В 1696 г. Иоганном Бернулли была поставлена следующая задача:
В вертикальной плоскости даны две точки A и B, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Искомая кривая была впоследствии названа брахистохрона (от греч. βραχιστος — кратчайший и χρονος — время) — траектория скорейшего спуска.
Задача была решена разными методами независимо друг от друга Лейбницем, Якобом Бернулли, Лопиталем, Ньютоном, Чирнхаусом и самим Иоганном Бернулли. Все пришли к одному и тому же выводу: брахистохроной является циклоида.
Прочитать о решении Иоганна Бернулли можно, например, в журнале Квант.
Задача Бернулли о брахистохроне положила начало вариационному исчислению как науке.

Увидеть наглядно, какой шарик дойдёт быстрее, можно в следующей анимации.

«Одной из фундаментальных особенностей природы является то, что фундаментальные физические законы описываются в терминах математической теории великой красоты и мощи, для понимания которой требуется довольно высокий уровень математики. Вы можете задаться вопросом: почему природа устроена таким образом? Можно только ответить, что наши нынешние знания, похоже, показывают, что природа устроена именно так. Мы просто должны принять это. Возможно, можно было бы описать ситуацию, сказав, что Бог — математик очень высокого уровня, и Он использовал очень продвинутую математику при построении вселенной. Наши слабые попытки в математике позволяют нам немного понять вселенную, и по мере того, как мы продолжаем развивать все более и более высокую математику, мы можем надеяться лучше понять вселенную».

8 августа 1902 г. родился гениальный британский физик-теоретик Поль Дирак.
Дирак был одним из первопроходцев в области квантовой теории. Эта теория помогла соединить два, казалось бы, противоречивых аспекта мира, выявленных в экспериментах в первой четверти двадцатого века — способность атомов и подобных им частиц действовать как локализованные частицы и как распространяющиеся волны. Австрийский физик Эрвин Шрёдингер выразил это в уравнении Шрёдингера, которое описывает квантовые волны вероятности, распространяющиеся в пространстве.
Однако у уравнения Шрёдингера была проблема: оно не учитывало другую фундаментальную революцию в физике двадцатого века — теорию относительности. В то время как уравнение Шрёдингера прекрасно справлялось с описанием электронов в малых атомах, где электрические силы от небольшого количества протонов в ядре заставляли их двигаться по орбитам со скоростями, сильно меньшими, чем скорость света, оно не справлялось с более сложными атомами, где протонов в ядре было гораздо больше, и электроны двигались со скоростями, близкими к скорости света. Этому требовалось уравнение, совместимое с релятивистской теорией. И именно эту задачу решил Дирак в 1927 г.
Дирак обнаружил, что нельзя описать свойства релятивистского электрона, такие как его энергия, просто одним числом. Ему пришлось использовать матрицу 2⨯2. Эта «двойственность» объяснила загадочное явление спина электрона. Эксперименты показали, что частица ведёт себя так, как будто она вращается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Однако если бы электрон действительно вращался, его поведение можно было бы объяснить только в случае, если бы он вращался быстрее света, что, согласно теории относительности, было невозможно. Физики пришли к выводу, что «спин» электрона — это что-то совершенно новое, внутреннее квантовое свойство, которое не имеет аналогов в мире повседневной жизни. И именно это свойство, как увидел Дирак, «выскочило» из его формулы.
Спин сам по себе был уже загадочным явлением. Но другой аспект, вытекший из уравнения Дирака, был ещё более необычным. Когда Дирак записал своё уравнение, он обратил внимание на то, что его механизмы каким-то образом дублировались. Оказалось, что оно описывает не только отрицательно заряженный электрон, но и частицу с такой же массой, как у электрона, но с положительным зарядом. В то время было известно только о трёх субатомных частицах: протоне в ядре атома, электроне, вращающемся вокруг ядра, и фотоне, частице света. Поэтому многие физики считали, что уравнение Дирака должно быть ошибочным, так как ещё одна частица была бы излишней.
Однако Дирак оказался прав, как позднее подтвердил эксперимент, проведённый в 8 тыс. километрах от Кембриджа. В 1932 г. американский физик Карл Андерсон исследовал космические лучи, частицы с очень высокой энергией из космоса. Ничего не зная о предсказании Дирака, он случайно обнаружил позитрон — частицу массой электрона, но с противоположным положительным зарядом, которую он назвал позитроном.

Выдвижение подобных идей было характерным для учёного. Ещё будучи студентом Кембриджа, Дирак предложил следующее нетривиальное решение известной задачи о трёх рыбаках.

Рыбаки целый день ловили рыбу, а вечером, сложив улов на берегу, легли спать. Однако одному из них не спалось, и он решил уехать, забрав свою часть улова. Пересчитав улов, рыбак разделил всю рыбу на три части. При этом одна рыба оказалась лишней. Рыбак бросил её в воду, забрал свою долю и уехал домой. Среди ночи проснулся второй рыбак, и, не заметив отсутствия первого товарища, разделил оставшуюся рыбу на три части, одну лишнюю тоже бросил в воду, забрал свою часть и уплыл домой. Так же, под утро, не заметив, что остался один, поступил третий рыбак. В задаче спрашивалось, какое наименьшее количество рыб могло быть у рыбаков.

Дирак предложил такое решение: рыб было (–2). После того как первый рыбак совершил антиобщественный поступок, швырнув одну рыбу в воду, их стало (–2) – 1 = –3. Потом он ушёл, унося под мышкой (–1) рыбу. Рыб стало (–3) – (–1) = – 2. Второй и третий рыбаки просто повторили нехороший поступок товарища.

(Заметим в скобках, что наименьшим положительным ответом этой задачи является 25, наименьшего отрицательного ответа не существует, а ответ Дирака — наименьший по модулю.)

Дирак был довольно эксцентричным человеком. Вот несколько забавных ситуаций из его жизни.

Однажды учёный гулял с приятелем по Кембриджу, и что-то явственно тарахтело у него в кармане. Попутчик деликатно старался не замечать шум, но он был настолько громким, что Дирак был вынужден пояснить. «Я немного простужен, а потому у меня в кармане коробочка с таблетками аспирина». Через несколько минут добавил: «Я полагаю, громкость звука максимальна, когда коробка пуста ровно наполовину».

Индийский физик Джагдиш Мехра, желая познакомиться с Дираком, при первой встрече с ним, памятуя, что англичане часто начинают разговор с упоминания о погоде, робко сказал: «Сегодня очень ветрено». Ни слова не говоря, Дирак встал из-за стола и решительно направился к выходу. Мехра пришёл в ужас, решив, что совершил какую-то грандиозную бестактность. Дирак открыл входную дверь, выглянул на пару секунд, потом вернулся на свое место и промолвил: «Да». Позднее Дирак так пояснил свои действия: «Не знаю, почему так поступил. Я ведь помнил, что было ветрено, но, видимо, решил проверить, не изменилась ли погода с тех пор, как начался ужин».

Друзья заметили, что известный физик Паули слишком быстро набирает вес. Тогда Дирака попросили последить за тем, чтобы тот не ел слишком много. Паули принял участие в этой игре и спросил Дирака, сколько кусков сахара он может положить в кофе. Тот подумал и объявил, что ему достаточно одного кусочка. Все уже забыли об этом и стали говорить на другие темы, когда Дирак заявил: «Я думаю, что всем достаточно одного кусочка». Все согласились, что таким образом проблема решена в общем виде, как вдруг после долгого молчания Дирак провозгласил: «Я думаю, кубики сахара специально делают такого размера, чтобы одного было достаточно для каждого».

Два года подряд Дирак по приезде в Москву, останавливался у И.Е. Тамма. В свой второй приезд сияющий Дирак вошёл в гостиную и, подняв палец, торжественно заявил: «Тамм, у вас грандиозные перемены». В ответ на всеобщее недоумение он пояснил: «Теперь в туалете горит лампочка».

Дирак женился на сестре Юджина Вигнера. Вскоре к нему в гости заехал знакомый, который еще ничего не знал о происшедшем событии. В разгар их разговора в комнату вошла молодая женщина, которая называла Дирака по имени, разливала чай и вообще вела себя как хозяйка дома. Через некоторое время Дирак заметил смущение гостя и, хлопнув себя по лбу, воскликнул: «Извини, пожалуйста, я забыл тебя познакомить, это... сестра Вигнера».
Как-то раз неприкаянный Дирак был замечен на улице и на вопрос: «В чём дело?» — ответил: «Сестра Вигнера рожает».

Дирак любил выражаться точно и требовал того же от других. После одной лекции он предложил задавать вопросы, и кто-то из слушателей спросил: «Я не понимаю, как вы получили это выражение». «Это утверждение, а не вопрос. Вопросы есть?»

Когда у Дирака спросили мнение относительно «Преступления и наказания» Достоевского, он ответил: «Роман хорош, но в одной из глав автор допускает ошибку. В его описании солнце встает дважды в один и тот же день».

Дирак любил парадоксальные ситуации, он неоднократно пересказывал историю о порядках воздушного сообщения в США во время войны. Военные имели преимущество, а потому, если не хватало мест, с рейса снимался кто-то из штатских. Некоему генералу срочно понадобилось куда-то лететь, и из самолета выбросили наименее важного из пассажиров — университетского профессора. Ирония заключалась в том, что генерал летел слушать лекцию именно этого профессора.

Однажды Дирак высказал предположение, что существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего. Функция привлекательности женского лица в зависимости от расстояния непрерывна и неотрицательна; в двух предельных случаях — на нулевом и бесконечном расстоянии — привлекательность обращается в нуль (ничего не видно), следовательно, между этими пределами должен существовать максимум.

От предложенного ему королевой Великобритании рыцарского звания Дирак отказался. Он не захотел, чтобы к нему обращались по имени: «Сэр Поль», а пожелал остаться просто профессором Дираком.

Задача «Жадные братья»
На тарелке лежит 4 яблока весом 600 г, 400 г, 300 г и 250 г. Два брата собираются их съесть. Право выбора за старшим братом; он берёт одно из яблок и начинает его есть. Сразу за ним младший брат берёт одно из оставшихся яблок и тоже начинает есть. Скорость поедания яблок у братьев одинакова, и время поедания яблока пропорционально весу этого яблока. Тот, кто съел своё яблоко, может взять следующее из оставшихся. Какое яблоко должен взять старший брат вначале, чтобы в итоге съесть как можно больше?

Задача. По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?
Решение задачи по ссылке.

Задача. На башне висят часы с тремя стрелками — часовой, минутной и секундной. В полночь на часовую стрелку села мышка и поехала на ней. В момент, когда стрелка с мышкой равняется с другой стрелкой, мышка перепрыгивает на эту новую стрелку. Сколько кругов сделает мышка за 12 часов? (Известно, что все три стрелки сходятся вместе только в полдень и в полночь.)
Решение задачи по ссылке.

Наполеон покровительствовал точным наукам и даже сделал нескольких видных учёных сановниками. Например, он назначил министром внутренних дел великого математика Лапласа. Однако через полтора месяца Лаплас был снят с этого поста: вникая в каждый пустяк, он проглядел крупный антигосударственный заговор. В приказе Наполеона говорилось: «Уволить за внесение духа бесконечно малых в государственные дела».

Однажды прославленный писатель Бернарден де Сен-Пьер, чей талант Наполеон высоко ценил, пожаловался Бонапарту на то, что в Институте Франции, членами которого они оба состояли, к нему относятся без должного уважения. «Скажите, — спросил Наполеон после недолгой паузы, — а вы знакомы с дифференциальным исчислением?» «Нет!» — чистосердечно признался писатель. «Так на что же вы жалуетесь?!»

Во время египетского похода Наполеон помимо 54-тысячного войска взял с собой 150 учёных и инженеров. Перед сражением у Александрии он построил свою армию в каре, в середине которого расположил учёных, сопровождавших армию, и вьючных животных. Приказ на этот счёт звучал так: «Армию — в каре. Ослов и учёных в середину» — так император проявил наибольшую заботу о транспортных средствах и лучших умах нации.

Изобретения Наполеона
– Цвет Маренго носит имя одного из итальянских городов, вблизи которого в 1800 году состоялась одноименная битва между французами и австрийцами. Наполеон был в шинели этого цвета, ставшей знаменитой на весь мир.
– Нумерация домов на улице: по одной стороне чётные, по другой нечётные. Когда армия располагалась в городе, каждому батальону выделяли место для ночлега в определённом доме, который отмечали цифрой.
– Консервы: Наполеон объявил конкурс на изобретение самого практичного способа хранения продуктов.
– Графитный карандаш: был изобретён Николя Корте для ведения записей и пометок во время планирования военных действий и руководства боем.
– Гражданский кодекс: этим сводом законов, пришедшим на смену Римскому праву, Наполеон гордился больше, чем своими военными победами.
– Трудовая книжка: идея отражения трудовой деятельности человека в форме записей в книге также принадлежит Наполеону.
– Полевая медицина: основные факторы и способы проведения операций в полевых условий появились на свет именно в войсках наполеоновских армий.

А вот торт Наполеон появился не при Бонапарте, а при Наполеоне Третьем.

15 августа 1798 г. — дата смерти английского математика Эдварда Варинга (а дата его рождения не установлена: 1734 или 1736 г.). Имя этого математика связано в первую очередь с поставленной им в 1770 г. важнейшей проблемой теории чисел: имеет ли каждое натуральное число N представление в виде суммы k слагаемых, каждое из которых есть n-я степень целого положительного числа, причём число слагаемых k зависит только от n.
Частным случаем проблемы Варинга является теорема Лагранжа о том, что каждое N есть сумма четырёх квадратов. Первое общее (для любого n) решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (1909 г.) с очень грубой оценкой количества слагаемых k в зависимости от n. Более точные оценки k получены в 20-х гг. 20 в. Г. Харди и Дж. Литлвудом. Дальнейшие существенные продвижения достигнуты И.М. Виноградовым (1934 г.) и Ю.В. Линником (1942 г.). Решение этой проблемы (почти) завершено в 1984 г. при непосредственном использовании компьютеров. Особое значение проблемы Варинга состоит в том, что при её исследовании были созданы мощные методы аналитической теории чисел.

«Всякая истина всегда представляет вечный вклад в сокровищницу человеческого знания, независимо от того, когда этою истиною воспользуются»

15 августа 1863 г. родился математик, механик и инженер-кораблестроитель, академик, генерал флота, педагог, популяризатор научных знаний Алексей Николаевич Крылов. Он создал современную теорию корабля, написал основополагающие труды по строительной механике судов, разработал теорию качки и теорию непотопляемости судов. Сделал перевод «Математических начал натуральной философии» Ньютона на русский язык.

В 1909 г. в Государственной Думе России разбирался запрос в связи с разглашением секретных сведений. Речь шла о публикации материалов из секретного журнала Морского технического комитета. В качестве председателя этого комитета объяснения давал А.Н. Крылов. Разъяснив, что преданные гласности сведения, по существу, не являются секретными, он предположил, что появление копии журнала скорее всего дело рук какого-нибудь писаря с мизерным жалованьем, не устоявшего перед взяткой. Обращаясь к инициатору запроса А.И. Звегинцеву, Крылов сказал:
— Александр Иванович, мы с вами были вместе в Морском училище. Ваш выпуск в складчину подкупил «рыжего спасителя» Зуева, чтобы получить экзаменационные задачи по мореходной астрономии. Задачи эти печатались в литографии Морского училища под надзором инспектора классов, бумага выдавалась счётом, по отпечатании камень мылся в присутствии инспектора и т.д.
Однако стоило только инспектору на минуту выйти, как Зуев, спустив штаны, сел на литографический камень и получил оттиск задач по астрономии. Вы лично, Александр Иванович, по выбору всего выпуска списали на общее благо этот оттиск. Ведь так это было?
Сквозь гомерический хохот всего зала послышался робкий ответ Звегинцева:
— Был грех.
Вопрос о разглашении сведений был исчерпан.

... Проблема утечки экзаменационных и олимпиадных заданий не в наше время возникла.

Опрос ↓↓

«В математике также, как и во всём остальном: красоту можно воспринять, но нельзя объяснить».

16 августа 1821 г. родился Артур Кэли, английский математик (согласно некоторым источникам, его мать была русской), один из основателей британской школы чистой математики. Первые 8 лет жизни провёл в Санкт-Петербурге.
Кэли является одним из основателей теории матриц и алгебраической геометрии. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. В частности, он доказал теорему Гамильтона–Кэли о том, что каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Кэли был первым, кто понял, что понятие группы независимо от объектов, к которым оно применяется. Он первым сформулировал определение группы в том виде, как она определяется сегодня — множество с бинарной операцией, удовлетворяющей определённым законам. Прежде же, когда математики (начиная с Галуа) говорили о группе, они подразумевали группу перестановок. Для фиксированного целого числа n Кэли рассматривал возможные таблицы умножения для групп порядка n, не делая абсолютно никаких предположений относительно символов и описывая структуру конечных групп с помощью таблиц умножения и соотношений между образующими.

В 1878 г. Кэли поставил проблему четырёх красок, которая была решена при помощи компьютера лишь в 1976 г.; об этой задаче можно посмотреть здесь.