«В математике также, как и во всём остальном: красоту можно воспринять, но нельзя объяснить».

16 августа 1821 г. родился Артур Кэли, английский математик (согласно некоторым источникам, его мать была русской), один из основателей британской школы чистой математики. Первые 8 лет жизни провёл в Санкт-Петербурге.
Кэли является одним из основателей теории матриц и алгебраической геометрии. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. В частности, он доказал теорему Гамильтона–Кэли о том, что каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Кэли был первым, кто понял, что понятие группы независимо от объектов, к которым оно применяется. Он первым сформулировал определение группы в том виде, как она определяется сегодня — множество с бинарной операцией, удовлетворяющей определённым законам. Прежде же, когда математики (начиная с Галуа) говорили о группе, они подразумевали группу перестановок. Для фиксированного целого числа n Кэли рассматривал возможные таблицы умножения для групп порядка n, не делая абсолютно никаких предположений относительно символов и описывая структуру конечных групп с помощью таблиц умножения и соотношений между образующими.

В 1878 г. Кэли поставил проблему четырёх красок, которая была решена при помощи компьютера лишь в 1976 г.; об этой задаче можно посмотреть здесь.

Несколько задачек на равномерное распределение ресурса

Задача 1. На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую котлету нужно обжарить с обеих сторон, при этом для обжаривания её с одной стороны требуется 2 мин. За какое наименьшее время можно поджарить 3 котлеты?

Задача 2. 10 мастеров должны сделать маникюр 13 клиенткам — покрасить ногти на руках. Один мастер обрабатывает один ноготь за 2 минуты. Клиентку нельзя обслуживать одновременно двум или более мастерам. Можно ли закончить работу быстрее, чем за полчаса?

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. На старт «Весёлого забега» на 3000 м выходит команда из трёх человек. Им выдаётся один одноместный самокат. Дорожка прямая, стартуют все одновременно, а в зачёт идёт время последнего пришедшего на финиш. Каково минимальное возможное время прохождения дистанции, если бегают все трое со скоростью 125 м/мин, а на самокате ездят со скоростью 250 м/мин?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. На «Весёлый старт» на 3000 м выходит команда из Маши и Даши. Им выдаётся один одноместный самокат. Дорожка — прямая, стартуют все одновременно, возвращаться нельзя, а в зачёт идёт время последней. Маша бегает со скоростью 100 м/мин, Даша — 150 м/мин, а на самокате обе ездят со скоростью 300 м/мин. За какое наименьшее время команда может пройти дистанцию?

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и мешок, в котором их можно унести. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов — 40 кг, пустой мешок ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшее количество динаров он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит еще ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Решение задачи по ссылке.

Задача 7. Купившему головку сыра весом 3 кг магазин «Сыр без дыр» предлагает призовую игру. Покупатель режет головку на 4 куска, а продавец выбирает из этих кусков один или несколько и раскладывает их на одну или на обе чаши чашечных весов. Если весы находятся не в равновесии, то продавец за счёт магазина добавляет призовой кусок сыра, уравновешивающий чаши. Продавец старается сделать приз поменьше, а покупатель — побольше. Найдите вес призового куска при наилучших действиях сторон.

Решение задачи по ссылке.

«Люди (или студенты) не имеют недостатков, только уникальности. Цель хорошего учителя — превратить эти уникальности в преимущества».

20 августа 1913 г. родился Израиль Моисеевич Гельфанд, один из крупнейших математиков 20 века, биолог, педагог и организатор математического образования. Основные труды Гельфанда относятся к функциональному анализу, алгебре, топологии, математической физике, прикладной математике.

И.М. Гельфанд:
«Для меня математика — это универсальный и адекватный язык в науке и пример того, как люди различных культур и бэкграундов могут договариваться и работать вместе. Это чрезвычайно важно в наше время».

«В наш век быстрых перемен, невозможно всё знать. Задача состоит в том, чтобы научиться учиться».

«Если ты что-то понимаешь, то понимаешь, что это очевидно».

«Не бойтесь задавать простые вопросы и получать на них простые ответы».

«Математик — это не тот, кто может заниматься математикой, а тот, кто не может не заниматься ею».

«По моей внутренней философии — ранее бессознательной, а теперь чёткой — я считаю, что математика, помимо своего прикладного — в физике, инженерии, компьютерах и так далее, — имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут».

«Люди думают, что не понимают математику, но всё дело в том, как ты им это объясняешь. Если вы спросите пьяницу, какое число больше, 2/3 или 3/5, он не сможет вам сказать. Но если перефразировать вопрос: что лучше, 2 бутылки водки для 3 человек или 3 бутылки водки для 5 человек, он сразу скажет вам: 2 бутылки для 3 человек, конечно».

Рассказывает ученик Гельфанда академик В.П. Скулачёв:

«Когда Израиль Гельфанд окончил девятый класс школы в небольшом местечке под Одессой, учитель математики сказал ему: "Изя, дорогой, я больше ничему тебя не смогу научить. Езжай в Москву, найди там МГУ, а в МГУ — мехмат. Учись дальше, и ты станешь великим математиком!"
На механико-математическом факультете МГУ девятиклассник дошёл только до секретаря деканата.
— Молодой человек, где ваш диплом об окончании средней школы? — возмутился секретарь. — Ах, у вас его еще нет! Тогда езжайте к себе назад на Украину и приходите через год, с дипломом!
Но вернуться домой Гельфанд уже не мог — так запали в душу слова учителя о великом будущем. Он решил остаться в Москве, и чтобы заработать на жизнь, устроился гардеробщиком в Ленинскую библиотеку — всё как-то ближе к книгам.
Однажды его заметил там за чтением монографии по высшей математике молодой, но уже знаменитый математик Андрей Николаевич Колмогоров.
— Мальчик! Зачем ты держишь в руках эту книгу? — спросил ученый. — Ведь ты не понимаешь в ней ни строчки.
— Я извиняюсь, товарищ профессор, но вы не правы! — парировал Израиль.
— Не прав? Тогда вот тебе три задачки — попробуй решить хотя бы одну до моего возвращения. У тебя есть два часа!
Колмогоров пробыл в библиотеке дольше, чем рассчитывал, и, вернувшись за пальто, отдал номерок другому гардеробщику, совершенно забыв о поручении юному Гельфанду. Уже на выходе из вестибюля он услышал позади робкий оклик:
— Товарищ профессор! Я их решил...
Андрей Николаевич вернулся, взял у Гельфанда исписанные торопливым почерком листки, выдранные из школьной тетради, и с изумлением обнаружил, что все задачи решены, причем последняя, самая трудная — необычайно изящным и неизвестным ему способом.
— Тебе кто-то помог? — не мог поверить профессор.
— Я извиняюсь, но я решил все сам!
— Ты сделал это сам?!! Тогда вот тебе ещё три задачки. Если решишь две из них, возьму на мехмат к себе в аспирантуру. У тебя на всё про всё четыре дня.
На пятые сутки Колмогоров появился в гардеробе Ленинки и направился прямиком к тому сектору, который обслуживал Израиль Гельфанд.
— Ну как дела? — полюбопытствовал профессор.
— Мне кажется, я их решил... — мальчик протянул математику листы с задачами.
Колмогоров погрузился в чтение. Изучив листки, ученый поднял голову, внимательно посмотрел Изе в глаза и сказал:
— Извините меня, пожалуйста, за сомнения в авторстве решений тех первых задач. Теперь я вижу, что вам никто не помогал. Дело в том, что ни в этой библиотеке, ни за её пределами вам никто не мог подсказать решение нынешней третьей задачи: до сегодняшнего дня математики считали её неразрешимой! Одевайтесь, я познакомлю вас с ректором МГУ.
Они застали ректора в его кабинете на Моховой. Тот сидел за столом, заваленным бумагами, и что-то напряженно писал. Ректор лишь мельком взглянул на вошедших:
— Андрей Николаевич! Мне надо срочно дописать документ, а вы врываетесь ко мне с каким-то мальчишкой!
— Простите великодушно, но это не мальчишка, а Израиль Моисеевич Гельфанд, гениальный математик, — уверенно представил Изю ректору первого университета страны Колмогоров. — Он любезно согласился пойти ко мне в аспирантуру. Прошу вас распорядиться.
Вот почему так случилось, что академик Гельфанд никогда не учился в 10-м классе и никогда не был студентом».

Слов нет, одни эмоции..

«Нет никаких передышек! Этому нет конца! Проклятые проблемы! Бесчисленные расчёты. Бесконечные бои. Знаки. Формулы. Теоремы осаждают меня от рассвета до заката!»

21 августа 1789 г. родился великий французский математик Огюстен Луи Коши. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т.п. Ввёл понятие радиуса сходимости ряда. Обосновал теорию пределов для математического анализа. Создал теорию интегральных вычетов. В математической физике глубоко изучил краевую задачу с начальными условиями, которая с тех пор называется «задача Коши». Ему также принадлежат исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре и другим областям математики.

Имя Коши встречается в курсах математики на каждом шагу. Приведём относительно малоизвестную теорему Коши о многогранниках:
Два выпуклых многогранника с попарно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.
Насколько это утверждение очевидно? Например, для выпуклых многоугольников аналогичное утверждение просто неверно.
А для многогранников это не столь очевидно хотя бы потому, что бывают разные многогранники с одинаковым количеством граней, рёбер и вершин. Но до Коши этого никто не мог доказать. Доказательство этой теоремы (и ещё двух других не менее замечательных) можно прочитать в журнале Квант.

Если Вы не понимаете, что тут вообще происходит, то читайте статью о том, как Огюстен Коши предложил свою систему счисления, в которой нет никаких цифр, больших 5, а таблица умножения содержит, например, запись 3х2 = 14.

В 1822 г. Михаила Васильевича Остроградского посадили в парижскую долговую тюрьму по требованию хозяина гостиницы, которому тот сильно задолжал. Пребывая в тюрьме, Остроградский написал работу по теории волн в сосуде цилиндрической формы и послал её на рассмотрение Коши. Коши работу одобрил и добился опубликования в Трудах Парижской академии наук. Более того, он выкупил Михаила Васильевича из тюрьмы, не будучи уже очень богатым, и порекомендовал его на должность преподавателя в лицее. Поступок Коши тем более удивителен, что он, будучи убеждённым клерикалом, выручил бывшего студента Харьковского университета, лишённого диплома за вольнодумство и непосещение лекций по богословию.

Однажды известный французский математик барон Огюстен Луи Коши долго, но безуспешно объяснял молодому, весьма благовоспитанному графу Анри де Шамбору одну из сложных теорем о сечении конуса. Юноша слушал доказательство теоремы с большим вниманием, но постоянно смущённо повторял:
— Я ничего не понял, маэстро… Опять не понял.
Математик снова и с самого начала начинал подробное объяснение. Наконец юноша со вздохом сказал:
— Простите, но я никак не разберу, что тут к чему.
Доведённый до отчаяния, Огюстен Коши воскликнул:
— Теорема верна! Клянусь честью!
Молодой граф Анри де Шамбор (который, кстати, был последним принцем из династии Бурбонов и претендентом на французский престол) был очень галантным молодым человеком. Услышав фразу «Клянусь честью!», он весьма учтиво произнёс:
— Ах, маэстро, почему же вы не сказали так с самого начала? Ведь я никогда не позволил бы себе сомневаться в честном слове столь уважаемого человека! Значит, и доказывать эту трудную теорему незачем...

Приведём один эпизод из воспоминаний В.И. Арнольда о Н.Н. Боголюбове, опубликованных к столетию со дня его рождения. Арнольд вспоминает, что НН советовал ему публиковать статьи не в математических, а в физических журналах, поскольку это выгоднее с точки зрения карьеры. И хотя ВИ в целом не стал следовать мудрым советам НН, он приводит забавный пример, когда эта мудрость ему помогла.
ВИ захотел издать труды Пуанкаре — крупнейшего математика 19 в., основателя таких фундаментальных областей науки, как топология, теория динамических систем и теория автоморфных функций, создателя современной теории колебаний, теории бифуркаций, качественной теории дифференциальных уравнений и теории относительности. Свое предложение организовать перевод двухтомника избранных сочинений Пуанкаре он направил в серию «Классики науки» АН СССР. В ответе было сказано, что «в 1909 году В. И. Ленин в своей книге “Материализм и эмпириокритицизм” камня на камне не оставил от идеализма Пуанкаре», вследствие чего «никакое издание его сочинений в нашей стране невозможно».
ВИ был расстроен, но О.А. Олейник, заведовавшая тогда кафедрой дифференциальных уравнений МГУ, сказала, что эту проблему можно решить мгновенно. Во-первых, заметила она, предложение нужно отсылать не одному — и тут же предложила присоединить свою подпись. А, во-вторых, нужно обратиться к НН: он уважает и любит работы Пуанкаре, уважает и любит работы Арнольда, а ещё А.А. Логунов — тогдашний ректор МГУ— ученик НН.
НН пригласил ВИ к себе домой и сказал ему: «У нас троих, — имея в виду Пуанкаре, себя и Арнольда, — много общего: мы по образованию математики, по роду деятельности — физики, а в душе — естествоиспытатели. А естествоиспытатель рассматривает всё с особой точки зрения, даже самые ужасные явления природы, обращая на пользу науке. Например, что думают обычные люди, когда видят извержение Везувия? Некоторые думают, как бы спастись, некоторые жалеют погибающие Помпеи. А естествоиспытатель думает, что бы измерить во время извержения, дабы извлечь из этих измерений сведения о внутреннем строении Земли?»
После этого объяснения НН показал применение этих общих принципов естествоиспытательства на конкретном примере.
Тут нужно ещё пояснить, что Логунов сильно недолюбливал Эйнштейна. Причина того была в том, что он считал Общую теорию относительности Эйнштейна математически несостоятельной (поскольку Эйнштейн отождествил гравитацию с метрическим тензором риманова пространства, а этот путь привёл к отказу от гравитационного поля как физического поля и утрате фундаментальных законов сохранения) и вместо неё построил свою Релятивистскую теорию гравитации. Но Арнольд полагает, что была ещё и другая причина (расизм).
НН взял лист бумаги и написал: «Дорогой Анатолий Алексеевич, мы с В.И. Арнольдом и О.А. Олейник предлагаем…» — и далее текст ВИ (заменив предлагаемые 2 тома на 3). А в конце добавил: «За 10 лет до Эйнштейна, в статье 1895 г., Пуанкаре основал теорию относительности. Эту работу Пуанкаре (“Об измерении времени”) мы тоже собираемся перевести в своем издании».
Издательство «Классики науки» немедленно приняло это предложение, и через два года трёхтомник вышел.