Н.Н. Константинов:
«Когда я учился в первом классе, то впервые соврал учительнице. Нам велели выучить таблицу умножения. Урок проходил так: учительница называет фамилию ученика и спрашивает его, например: “Трижды три равняется...?” Он встает и отвечает: “Девять”. И так проверяется, что все знают таблицу умножения.
А я таблицу учил, но не всю выучил и со страхом ждал, что она меня спросит. И вот она называет мою фамилию и спрашивает, сколько будет шестью семь. А это трудная пара — шестью семь. Я медленно встаю и думаю, что же теперь делать, ведь я этот элемент таблицы не выучил. Но сразу вспомнил, что шестью шесть — тридцать шесть, это легко, потому что это складно, а шестью семь, думаю, наверное, получится, если добавить к 36 еще одну шестерку, и, пока встал, я добавил и сказал: “Сорок два”. “Правильно, молодец!”
И я сел и думаю: “Я наврал или нет? Всё же я наврал, правда?” Я должен был показать, что я выучил, а я не выучил. Она сказала, что я молодец, но я же наврал! И я должен был сказать, что я не выучил. Это был первый случай, когда я соврал».

Несколько задач Н.Н. Константинова

Задача 1.
В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублёвые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Задача 2.
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня. (Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Задача 3.
Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Задача 4.
Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Задача 5.
В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1) Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2) Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Задача 6.
Шесть котов в течение 3,5 минут наблюдали за мышкой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту мышка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени мышка не оставалась без наблюдения. Могла ли мышка за это время проползти 6 м? А 3 м?

Задача 7.
Из пункта A в пункт B ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные верёвкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?

Предыдущие посты с задачами Константинова оформлены, в порядке эксперимента, с кнопками «Решение», из-за чего в них отвалилась возможность комментирования. Можно оставлять комментарии под этим постом.

Задача Константинова о двух возах является классическим примером применения метода фазового пространства при решении задач. Использование фазового пространства позволяет рассматривать множество вариантов какой-либо системы в качестве единого целого. Идея метода заключена в геометризации задачи — в искусственном введении пространства параметров с целью исследования их внутренней взаимосвязи. Этот метод используется при описании многих физических явлений, лежит в основе качественной теории дифференциальных уравнений — неслучайно Арнольд начинает с неё свой курс дифференциальных уравнений. Но метод имеет гораздо более широкое применение.
Рассмотрим примеры его применения.

Задача 1 (А.В. Шаповалов). Есть несколько кусков сыра разной массы и разной цены за килограмм. Докажите, что можно разрезать не более двух кусков так, что после этого можно будет разложить все куски на две порции одинаковой массы и одинаковой стоимости.

Решение задачи по ссылке.

Задача 2 (М.В. Силаева). Робинзон Крузо и Пятница находятся на необитаемом острове. Они собирают кокосы и ловят рыбу. Робинзон за одну неделю может собрать 30 кокосов или поймать 20 рыб. Пятница за одну неделю может собрать 40 кокосов или поймать 60 рыб. Они предпочитают потреблять кокосы и рыбу в равных количествах. Какую максимальную суммарную выгоду они получат, если, встретившись друг с другом, объединят свои хозяйства?

Решение задачи по ссылке.

Задача 3 (Ч.Ф. Мостеллер). Два человека условились встретиться в определённом месте между 12 и 13 часами. Каждый, прибыв в случайный момент времени (равномерно распределённый), ожидает второго 12 минут и, если встреча не состоялась, уходит. Найдите вероятность того, что встреча состоится.

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим ещё несколько задач на вероятность.

Задача 4.1. Длина отрезка a равна 0,2, а длины отрезков b и c выбираются случайным образом, независимо друг от друга, из промежутка [0; 1]. Найдите вероятность того, что из отрезков a, b, c можно составить треугольник.

Решение задачи по ссылке.

Задача 4.2. Длины отрезков a, b, c выбираются случайным образом, независимо друг от друга, из промежутка [0; 1]. Какова вероятность, что из отрезков a, b, c можно составить треугольник?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4.3. На отрезке [0; 1] случайным образом, независимо друг от друга, выбираются две точки. Эти точки делят промежуток [0; 1] на три отрезка a, b, c. Какова вероятность, что из них можно составить треугольник?

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим теперь применение метода к дискретной задаче.

Задача 5. (А.И. Орлов). В одной коробке 5 конфет, в другой — 7. За один ход можно взять и съесть любое количество конфет из какой-нибудь одной коробки или одинаковое количество конфет из обеих коробок. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?

Решение задачи по ссылке.

Метод фазовой плоскости применим к любой двухпараметрической задаче. Интересным объектом его применения служит приведённый квадратный трёхчлен x²+px+q.
Каждому квадратному трёхчлену x²+px+q ставится в соответствие точка фазовой плоскости (p; q). Соответствие между точками фазовой плоскости и множеством приведённых квадратных трёхчленов является взаимно однозначным. На плоскости Opq точки, лежащие на дискриминантной параболе q = p²/4, задают квадратные трёхчлены, имеющие единственный корень. Внутри этой параболы лежат точки, заданные условием q > p²/4; им соответствуют квадратные трёхчлены, не имеющие вещественных корней. Снаружи параболы (при q < p²/4) находятся точки, задающие квадратные трёхчлены с двумя вещественными корнями.
При фиксированном значении x = α уравнение x²+px+q = 0 задаёт на фазовой плоскости прямую q = –αp–α², называемую корневой: на этой прямой, и только на ней, расположены точки, которым отвечают уравнения, имеющие своим корнем фиксированное число α. Каждому фиксированному значению x соответствует своя корневая прямая. Несложно убедиться, что все корневые прямые являются касательными к дискриминантной параболе в точке (–2α; α²).

Задача 6. Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x²+10x+20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трёхчлен x²+20x+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

Решение задачи по ссылке.

Задача 7. Коэффициенты p и q квадратного трёхчлена x²+px+q — независимые случайные величины, равномерно распределённые на промежутке [–4; 4]. Требуется найти вероятность того, что трёхчлен имеет вещественные корни.

Решение задачи по ссылке.

Рассмотрим применение метода фазовой плоскости к задаче исследования квадратного трёхчлена с параметром. Идея применения этого метода может быть положена в основу создания новых задач такого типа.

Решение задачи по ссылке.

#предложка

Прислано от подписчицы Olga — это её авторская работа. А больше изделий представлено на её канале.

19 июля 1894 г. родился Александр Яковлевич Хинчин, математик и педагог, автор исследований в области теории чисел и теории вероятностей, популяризатор науки, один из активных деятелей движения за реформирование школьного математического образования.
Лекции и учебники Хинчина представляют собой образец литературного и логического совершенства. Самыми известными являются его книги «Три жемчужины теории чисел» и «Цепные дроби».