Предыдущие посты с задачами Константинова оформлены, в порядке эксперимента, с кнопками «Решение», из-за чего в них отвалилась возможность комментирования. Можно оставлять комментарии под этим постом.

Задача Константинова о двух возах является классическим примером применения метода фазового пространства при решении задач. Использование фазового пространства позволяет рассматривать множество вариантов какой-либо системы в качестве единого целого. Идея метода заключена в геометризации задачи — в искусственном введении пространства параметров с целью исследования их внутренней взаимосвязи. Этот метод используется при описании многих физических явлений, лежит в основе качественной теории дифференциальных уравнений — неслучайно Арнольд начинает с неё свой курс дифференциальных уравнений. Но метод имеет гораздо более широкое применение.
Рассмотрим примеры его применения.

Задача 1 (А.В. Шаповалов). Есть несколько кусков сыра разной массы и разной цены за килограмм. Докажите, что можно разрезать не более двух кусков так, что после этого можно будет разложить все куски на две порции одинаковой массы и одинаковой стоимости.

Решение задачи по ссылке.

Задача 2 (М.В. Силаева). Робинзон Крузо и Пятница находятся на необитаемом острове. Они собирают кокосы и ловят рыбу. Робинзон за одну неделю может собрать 30 кокосов или поймать 20 рыб. Пятница за одну неделю может собрать 40 кокосов или поймать 60 рыб. Они предпочитают потреблять кокосы и рыбу в равных количествах. Какую максимальную суммарную выгоду они получат, если, встретившись друг с другом, объединят свои хозяйства?

Решение задачи по ссылке.

Задача 3 (Ч.Ф. Мостеллер). Два человека условились встретиться в определённом месте между 12 и 13 часами. Каждый, прибыв в случайный момент времени (равномерно распределённый), ожидает второго 12 минут и, если встреча не состоялась, уходит. Найдите вероятность того, что встреча состоится.

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим ещё несколько задач на вероятность.

Задача 4.1. Длина отрезка a равна 0,2, а длины отрезков b и c выбираются случайным образом, независимо друг от друга, из промежутка [0; 1]. Найдите вероятность того, что из отрезков a, b, c можно составить треугольник.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4.2. Длины отрезков a, b, c выбираются случайным образом, независимо друг от друга, из промежутка [0; 1]. Какова вероятность, что из отрезков a, b, c можно составить треугольник?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4.3. На отрезке [0; 1] случайным образом, независимо друг от друга, выбираются две точки. Эти точки делят промежуток [0; 1] на три отрезка a, b, c. Какова вероятность, что из них можно составить треугольник?

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим теперь применение метода к дискретной задаче.

Задача 5. (А.И. Орлов). В одной коробке 5 конфет, в другой — 7. За один ход можно взять и съесть любое количество конфет из какой-нибудь одной коробки или одинаковое количество конфет из обеих коробок. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?

Решение задачи по ссылке.

Метод фазовой плоскости применим к любой двухпараметрической задаче. Интересным объектом его применения служит приведённый квадратный трёхчлен x²+px+q.
Каждому квадратному трёхчлену x²+px+q ставится в соответствие точка фазовой плоскости (p; q). Соответствие между точками фазовой плоскости и множеством приведённых квадратных трёхчленов является взаимно однозначным. На плоскости Opq точки, лежащие на дискриминантной параболе q = p²/4, задают квадратные трёхчлены, имеющие единственный корень. Внутри этой параболы лежат точки, заданные условием q > p²/4; им соответствуют квадратные трёхчлены, не имеющие вещественных корней. Снаружи параболы (при q < p²/4) находятся точки, задающие квадратные трёхчлены с двумя вещественными корнями.
При фиксированном значении x = α уравнение x²+px+q = 0 задаёт на фазовой плоскости прямую q = –αp–α², называемую корневой: на этой прямой, и только на ней, расположены точки, которым отвечают уравнения, имеющие своим корнем фиксированное число α. Каждому фиксированному значению x соответствует своя корневая прямая. Несложно убедиться, что все корневые прямые являются касательными к дискриминантной параболе в точке (–2α; α²).

Задача 6. Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x²+10x+20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трёхчлен x²+20x+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

Решение задачи по ссылке.

Задача 7. Коэффициенты p и q квадратного трёхчлена x²+px+q — независимые случайные величины, равномерно распределённые на промежутке [–4; 4]. Требуется найти вероятность того, что трёхчлен имеет вещественные корни.

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим применение метода фазовой плоскости к задаче исследования квадратного трёхчлена с параметром. Идея применения этого метода может быть положена в основу создания новых задач такого типа.

Решение задачи по ссылке.

#предложка

Прислано от подписчицы Olga — это её авторская работа. А больше изделий представлено на её канале.

19 июля 1894 г. родился Александр Яковлевич Хинчин, математик и педагог, автор исследований в области теории чисел и теории вероятностей, популяризатор науки, один из активных деятелей движения за реформирование школьного математического образования.
Лекции и учебники Хинчина представляют собой образец литературного и логического совершенства. Самыми известными являются его книги «Три жемчужины теории чисел» и «Цепные дроби».

Интересна и необычна его статья «О воспитательном эффекте уроков математики», 1961 г.
Статья содержит два раздела и заключение.
Первый раздел посвящён культуре мысли. Основным моментом воспитательной функции математического образования математик называет приучение школьников к полноценной аргументации. В этом общем принципе автор выделяет и очень подробно, прямо по пунктам, описывает такие его следующие разновидности: борьба против незаконных обобщений; борьба против необоснованных аналогий; борьба за полноту дизъюнкций; борьба за полноту и выдержанность классификаций. Говоря о стиле мышления, он рассуждает о таких особенностях математического стиля, как: доминирование логической схемы рассуждения; лаконизм; чёткая расчленённость хода рассуждения; точность символики.
Второй раздел статьи посвящён моральным моментам в воспитании. Во времена написания статьи любой публикуемый материал подвергался цензуре на предмет соответствия его господствующей идеологии. Тем удивительнее, что Хинчину удалось раскрыть эту, казалось бы, очень идеологизированную тему, не занимая при этом по отношению к режиму сервильную позицию.
Приведём лишь одну цитату:
«…Это очень радостная и морально возвышающая картина, когда человек постепенно преодолевает в себе отвратительную мещанскую привычку — подчинять законы мышления своим личным, мелким корыстным интересам, теоретически защищать только то, что ему практически выгодно; когда он научается уважать объективную правильность аргументации как высшую духовную и культурную ценность и всё чаще и со всё более лёгким сердцем жертвовать ради неё своими личными интересами. Доведённая до предела, эта черта представляет собой не что иное, как честность и правдивость — одно из лучших украшений нравственной личности человека».

В юности Александр Хинчин мечтал стать поэтом, посылал свои стихи Блоку и Маяковскому.
Начав среднее образование в Калуге, продолжил его в Цюрихе и закончил в Москве. С детства на слух подбирал классику на домашнем рояле. Писал на русском, думал на немецком, говорил на том и на другом, плюс ещё на французском и английском.

Из поэтического творчества учёного:

«О, молитесь чуду слов,
Пейте жадно их сгоранья!
В каждом слове замиранье
Расцветающих пиров.
Расплетайте без конца
Тайну слов извечно-сладкую!
Есть слова — они загадкою
Ранят пленные сердца.
Есть слова — сквозь них видна
Бездна светлой несказанности.
Есть слова — до жуткой странности
Их тревожна глубина.
Есть слова лучистей звезд,
Ослепительней предзимья;
Есть слова непостижимее
Замирающих невест.
О, слова светлее дней,
Упоительнее молнии!
О, слова любви безмолвнее
И признания нежней!
Их радение валов
Затихающих певучее.
О, любите все созвучия!
О, молитесь чуду слов!»

«Там — высь, поящая отравою,
И злая неба синева.
А в тёмном сердце — мгла кровавая,
В пустой душе — одни слова.
Одни слова. Давно наскучили
Все пытки на костре земном.
Одни слова меня замучили
Неутоляющим огнём.
И нищему — одно мучение,
Одна заря, одни грехи:
Слова, которым нет прощения, —
Мои тяжелые стихи».

«Иду. Всё жарче чудеса,
Всё ослепительнее цепи.
Вверху — ночных великолепий
Тяжелозвёздная краса.
Передо мной — объятый зноем
Мой путь — светящаяся нить;
Его теченья не избыть
Душе, увенчанной покоем.
Я знаю: светлая дорога
Ведет туда, где вечен миг,
Где, павши ниц, увижу лик
Ещё не познанного Бога.
Но вновь и вновь живая нить
В душе восторги подымает,
И сердце вещее не знает,
Как этот трепет укротить».

«В лазоревых снегах раскинулись крыла
Твоей Всеблагости зарей призывной.
И все, что в тайниках Тебе душа несла, —
Затрепетало радостию дивной.
Я кинул вещий взор к бессмертью снежных крыл,
Пожар Твоих очей узрел оттуда;
И сердце светлое очам Твоим открыл,
И принял жизнь, как пламенное чудо».

Две истории о Хинчине, рассказанные Б.В. Гнеденко.

«Одно время он жил вместе со своим приятелем ещё по Московскому университету, механиком, Николаем Алексеевичем Власовым в одной квартире. И вот Власов любил поспать, рано подниматься не любил. Однажды где-то к концу учебного года ранним утром раздаётся стук в дверь. Оба они еще спали. Хинчин подошёл к двери — спрашивают Власова. “Его нет!” — отвечает Хинчин. Через полчаса — вновь стук. Опять отвечает Хинчин, что его нет. А тот спит. Третий раз стучат. Наконец: “Сколько вам раз говорить, его нет, он умер!” Какая-то очень экспансивная студентка, оказывается, стучала, и она немедленно, услышав, что Власов умер, побежала в институт Политехнический
и раззвонила, что Власов умер. Более того, она сумела добиться, что на лестнице в вестибюле траурное объявление было вывешено, что вот в такое-то время состоится траурный митинг. А где-то около часа или двух Власов должен был читать лекцию. Он всегда одевался с иголочки, с тросточкой ходил. Входит. “Кто ж это скончался? Власов?” А в это время секретарь учебной части спускалась с лестницы, и около дверей видит самого Власова, читающего это объявление. Падает в обморок. В результате Власов как галантный человек помог её довести до стула, усадили в кресло, приводил в чувство. Вот такой эпизод был».

«Хинчин был председателем экзаменационной комиссии по математике. И определили таким образом, кто кого экзаменует: там математик Депутатов был — экзаменует девушек только русых, а Хинчин экзаменует только девушек с длинными косами, с тёмными длинными косами.
И вот Хинчин запоздал на начало экзамена. Смотрит — на лестнице стоит девушка с длинными темными косами и плачет. Он — к ней. “В чем дело? Почему вы плачете? Что случилось?” — “Провалила математику”. — “Это не может быть, это недоразумение. Идёмте в аудиторию”. Вновь принимает, та уже сдает экзамены ему. А потом она через некоторое время становится его женой».

Во время строительства Бесселем Кёнигсбергской обсерватории Пруссия была захвачена Наполеоном и из-за наложенных контрибуций испытывала тяжёлое финансовое положение. Готовящийся к походу на Россию Наполеон посетил столицу Восточной Пруссии и, приехав к месту работ, не без восхищения произнёс: «Боже мой, когда такое происходит с их страной, они думают о звёздах!»

Когда Бесселя избрали членом “Общества друзей Канта” (объединения, куда входило 20–30 представителей культурной и политической элиты Кёнигсберга), он придумал шуточный ритуал выборов “бобового короля”. В торт, подаваемый на десерт, запекался серебряный боб. Тот, кому попадался этот боб в куске торта, становился “бобовым королём”, а его соседи за столом слева и справа — “бобовыми министрами”. К следующему собранию “король” готовил шуточную “бобовую” речь о великом философе.

Такой оригинальный памятник установлен учёному в Бремене. Яйцо тут символизирует форму Земли — эталонный эллипсоид Бесселя, определённый им в результате геодезических измерений.

А ещё сегодня, 22/7, — «день приближённого значения числа π».
Можно ли услышать, как звучит π? Музыкант David Macdonald сыграл число π с точностью до 122 знаков после запятой.