«Математика полезна тем, что она трудна»

4 августа 1912 г. родился Александр Данилович Александров, выдающийся математик 20 в. Наибольший интерес для него представляла геометрия, в которой он основал новую научную школу. Одним из главных достижений Александрова является создание теории двумерных многообразий ограниченной кривизны. Ему принадлежит разработка метода разрезывания и склеивания, благодаря которому удалось решить ряд экстремальных задач. Работы по теории выпуклых тел повлекли за собой изучение слабой сходимости функций множеств и решение дифференциальных уравнений в частных производных.

А.Д. Александров:
«Хорошая музыка — "дар божественных звучаний", она строится со строгой выдержанностью формы. В фугах Баха, как в алгоритме, как в формуле, заключена строжайшая последовательность. В этой строгости — существенный источник их впечатляющей силы. Так и в строгой последовательности математических построений есть своя внутренняя музыка, своя красота — жар холодных формул. Но как понимание структуры музыки требует музыкальной культуры, так и переживание красоты математики требует культуры математической».

Рассказывают, когда ректору Ленинградского Университета профессору А. Д. Александрову на стол легло заявление «Прошу принять меня в ОСПИРАНТУРУ...» В ответ он наложил резолюцию «АТКАЗАТЬ».

Александров интересовался проблемами преподавания математики в средней школе, был одним из авторов (совместно с А.Л. Вернером и В.И. Рыжиком) школьных учебников по геометрии. Он занимался философией и даже читал соответствующий курс в Ленинградском университете. Переводил на русский язык сонеты Шекспира, а ещё писал философские стихи.

Когда в последнем взрыве катаклизма
Земля сгорит, как новая звезда,
И человечество исчезнет навсегда
Без поминанья, памятника, тризны;
Когда помчится раскаленный газ
В бескрайние межзвездные пространства
И Дух слетит с Земли для новых странствий,
То, знаю, будет не в последний раз:
Когда-нибудь и где-нибудь опять
Он воплотится в теле для мученья,
Для поиска и претворенья,
Для бега вверх и возвращенья вспять.
Ты, вечный Дух упорного стремленья,
Что породил собой добро и зло,
Кто не оставил в мире ничего —
Вне сферы знания и воли превращенья,
Твори! Великий Дух, и обращай Природу
В громадную арену мощных сил,
Которые собой ты породил,
Чтобы в борьбе завоевать свободу
И вызвать катаклизм, а может быть, и смерть
Матерьи, косной и ничтожной,
Но сделать невозможное возможным
И к новой жизни возродиться впредь.

Прошлое просто судить:
Прошлое было, дано
и от нас не зависит.
Можно пытаться забыть,
можно людей осудить,
вину их измерить,
взвесить —
моральный аптекарь
всем ярлыки раздает.
Будет же то,
что мы делаем сами.
Сваливай грузы ответов
на плечи чужие.
Но в жизни
каждый свершает свое:
рыскает крысою жадной,
давит удавкой другого,
ручки умоет
Пилатом святым.
Или:
телегу увязшую жизни
толкает вперед,
упираясь хоть в грязь,
не боясь
замарать свою костюм.
Или же:
грязь разгребает,
уборщиком —
руки в грязи —
очищает как может.
Ложно! будто нельзя повлиять.
Можно! и должен понять,
что ты можешь.
Если ж не в силах — никак,
в синее небо вглядись,
обрети ясность сознанья,
встань на позицию чести,
слово свое заяви
и прими
меру ответа...
И это —
не мылом умытый
фасад фарисея,
а совесть —
как руки
в рубцах заблуждений,
в натуге усилий —
красивые руки
творящего жизнь человека.

«Я всегда старался внести в моё научное развитие что-то от духа поэзии и чувствовал, что такая примесь существенна для интеллектуального совершенства»

4 августа 1805 г. родился Уильям Гамильтон, выдающийся ирландский математик и физик.
Построил гамильтонову механику — сформулировал классическую механику на языке симплектических многообразий (Симплектическая геометрия описывает не физическое, или, как говорят, конфигурационное, пространство координат некоторой механической системы — за это отвечает евклидова геометрия, а пространство рассматриваемых вместе координат и импульсов — «фазовое пространство».) Гамильтонова механика сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с квантовой механикой.
Построил аксиоматическое описание комплексных чисел как пар вещественных. Открыл кватернионы — некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами: i²=j²=k²=–1, ij=–ji=k, jk=–kj=i, ki=–ik=j. Кватернионы также сыграли существенную роль в 20 в. при возникновении квантовой механики.
Ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Изобрёл термины «вектор», «ассоциативный закон». Придумал векторное произведение. Предложил оператор набла (векторный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам).

Гамильтонов цикл в графе — замкнутый путь, проходящий через каждую вершину графе в точности один раз.
Икосиан — игра-головоломка, придуманная Гамильтоном: требуется построить гамильтонов цикл (то есть пройти по всем вершинам, каждый раз переходя в соседнюю по ребру, и вернуться в начало пути) в правильном додекаэдре.

Решение головоломки по ссылке.

Вольтер: «Его ум видел истину, его сердце познало справедливость. Он — гордость Швейцарии и всего человечества».

6 августа 1667 г. родился Иоганн Бернулли, швейцарский математик, механик, врач и филолог, младший брат Якоба Бернулли и отец Даниила Бернулли — также великих математиков. Основные достижения Иоганна относятся к математическому анализу, теории дифференциальных уравнений и аналитической механике. Работы Бернулли легли в основу первого в мире учебника математического анализа, выпущенного его учеником Гийомом л’Опиталем: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий». В частности, алгоритм раскрытия неопределённостей, известный как «правило Лопиталя», был получен И. Бернулли и опубликован л’Опиталем без ссылки на авторство. Чтобы избежать конфликта, л’Опиталь предложил своему наставнику ежегодное денежное пособие в размере трёх сотен ливров и исправно выплачивалл ему эту сумму.
Иоганн Бернулли впервые в истории науки поставил и решил вариационную задачу, заложил основы вариационного исчисления. Он же первым открыл простейшую форму закона больших чисел, вывел формулу для разложения функции в степенные ряды, дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений.

Напутствуя своих сыновей Даниила и Николая, отправлявшихся в Россию, Иоганн Бернулли говорил так: «Лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают».

…И ведь было же когда-то время, три века назад, в далёком 1725 году, когда «платёжеспособный» интерес к научным изысканиям со стороны государства в России был значительно выше, чем в Европе.

Имеются три жёлоба, по которым маленький шарик может двигаться без трения, только под действием силы тяжести. По какому пути шарик из точки А дойдёт до точки В за кратчайшее время?

В 1696 г. Иоганном Бернулли была поставлена следующая задача:
В вертикальной плоскости даны две точки A и B, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Искомая кривая была впоследствии названа брахистохрона (от греч. βραχιστος — кратчайший и χρονος — время) — траектория скорейшего спуска.
Задача была решена разными методами независимо друг от друга Лейбницем, Якобом Бернулли, Лопиталем, Ньютоном, Чирнхаусом и самим Иоганном Бернулли. Все пришли к одному и тому же выводу: брахистохроной является циклоида.
Прочитать о решении Иоганна Бернулли можно, например, в журнале Квант.
Задача Бернулли о брахистохроне положила начало вариационному исчислению как науке.

Увидеть наглядно, какой шарик дойдёт быстрее, можно в следующей анимации.

«Одной из фундаментальных особенностей природы является то, что фундаментальные физические законы описываются в терминах математической теории великой красоты и мощи, для понимания которой требуется довольно высокий уровень математики. Вы можете задаться вопросом: почему природа устроена таким образом? Можно только ответить, что наши нынешние знания, похоже, показывают, что природа устроена именно так. Мы просто должны принять это. Возможно, можно было бы описать ситуацию, сказав, что Бог — математик очень высокого уровня, и Он использовал очень продвинутую математику при построении вселенной. Наши слабые попытки в математике позволяют нам немного понять вселенную, и по мере того, как мы продолжаем развивать все более и более высокую математику, мы можем надеяться лучше понять вселенную».

8 августа 1902 г. родился гениальный британский физик-теоретик Поль Дирак.
Дирак был одним из первопроходцев в области квантовой теории. Эта теория помогла соединить два, казалось бы, противоречивых аспекта мира, выявленных в экспериментах в первой четверти двадцатого века — способность атомов и подобных им частиц действовать как локализованные частицы и как распространяющиеся волны. Австрийский физик Эрвин Шрёдингер выразил это в уравнении Шрёдингера, которое описывает квантовые волны вероятности, распространяющиеся в пространстве.
Однако у уравнения Шрёдингера была проблема: оно не учитывало другую фундаментальную революцию в физике двадцатого века — теорию относительности. В то время как уравнение Шрёдингера прекрасно справлялось с описанием электронов в малых атомах, где электрические силы от небольшого количества протонов в ядре заставляли их двигаться по орбитам со скоростями, сильно меньшими, чем скорость света, оно не справлялось с более сложными атомами, где протонов в ядре было гораздо больше, и электроны двигались со скоростями, близкими к скорости света. Этому требовалось уравнение, совместимое с релятивистской теорией. И именно эту задачу решил Дирак в 1927 г.
Дирак обнаружил, что нельзя описать свойства релятивистского электрона, такие как его энергия, просто одним числом. Ему пришлось использовать матрицу 2⨯2. Эта «двойственность» объяснила загадочное явление спина электрона. Эксперименты показали, что частица ведёт себя так, как будто она вращается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Однако если бы электрон действительно вращался, его поведение можно было бы объяснить только в случае, если бы он вращался быстрее света, что, согласно теории относительности, было невозможно. Физики пришли к выводу, что «спин» электрона — это что-то совершенно новое, внутреннее квантовое свойство, которое не имеет аналогов в мире повседневной жизни. И именно это свойство, как увидел Дирак, «выскочило» из его формулы.
Спин сам по себе был уже загадочным явлением. Но другой аспект, вытекший из уравнения Дирака, был ещё более необычным. Когда Дирак записал своё уравнение, он обратил внимание на то, что его механизмы каким-то образом дублировались. Оказалось, что оно описывает не только отрицательно заряженный электрон, но и частицу с такой же массой, как у электрона, но с положительным зарядом. В то время было известно только о трёх субатомных частицах: протоне в ядре атома, электроне, вращающемся вокруг ядра, и фотоне, частице света. Поэтому многие физики считали, что уравнение Дирака должно быть ошибочным, так как ещё одна частица была бы излишней.
Однако Дирак оказался прав, как позднее подтвердил эксперимент, проведённый в 8 тыс. километрах от Кембриджа. В 1932 г. американский физик Карл Андерсон исследовал космические лучи, частицы с очень высокой энергией из космоса. Ничего не зная о предсказании Дирака, он случайно обнаружил позитрон — частицу массой электрона, но с противоположным положительным зарядом, которую он назвал позитроном.

Выдвижение подобных идей было характерным для учёного. Ещё будучи студентом Кембриджа, Дирак предложил следующее нетривиальное решение известной задачи о трёх рыбаках.

Рыбаки целый день ловили рыбу, а вечером, сложив улов на берегу, легли спать. Однако одному из них не спалось, и он решил уехать, забрав свою часть улова. Пересчитав улов, рыбак разделил всю рыбу на три части. При этом одна рыба оказалась лишней. Рыбак бросил её в воду, забрал свою долю и уехал домой. Среди ночи проснулся второй рыбак, и, не заметив отсутствия первого товарища, разделил оставшуюся рыбу на три части, одну лишнюю тоже бросил в воду, забрал свою часть и уплыл домой. Так же, под утро, не заметив, что остался один, поступил третий рыбак. В задаче спрашивалось, какое наименьшее количество рыб могло быть у рыбаков.

Дирак предложил такое решение: рыб было (–2). После того как первый рыбак совершил антиобщественный поступок, швырнув одну рыбу в воду, их стало (–2) – 1 = –3. Потом он ушёл, унося под мышкой (–1) рыбу. Рыб стало (–3) – (–1) = – 2. Второй и третий рыбаки просто повторили нехороший поступок товарища.

(Заметим в скобках, что наименьшим положительным ответом этой задачи является 25, наименьшего отрицательного ответа не существует, а ответ Дирака — наименьший по модулю.)

Дирак был довольно эксцентричным человеком. Вот несколько забавных ситуаций из его жизни.

Однажды учёный гулял с приятелем по Кембриджу, и что-то явственно тарахтело у него в кармане. Попутчик деликатно старался не замечать шум, но он был настолько громким, что Дирак был вынужден пояснить. «Я немного простужен, а потому у меня в кармане коробочка с таблетками аспирина». Через несколько минут добавил: «Я полагаю, громкость звука максимальна, когда коробка пуста ровно наполовину».

Индийский физик Джагдиш Мехра, желая познакомиться с Дираком, при первой встрече с ним, памятуя, что англичане часто начинают разговор с упоминания о погоде, робко сказал: «Сегодня очень ветрено». Ни слова не говоря, Дирак встал из-за стола и решительно направился к выходу. Мехра пришёл в ужас, решив, что совершил какую-то грандиозную бестактность. Дирак открыл входную дверь, выглянул на пару секунд, потом вернулся на свое место и промолвил: «Да». Позднее Дирак так пояснил свои действия: «Не знаю, почему так поступил. Я ведь помнил, что было ветрено, но, видимо, решил проверить, не изменилась ли погода с тех пор, как начался ужин».

Друзья заметили, что известный физик Паули слишком быстро набирает вес. Тогда Дирака попросили последить за тем, чтобы тот не ел слишком много. Паули принял участие в этой игре и спросил Дирака, сколько кусков сахара он может положить в кофе. Тот подумал и объявил, что ему достаточно одного кусочка. Все уже забыли об этом и стали говорить на другие темы, когда Дирак заявил: «Я думаю, что всем достаточно одного кусочка». Все согласились, что таким образом проблема решена в общем виде, как вдруг после долгого молчания Дирак провозгласил: «Я думаю, кубики сахара специально делают такого размера, чтобы одного было достаточно для каждого».

Два года подряд Дирак по приезде в Москву, останавливался у И.Е. Тамма. В свой второй приезд сияющий Дирак вошёл в гостиную и, подняв палец, торжественно заявил: «Тамм, у вас грандиозные перемены». В ответ на всеобщее недоумение он пояснил: «Теперь в туалете горит лампочка».

Дирак женился на сестре Юджина Вигнера. Вскоре к нему в гости заехал знакомый, который еще ничего не знал о происшедшем событии. В разгар их разговора в комнату вошла молодая женщина, которая называла Дирака по имени, разливала чай и вообще вела себя как хозяйка дома. Через некоторое время Дирак заметил смущение гостя и, хлопнув себя по лбу, воскликнул: «Извини, пожалуйста, я забыл тебя познакомить, это... сестра Вигнера».
Как-то раз неприкаянный Дирак был замечен на улице и на вопрос: «В чём дело?» — ответил: «Сестра Вигнера рожает».

Дирак любил выражаться точно и требовал того же от других. После одной лекции он предложил задавать вопросы, и кто-то из слушателей спросил: «Я не понимаю, как вы получили это выражение». «Это утверждение, а не вопрос. Вопросы есть?»

Когда у Дирака спросили мнение относительно «Преступления и наказания» Достоевского, он ответил: «Роман хорош, но в одной из глав автор допускает ошибку. В его описании солнце встает дважды в один и тот же день».

Дирак любил парадоксальные ситуации, он неоднократно пересказывал историю о порядках воздушного сообщения в США во время войны. Военные имели преимущество, а потому, если не хватало мест, с рейса снимался кто-то из штатских. Некоему генералу срочно понадобилось куда-то лететь, и из самолета выбросили наименее важного из пассажиров — университетского профессора. Ирония заключалась в том, что генерал летел слушать лекцию именно этого профессора.

Однажды Дирак высказал предположение, что существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего. Функция привлекательности женского лица в зависимости от расстояния непрерывна и неотрицательна; в двух предельных случаях — на нулевом и бесконечном расстоянии — привлекательность обращается в нуль (ничего не видно), следовательно, между этими пределами должен существовать максимум.

От предложенного ему королевой Великобритании рыцарского звания Дирак отказался. Он не захотел, чтобы к нему обращались по имени: «Сэр Поль», а пожелал остаться просто профессором Дираком.

Задача «Жадные братья»
На тарелке лежит 4 яблока весом 600 г, 400 г, 300 г и 250 г. Два брата собираются их съесть. Право выбора за старшим братом; он берёт одно из яблок и начинает его есть. Сразу за ним младший брат берёт одно из оставшихся яблок и тоже начинает есть. Скорость поедания яблок у братьев одинакова, и время поедания яблока пропорционально весу этого яблока. Тот, кто съел своё яблоко, может взять следующее из оставшихся. Какое яблоко должен взять старший брат вначале, чтобы в итоге съесть как можно больше?

Задача. По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?
Решение задачи по ссылке.

Задача. На башне висят часы с тремя стрелками — часовой, минутной и секундной. В полночь на часовую стрелку села мышка и поехала на ней. В момент, когда стрелка с мышкой равняется с другой стрелкой, мышка перепрыгивает на эту новую стрелку. Сколько кругов сделает мышка за 12 часов? (Известно, что все три стрелки сходятся вместе только в полдень и в полночь.)
Решение задачи по ссылке.