную) старинную задачу, реально возникшую из юридической практики в Древнем Риме.

Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное S талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния, а остальную треть — матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния, а остальные две трети — матери».
У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Решение. Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть мы выполним, получим тот или иной ответ.

Вариант 1. Из первого условия завещания следует, что сын должен получить ⅔S, а из второго — что дочь должна получить в два раза меньше матери: дочь — ⅑S, мать — ²⁄₉S.

Вариант 2. Из первого условия завещания следует, что доля матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго — что эта доля в 2 раза больше доли дочери; получаем всего 7 долей. Именно так поделил наследство суд в Древнем Риме: сыну — ⁴⁄₇S, матери — ²⁄₇S, дочери — ¹⁄₇S.

Вариант 3. В каждом из условий доля матери не меньше ⅓, при этом доля сына в 4 раза больше доли дочери. Получаем: матери — ⅓S, сыну — ⁸⁄₁₅S, дочери — ²⁄₁₅S.

Вариант 4. Смотрим, кто родился первым. Если сын, тут же отписываем ему ⅔S, а оставшуюся матери часть наследства ⅓S делим между матерью и дочерью в надлежащей пропорции: мать — ²⁄₉S, дочь — ⅑S. Но если первой родилась дочь, отписываем ей сразу ⅓S, а после рождения сына оставшиеся ⅔S делим между сыном и матерью: соответственно ⁴⁄₉S и ²⁄₉S.

Вариант 5. Решение в пользу матери — как награду за двух рождённых детей. Если родится сын, то части наследства: сыну ⅔, матери ⅓, если дочь, то части: матери ⅔, дочери ⅓. Выполнены оба условия, поэтому все части нужно сложить: ⅔ + ⅓ + ⅔ + ⅓ = 2 — это всё наследство. Доля матери, сына и дочери соотносятся как: (⅔ + ⅓) : ⅔ : ⅓, т.е. 3 : 2 : 1, значит доля матери — ½S, доля сына — ⅓S, доля дочери — ⅙S.

Вариант 6. Завещание составлено некорректно, поэтому должно быть аннулировано, а доли следует распределить равномерно — всем по ⅓S.

В поисках справедливости — 8

Известна древняя головоломка о наследовании тремя братьями 17 верблюдов по завещанию отца, в котором старший брат должен получить ½ долю наследства, средний — ⅓, а младший — ⅑. Рассказываемое обычно решение этой головоломки более походит на анекдот о любопытных вычислениях, этакий красивый трюк, в котором наличие чёткой математической составляющей решения становится как бы излишним.
В этом решении находится мудрец, который предлагает поделить наследство при помощи своего верблюда: теперь верблюдов становится 18, и старший брат получает 9 верблюдов, средний — 6, младший — 2, а оставшегося 1 верблюда мудрец возвращает себе. Решение, безусловно, красивое, но сомнительное с точки зрения математики.

А можно ли решить задачу честно математически? Наиболее естественная интерпретация воли отца — это соотношение долей наследства, которые должны получить братья:
½ : ⅓ : ⅑ = 9 : 6 : 2.
Получаем всего 17 частей, и, значит, 1 часть — это 1 верблюд.

Задача Эйлера о разделе имущества между наследниками

Некто после смерти оставил несколько детей, доля которых при разделе имущества определялась следующим образом: первый ребёнок получил в наследство 100 талеров и 0,1 остатка; второй получил 200 талеров и 0,1 нового остатка; третий получил 300 талеров и 0,1 очередного остатка и так далее. В результате всё наследство оказалось поделённым между всеми детьми поровну. Сколько всего денег завещал отец своим детям и сколько было детей?

Ответ: 8100 талеров и 9 детей.

Минутка саморекламы

Математическая эссенция — это не только тг-канал, но и содружество преподавателей математики и смежных дисциплин!
Начался учебный год, и у нас открыта запись на дополнительные занятия для школьников.

Вы найдёте индивидуальные и групповые занятия по математике, информатике, физике и экономике на любой вкус:
— Углублённое изучение предмета и подготовка к профильному ЕГЭ;
— Обучение решению олимпиадных задач и подготовка к олимпиадам.

Наши преподаватели — профессионалы с богатым опытом работы в лучших профильных школах, составители различных олимпиад, авторы множества научно-методических статей, видеоматериалов и учебных пособий для школьников.
Многие наши ученики стали стобалльниками на ЕГЭ, победителями различных олимпиад, в том числе самого высокого уровня. Другие — просто перестали бояться предмет и полюбили его, подтянули свои знания и научились решать сложные и интересные задачи.

Для получения более подробной информации и записи перейдите по ссылке.

В поисках справедливости — 9

У древнегреческого софиста Протагора учился софистике и судебному красноречию некий Эватл. По заключённому между ними договору тот должен был заплатить за обучение обговоренную сумму только тогда, когда выиграет свой первый судебный процесс. Однако, окончив обучение, Эватл решил не участвовать в судебных тяжбах, уехал домой и стал пасти коз. Как следствие, он считал себя свободным от уплаты за учёбу. Это длилось довольно долго, терпение Протагора иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, должен был состояться первый судебный процесс Эватла.
Протагор привёл следующую аргументацию: «Эватл должен мне заплатить не зависимо от решения уважаемого суда. Если суд решит, что он выиграл, то заплатит по договору, а если решит, что проиграл, заплатит по решению суда».
Эватл возражал: «Ни в том, ни в другом случае я не должен платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, а если проиграю, то по договору».
Считаем, что обязательство по договору носит безусловный характер и судебное решение не может противоречить законам логики. Добьётся ли Протагор в суде платы за оказанные образовательные услуги?

Сначала проголосуйте ⬆️

Решение парадокса по ссылке.

«Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск».
«Судя по некоторым специфическим особенностям Своего творения, великий Создатель вселенной начинает представать перед нами как чистый математик».
«Вселенная — это не гигантская машина, а гигантская мысль».

11 сентября 1877 г. родился британский физик-теоретик, астроном, математик Джеймс Джинс.
Джинс является создателем теории гравитационной неустойчивости, позволяющей объяснить, как из разреженного вещества образуются небесные тела; эта теория лежит в основе современных исследований в области космогонии и космологии. Джинс внёс важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звёздную эволюцию. Из-под его пера вышли основополагающие работы по звёздной динамике. Его анализ вращающихся тел привёл к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой. Несмотря на то, что в настоящее время теория Джинса представляет лишь исторический интерес, некоторые его теоретические результаты в этой области сохранили значение до наших дней.

☺️ Профессор Джеймс Джинс любил признаваться, что он хочет выпить чего-нибудь алкогольного после всех этих лекций по квантовой механике, а ещё в том, как сложна геометрия. И неожиданно для самого себя он в промежутках между изучением глубоких вопросов изобрёл фразу, которая позволяет запомнить 24 цифры числа π:
How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard...

Задачи про муравьёв

В вершинах правильного треугольника сидит по муравью. В один момент все три муравья начинают двигаться вдоль стороны треугольника, выбираю сторону случайным образом. Каков шанс, что муравьи не столкнутся при этом движении?

Сначала проголосуйте ⬆️
Решение задачи по ссылке.

В вершинах A и C прямоугольника ABCD сидит по муравью. Эти муравьи одновременно начинают двигаться по контуру прямоугольника с постоянными скоростями: один по часовой стрелке, другой — против. В первый раз эти муравьи встретились в вершине D, а во второй раз — в вершине A. Найдите длину стороны AD прямоугольника, если его периметр равен 45.

Решение задачи по ссылке.

На горизонтальной поверхности нарисован квадрат ABCD. В вершине A этого квадрата сидит муравей. Точки A и C разделяет вертикальная стена в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Чему равен кратчайший путь для муравья из точки A в точку C?

Решение задачи по ссылке.

Два муравья бегут по окружности навстречу друг другу с постоянными скоростями. Пока один из них пробегает 14 кругов, второй пробегает 4. Там, где муравьи встречаются, появляется красная точка. Сколько красных точек на окружности?

Решение. Отношения скоростей:
14 : 4 = 7 : 2. Пока один пробегает 2 части окружности, другой — оставшиеся 7 частей. Всего 9 частей — 9 точек.
Ответ: 9.

На бревне длиной 1 метр находятся 100 муравьев. По команде каждый муравей начинает двигаться влево или вправо, причём все муравьи двигаются с одинаковой постоянной скоростью. Когда два муравья встречаются, они меняют движение на противоположное. Дойдя до края бревна, муравьи падают с него. Какое наибольшее число встреч могло быть?

Решение задачи по ссылке.

Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром а. Муравей находится в точке Р, расположенной на медиане AM грани ACD так, что 2АР = РМ. Он хочет попасть в точку Q, которая лежит на медиане BM грани BCD так, что 2BQ = QM. Найдите длину кратчайшего пути муравья из P в Q по поверхности тетраэдра.

Решение задачи по ссылке.

14 сентября 1891 г. родился Иван Матвеевич Виноградов, российский и советский математик. Виноградов посвятил свою деятельность аналитической теории чисел. Ему принадлежит решение тернарной проблемы Гольдбаха — гипотезы, выдвинутой К. Гольдбахом в письме Л. Эйлеру: каждое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел. Виноградов в 1937 г. доказал справедливость гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы. (Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Окончательно теорема была доказана только в 2013 г. Х. Гольфготтом). Также он получил формулу, выражающую количество таких представлений; по этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечётное число может быть разложено на сумму трёх простых чисел. При попытке решения проблемы Гольдбаха учёный создал один из самых общих и мощных методов теории чисел — метод тригонометрических сумм. Применяя этот метод, он сам и его последователи получили большое количество выдающихся результатов как в теории чисел, так и в других областях математики. С помощью своего метода, в частности, он дал новое решение проблемы Варинга, получив лучшую оценку для числа слагаемых, чем оценки, полученные английскими математиками Харди и Литлвудом.

Из воспоминаний Е.С. Вентцель о Виноградове:
«Это был дикий человек, необработанный, гениальный, имел наружность небольшого медведя, кое-чему выученного. Очень был силён физически. Но чувствовалось, что — гений. Со студентами держался запанибрата. Всё время что-то выдумывал. “Если кто из вас меня поборет — сейчас же зачёт”. Но никто не мог его побороть. Он, например, брал за ножку стул с сидящим на нём человеком и поднимал в воздух. Этого никто из нас, студентов, сделать не мог. На свои лекции (и “семинарии”, так тогда назывались сегодняшние “семинары:) часто являлся с большим опозданием. Часа на полтора-два. Мы терпеливо его ждали. Коли погода была относительно хороша, он брал нас и выводил на Неву. Тут начиналась потеха: он играл в чехарду сразу с тремя студентами, заставлял их перетягивать канат, боролся с ними (сразу с тремя) и, в общем, позволял себе самые рискованные штуки, вплоть до обмакивания в Неву побеждённого... В том, что он — гений, никому из нас сомневаться не приходилось…»

Из воспоминаний знаменитого шахматиста М.М. Ботвинника:
«Хотя мы редко встречались с Иваном Матвеевичем, он почему-то относился ко мне с доверием. Зимой 1928 г. давал я сеанс одновременной игры профессорам Политехнического. Оригинально ставил партию знаменитый математик Виноградов (Иван Матвеевич скончался, когда ему было за девяносто): он прежде всего выдвигал все пешки на один ряд вперёд, “чтобы фигуры имели свободу”, — пояснял профессор; затем играл неплохо, но спасти партию было уже невозможно.
В основном мы с ним подружились в 1934 году в Теберде, когда он пожелал, чтобы мы жили в одной комнате. Виноградов развлекал меня смешными историями — рассказчик он был отличный. Последний раз виделись мы несколько десятилетий назад.
— Как проводите конец недели? — спросил я.
— Пни корчую на даче.
— Ломом?
— Нет, руками, мне бы только за пень ухватиться…
Иван Матвеевич вышел из народа, и он всегда это демонстрировал, никогда не скрывая свои привычки. В молодые годы выпивал и напивался — рассказывал, как в пьяном азарте боролся с приятелем, и тот сломал ногу... Поведал, как рано стал академиком; и с удовольствием рассказывал, что именитые академики (в том числе А.Ф. Иоффе) протестовали…
Но главный его рассказ относился к тому, как он пробился в науку. Явился он к знаменитому математику Чебышёву — заявил, что хочет стать научным работником. Чебышёв посмотрел на Ивана Матвеевича (вид у него был неказистый) и чтобы отвязаться от странного молодого человека, протянул листок бумаги: “Здесь изложена задачка (оказывается, её 200 лет решить не могли) — когда решите заходите”…
Через две недели Виноградов вновь явился к Чебышёву и, в свою очередь, протянул тому лист бумаги. Чебышёв прочёл и оторопел: задача была решена, и дорога в науку была открыта».

Кроме тернарной проблемы Гольдбаха, решённой Виноградовым, есть ещё знаменитая бинарная проблема Гольдбаха (1742 г.) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Это открытая математическая проблема — до сих пор она не решена. В совокупности с проблемой Римана она включена в список проблем Гильберта под номером 8.
К настоящему времени сделаны следующие продвижения в её решении. Доказано (Чень Цзинжунь, 1966 г.), что любое чётное число представимо в виде суммы двух простых чисел или в виде суммы простого и полупростого (произведения двух простых); например, 100 = 23 + 7·11. Доказано (О. Рамаре, 1995 г.), что любое чётное число — сумма не более шести простых чисел. К 2016 г. были проверены все чётные числа до 10²⁷, и проверка продолжается. Но о решении проблемы в обозримой перспективе говорить пока не приходится.
Проблема Гольдбах — яркий пример сложной, красивой, глубокой и интересной задачи, решение которой, однако, не несёт совершенно никакой практической пользы! Это поиск истины с опорой на чисто логическое мышление. И непонятно даже, можно ли в принципе доказать или опровергнуть эту гипотезу.

Сам Христиан Гольдбах, кстати, большую часть своей жизни (с 1725 и до смерти в 1764 г.) проживший в России, проф. СПб Академии наук, друг Эйлера, известен больше не личными математическими достижениями, но своими идеями, высказанными в переписке с Эйлером, Лейбницем и Бернулли.
С именем Гольдбаха связана ещё одна т.н. малая гипотеза Гольдбаха. Гольдбах предположил, что каждое нечётное составное число может быть записано как сумма простого и дважды квадрата. Например, 27 = 19 + 2·2², 57 = 7 + 2·5². Оказалось, однако, что гипотеза неверна. Но доказать это перебором вручную не так просто: наименьшее число, не представимое таким образом, равно 5777.