Приведём один эпизод из воспоминаний В.И. Арнольда о Н.Н. Боголюбове, опубликованных к столетию со дня его рождения. Арнольд вспоминает, что НН советовал ему публиковать статьи не в математических, а в физических журналах, поскольку это выгоднее с точки зрения карьеры. И хотя ВИ в целом не стал следовать мудрым советам НН, он приводит забавный пример, когда эта мудрость ему помогла.
ВИ захотел издать труды Пуанкаре — крупнейшего математика 19 в., основателя таких фундаментальных областей науки, как топология, теория динамических систем и теория автоморфных функций, создателя современной теории колебаний, теории бифуркаций, качественной теории дифференциальных уравнений и теории относительности. Свое предложение организовать перевод двухтомника избранных сочинений Пуанкаре он направил в серию «Классики науки» АН СССР. В ответе было сказано, что «в 1909 году В. И. Ленин в своей книге “Материализм и эмпириокритицизм” камня на камне не оставил от идеализма Пуанкаре», вследствие чего «никакое издание его сочинений в нашей стране невозможно».
ВИ был расстроен, но О.А. Олейник, заведовавшая тогда кафедрой дифференциальных уравнений МГУ, сказала, что эту проблему можно решить мгновенно. Во-первых, заметила она, предложение нужно отсылать не одному — и тут же предложила присоединить свою подпись. А, во-вторых, нужно обратиться к НН: он уважает и любит работы Пуанкаре, уважает и любит работы Арнольда, а ещё А.А. Логунов — тогдашний ректор МГУ— ученик НН.
НН пригласил ВИ к себе домой и сказал ему: «У нас троих, — имея в виду Пуанкаре, себя и Арнольда, — много общего: мы по образованию математики, по роду деятельности — физики, а в душе — естествоиспытатели. А естествоиспытатель рассматривает всё с особой точки зрения, даже самые ужасные явления природы, обращая на пользу науке. Например, что думают обычные люди, когда видят извержение Везувия? Некоторые думают, как бы спастись, некоторые жалеют погибающие Помпеи. А естествоиспытатель думает, что бы измерить во время извержения, дабы извлечь из этих измерений сведения о внутреннем строении Земли?»
После этого объяснения НН показал применение этих общих принципов естествоиспытательства на конкретном примере.
Тут нужно ещё пояснить, что Логунов сильно недолюбливал Эйнштейна. Причина того была в том, что он считал Общую теорию относительности Эйнштейна математически несостоятельной (поскольку Эйнштейн отождествил гравитацию с метрическим тензором риманова пространства, а этот путь привёл к отказу от гравитационного поля как физического поля и утрате фундаментальных законов сохранения) и вместо неё построил свою Релятивистскую теорию гравитации. Но Арнольд полагает, что была ещё и другая причина (расизм).
НН взял лист бумаги и написал: «Дорогой Анатолий Алексеевич, мы с В.И. Арнольдом и О.А. Олейник предлагаем…» — и далее текст ВИ (заменив предлагаемые 2 тома на 3). А в конце добавил: «За 10 лет до Эйнштейна, в статье 1895 г., Пуанкаре основал теорию относительности. Эту работу Пуанкаре (“Об измерении времени”) мы тоже собираемся перевести в своем издании».
Издательство «Классики науки» немедленно приняло это предложение, и через два года трёхтомник вышел.

Сегодня каналу исполнился 1 год, и нас уже 1,5К! Канал изначально задумывался как пространство для души, место приятного времяпровождения и общения тех, кто интересуется математикой и ценит её красоту. Нет уверенности, что удастся поддерживать набранный темп, но общий характер направленности канала сохранится. Благодарю подписчиков и приглашаю предлагать для публикации интересные задачи, методические разработки, оригинальные статьи, делиться какими-либо ещё материалами по теме канала. Сделаем вместе нашу Эссенцию ещё более крепкой, насыщенной, ароматной и интересной!

И вспомним сегодня наш первый пост про наглядные способы доказательства теоремы Пифагора.

Задача 1. Ваня и Вася хотят знать, когда день рождения у Любы. Люба предложила им 10 возможных дат: 3 июня, 4 июня, 7 июня, 5 июля, 6 июля, 2 августа, 4 августа, 2 сентября, 3 сентября и 5 сентября. Затем она сказала Ване месяц своего рождения, а Васе — день. После этого у них состоялся диалог:
Ваня: Я не знаю, когда у Любы день рождения, и Вася тоже не знает.
Вася: А я знаю, когда у Любы день рождения.
Ваня: А я тоже знаю.
Когда у Любы день рождения?

Решение задачи по ссылке.

Задача 2. Ваня и Вася знают про себя, в какой день недели каждый из них родился, но не знают этого друг про друга, а Люба знает это про каждого из них. Она сообщила им, что Вася родился точно не в понедельник, и что их дни рождения идут как дни недели рядом: как предыдущий или последующий. После этого она спросила, догадываются ли они о том, в какой день недели родился другой? Между ними состоялся диалог:
Ваня: Нет.
Вася: Нет.
Ваня: Нет.
Вася: Нет.
Ваня: Нет.
Вася: Да!
А вы догадаетесь, в какой день недели родился Ваня?

Решение задачи по ссылке.

23 августа 1919 г. родился Владимир Абрамович Рохлин — выдающийся математик, специалист в области алгебраической топологии, теории меры и эргодической теории, воспитанник московской математической школы и основатель знаменитой петербургской топологической школы.
Его мать, единокровная сестра Корнея Чуковского, погибла при загадочных обстоятельствах в 1923 году. Отец Рохлина был арестован, репрессирован и расстрелян в 1941-м.
С началом ВОВ Рохлин ушёл добровольцем на фронт, попал в плен. Несмотря на то, что ему удалось бежать из концлагеря и продолжать воевать в Красной армии, он был арестован властями и попал в проверочный лагерь. Лишь огромными усилиями учителей Рохлина Колмогорова и Понтрягина, написавших письмо в его защиту, он смог выйти на свободу. Из-за пребывания в плену ему отказали в продолжении учёбы в аспирантуре, не взяли на работу. Тогда Понтрягин, слепой член-корреспондент Академии наук, имевший потому право на специального помощника, взял его к себе в качестве секретаря в Математический институт.
В 1951 году, на волне войны с космополитизмом, директор Матинститута Виноградов уволил Рохлина. Не найдя работы в Москве, он был вынужден уехать в Архангельск, через несколько лет ему удалось перебраться ближе к Москве — в Иваново, затем в Коломну.
В 1960 году наступил новый, наиболее яркий этап в жизни Рохлина — его пригласил на работу ректор Ленинградского университета Александров. В Ленинграде Рохлин создал большую топологическую школу. Но период благополучной жизни оказался недолгим: Рохлин поставил на экзамене двойку некой студентке Романовой, оказавшейся дочерью главы Ленинградского обкома партии, и отказался её исправить, несмотря на уговоры официальных лиц. Эта история имела много неприятных последствий, одним из которых было то, что его сына не приняли в ЛГУ (хотя впоследствии он стал успешным прикладным математиком в США); здоровье учёного было окончательно подорвано, его научная активность прекратилась.

В.И. Арнольд, высоко ценивший Рохлина, написал о нём воспоминания. Приведём отрывок:
«Вспоминается один разговор с Владимиром Абрамовичем, к теме которого он возвращался много раз, — его видение будущего человечества. Главным направлением движения человечества является, по его мнению, бюрократизация, подчиняющая всевластной “номенклатуре” бюрократического аппарата всё живое и творческое, что пока ещё существует. Явление это, по мнению ВА, происходит не только в России, но и во всём мире, хотя и неравномерно. Рохлин считал, что этот процесс должен вскоре закончиться (ввиду компактности двумерной сферы), причём будет создано Всемирное Правительство, которое осуществит худшие предсказания замятинского “Мы” и “Brave new world” Хаксли во всемирном масштабе. Вырождающееся человечество, под руководством своих худших представителей, установит демократическим путём охлократическую диктатуру, подавляющую все сколько-нибудь выдающееся и прежде всего озабоченную остановкой любого прогресса, а следовательно, уничтожением и науки, и образования (при помощи оболванивания детей с раннего возраста телевизорами, видео и компьютерными играми). Наш век расцвета математики и науки вообще будет тогда рассматриваться как такая же неповторимая вершина, какой мы считаем сейчас искусство итальянского Возрождения, а “Лекции о развитии математики в девятнадцатом столетии” Клейна будут читаться как “жизнеописания художников” Вазари. “Я счастлив, — закончил Рохлин, — что до этого не доживу”».
Стоит всё же отметить, сам Арнольд смотрел в будущее несколько более оптимистично.

Задачи на среднее гармоническое: арифметический способ решения

Текстовые задачи на производительность труда, среднюю скорость и проч. в школьной практике обычно начинают решать на уроках алгебры, когда ученики уже получили определённые навыки работы с алгебраическими дробями. В действительности же, их гораздо полезнее учиться решать существенно раньше — ещё до освоения формальных правил сложения и умножения дробей, именно в качестве подготовки к уяснению этих правил (т.е. в 5 классе, а можно и раньше).
Приведём примеры возможных рассуждений.

Задача 1. Скорость моторной лодки по течению реки равна 21 км/ч, а против течения — 15 км/ч. Она проплыла некоторое расстояние по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите среднюю скорость её движения.
Решение. НОК (21, 15) = 105. Выберем расстояние, которое проплыла лодка по течению, равным 105 км; у неё ушло на это 105 / 21 = 5 ч. На обратное расстояние ушло 105 / 15 = 7 ч. Таким образом, лодка проплыла 210 км за 12 ч, а её средняя скорость равна 210 / 12 = 17,5 км/ч.
Она равна среднему гармоническому данных скоростей.

Задача 2. За пять недель пират Ерёма способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоём?
Решение. Ерёма за 10 недель выпьет 2 бочки рома, Емеля за эти же 10 недель выпьет ещё 5 бочек, а вместе они выпьют 7 бочек. Если 7 бочек они выпивают за 10 недель, то 1 бочку прикончат за 10/7 недели, т.е. за 10 дней.
Удвоенное значение этой величины даёт нам среднее гармоническое 35 и 14 (дней).

Задача 3. Покрышки на двух передних колёсах машины изнашиваются (и должны быть сменены) после пробега 16 000 миль, а на двух задних — 9 000 миль. Каково максимальное расстояние, которое машина может проехать на этой резине, если передние и задние колёса можно менять местами?
Решение. На 25 парах покрышек — 9 парах передних и 16 парах задних — можно проехать 144 000 миль. Значит, на двух парах покрышек можно проехать расстояние в 12,5 раз меньшее: 144 000 / 25 · 2 = 11 520 миль. Для того чтобы две пары покрышек при этом «отработали» полностью, их надо сменить на полпути.
Это расстояние равно среднему гармоническому между 16 000 и 9 000.

Задача 4. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?
Решение. Пусть Алёна ехала на 216 таких поездах: в 210 из них она непрерывно говорила по телефону, а в 6 — молчала. На всю такую поездку у Алёны ушло 210 · 6 · 2 = 2 520 часов. Значит, на одном поезде она ехала 2 520 / 216 ч, т.е. 11ч 40 мин.
И снова мы получили среднее гармоническое.

Вот ещё несколько задач, которые полезно решить средствами начальной школы для лучшего уяснения задач подобной конструкции.

Задача 5. Половину книги наборщик печатал со скоростью 6 страниц в час. Затем его сменил другой наборщик, который печатал со скоростью 12 страниц в час. С какой постоянной скоростью надо было печатать, чтобы набрать текст этой же книги за такое же время?

Задача 6. В магазине было два контейнера картофеля, в одном — по 20 рублей за килограмм, в другом — по 30 рублей за килограмм. Контейнеры были разного объёма, а их суммарная стоимость оказалась одинаковой. Весь имеющийся картофель смешали. По какой цене следует продавать килограмм смеси?

Задача 7. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал по этому же эскалатору вверх и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы мальчик, если бы он с такой же скоростью бежал по неподвижному эскалатору?

Задача. Имеется парк из N = 7 грузовиков. Каждый из них полностью заправлен и может проехать 420 км. От этого парка идёт бесконечная автодорога, на которой нет ни одной заправочной станции. Как далеко с помощью этих грузовиков можно доставить определённый груз? (Предполагается, что единственное место, где можно найти горючее — это топливные баки грузовиков; грузовики с пустыми баками можно оставлять на дороге.)

Сначала проголосуйте!

https://telegra.ph/Kak-daleko-mozhno-dostavit-gruz-na-N-gruzovikah-08-15

Задача. Муравей находится на одном конце резинового троса, привязанного к неподвижной стене. Начальная длина троса составляет 1 метр. Другой конец троса прикреплён к автомобилю. В какой-то момент муравей начинает ползти по тросу в сторону автомобиля со скоростью 1 мм/с, одновременно с этим и автомобиль начинает движение со скоростью 10 м/с. Доползёт ли муравей когда-нибудь до автомобиля? (Считаем, что трос никогда не порвётся, в автомобиле не закончится топливо, муравей бессмертный, дорога бесконечна и т.п.)

Сначала проголосуйте!

https://telegra.ph/Muravej-na-rezinovom-trose-08-15

В каком месте нужно взять кирпичик, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно, посередине. Центр тяжести одного кирпича находится на средней линии. Значит, этот кирпич можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадёт. А в каком месте нужно поднимать построенную систему? Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух кирпичей находится на прямой, смещённой на ¼ длины кирпича. Действительно, центр тяжести верхнего кирпича проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего кирпича. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины кирпича, т.е. на расстоянии ¼ длины от края. Трактор привозит ещё один кирпич. Куда же его поместить?..

Вот ещё один забавный сюжет, связанный с гармоническим рядом. Его называют рогом Гавриила. (Название связано с христианской традицией, согласно которой архангел Гавриил вострубит в рог, возвещая Судный день.)
Рог Гавриила представляет собой фигуру, имеющую бесконечную площадь поверхности при конечном объёме. Получается парадокс (его ещё называют парадоксом маляра): если этот рог позолотить, то потребуется бесконечное количество листового золота, а если отлить из золота как сплошное тело, то количество золота понадобится конечное!
Получить рог Гавриила (его ещё называют трубой Торричелли) можно путём вращения гиперболы y = 1/x при x ≥ 1 вокруг оси абсцисс. С помощью интегрирования несложно убедиться, что объём этой фигуры при x → ∞ стремится к π, а площадь поверхности стремится к бесконечности по закону натурального логарифма.

27 августа 1858 г. родился Джузеппе Пеано — итальянский математик и логик, специалист в области оснований математики, математической логики и неевклидовой геометрии. Воплощая идеи Лейбница, Пеано изложил математику в точной символической форме, без слов; в частности, он ввёл в употребление знаки принадлежности элемента множеству ∈ (от греч. εστι — быть), знаки пересечения ∩ и объединения ∪ множеств. Создал одну из первых дедуктивных систем логик высказываний. В линейной алгебре первым дал аксиоматическое определение n-мерного линейного пространства. В геометрии установил основы, на которых можно осуществить построение геометрии Евклида. Предложил интегрирование методом последовательных приближений. Имя Пеано носит одна из форм остаточного члена в формуле Тейлора.
Пеано также создал международный искусственный язык Latina sine flexione, который был упрощенной формой латыни.

Более всего Пеано известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики — арифметики Пеано.
Школьная геометрия, хотя в реальности и не излагается строго аксиоматически, но даёт представление о дедуктивном характере предмета. Полный список аксиом геометрии довольно длинный и поэтому в деталях не изучается, а упоминаются лишь те аксиомы, которые необходимы с точки зрения методики обучения математике.
Но как обстоит дело с аксиомами арифметики? Можно задать такой вопрос: почему для натуральных чисел справедливы законы арифметических действий? Традиционно повелось, что в школе не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на основе аксиом, подобно тому, как это делается в геометрии.
Вот Пеано и создал аксиоматику, которая позволила формализовать арифметику. После введения этих аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Сама система аксиом Пеано достаточно простая:
1) 1 — натуральное число.
2) За любым натуральным числом есть «следующее» натуральное число.
3) 1 не следует ни за каким числом.
4) Если одно число — следующее за a и за b, то a=b.
5) (аксиома индукции) Если какое-то утверждение верно для 1, а так же доказано, что из того, что оно верно для натурального n, оно так же верно и для следующего за n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Забавно ещё то, что каким бы образом не аксиоматизировать множество натуральных чисел, всегда найдутся утверждение про натуральные числа, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть! (Этот факт был установлен Гёделем.)