Задачи на среднее гармоническое: арифметический способ решения

Текстовые задачи на производительность труда, среднюю скорость и проч. в школьной практике обычно начинают решать на уроках алгебры, когда ученики уже получили определённые навыки работы с алгебраическими дробями. В действительности же, их гораздо полезнее учиться решать существенно раньше — ещё до освоения формальных правил сложения и умножения дробей, именно в качестве подготовки к уяснению этих правил (т.е. в 5 классе, а можно и раньше).
Приведём примеры возможных рассуждений.

Задача 1. Скорость моторной лодки по течению реки равна 21 км/ч, а против течения — 15 км/ч. Она проплыла некоторое расстояние по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите среднюю скорость её движения.
Решение. НОК (21, 15) = 105. Выберем расстояние, которое проплыла лодка по течению, равным 105 км; у неё ушло на это 105 / 21 = 5 ч. На обратное расстояние ушло 105 / 15 = 7 ч. Таким образом, лодка проплыла 210 км за 12 ч, а её средняя скорость равна 210 / 12 = 17,5 км/ч.
Она равна среднему гармоническому данных скоростей.

Задача 2. За пять недель пират Ерёма способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоём?
Решение. Ерёма за 10 недель выпьет 2 бочки рома, Емеля за эти же 10 недель выпьет ещё 5 бочек, а вместе они выпьют 7 бочек. Если 7 бочек они выпивают за 10 недель, то 1 бочку прикончат за 10/7 недели, т.е. за 10 дней.
Удвоенное значение этой величины даёт нам среднее гармоническое 35 и 14 (дней).

Задача 3. Покрышки на двух передних колёсах машины изнашиваются (и должны быть сменены) после пробега 16 000 миль, а на двух задних — 9 000 миль. Каково максимальное расстояние, которое машина может проехать на этой резине, если передние и задние колёса можно менять местами?
Решение. На 25 парах покрышек — 9 парах передних и 16 парах задних — можно проехать 144 000 миль. Значит, на двух парах покрышек можно проехать расстояние в 12,5 раз меньшее: 144 000 / 25 · 2 = 11 520 миль. Для того чтобы две пары покрышек при этом «отработали» полностью, их надо сменить на полпути.
Это расстояние равно среднему гармоническому между 16 000 и 9 000.

Задача 4. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?
Решение. Пусть Алёна ехала на 216 таких поездах: в 210 из них она непрерывно говорила по телефону, а в 6 — молчала. На всю такую поездку у Алёны ушло 210 · 6 · 2 = 2 520 часов. Значит, на одном поезде она ехала 2 520 / 216 ч, т.е. 11ч 40 мин.
И снова мы получили среднее гармоническое.

Вот ещё несколько задач, которые полезно решить средствами начальной школы для лучшего уяснения задач подобной конструкции.

Задача 5. Половину книги наборщик печатал со скоростью 6 страниц в час. Затем его сменил другой наборщик, который печатал со скоростью 12 страниц в час. С какой постоянной скоростью надо было печатать, чтобы набрать текст этой же книги за такое же время?

Задача 6. В магазине было два контейнера картофеля, в одном — по 20 рублей за килограмм, в другом — по 30 рублей за килограмм. Контейнеры были разного объёма, а их суммарная стоимость оказалась одинаковой. Весь имеющийся картофель смешали. По какой цене следует продавать килограмм смеси?

Задача 7. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал по этому же эскалатору вверх и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы мальчик, если бы он с такой же скоростью бежал по неподвижному эскалатору?

Задача. Имеется парк из N = 7 грузовиков. Каждый из них полностью заправлен и может проехать 420 км. От этого парка идёт бесконечная автодорога, на которой нет ни одной заправочной станции. Как далеко с помощью этих грузовиков можно доставить определённый груз? (Предполагается, что единственное место, где можно найти горючее — это топливные баки грузовиков; грузовики с пустыми баками можно оставлять на дороге.)

Сначала проголосуйте!

https://telegra.ph/Kak-daleko-mozhno-dostavit-gruz-na-N-gruzovikah-08-15

Задача. Муравей находится на одном конце резинового троса, привязанного к неподвижной стене. Начальная длина троса составляет 1 метр. Другой конец троса прикреплён к автомобилю. В какой-то момент муравей начинает ползти по тросу в сторону автомобиля со скоростью 1 мм/с, одновременно с этим и автомобиль начинает движение со скоростью 10 м/с. Доползёт ли муравей когда-нибудь до автомобиля? (Считаем, что трос никогда не порвётся, в автомобиле не закончится топливо, муравей бессмертный, дорога бесконечна и т.п.)

Сначала проголосуйте!

https://telegra.ph/Muravej-na-rezinovom-trose-08-15

В каком месте нужно взять кирпичик, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно, посередине. Центр тяжести одного кирпича находится на средней линии. Значит, этот кирпич можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадёт. А в каком месте нужно поднимать построенную систему? Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух кирпичей находится на прямой, смещённой на ¼ длины кирпича. Действительно, центр тяжести верхнего кирпича проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего кирпича. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины кирпича, т.е. на расстоянии ¼ длины от края. Трактор привозит ещё один кирпич. Куда же его поместить?..

Вот ещё один забавный сюжет, связанный с гармоническим рядом. Его называют рогом Гавриила. (Название связано с христианской традицией, согласно которой архангел Гавриил вострубит в рог, возвещая Судный день.)
Рог Гавриила представляет собой фигуру, имеющую бесконечную площадь поверхности при конечном объёме. Получается парадокс (его ещё называют парадоксом маляра): если этот рог позолотить, то потребуется бесконечное количество листового золота, а если отлить из золота как сплошное тело, то количество золота понадобится конечное!
Получить рог Гавриила (его ещё называют трубой Торричелли) можно путём вращения гиперболы y = 1/x при x ≥ 1 вокруг оси абсцисс. С помощью интегрирования несложно убедиться, что объём этой фигуры при x → ∞ стремится к π, а площадь поверхности стремится к бесконечности по закону натурального логарифма.

27 августа 1858 г. родился Джузеппе Пеано — итальянский математик и логик, специалист в области оснований математики, математической логики и неевклидовой геометрии. Воплощая идеи Лейбница, Пеано изложил математику в точной символической форме, без слов; в частности, он ввёл в употребление знаки принадлежности элемента множеству ∈ (от греч. εστι — быть), знаки пересечения ∩ и объединения ∪ множеств. Создал одну из первых дедуктивных систем логик высказываний. В линейной алгебре первым дал аксиоматическое определение n-мерного линейного пространства. В геометрии установил основы, на которых можно осуществить построение геометрии Евклида. Предложил интегрирование методом последовательных приближений. Имя Пеано носит одна из форм остаточного члена в формуле Тейлора.
Пеано также создал международный искусственный язык Latina sine flexione, который был упрощенной формой латыни.

Более всего Пеано известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики — арифметики Пеано.
Школьная геометрия, хотя в реальности и не излагается строго аксиоматически, но даёт представление о дедуктивном характере предмета. Полный список аксиом геометрии довольно длинный и поэтому в деталях не изучается, а упоминаются лишь те аксиомы, которые необходимы с точки зрения методики обучения математике.
Но как обстоит дело с аксиомами арифметики? Можно задать такой вопрос: почему для натуральных чисел справедливы законы арифметических действий? Традиционно повелось, что в школе не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на основе аксиом, подобно тому, как это делается в геометрии.
Вот Пеано и создал аксиоматику, которая позволила формализовать арифметику. После введения этих аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Сама система аксиом Пеано достаточно простая:
1) 1 — натуральное число.
2) За любым натуральным числом есть «следующее» натуральное число.
3) 1 не следует ни за каким числом.
4) Если одно число — следующее за a и за b, то a=b.
5) (аксиома индукции) Если какое-то утверждение верно для 1, а так же доказано, что из того, что оно верно для натурального n, оно так же верно и для следующего за n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Забавно ещё то, что каким бы образом не аксиоматизировать множество натуральных чисел, всегда найдутся утверждение про натуральные числа, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть! (Этот факт был установлен Гёделем.)

Пеано также известен тем, что впервые привёл пример непрерывной кривой, целиком заполняющей квадрат. Заняться этой проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек единичного квадрата. Задача, которую решил Пеано, заключалась в вопросе — может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство.
Кривая Пеано имеет фрактальный характер. Для её построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Убирают внутренние стороны квадратов и из четырёх их копий составляют новую фигуру. Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Таким вот удивительным образом, получается непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата!

28 августа 1853 г. родился Владимир Григорьевич Шухов, инженер-энциклопедист, учёный и архитектор. Он известен своими новаторскими работами по новым методам анализа для проектирования конструкций. Шухов разработал множество разновидностей лёгких гиперболоидных башен и кровельных систем, а также математические методы их анализа. Его знаменитая Шуховская башня на Шаболовке признана одним из архитектурных шедевров русского авангарда и включена в список всемирного наследия ЮНЕСКО.
Шухов также был изобретателем крекинга (перегонки) нефти и создателем газгольдеров. Он проектировал первый нефтепровод, а ещё был теоретиком и практиком нефтяной гидравлики. Кроме этого, Шухов изобрел промышленный метод получения автомобильного топлива.
Шухов разработал инновационный подход для перекрытий и крыш зданий. Как и гиперболоидные строения, этот метод технологии сетчатой оболочки был новаторским. Например, ажурный купол ГУМа и дебаркадер Киевского вокзала в Москве были разработаны Шуховым.

«Тот, кто в стремлении к науке стремится к немедленной практической полезности, может быть уверен, что его поиски напрасны».
«По зависти противников можно, в известной степени, судить о размерах собственного успеха».

31 августа 1821 г. родился Герман Гельмгольц, немецкий естествоиспытатель. Гельмгольцу принадлежат фундаментальные открытия в оптике, электродинамике, метеорологии, философии; он дал собственную формулировку закона сохранения энергии, расширил его применение и сформулировал математически. В сферу интересов Гельмгольца входили также термо- и электродинамика; изучение вихревых движений в невязких жидкостях заложили основы гидродинамики, а математические исследования атмосферных вихрей, гроз и глетчеров — основы метеорологии.
Гельмгольц занимался исследованиями в области физиологии. В фокусе внимания учёного находились слух и зрение, а также нейрофизиологические процессы и рост нервных волокон. Он определил скорость распространения нервного импульса в мышцах. Учёный создал модель человеческого уха, позволяющую изучать влияние звука на орган слуха человека и восприятия человеческим ухом обертонов. Изобрёл офтальмоскоп (инструмент, используемый для осмотра глазного дна, который позволял оценить состояние сетчатки, диска зрительного нерва, сосудов глазного дна) и офтальмометр (оптический прибор, предназначенный для измерения радиусов кривизны роговицы и хрусталика).

При изучении проблем локализации зрительных впечатлений в поле зрения Гельмгольц пришёл к выводу, что все аксиомы геометрии имеют опытное происхождение. После изучения трудов Лобачевского он предложил модель пространства переменной кривизны как «поля изображения выпуклого зеркала или линзы», однако в своих представлениях о пространстве Гельмгольц, в отличие от Лобачевского, следовал учению Канта в допущении «априорности пространства как формы созерцания».
В качестве главной проблемы арифметики Гельмгольц считал обоснование её автоматической применимости к физическим явлениям. Исходя из того, что само понятие числа заимствовано из опыта, он полагал, что вещественные числа и их свойства применимы лишь именно к этим опытам, в которых изучаемые объекты не должны трансформироваться (как пошутил А.Лебег, «поместив в клетку льва и кролика, мы не обнаружим в ней позднее двух животных»). По Гельмгольцу, даже понятие равенства неприменимо автоматически к каждому опыту.
Гельмгольц доказал, что даже обычная арифметика целых чисел не может рассматриваться как априорное знание. Многие выдающиеся учёные-математики того времени внутренне не воспринимали устремлённости своих коллег и учеников к чистой математике. Так, Л.Кронекер в письме к Гельмгольцу писал: «Ваш богатый практический опыт работы с разумными и интересными проблемами укажет математикам новое направление и придаст им новый импульс... Односторонние и интроспективные математические умозаключения приводят к областям, от которых нельзя ожидать сколько-нибудь ценных плодов».
С. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольца относительно характера римановой метрики. Проблема пространства «Ли–Гельмгольца» оказалась важной во многих областях естествознания.
По Гельмгольцу математика даёт не более чем логическую структуру законов физики. После работ Гельмгольца принцип наименьшего действия стал активно применяться в исследованиях по современной теории поля, квантовой электродинамики, термодинамики, оптике и других областях теоретической физики и физической химии. Гельмгольц ввёл важнейшие понятия «свободная энергия» (которая способна превращаться в любые формы) и «связанная энергия» (которая способна превращаться только в тепловую форму).

Как-то раз Гельмгольц, прогуливаясь по парку, увидел плачущую девочку. Оказывается, в глаз попала соринка. Учёный вынул карманную линзу и стал через неё рассматривать глаз ребенка. Неожиданно он заметил, что при определённом положении линзы лучи падали через зрачок на заднюю стенку глаза и ярко освещали её. Гельмгольц сразу понял важность этого явления; он усовершенствовал случайно открытый способ и изобрёл глазное зеркало — неизменный атрибут современного врача-офтальмолога.
Вот и говори после этого, что «слезами делу не поможешь».

Гельмгольц показал, что расчерченный вертикальными линиями квадрат выглядит шире и ниже, чем точно такой же, но составленный из горизонтальных линий.
Открытый Гельмгольцем феномен широко используется в производстве одежды, однако вопреки распространённому заблуждению, горизонтальные полоски на свитерах и платьях не «полнят», а строго наоборот — зрительно делают фигуру уже и выше. В модных глянцевых журнала часто встречаются советы вроде: «Носите одежду с вертикальными полосками, чтобы выглядеть стройнее», однако наука безжалостно это опровергает. Взгляните на иллюзию Гельмгольца и сами убедитесь в том, что эффект прямо противоположен. И хотя этот оптический обман изучен вдоль и поперёк, учёные пока не могут прийти к единому мнению о механизмах его возникновения.

Гельмгольц также первым понял, что человеческие глаза постоянно совершают быстрые согласованные движения, так называемые саккады. Чтобы понять о чём речь, закройте один глаз и слегка надавите пальцем на нижнее веко другого — «картинка», которую видит ваш мозг тут же придёт в движение. В обычной жизни мы не замечаем этих микроскопических «подёргиваний», потому что мозг давным-давно научился сглаживать изображение, но когда он сталкивается с непривычной ситуацией (механическое воздействие на глазное яблоко), саккады проявляют себя во всей красе.