«Думать — самая трудная работа; вот, вероятно, почему этим занимаются столь немногие».

30 июля 1863 г. родился Генри Форд. Он не был математиком, но был инженером, изобретателем, рационализатором, промышленником, организатором производства автомобилей.
Форд был известен своим нестандартным подходом к делу. Для работы на предприятиях ему требовались умные люди с логическим складом ума. Поэтому при найме на работу автомобильный магнат предлагал кандидатам решить какую-нибудь задачку, часто ребус.
Вот одна из таких задач. Если человек справлялся с ней за 15 минут, то его брали на должность инженера. К задаче давалась подсказка — значение D.
Вы можете попытаться решить ребус, как используя эту подсказку — под покровом, так и без неё. В любом случае, задача имеет единственное решение.
Подсказка: D=5.
Решение можно прочитать по ссылке.

31 июля 1704 г. родился Габриэль Крамер, швейцарский математик, ученик Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Установил правило решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, получившее его имя, заложил основы теории определителей (сам термин «определитель» и удобные обозначения для него были введены позже Гауссом). Показал, что результант двух многочленов образуется с помощью симметрических функций. Провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно.

Решение по ссылке.

Ответ: 2024.

3 августа 1869 г., 155 лет назад, родился Иван Иванович Жегалкин, отечественный математик, создатель школы математической логики, профессор Московского университета. Его монография «Трансфинитные числа», посвящённая абстрактной теории множеств, стала одной из первых в отечественной и мировой литературе. В математической логике он построил (1927 г.) кольцо вычетов по модулю два, которое теперь называется «алгеброй Жегалкина»»; проще говоря, он построил логику высказываний в виде арифметики двух чисел — нуля («чётное») и единицы («нечётное»). Тем самым была достигнута большая простота в решении логических задач.
Имя Жегалкина носит теорема из алгебры логики:
Любую булеву функцию можно единственным образом представить в виде специального многочлена (его называют полиномом Жегалкина).

Жегалкин написал учебник по математическому анализу, рассчитанный на самого плохого студента. Для этого он записывал все ошибочные ответы студентов на экзаменах и классифицировал их. По его мнению, это позволяло предусмотреть и исключить все источники ошибок, все неясности, плохие формулировки и т. п.
Из предисловия Н.Н. Лузина к учебнику:
«Первая и основная идея И. И. Жегалкина — … совершенно ясно осознанная им невозможность исходить при составлении учебника от обычного представления об идеальном читателе. А между тем, большинство учебников именно и отправляется от этого представления, наделяя этого абстрактного читателя беспредельными внимательностью, понятливостью, догадливостью и сообразительностью. … Когда вдумываются в причины возникновения иллюзии “идеального читателя”, то немедленно замечают, что под таким читателем автор просто разумеет себя самого и именно то самое состояние своего ума, которое он имеет в момент создания учебника, но отнюдь не то состояние ума, которое было у автора, когда он сам впервые знакомился с излагаемыми им идеями… Из сказанного естественно вытекает вторая основная идея И. И. Жегалкина: при составлении учебника руководиться не воображаемым, “но действительным состоянием ума учащегося”. Как уже было сказано, оно полно недоумений, сомнений, иллюзий и заблуждений, часто глубоко подсознательных. И истинная задача педагога заключается в том, чтобы во-время приходить учащемуся на помощь, чтобы постоянно держать в фокусе своего внимания ум читателя, чтобы быть готовым направить его по надлежащего руслу там, где для читателя есть опасность вследствие двусмыcленности символики бесконечно-малых пойти в ложном направлении… Единственно правильным путём здесь является путь И. И. Жегалкина: это — путь столь сильной внутренней логичности изложения, при котором все делаемые оговорки и предупреждения являются столь естественными, что читателю кажется, что нить изложения ни на один миг не прерывается и что до этих оговорок он и сам бы додумался, если бы дал себе труд немного подумать. Таким образом, самой характерной чертой предлагаемого курса анализа, чертой, отличающей его от всех остальных курсов, является исключительная ориентировка его на понимание учащимся всех процессов рассуждения. При этой ориентировке на понимание нисколько не страшны дефекты памяти, так как самый ход однажды понятого материала не позволяет утратиться существенному, деталь же легко восстановить и по любому справочнику. Ориентировка на понимание кажется громоздкой лишь в начале, но на деле затраченное на понимание время с лихвой окупается в дальнейшем, так как при правильно понятых основаниях дисциплины дальнейший материал принимает характер лишь упражнений в давно известном, чем создаётся уже экономия во времени».

«Математика полезна тем, что она трудна»

4 августа 1912 г. родился Александр Данилович Александров, выдающийся математик 20 в. Наибольший интерес для него представляла геометрия, в которой он основал новую научную школу. Одним из главных достижений Александрова является создание теории двумерных многообразий ограниченной кривизны. Ему принадлежит разработка метода разрезывания и склеивания, благодаря которому удалось решить ряд экстремальных задач. Работы по теории выпуклых тел повлекли за собой изучение слабой сходимости функций множеств и решение дифференциальных уравнений в частных производных.

А.Д. Александров:
«Хорошая музыка — "дар божественных звучаний", она строится со строгой выдержанностью формы. В фугах Баха, как в алгоритме, как в формуле, заключена строжайшая последовательность. В этой строгости — существенный источник их впечатляющей силы. Так и в строгой последовательности математических построений есть своя внутренняя музыка, своя красота — жар холодных формул. Но как понимание структуры музыки требует музыкальной культуры, так и переживание красоты математики требует культуры математической».

Рассказывают, когда ректору Ленинградского Университета профессору А. Д. Александрову на стол легло заявление «Прошу принять меня в ОСПИРАНТУРУ...» В ответ он наложил резолюцию «АТКАЗАТЬ».

Александров интересовался проблемами преподавания математики в средней школе, был одним из авторов (совместно с А.Л. Вернером и В.И. Рыжиком) школьных учебников по геометрии. Он занимался философией и даже читал соответствующий курс в Ленинградском университете. Переводил на русский язык сонеты Шекспира, а ещё писал философские стихи.

Когда в последнем взрыве катаклизма
Земля сгорит, как новая звезда,
И человечество исчезнет навсегда
Без поминанья, памятника, тризны;
Когда помчится раскаленный газ
В бескрайние межзвездные пространства
И Дух слетит с Земли для новых странствий,
То, знаю, будет не в последний раз:
Когда-нибудь и где-нибудь опять
Он воплотится в теле для мученья,
Для поиска и претворенья,
Для бега вверх и возвращенья вспять.
Ты, вечный Дух упорного стремленья,
Что породил собой добро и зло,
Кто не оставил в мире ничего —
Вне сферы знания и воли превращенья,
Твори! Великий Дух, и обращай Природу
В громадную арену мощных сил,
Которые собой ты породил,
Чтобы в борьбе завоевать свободу
И вызвать катаклизм, а может быть, и смерть
Матерьи, косной и ничтожной,
Но сделать невозможное возможным
И к новой жизни возродиться впредь.

Прошлое просто судить:
Прошлое было, дано
и от нас не зависит.
Можно пытаться забыть,
можно людей осудить,
вину их измерить,
взвесить —
моральный аптекарь
всем ярлыки раздает.
Будет же то,
что мы делаем сами.
Сваливай грузы ответов
на плечи чужие.
Но в жизни
каждый свершает свое:
рыскает крысою жадной,
давит удавкой другого,
ручки умоет
Пилатом святым.
Или:
телегу увязшую жизни
толкает вперед,
упираясь хоть в грязь,
не боясь
замарать свою костюм.
Или же:
грязь разгребает,
уборщиком —
руки в грязи —
очищает как может.
Ложно! будто нельзя повлиять.
Можно! и должен понять,
что ты можешь.
Если ж не в силах — никак,
в синее небо вглядись,
обрети ясность сознанья,
встань на позицию чести,
слово свое заяви
и прими
меру ответа...
И это —
не мылом умытый
фасад фарисея,
а совесть —
как руки
в рубцах заблуждений,
в натуге усилий —
красивые руки
творящего жизнь человека.

«Я всегда старался внести в моё научное развитие что-то от духа поэзии и чувствовал, что такая примесь существенна для интеллектуального совершенства»

4 августа 1805 г. родился Уильям Гамильтон, выдающийся ирландский математик и физик.
Построил гамильтонову механику — сформулировал классическую механику на языке симплектических многообразий (Симплектическая геометрия описывает не физическое, или, как говорят, конфигурационное, пространство координат некоторой механической системы — за это отвечает евклидова геометрия, а пространство рассматриваемых вместе координат и импульсов — «фазовое пространство».) Гамильтонова механика сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с квантовой механикой.
Построил аксиоматическое описание комплексных чисел как пар вещественных. Открыл кватернионы — некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами: i²=j²=k²=–1, ij=–ji=k, jk=–kj=i, ki=–ik=j. Кватернионы также сыграли существенную роль в 20 в. при возникновении квантовой механики.
Ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Изобрёл термины «вектор», «ассоциативный закон». Придумал векторное произведение. Предложил оператор набла (векторный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам).

Гамильтонов цикл в графе — замкнутый путь, проходящий через каждую вершину графе в точности один раз.
Икосиан — игра-головоломка, придуманная Гамильтоном: требуется построить гамильтонов цикл (то есть пройти по всем вершинам, каждый раз переходя в соседнюю по ребру, и вернуться в начало пути) в правильном додекаэдре.

Решение головоломки по ссылке.

Вольтер: «Его ум видел истину, его сердце познало справедливость. Он — гордость Швейцарии и всего человечества».

6 августа 1667 г. родился Иоганн Бернулли, швейцарский математик, механик, врач и филолог, младший брат Якоба Бернулли и отец Даниила Бернулли — также великих математиков. Основные достижения Иоганна относятся к математическому анализу, теории дифференциальных уравнений и аналитической механике. Работы Бернулли легли в основу первого в мире учебника математического анализа, выпущенного его учеником Гийомом л’Опиталем: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий». В частности, алгоритм раскрытия неопределённостей, известный как «правило Лопиталя», был получен И. Бернулли и опубликован л’Опиталем без ссылки на авторство. Чтобы избежать конфликта, л’Опиталь предложил своему наставнику ежегодное денежное пособие в размере трёх сотен ливров и исправно выплачивалл ему эту сумму.
Иоганн Бернулли впервые в истории науки поставил и решил вариационную задачу, заложил основы вариационного исчисления. Он же первым открыл простейшую форму закона больших чисел, вывел формулу для разложения функции в степенные ряды, дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений.

Напутствуя своих сыновей Даниила и Николая, отправлявшихся в Россию, Иоганн Бернулли говорил так: «Лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают».

…И ведь было же когда-то время, три века назад, в далёком 1725 году, когда «платёжеспособный» интерес к научным изысканиям со стороны государства в России был значительно выше, чем в Европе.

Имеются три жёлоба, по которым маленький шарик может двигаться без трения, только под действием силы тяжести. По какому пути шарик из точки А дойдёт до точки В за кратчайшее время?

В 1696 г. Иоганном Бернулли была поставлена следующая задача:
В вертикальной плоскости даны две точки A и B, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Искомая кривая была впоследствии названа брахистохрона (от греч. βραχιστος — кратчайший и χρονος — время) — траектория скорейшего спуска.
Задача была решена разными методами независимо друг от друга Лейбницем, Якобом Бернулли, Лопиталем, Ньютоном, Чирнхаусом и самим Иоганном Бернулли. Все пришли к одному и тому же выводу: брахистохроной является циклоида.
Прочитать о решении Иоганна Бернулли можно, например, в журнале Квант.
Задача Бернулли о брахистохроне положила начало вариационному исчислению как науке.

Увидеть наглядно, какой шарик дойдёт быстрее, можно в следующей анимации.

«Одной из фундаментальных особенностей природы является то, что фундаментальные физические законы описываются в терминах математической теории великой красоты и мощи, для понимания которой требуется довольно высокий уровень математики. Вы можете задаться вопросом: почему природа устроена таким образом? Можно только ответить, что наши нынешние знания, похоже, показывают, что природа устроена именно так. Мы просто должны принять это. Возможно, можно было бы описать ситуацию, сказав, что Бог — математик очень высокого уровня, и Он использовал очень продвинутую математику при построении вселенной. Наши слабые попытки в математике позволяют нам немного понять вселенную, и по мере того, как мы продолжаем развивать все более и более высокую математику, мы можем надеяться лучше понять вселенную».

8 августа 1902 г. родился гениальный британский физик-теоретик Поль Дирак.
Дирак был одним из первопроходцев в области квантовой теории. Эта теория помогла соединить два, казалось бы, противоречивых аспекта мира, выявленных в экспериментах в первой четверти двадцатого века — способность атомов и подобных им частиц действовать как локализованные частицы и как распространяющиеся волны. Австрийский физик Эрвин Шрёдингер выразил это в уравнении Шрёдингера, которое описывает квантовые волны вероятности, распространяющиеся в пространстве.
Однако у уравнения Шрёдингера была проблема: оно не учитывало другую фундаментальную революцию в физике двадцатого века — теорию относительности. В то время как уравнение Шрёдингера прекрасно справлялось с описанием электронов в малых атомах, где электрические силы от небольшого количества протонов в ядре заставляли их двигаться по орбитам со скоростями, сильно меньшими, чем скорость света, оно не справлялось с более сложными атомами, где протонов в ядре было гораздо больше, и электроны двигались со скоростями, близкими к скорости света. Этому требовалось уравнение, совместимое с релятивистской теорией. И именно эту задачу решил Дирак в 1927 г.
Дирак обнаружил, что нельзя описать свойства релятивистского электрона, такие как его энергия, просто одним числом. Ему пришлось использовать матрицу 2⨯2. Эта «двойственность» объяснила загадочное явление спина электрона. Эксперименты показали, что частица ведёт себя так, как будто она вращается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Однако если бы электрон действительно вращался, его поведение можно было бы объяснить только в случае, если бы он вращался быстрее света, что, согласно теории относительности, было невозможно. Физики пришли к выводу, что «спин» электрона — это что-то совершенно новое, внутреннее квантовое свойство, которое не имеет аналогов в мире повседневной жизни. И именно это свойство, как увидел Дирак, «выскочило» из его формулы.
Спин сам по себе был уже загадочным явлением. Но другой аспект, вытекший из уравнения Дирака, был ещё более необычным. Когда Дирак записал своё уравнение, он обратил внимание на то, что его механизмы каким-то образом дублировались. Оказалось, что оно описывает не только отрицательно заряженный электрон, но и частицу с такой же массой, как у электрона, но с положительным зарядом. В то время было известно только о трёх субатомных частицах: протоне в ядре атома, электроне, вращающемся вокруг ядра, и фотоне, частице света. Поэтому многие физики считали, что уравнение Дирака должно быть ошибочным, так как ещё одна частица была бы излишней.
Однако Дирак оказался прав, как позднее подтвердил эксперимент, проведённый в 8 тыс. километрах от Кембриджа. В 1932 г. американский физик Карл Андерсон исследовал космические лучи, частицы с очень высокой энергией из космоса. Ничего не зная о предсказании Дирака, он случайно обнаружил позитрон — частицу массой электрона, но с противоположным положительным зарядом, которую он назвал позитроном.

Выдвижение подобных идей было характерным для учёного. Ещё будучи студентом Кембриджа, Дирак предложил следующее нетривиальное решение известной задачи о трёх рыбаках.

Рыбаки целый день ловили рыбу, а вечером, сложив улов на берегу, легли спать. Однако одному из них не спалось, и он решил уехать, забрав свою часть улова. Пересчитав улов, рыбак разделил всю рыбу на три части. При этом одна рыба оказалась лишней. Рыбак бросил её в воду, забрал свою долю и уехал домой. Среди ночи проснулся второй рыбак, и, не заметив отсутствия первого товарища, разделил оставшуюся рыбу на три части, одну лишнюю тоже бросил в воду, забрал свою часть и уплыл домой. Так же, под утро, не заметив, что остался один, поступил третий рыбак. В задаче спрашивалось, какое наименьшее количество рыб могло быть у рыбаков.

Дирак предложил такое решение: рыб было (–2). После того как первый рыбак совершил антиобщественный поступок, швырнув одну рыбу в воду, их стало (–2) – 1 = –3. Потом он ушёл, унося под мышкой (–1) рыбу. Рыб стало (–3) – (–1) = – 2. Второй и третий рыбаки просто повторили нехороший поступок товарища.

(Заметим в скобках, что наименьшим положительным ответом этой задачи является 25, наименьшего отрицательного ответа не существует, а ответ Дирака — наименьший по модулю.)