«Разве нельзя охарактеризовать музыку как математику чувств, а математику — как музыку разума? Ведь сущность обеих одна и та же! Музыкант чувствует математику, математик думает музыкой. Музыка — это мечта. Математика — это деятельная жизнь. И каждая достигнет своего завершения с помощью другой, когда человеческий интеллект, развитый до совершенства, засияет, прославленный, в каком-либо будущем Моцарте–Дирихле или Бетховене–Гауссе — союзе, который уже достаточно чётко предугадан в гении и трудах Гельмгольца».

«Я действительно не знаю и не могу представить себе занятия, столь враждебного развитию ораторских способностей... как изучение математики. Красноречивый математик в силу природы вещей всегда должен оставаться таким же редким явлением, как говорящая рыба, и несомненно, что чем больше кто-либо посвящает себя изучению ораторского эффекта, тем менее он окажется в состоянии для занятия математикой».

3 сентября 1814 г. родился Джеймс Джозеф Сильвестр, известный английский математик. Внёс фундаментальный вклад в теорию матриц, теорию инвариантов, теорию чисел, комбинаторику. Играл ведущую роль в американской математике второй половины XIX века в качестве профессора в Университете Джонса Хопкинса. Основатель Американского математического журнала.
Сильвестр является автором таких терминов, как «матрица», «граф», «дискриминант». Он внёс много новых идей в математику, его именем названы многие полученные им результаты — теоремы, формулы, уравнения.

Головоломка, придуманная Сильвестром для Educational Times:

У меня есть большое количество марок номиналом 5 пенсов и 17 пенсов. Какой самый большой номинал я не могу составить из комбинации этих двух разных величин?

Ответ: 63 пенса.

Эту задачу обобщил Фердинанд Фробениус:
Даны два положительных целых числа a и b. Каково наибольшее число g(a, b), которое невозможно представить в виде линейной комбинации a и b. Эта задача и её обобщение на a₁, a₂, ..., aₙ монет называется задачей Фробениуса о размене монет. Сильвестр нашёл простую формулу для случая n = 2: для взаимно простых a и b g(a, b) = a·b – (a+b). Эффективный алгоритм для вычисления g(a, b, с) был построен лишь примерно через 100 лет после публикации Сильвестра.

Сильвестр сформулировал задачу (также напечатанную в Educational Times):
На плоскости дано конечное число точек, причём такое, что любая прямая, проходящая через две данные точки, содержит ещё одну данную точку. Доказать, что тогда все данные точки лежат на одной прямой.

Об истории этой задачи, различных подходах к её доказательству и интересных обобщениях можно прочитать в статье С. Табачникова и В. Тиморина в журнале Квант № 5, 2009 г

Сильвестр был отличным юристом, лингвистом и писателем, сочинил множество стихов и даже трактат «Искусство стихосложения»; иногда он подписывался так: «Сильвестр, автор законов стихосложения». Он читал и переводил работы с оригинального французского, немецкого, итальянского, латинского и греческого языков, а многие из его математических статей содержат иллюстративные цитаты из классической поэзии. Известна его поэма «Розалинда» — каждая из 400 строк которой рифмуется со словом «Розалинда».

Ода Дж. Сильвестра «Апостроф Кеплера», перевод с англ. И. Розенфельд

Да! не затерян будет он,
Мой путь во тьме времён,
В ряду немеркнущих имён
Навек запечатлён.

Потоком огненным, искрясь,
Льёт звёздный дождь ночной,
Но ярче пламенеет страсть,
Владеющая мной.

Гнев, гребни океанских волн —
Душа кипит во мне —
Монарх в клети, в цепях, в неволе,
Лев пленный в западне.

Богатство, гордый сан, почёт —
Не преклоню колен.
Но шею предо мной согнёт
И великан надменный.

Повелевать — таким я создан был,
Дал силы восставать мне Бог,
В мою ладонь свой скипетр вложил,
И очи мечут молнии Его.

Венец терновый славы — обречён,
Венчает храм моих мучений Он.
И именем я буду наречён,
В котором смысл божественных имён.

Меня, первоизбранника, почтит,
Галактика, сияньем озарится.
Пророческий мой голос прозвучит
И вечно на Земле он повторится.

Вращения Земли усталый стон
И непреклонность, прямота оси —
Иной удел увидев, небосклон
Моё чело слезами оросит.

Созвездия чудесных звёзд узрит,
Что обликом моим привлечены,
А славы колесница воспарит
К светилам неземной величины.

Звучи, души высокая струна!
О, торжествуй, весельем, песнопением.
Бессмертная свобода мне дана
И бренных уз земных переплетения.

Величье разуму такому суждено,
Который в испытаньях утвердится,
Был выдержан, как крепкое вино,
Как сплав стальной, в горниле закалится.

Но честолюбия поток нахлынет,
Тот разум опьянённый затопив,
В котором верность стойкая застынет,
В упрямую гордыню превратив.

«Добросовестное отношение к труду является прирождённым свойством каждого человека, а чтобы развить в нём аморальное отношение к труду и склонность к халтуре, нужно приложить большие усилия. Для этого нужно создать особенно неблагоприятные условия работы. Эти неблагоприятные условия могут выражаться, например, в противоестественно низкой оплате труда или в том, что плоды труда используются столь нерационально, что практически идут впустую. И то, и другое у нас имеется в достаточной мере».

3 сентября 1908 г. родился Лев Семёнович Понтрягин, один из крупнейших математиков XX века, автор фундаментальных трудов по алгебраической и дифференциальной топологии, теории колебаний, вариационному исчислению, дифференциальным играм, создатель теории оптимальных процессов, в основе которого лежит т.н. принцип максимума Понтрягина, нашедший многочисленные применения, в частности, в космонавтике.

Из статьи И.Р. Шафаревича: «Громадную роль в жизни Понтрягина сыграла, конечно, трагедия, пережитая им в возрасте 13 лет: он пытался починить примус, тот взорвался, и в результате ожогов и неудачного лечения Понтрягин полностью ослеп. И наиболее характерно для Понтрягина то, как он нечеловеческим напряжением воли преодолел эту трагедию. Он просто отказался её признать. Он никогда не пользовался никакой техникой, предназначенной для слепых. Всегда пытался ходить сам, без сопровождения других. В результате у него на лице всегда были ссадины и царапины. Он научился кататься на коньках, на лыжах, плавал на байдарке, танцевал. Представьте себе, каково было учиться студенту, который не мог записывать лекций! Меня когда-то потряс такой его рассказ. Я пожаловался, что после 30 лет стал хуже спать. А он сказал: “Я потерял сон в 20 лет. Я запоминал все лекции, которые за день прослушал в университете, а всю ночь курил и восстанавливал их в памяти”».

Из воспоминаний математика М.И. Зеликина: «Изредка он просил меня перечитать какую-нибудь из формул, но чаще он их и так помнил. В какой-то момент он надолго задумался над доказательством. Потом сказал: “Кажется, что-то похожее было у Осгуда. Миша, возьмите на второй слева и третьей сверху полке седьмую слева книгу. Это книга Осгуда по теории функций. Откройте такую-то главу и прочтите её мне”.
Ещё студентом он как-то поразил аудиторию. Прервал лекцию профессора Бухгольца громкой фразой: “Профессор, вы ошиблись в чертеже”. Он слушал стук мела о доску, и в какой-то момент обнаружил несоответствие реальных звуков и тех, что раздавались у него в голове».

Понтрягиным написано несколько замечательных книг, предназначенных для старшеклассников, интересующихся математикой; среди них: «Математический анализ для школьников», «Знакомство с высшей математикой: Алгебра», «Обобщения чисел».

В поисках справедливости — 7

Продолжаем наши поиски справедливости. Предыдущие сюжеты можно найти по ссылкам:
В поисках справедливости — 1
В поисках справедливости — 2
В поисках справедливости — 3
В поисках справедливости — 4
В поисках справедливости — 5
В поисках справедливости — 6

Сегодня рассмотрим не совсем корректную с точки зрения математики (а потому не вполне серьёзную) старинную задачу, реально возникшую из юридической практики в Древнем Риме.

Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное S талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния, а остальную треть — матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния, а остальные две трети — матери».
У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Решение. Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть мы выполним, получим тот или иной ответ.

Вариант 1. Из первого условия завещания следует, что сын должен получить ⅔S, а из второго — что дочь должна получить в два раза меньше матери: дочь — ⅑S, мать — ²⁄₉S.

Вариант 2. Из первого условия завещания следует, что доля матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго — что эта доля в 2 раза больше доли дочери; получаем всего 7 долей. Именно так поделил наследство суд в Древнем Риме: сыну — ⁴⁄₇S, матери — ²⁄₇S, дочери — ¹⁄₇S.

Вариант 3. В каждом из условий доля матери не меньше ⅓, при этом доля сына в 4 раза больше доли дочери. Получаем: матери — ⅓S, сыну — ⁸⁄₁₅S, дочери — ²⁄₁₅S.

Вариант 4. Смотрим, кто родился первым. Если сын, тут же отписываем ему ⅔S, а оставшуюся матери часть наследства ⅓S делим между матерью и дочерью в надлежащей пропорции: мать — ²⁄₉S, дочь — ⅑S. Но если первой родилась дочь, отписываем ей сразу ⅓S, а после рождения сына оставшиеся ⅔S делим между сыном и матерью: соответственно ⁴⁄₉S и ²⁄₉S.

Вариант 5. Решение в пользу матери — как награду за двух рождённых детей. Если родится сын, то части наследства: сыну ⅔, матери ⅓, если дочь, то части: матери ⅔, дочери ⅓. Выполнены оба условия, поэтому все части нужно сложить: ⅔ + ⅓ + ⅔ + ⅓ = 2 — это всё наследство. Доля матери, сына и дочери соотносятся как: (⅔ + ⅓) : ⅔ : ⅓, т.е. 3 : 2 : 1, значит доля матери — ½S, доля сына — ⅓S, доля дочери — ⅙S.

Вариант 6. Завещание составлено некорректно, поэтому должно быть аннулировано, а доли следует распределить равномерно — всем по ⅓S.

В поисках справедливости — 8

Известна древняя головоломка о наследовании тремя братьями 17 верблюдов по завещанию отца, в котором старший брат должен получить ½ долю наследства, средний — ⅓, а младший — ⅑. Рассказываемое обычно решение этой головоломки более походит на анекдот о любопытных вычислениях, этакий красивый трюк, в котором наличие чёткой математической составляющей решения становится как бы излишним.
В этом решении находится мудрец, который предлагает поделить наследство при помощи своего верблюда: теперь верблюдов становится 18, и старший брат получает 9 верблюдов, средний — 6, младший — 2, а оставшегося 1 верблюда мудрец возвращает себе. Решение, безусловно, красивое, но сомнительное с точки зрения математики.

А можно ли решить задачу честно математически? Наиболее естественная интерпретация воли отца — это соотношение долей наследства, которые должны получить братья:
½ : ⅓ : ⅑ = 9 : 6 : 2.
Получаем всего 17 частей, и, значит, 1 часть — это 1 верблюд.

Задача Эйлера о разделе имущества между наследниками

Некто после смерти оставил несколько детей, доля которых при разделе имущества определялась следующим образом: первый ребёнок получил в наследство 100 талеров и 0,1 остатка; второй получил 200 талеров и 0,1 нового остатка; третий получил 300 талеров и 0,1 очередного остатка и так далее. В результате всё наследство оказалось поделённым между всеми детьми поровну. Сколько всего денег завещал отец своим детям и сколько было детей?

Ответ: 8100 талеров и 9 детей.

Минутка саморекламы

Математическая эссенция — это не только тг-канал, но и содружество преподавателей математики и смежных дисциплин!
Начался учебный год, и у нас открыта запись на дополнительные занятия для школьников.

Вы найдёте индивидуальные и групповые занятия по математике, информатике, физике и экономике на любой вкус:
— Углублённое изучение предмета и подготовка к профильному ЕГЭ;
— Обучение решению олимпиадных задач и подготовка к олимпиадам.

Наши преподаватели — профессионалы с богатым опытом работы в лучших профильных школах, составители различных олимпиад, авторы множества научно-методических статей, видеоматериалов и учебных пособий для школьников.
Многие наши ученики стали стобалльниками на ЕГЭ, победителями различных олимпиад, в том числе самого высокого уровня. Другие — просто перестали бояться предмет и полюбили его, подтянули свои знания и научились решать сложные и интересные задачи.

Для получения более подробной информации и записи перейдите по ссылке.

В поисках справедливости — 9

У древнегреческого софиста Протагора учился софистике и судебному красноречию некий Эватл. По заключённому между ними договору тот должен был заплатить за обучение обговоренную сумму только тогда, когда выиграет свой первый судебный процесс. Однако, окончив обучение, Эватл решил не участвовать в судебных тяжбах, уехал домой и стал пасти коз. Как следствие, он считал себя свободным от уплаты за учёбу. Это длилось довольно долго, терпение Протагора иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, должен был состояться первый судебный процесс Эватла.
Протагор привёл следующую аргументацию: «Эватл должен мне заплатить не зависимо от решения уважаемого суда. Если суд решит, что он выиграл, то заплатит по договору, а если решит, что проиграл, заплатит по решению суда».
Эватл возражал: «Ни в том, ни в другом случае я не должен платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, а если проиграю, то по договору».
Считаем, что обязательство по договору носит безусловный характер и судебное решение не может противоречить законам логики. Добьётся ли Протагор в суде платы за оказанные образовательные услуги?

Сначала проголосуйте ⬆️

Решение парадокса по ссылке.

«Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск».
«Судя по некоторым специфическим особенностям Своего творения, великий Создатель вселенной начинает представать перед нами как чистый математик».
«Вселенная — это не гигантская машина, а гигантская мысль».

11 сентября 1877 г. родился британский физик-теоретик, астроном, математик Джеймс Джинс.
Джинс является создателем теории гравитационной неустойчивости, позволяющей объяснить, как из разреженного вещества образуются небесные тела; эта теория лежит в основе современных исследований в области космогонии и космологии. Джинс внёс важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звёздную эволюцию. Из-под его пера вышли основополагающие работы по звёздной динамике. Его анализ вращающихся тел привёл к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой. Несмотря на то, что в настоящее время теория Джинса представляет лишь исторический интерес, некоторые его теоретические результаты в этой области сохранили значение до наших дней.

☺️ Профессор Джеймс Джинс любил признаваться, что он хочет выпить чего-нибудь алкогольного после всех этих лекций по квантовой механике, а ещё в том, как сложна геометрия. И неожиданно для самого себя он в промежутках между изучением глубоких вопросов изобрёл фразу, которая позволяет запомнить 24 цифры числа π:
How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard...

Задачи про муравьёв

В вершинах правильного треугольника сидит по муравью. В один момент все три муравья начинают двигаться вдоль стороны треугольника, выбираю сторону случайным образом. Каков шанс, что муравьи не столкнутся при этом движении?

Сначала проголосуйте ⬆️
Решение задачи по ссылке.