Задача. По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?
Решение задачи по ссылке.

Задача. На башне висят часы с тремя стрелками — часовой, минутной и секундной. В полночь на часовую стрелку села мышка и поехала на ней. В момент, когда стрелка с мышкой равняется с другой стрелкой, мышка перепрыгивает на эту новую стрелку. Сколько кругов сделает мышка за 12 часов? (Известно, что все три стрелки сходятся вместе только в полдень и в полночь.)
Решение задачи по ссылке.

Наполеон покровительствовал точным наукам и даже сделал нескольких видных учёных сановниками. Например, он назначил министром внутренних дел великого математика Лапласа. Однако через полтора месяца Лаплас был снят с этого поста: вникая в каждый пустяк, он проглядел крупный антигосударственный заговор. В приказе Наполеона говорилось: «Уволить за внесение духа бесконечно малых в государственные дела».

Однажды прославленный писатель Бернарден де Сен-Пьер, чей талант Наполеон высоко ценил, пожаловался Бонапарту на то, что в Институте Франции, членами которого они оба состояли, к нему относятся без должного уважения. «Скажите, — спросил Наполеон после недолгой паузы, — а вы знакомы с дифференциальным исчислением?» «Нет!» — чистосердечно признался писатель. «Так на что же вы жалуетесь?!»

Во время египетского похода Наполеон помимо 54-тысячного войска взял с собой 150 учёных и инженеров. Перед сражением у Александрии он построил свою армию в каре, в середине которого расположил учёных, сопровождавших армию, и вьючных животных. Приказ на этот счёт звучал так: «Армию — в каре. Ослов и учёных в середину» — так император проявил наибольшую заботу о транспортных средствах и лучших умах нации.

Изобретения Наполеона
– Цвет Маренго носит имя одного из итальянских городов, вблизи которого в 1800 году состоялась одноименная битва между французами и австрийцами. Наполеон был в шинели этого цвета, ставшей знаменитой на весь мир.
– Нумерация домов на улице: по одной стороне чётные, по другой нечётные. Когда армия располагалась в городе, каждому батальону выделяли место для ночлега в определённом доме, который отмечали цифрой.
– Консервы: Наполеон объявил конкурс на изобретение самого практичного способа хранения продуктов.
– Графитный карандаш: был изобретён Николя Корте для ведения записей и пометок во время планирования военных действий и руководства боем.
– Гражданский кодекс: этим сводом законов, пришедшим на смену Римскому праву, Наполеон гордился больше, чем своими военными победами.
– Трудовая книжка: идея отражения трудовой деятельности человека в форме записей в книге также принадлежит Наполеону.
– Полевая медицина: основные факторы и способы проведения операций в полевых условий появились на свет именно в войсках наполеоновских армий.

А вот торт Наполеон появился не при Бонапарте, а при Наполеоне Третьем.

15 августа 1798 г. — дата смерти английского математика Эдварда Варинга (а дата его рождения не установлена: 1734 или 1736 г.). Имя этого математика связано в первую очередь с поставленной им в 1770 г. важнейшей проблемой теории чисел: имеет ли каждое натуральное число N представление в виде суммы k слагаемых, каждое из которых есть n-я степень целого положительного числа, причём число слагаемых k зависит только от n.
Частным случаем проблемы Варинга является теорема Лагранжа о том, что каждое N есть сумма четырёх квадратов. Первое общее (для любого n) решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (1909 г.) с очень грубой оценкой количества слагаемых k в зависимости от n. Более точные оценки k получены в 20-х гг. 20 в. Г. Харди и Дж. Литлвудом. Дальнейшие существенные продвижения достигнуты И.М. Виноградовым (1934 г.) и Ю.В. Линником (1942 г.). Решение этой проблемы (почти) завершено в 1984 г. при непосредственном использовании компьютеров. Особое значение проблемы Варинга состоит в том, что при её исследовании были созданы мощные методы аналитической теории чисел.

«Всякая истина всегда представляет вечный вклад в сокровищницу человеческого знания, независимо от того, когда этою истиною воспользуются»

15 августа 1863 г. родился математик, механик и инженер-кораблестроитель, академик, генерал флота, педагог, популяризатор научных знаний Алексей Николаевич Крылов. Он создал современную теорию корабля, написал основополагающие труды по строительной механике судов, разработал теорию качки и теорию непотопляемости судов. Сделал перевод «Математических начал натуральной философии» Ньютона на русский язык.

В 1909 г. в Государственной Думе России разбирался запрос в связи с разглашением секретных сведений. Речь шла о публикации материалов из секретного журнала Морского технического комитета. В качестве председателя этого комитета объяснения давал А.Н. Крылов. Разъяснив, что преданные гласности сведения, по существу, не являются секретными, он предположил, что появление копии журнала скорее всего дело рук какого-нибудь писаря с мизерным жалованьем, не устоявшего перед взяткой. Обращаясь к инициатору запроса А.И. Звегинцеву, Крылов сказал:
— Александр Иванович, мы с вами были вместе в Морском училище. Ваш выпуск в складчину подкупил «рыжего спасителя» Зуева, чтобы получить экзаменационные задачи по мореходной астрономии. Задачи эти печатались в литографии Морского училища под надзором инспектора классов, бумага выдавалась счётом, по отпечатании камень мылся в присутствии инспектора и т.д.
Однако стоило только инспектору на минуту выйти, как Зуев, спустив штаны, сел на литографический камень и получил оттиск задач по астрономии. Вы лично, Александр Иванович, по выбору всего выпуска списали на общее благо этот оттиск. Ведь так это было?
Сквозь гомерический хохот всего зала послышался робкий ответ Звегинцева:
— Был грех.
Вопрос о разглашении сведений был исчерпан.

... Проблема утечки экзаменационных и олимпиадных заданий не в наше время возникла.

Опрос ↓↓

«В математике также, как и во всём остальном: красоту можно воспринять, но нельзя объяснить».

16 августа 1821 г. родился Артур Кэли, английский математик (согласно некоторым источникам, его мать была русской), один из основателей британской школы чистой математики. Первые 8 лет жизни провёл в Санкт-Петербурге.
Кэли является одним из основателей теории матриц и алгебраической геометрии. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. В частности, он доказал теорему Гамильтона–Кэли о том, что каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Кэли был первым, кто понял, что понятие группы независимо от объектов, к которым оно применяется. Он первым сформулировал определение группы в том виде, как она определяется сегодня — множество с бинарной операцией, удовлетворяющей определённым законам. Прежде же, когда математики (начиная с Галуа) говорили о группе, они подразумевали группу перестановок. Для фиксированного целого числа n Кэли рассматривал возможные таблицы умножения для групп порядка n, не делая абсолютно никаких предположений относительно символов и описывая структуру конечных групп с помощью таблиц умножения и соотношений между образующими.

В 1878 г. Кэли поставил проблему четырёх красок, которая была решена при помощи компьютера лишь в 1976 г.; об этой задаче можно посмотреть здесь.

Несколько задачек на равномерное распределение ресурса

Задача 1. На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую котлету нужно обжарить с обеих сторон, при этом для обжаривания её с одной стороны требуется 2 мин. За какое наименьшее время можно поджарить 3 котлеты?

Задача 2. 10 мастеров должны сделать маникюр 13 клиенткам — покрасить ногти на руках. Один мастер обрабатывает один ноготь за 2 минуты. Клиентку нельзя обслуживать одновременно двум или более мастерам. Можно ли закончить работу быстрее, чем за полчаса?

Решение задачи по ссылке.

Задача 3. На старт «Весёлого забега» на 3000 м выходит команда из трёх человек. Им выдаётся один одноместный самокат. Дорожка прямая, стартуют все одновременно, а в зачёт идёт время последнего пришедшего на финиш. Каково минимальное возможное время прохождения дистанции, если бегают все трое со скоростью 125 м/мин, а на самокате ездят со скоростью 250 м/мин?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. На «Весёлый старт» на 3000 м выходит команда из Маши и Даши. Им выдаётся один одноместный самокат. Дорожка — прямая, стартуют все одновременно, возвращаться нельзя, а в зачёт идёт время последней. Маша бегает со скоростью 100 м/мин, Даша — 150 м/мин, а на самокате обе ездят со скоростью 300 м/мин. За какое наименьшее время команда может пройти дистанцию?

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и мешок, в котором их можно унести. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов — 40 кг, пустой мешок ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшее количество динаров он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?

Решение задачи по ссылке.

Задача 6. В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит еще ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Решение задачи по ссылке.

Задача 7. Купившему головку сыра весом 3 кг магазин «Сыр без дыр» предлагает призовую игру. Покупатель режет головку на 4 куска, а продавец выбирает из этих кусков один или несколько и раскладывает их на одну или на обе чаши чашечных весов. Если весы находятся не в равновесии, то продавец за счёт магазина добавляет призовой кусок сыра, уравновешивающий чаши. Продавец старается сделать приз поменьше, а покупатель — побольше. Найдите вес призового куска при наилучших действиях сторон.

Решение задачи по ссылке.

«Люди (или студенты) не имеют недостатков, только уникальности. Цель хорошего учителя — превратить эти уникальности в преимущества».

20 августа 1913 г. родился Израиль Моисеевич Гельфанд, один из крупнейших математиков 20 века, биолог, педагог и организатор математического образования. Основные труды Гельфанда относятся к функциональному анализу, алгебре, топологии, математической физике, прикладной математике.

И.М. Гельфанд:
«Для меня математика — это универсальный и адекватный язык в науке и пример того, как люди различных культур и бэкграундов могут договариваться и работать вместе. Это чрезвычайно важно в наше время».

«В наш век быстрых перемен, невозможно всё знать. Задача состоит в том, чтобы научиться учиться».

«Если ты что-то понимаешь, то понимаешь, что это очевидно».

«Не бойтесь задавать простые вопросы и получать на них простые ответы».

«Математик — это не тот, кто может заниматься математикой, а тот, кто не может не заниматься ею».

«По моей внутренней философии — ранее бессознательной, а теперь чёткой — я считаю, что математика, помимо своего прикладного — в физике, инженерии, компьютерах и так далее, — имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут».

«Люди думают, что не понимают математику, но всё дело в том, как ты им это объясняешь. Если вы спросите пьяницу, какое число больше, 2/3 или 3/5, он не сможет вам сказать. Но если перефразировать вопрос: что лучше, 2 бутылки водки для 3 человек или 3 бутылки водки для 5 человек, он сразу скажет вам: 2 бутылки для 3 человек, конечно».