Задача. Муравей находится на одном конце резинового троса, привязанного к неподвижной стене. Начальная длина троса составляет 1 метр. Другой конец троса прикреплён к автомобилю. В какой-то момент муравей начинает ползти по тросу в сторону автомобиля со скоростью 1 мм/с, одновременно с этим и автомобиль начинает движение со скоростью 10 м/с. Доползёт ли муравей когда-нибудь до автомобиля? (Считаем, что трос никогда не порвётся, в автомобиле не закончится топливо, муравей бессмертный, дорога бесконечна и т.п.)
Доползёт до автомобиля?
Anonymous Quiz
43%
Да, когда-нибудь доползёт
48%
Нет, т.к. расстояние до автомобиля будет всё время увеличиваться
9%
Муравей свалится с троса
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
В каком месте нужно взять кирпичик, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно, посередине. Центр тяжести одного кирпича находится на средней линии. Значит, этот кирпич можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадёт. А в каком месте нужно поднимать построенную систему? Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух кирпичей находится на прямой, смещённой на ¼ длины кирпича. Действительно, центр тяжести верхнего кирпича проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего кирпича. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины кирпича, т.е. на расстоянии ¼ длины от края. Трактор привозит ещё один кирпич. Куда же его поместить?..
👍4🥰2
Вот ещё один забавный сюжет, связанный с гармоническим рядом. Его называют рогом Гавриила. (Название связано с христианской традицией, согласно которой архангел Гавриил вострубит в рог, возвещая Судный день.)
Рог Гавриила представляет собой фигуру, имеющую бесконечную площадь поверхности при конечном объёме. Получается парадокс (его ещё называют парадоксом маляра): если этот рог позолотить, то потребуется бесконечное количество листового золота, а если отлить из золота как сплошное тело, то количество золота понадобится конечное!
Получить рог Гавриила (его ещё называют трубой Торричелли) можно путём вращения гиперболы y = 1/x при x ≥ 1 вокруг оси абсцисс. С помощью интегрирования несложно убедиться, что объём этой фигуры при x → ∞ стремится к π, а площадь поверхности стремится к бесконечности по закону натурального логарифма.
Рог Гавриила представляет собой фигуру, имеющую бесконечную площадь поверхности при конечном объёме. Получается парадокс (его ещё называют парадоксом маляра): если этот рог позолотить, то потребуется бесконечное количество листового золота, а если отлить из золота как сплошное тело, то количество золота понадобится конечное!
Получить рог Гавриила (его ещё называют трубой Торричелли) можно путём вращения гиперболы y = 1/x при x ≥ 1 вокруг оси абсцисс. С помощью интегрирования несложно убедиться, что объём этой фигуры при x → ∞ стремится к π, а площадь поверхности стремится к бесконечности по закону натурального логарифма.
🔥21👍10🤩2❤1
27 августа 1858 г. родился Джузеппе Пеано — итальянский математик и логик, специалист в области оснований математики, математической логики и неевклидовой геометрии. Воплощая идеи Лейбница, Пеано изложил математику в точной символической форме, без слов; в частности, он ввёл в употребление знаки принадлежности элемента множеству ∈ (от греч. εστι — быть), знаки пересечения ∩ и объединения ∪ множеств. Создал одну из первых дедуктивных систем логик высказываний. В линейной алгебре первым дал аксиоматическое определение n-мерного линейного пространства. В геометрии установил основы, на которых можно осуществить построение геометрии Евклида. Предложил интегрирование методом последовательных приближений. Имя Пеано носит одна из форм остаточного члена в формуле Тейлора.
Пеано также создал международный искусственный язык Latina sine flexione, который был упрощенной формой латыни.
Пеано также создал международный искусственный язык Latina sine flexione, который был упрощенной формой латыни.
❤9👍7
Более всего Пеано известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики — арифметики Пеано.
Школьная геометрия, хотя в реальности и не излагается строго аксиоматически, но даёт представление о дедуктивном характере предмета. Полный список аксиом геометрии довольно длинный и поэтому в деталях не изучается, а упоминаются лишь те аксиомы, которые необходимы с точки зрения методики обучения математике.
Но как обстоит дело с аксиомами арифметики? Можно задать такой вопрос: почему для натуральных чисел справедливы законы арифметических действий? Традиционно повелось, что в школе не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на основе аксиом, подобно тому, как это делается в геометрии.
Вот Пеано и создал аксиоматику, которая позволила формализовать арифметику. После введения этих аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Сама система аксиом Пеано достаточно простая:
1) 1 — натуральное число.
2) За любым натуральным числом есть «следующее» натуральное число.
3) 1 не следует ни за каким числом.
4) Если одно число — следующее за a и за b, то a=b.
5) (аксиома индукции) Если какое-то утверждение верно для 1, а так же доказано, что из того, что оно верно для натурального n, оно так же верно и для следующего за n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Забавно ещё то, что каким бы образом не аксиоматизировать множество натуральных чисел, всегда найдутся утверждение про натуральные числа, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть! (Этот факт был установлен Гёделем.)
Школьная геометрия, хотя в реальности и не излагается строго аксиоматически, но даёт представление о дедуктивном характере предмета. Полный список аксиом геометрии довольно длинный и поэтому в деталях не изучается, а упоминаются лишь те аксиомы, которые необходимы с точки зрения методики обучения математике.
Но как обстоит дело с аксиомами арифметики? Можно задать такой вопрос: почему для натуральных чисел справедливы законы арифметических действий? Традиционно повелось, что в школе не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на основе аксиом, подобно тому, как это делается в геометрии.
Вот Пеано и создал аксиоматику, которая позволила формализовать арифметику. После введения этих аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Сама система аксиом Пеано достаточно простая:
1) 1 — натуральное число.
2) За любым натуральным числом есть «следующее» натуральное число.
3) 1 не следует ни за каким числом.
4) Если одно число — следующее за a и за b, то a=b.
5) (аксиома индукции) Если какое-то утверждение верно для 1, а так же доказано, что из того, что оно верно для натурального n, оно так же верно и для следующего за n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Забавно ещё то, что каким бы образом не аксиоматизировать множество натуральных чисел, всегда найдутся утверждение про натуральные числа, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть! (Этот факт был установлен Гёделем.)
👍6❤5🔥5💘3
Пеано также известен тем, что впервые привёл пример непрерывной кривой, целиком заполняющей квадрат. Заняться этой проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек единичного квадрата. Задача, которую решил Пеано, заключалась в вопросе — может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство.
Кривая Пеано имеет фрактальный характер. Для её построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Убирают внутренние стороны квадратов и из четырёх их копий составляют новую фигуру. Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Таким вот удивительным образом, получается непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата!
Кривая Пеано имеет фрактальный характер. Для её построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Убирают внутренние стороны квадратов и из четырёх их копий составляют новую фигуру. Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Таким вот удивительным образом, получается непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата!
❤16👍9💘2
28 августа 1853 г. родился Владимир Григорьевич Шухов, инженер-энциклопедист, учёный и архитектор. Он известен своими новаторскими работами по новым методам анализа для проектирования конструкций. Шухов разработал множество разновидностей лёгких гиперболоидных башен и кровельных систем, а также математические методы их анализа. Его знаменитая Шуховская башня на Шаболовке признана одним из архитектурных шедевров русского авангарда и включена в список всемирного наследия ЮНЕСКО.
Шухов также был изобретателем крекинга (перегонки) нефти и создателем газгольдеров. Он проектировал первый нефтепровод, а ещё был теоретиком и практиком нефтяной гидравлики. Кроме этого, Шухов изобрел промышленный метод получения автомобильного топлива.
Шухов разработал инновационный подход для перекрытий и крыш зданий. Как и гиперболоидные строения, этот метод технологии сетчатой оболочки был новаторским. Например, ажурный купол ГУМа и дебаркадер Киевского вокзала в Москве были разработаны Шуховым.
Шухов также был изобретателем крекинга (перегонки) нефти и создателем газгольдеров. Он проектировал первый нефтепровод, а ещё был теоретиком и практиком нефтяной гидравлики. Кроме этого, Шухов изобрел промышленный метод получения автомобильного топлива.
Шухов разработал инновационный подход для перекрытий и крыш зданий. Как и гиперболоидные строения, этот метод технологии сетчатой оболочки был новаторским. Например, ажурный купол ГУМа и дебаркадер Киевского вокзала в Москве были разработаны Шуховым.
👍17🔥5💘2
Владимир Шухов был первым, кто применил гиперболоид в строительной механике. Его дневник сохранил математические расчёты по проекту. Конструкция состоит из шести секций-гиперболоидов, каждая секция — «паутина», образованная прямыми стальными швеллерами, расположенными по образующим гиперболоидов.
Гипербола — кривая на плоскости, модуль разности расстояний от любой точки которой до двух данных, называемых фокусами, постоянен. Гипербола является коническим сечением, наряду с эллипсом и параболой, но отличается от них тем, что у неё есть асимптоты — прямые, к которым она приближается, но никогда их не достигает.
При вращении гиперболы вокруг её оси симметрии, перпендикулярной отрезку с концами в фокусах, получается поверхность — однополостный гиперболоид вращения. Оказывается, что через каждую точку гиперболоида проходят две прямые, полностью лежащие на нём. Каждая из них при вращении вокруг оси гиперболоида «заметает» всю поверхность. Такие линии называются образующими. Образующие делятся на два семейства: в одно семейство попадают те образующие, которые при вращении вокруг оси переходят друг в друга. Соответственно и однополостный гиперболоид двумя способами можно представить как своеобразный «паркет», выложенный прямыми одного семейства. Таким образом, изогнутая поверхность состоит из прямых. Именно это свойство и использовал Шухов: каждая секция башни на Шаболовке «соткана» из образующих двух семейств. Шухов спроектировал и построил в России более двухсот гиперболоидных водонапорных башен. При этом каждый проект был уникален — выполнение технических требований соединялось с архитектурной привязкой к местности.
Гипербола — кривая на плоскости, модуль разности расстояний от любой точки которой до двух данных, называемых фокусами, постоянен. Гипербола является коническим сечением, наряду с эллипсом и параболой, но отличается от них тем, что у неё есть асимптоты — прямые, к которым она приближается, но никогда их не достигает.
При вращении гиперболы вокруг её оси симметрии, перпендикулярной отрезку с концами в фокусах, получается поверхность — однополостный гиперболоид вращения. Оказывается, что через каждую точку гиперболоида проходят две прямые, полностью лежащие на нём. Каждая из них при вращении вокруг оси гиперболоида «заметает» всю поверхность. Такие линии называются образующими. Образующие делятся на два семейства: в одно семейство попадают те образующие, которые при вращении вокруг оси переходят друг в друга. Соответственно и однополостный гиперболоид двумя способами можно представить как своеобразный «паркет», выложенный прямыми одного семейства. Таким образом, изогнутая поверхность состоит из прямых. Именно это свойство и использовал Шухов: каждая секция башни на Шаболовке «соткана» из образующих двух семейств. Шухов спроектировал и построил в России более двухсот гиперболоидных водонапорных башен. При этом каждый проект был уникален — выполнение технических требований соединялось с архитектурной привязкой к местности.
🔥14👍7💘2❤1
«Тот, кто в стремлении к науке стремится к немедленной практической полезности, может быть уверен, что его поиски напрасны».
«По зависти противников можно, в известной степени, судить о размерах собственного успеха».
31 августа 1821 г. родился Герман Гельмгольц, немецкий естествоиспытатель. Гельмгольцу принадлежат фундаментальные открытия в оптике, электродинамике, метеорологии, философии; он дал собственную формулировку закона сохранения энергии, расширил его применение и сформулировал математически. В сферу интересов Гельмгольца входили также термо- и электродинамика; изучение вихревых движений в невязких жидкостях заложили основы гидродинамики, а математические исследования атмосферных вихрей, гроз и глетчеров — основы метеорологии.
Гельмгольц занимался исследованиями в области физиологии. В фокусе внимания учёного находились слух и зрение, а также нейрофизиологические процессы и рост нервных волокон. Он определил скорость распространения нервного импульса в мышцах. Учёный создал модель человеческого уха, позволяющую изучать влияние звука на орган слуха человека и восприятия человеческим ухом обертонов. Изобрёл офтальмоскоп (инструмент, используемый для осмотра глазного дна, который позволял оценить состояние сетчатки, диска зрительного нерва, сосудов глазного дна) и офтальмометр (оптический прибор, предназначенный для измерения радиусов кривизны роговицы и хрусталика).
«По зависти противников можно, в известной степени, судить о размерах собственного успеха».
31 августа 1821 г. родился Герман Гельмгольц, немецкий естествоиспытатель. Гельмгольцу принадлежат фундаментальные открытия в оптике, электродинамике, метеорологии, философии; он дал собственную формулировку закона сохранения энергии, расширил его применение и сформулировал математически. В сферу интересов Гельмгольца входили также термо- и электродинамика; изучение вихревых движений в невязких жидкостях заложили основы гидродинамики, а математические исследования атмосферных вихрей, гроз и глетчеров — основы метеорологии.
Гельмгольц занимался исследованиями в области физиологии. В фокусе внимания учёного находились слух и зрение, а также нейрофизиологические процессы и рост нервных волокон. Он определил скорость распространения нервного импульса в мышцах. Учёный создал модель человеческого уха, позволяющую изучать влияние звука на орган слуха человека и восприятия человеческим ухом обертонов. Изобрёл офтальмоскоп (инструмент, используемый для осмотра глазного дна, который позволял оценить состояние сетчатки, диска зрительного нерва, сосудов глазного дна) и офтальмометр (оптический прибор, предназначенный для измерения радиусов кривизны роговицы и хрусталика).
👍12💘6👏2
При изучении проблем локализации зрительных впечатлений в поле зрения Гельмгольц пришёл к выводу, что все аксиомы геометрии имеют опытное происхождение. После изучения трудов Лобачевского он предложил модель пространства переменной кривизны как «поля изображения выпуклого зеркала или линзы», однако в своих представлениях о пространстве Гельмгольц, в отличие от Лобачевского, следовал учению Канта в допущении «априорности пространства как формы созерцания».
В качестве главной проблемы арифметики Гельмгольц считал обоснование её автоматической применимости к физическим явлениям. Исходя из того, что само понятие числа заимствовано из опыта, он полагал, что вещественные числа и их свойства применимы лишь именно к этим опытам, в которых изучаемые объекты не должны трансформироваться (как пошутил А.Лебег, «поместив в клетку льва и кролика, мы не обнаружим в ней позднее двух животных»). По Гельмгольцу, даже понятие равенства неприменимо автоматически к каждому опыту.
Гельмгольц доказал, что даже обычная арифметика целых чисел не может рассматриваться как априорное знание. Многие выдающиеся учёные-математики того времени внутренне не воспринимали устремлённости своих коллег и учеников к чистой математике. Так, Л.Кронекер в письме к Гельмгольцу писал: «Ваш богатый практический опыт работы с разумными и интересными проблемами укажет математикам новое направление и придаст им новый импульс... Односторонние и интроспективные математические умозаключения приводят к областям, от которых нельзя ожидать сколько-нибудь ценных плодов».
С. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольца относительно характера римановой метрики. Проблема пространства «Ли–Гельмгольца» оказалась важной во многих областях естествознания.
По Гельмгольцу математика даёт не более чем логическую структуру законов физики. После работ Гельмгольца принцип наименьшего действия стал активно применяться в исследованиях по современной теории поля, квантовой электродинамики, термодинамики, оптике и других областях теоретической физики и физической химии. Гельмгольц ввёл важнейшие понятия «свободная энергия» (которая способна превращаться в любые формы) и «связанная энергия» (которая способна превращаться только в тепловую форму).
В качестве главной проблемы арифметики Гельмгольц считал обоснование её автоматической применимости к физическим явлениям. Исходя из того, что само понятие числа заимствовано из опыта, он полагал, что вещественные числа и их свойства применимы лишь именно к этим опытам, в которых изучаемые объекты не должны трансформироваться (как пошутил А.Лебег, «поместив в клетку льва и кролика, мы не обнаружим в ней позднее двух животных»). По Гельмгольцу, даже понятие равенства неприменимо автоматически к каждому опыту.
Гельмгольц доказал, что даже обычная арифметика целых чисел не может рассматриваться как априорное знание. Многие выдающиеся учёные-математики того времени внутренне не воспринимали устремлённости своих коллег и учеников к чистой математике. Так, Л.Кронекер в письме к Гельмгольцу писал: «Ваш богатый практический опыт работы с разумными и интересными проблемами укажет математикам новое направление и придаст им новый импульс... Односторонние и интроспективные математические умозаключения приводят к областям, от которых нельзя ожидать сколько-нибудь ценных плодов».
С. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольца относительно характера римановой метрики. Проблема пространства «Ли–Гельмгольца» оказалась важной во многих областях естествознания.
По Гельмгольцу математика даёт не более чем логическую структуру законов физики. После работ Гельмгольца принцип наименьшего действия стал активно применяться в исследованиях по современной теории поля, квантовой электродинамики, термодинамики, оптике и других областях теоретической физики и физической химии. Гельмгольц ввёл важнейшие понятия «свободная энергия» (которая способна превращаться в любые формы) и «связанная энергия» (которая способна превращаться только в тепловую форму).
👍11👏5💘3
Как-то раз Гельмгольц, прогуливаясь по парку, увидел плачущую девочку. Оказывается, в глаз попала соринка. Учёный вынул карманную линзу и стал через неё рассматривать глаз ребенка. Неожиданно он заметил, что при определённом положении линзы лучи падали через зрачок на заднюю стенку глаза и ярко освещали её. Гельмгольц сразу понял важность этого явления; он усовершенствовал случайно открытый способ и изобрёл глазное зеркало — неизменный атрибут современного врача-офтальмолога.
Вот и говори после этого, что «слезами делу не поможешь».
Вот и говори после этого, что «слезами делу не поможешь».
👍11👏7💘3❤1
Гельмгольц показал, что расчерченный вертикальными линиями квадрат выглядит шире и ниже, чем точно такой же, но составленный из горизонтальных линий.
Открытый Гельмгольцем феномен широко используется в производстве одежды, однако вопреки распространённому заблуждению, горизонтальные полоски на свитерах и платьях не «полнят», а строго наоборот — зрительно делают фигуру уже и выше. В модных глянцевых журнала часто встречаются советы вроде: «Носите одежду с вертикальными полосками, чтобы выглядеть стройнее», однако наука безжалостно это опровергает. Взгляните на иллюзию Гельмгольца и сами убедитесь в том, что эффект прямо противоположен. И хотя этот оптический обман изучен вдоль и поперёк, учёные пока не могут прийти к единому мнению о механизмах его возникновения.
Гельмгольц также первым понял, что человеческие глаза постоянно совершают быстрые согласованные движения, так называемые саккады. Чтобы понять о чём речь, закройте один глаз и слегка надавите пальцем на нижнее веко другого — «картинка», которую видит ваш мозг тут же придёт в движение. В обычной жизни мы не замечаем этих микроскопических «подёргиваний», потому что мозг давным-давно научился сглаживать изображение, но когда он сталкивается с непривычной ситуацией (механическое воздействие на глазное яблоко), саккады проявляют себя во всей красе.
Открытый Гельмгольцем феномен широко используется в производстве одежды, однако вопреки распространённому заблуждению, горизонтальные полоски на свитерах и платьях не «полнят», а строго наоборот — зрительно делают фигуру уже и выше. В модных глянцевых журнала часто встречаются советы вроде: «Носите одежду с вертикальными полосками, чтобы выглядеть стройнее», однако наука безжалостно это опровергает. Взгляните на иллюзию Гельмгольца и сами убедитесь в том, что эффект прямо противоположен. И хотя этот оптический обман изучен вдоль и поперёк, учёные пока не могут прийти к единому мнению о механизмах его возникновения.
Гельмгольц также первым понял, что человеческие глаза постоянно совершают быстрые согласованные движения, так называемые саккады. Чтобы понять о чём речь, закройте один глаз и слегка надавите пальцем на нижнее веко другого — «картинка», которую видит ваш мозг тут же придёт в движение. В обычной жизни мы не замечаем этих микроскопических «подёргиваний», потому что мозг давным-давно научился сглаживать изображение, но когда он сталкивается с непривычной ситуацией (механическое воздействие на глазное яблоко), саккады проявляют себя во всей красе.
👍13❤3
👍3😁3❤1
👍5👎2
❤2💘2🥰1