Лейбниц поставил задачу логического обоснования математики. Он понимал логику не только как искусство рассуждения и доказательства, но и как искусство изобретения и открытия новых истин. Отталкиваясь от формальной логики Аристотеля, он задумал грандиозный проект её усовершенствования, включающий создание «универсальной характеристики» — средства, с помощью которого всё человеческое познание должно подвергнуться коренному преобразованию. По замыслу Лейбница, новый метод должен включать два теоретических инструмента:
– Искусственный язык (characteristica universalis). Он должен служить средством выражения любых мыслей, устранять барьеры разноязычной речи, способствовать распространению научных идей.
– Исчисление умозаключений (calculus rationator). Оно должно однозначным образом определять последовательности выполнения действий над знаками и сами эти действия.
Свой грандиозный замысел Лейбниц не реализовал, но идея математизации логики оказала влияние на учёных XVIII в., стимулируя использование символических обозначений.

Норберт Винер: «Если бы мне пришлось выбирать в анналах истории наук святого — покровителя кибернетики, то я выбрал бы Лейбница. Философия Лейбница концентрируется вокруг двух основных идей, тесно связанных между собой: идеи универсальной символики и идеи логического исчисления. Из этих двух идей возникли современный математический анализ и современная символическая логика».

Лейбниц повлиял на создание Академии наук в Петербурге. В 1697 году, в ходе путешествия Петра I по Европе, немецкий учёный и русский царь встретились на герцогском приёме в замке в Ганновере, это стало началом их тесного общения и сотрудничества. Одним из плодов этого общения стала концепция создания Академий наук в Европе и последующее развитие российской науки по западноевропейскому образцу. В 1711–1716 годах встречи неоднократно повторялись. Лейбниц выступил автором проектов реформирования российских систем образования и госуправления, активно участвовал в развитии наук в России. Петр I высоко ценил деятельность немецкого учёного, даровал ему титул тайного советника юстиции и назначил пенсию в 2000 гульденов. Лейбниц высоко отзывался о русском самодержце: «Покровительство наукам всегда было моей главной целью, только недоставало великого монарха, который достаточно интересовался бы этим делом».

Лейбниц улучшил механический калькулятор Паскаля, — его калькулятор мог не только складывать и вычитать, но также умножать, делить и извлекать корни.
Примечательно, что один экземпляр вычислительного устройства попал в руки Петру I, который, удивившись устройству, поспешил подарить этот чудо-аппарат китайскому императору.
Механизм под названием «колесо Лейбница» ещё долго использовался в арифмометре — первом массовом механическом калькуляторе.

Для целей вычислительной математики Лейбниц предложил использовать двоичную систему счисления. Намереваясь показать, что двоичное счисление — это не забава, а метод с большим будущим, Лейбниц изготовил специальную медаль. На ней изображена таблица простейших действий над числами в двоичной системе и отчеканена фраза: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Во время своего пребывания в Нюрнберге Лейбниц узнал, что в городе существует общество алхимиков. Он решил пошутить и направил в адрес общества огромное послание, состоящие из бессмысленного набора научных терминов. Каково же было его удивление, когда через некоторое время он получил пространный ответ, в котором давалось высокая оценка идеям, высказанным в его послании. Председатель общества с почтением сообщил, что на последнем собрании великий учёный Лейбниц единогласно избран почётным членом их организации, и ему назначен солидный оклад.

Став приближённым ганноверского герцога, Лейбниц сам начал предпринимать различные алхимические опыты, поскольку августейший правитель интересовался алхимией. Эти опыты сблизили Лейбница с гамбургским алхимиком Брандтом. Брандт где-то вычитал что из мочи будто бы можно добыть жидкое вещество, посредством которого серебро может быть превращено в золото. Неслучайно же моча золотистого цвета! Для проверки этой гипотезы Брандт провёл ряд опытов: он варил мочу, получившийся сухой остаток подвергал продолжительному накаливанию, затем собирал получаемые пары в особый приёмник. Результат получился неожиданный: вместо философского камня Брандт нашёл светящееся в темноте вещество, крайне горючее и ядовитое, которое назвал фосфором. Явившись в Ганновер, Брандт возжелал повторить опыт с куда большим размахом. По совету Лейбница он воспользовался армейским призывом и собрал целые бочки этой чудесной жидкости, благодаря чему Лейбниц, не отказавшийся поучаствовать в этом действе, добыл весьма значительное количество фосфора. Брандта вознаградили пожизненной пенсией, а Лейбниц написал статью с описанием способа.

Друзья и почитатели Лейбница подарили ему его бюст, искусно выполненный известным скульптором. Лейбниц долго разглядывал бюст и, наконец, произнес: «Так вот, значит, как выглядит то лицо, которое я ежедневно брею».

Лейбниц является, наверное, самым оптимистичным философом. Примечательно, что сам термин «оптимизм» (как и связанный с ним «пессимизм») был введён Лейбницем для обозначения определённого типа мышления.
Он полагал, что мы живём в «лучшем из всех возможных миров». В трактате «Теодицея» (дословно — богооправдание) мыслитель рассматривает вопрос, почему в мире существует зло и как его существование соотносится с благостью, премудростью, всемогуществом и правосудием Творца.
Лейбниц выделяет три типа зла. Зло метафизическое — оно вытекает из самого существования мира, поскольку в нём неизбежно присутствует определённая ограниченность, без которой сам мир не отличался бы от Бога. В метафизическом зле находит основание зло физическое: страдания представляют собой наказание или средство воспитания существ для достижения высших целей. И третий вид зла — зло нравственное (т.е. зло в прямом смысле — грех). Божество не может изъять его из мира, не уничтожив самой нравственной основы бытия — свободы: без свободы мир не был бы совершенным. А там, где есть свобода, неизбежна возможность извращённой деятельности, т.е. греха.
Установление в мире «полного порядка», даже в случае добровольного отказа людей от свободы воли, есть, по Лейбницу, торжество зла. Но, по счастью, оно невозможно, поскольку наш мир является совершенным и в нём непременно победит добро!

Кроме формул в разных разделах математики, именем Лейбница названы кратер и самая высокая горная цепь на Луне, одна из малых планет, а с 1889 г. в Ганновере бисквитная фабрика Бальзен выпускает печенье под брендом великого математика.

3 года назад, 3 июля 2021 г. ушёл из жизни Николай Николаевич Константинов — создатель системы математических школ и математических классов в России, организатор многопредметного Турнира им. М.В. Ломоносова и международной математической олимпиады Турнир городов, лауреат премии Пола Эрдёша за выдающийся вклад в развитие математического образования.
Константинов является автором уникальной методики преподавания математики по «системе листков». Эта методика чрезвычайно эффективна для освоения разных разделов математики, но крайне трудозатратна — и для учеников, и для преподавателей: ученику приходится самостоятельно изобретать доселе неизвестные ему ходы и приёмы, а преподавателю внимательно выслушивать каждое решение каждого ученика, подсказывать, в чём ошибка, подталкивать к решению.
Интервью с НикНиком в журнале Квант.

«Я не знаю большей радости, чем ясные математические рассуждения. Они бывают безумно красивыми, но только в том случае, если в них нет ошибок. Мне жалко людей, которые не знают этой красоты. И я пытаюсь открыть глаза тем, кто её не видит, поэтому занимаюсь преподаванием. В основе лежит доброта — слова из басни Крылова: “Кто добр, тому избытки в тягость, коль он их с ближним не делит”. Но не все могут понять эту красоту, и тех, кто не может, мне жалко. Хотя, конечно, им в некоторых случаях доступна другая красота — в музыке, в картинах и т.п. Эта другая красота сравнима с математической, и так же, как в математике, она противоречит выпендрежу, оригинальничанию, нарушению внутренней естественности. Всякое такое нарушение подобно ошибке в решении задачи».

Н.Н. Константинов:
«Основные принципы работы в математических классах — тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встечаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа — они способны надолго увлечь большинство учащихся. Но выбор тем сильно зависит от преподавателей, от их способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе учащихся в ней.
Тщательность означает, что тема проходится не временно («в вузе вас этому обучат как следует»), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Основная роль учителя — не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам ученика. Этот интерес и является основным стимулом, который имеется в руках учителя, а вовсе не двойки и пятерки, которые, конечно, что-то стимулируют, но, к сожалению, совсем не то, что требуется.
Неторопливость означает, что на каждую трудность уходит столько времени, сколько нужно. Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно к определенному сроку что-то «пройти» — неважно хорошо или плохо. Это — беда, так как в результате не пройдено ничего, и всем становится неинтересно — и ученикам, и учителям.
Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, иногда почти весь материал, выполняется учащимися самостоятельно — они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых задач и теорем. Прямой рассказ учителя малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных учеников видит разницу между фразами: «для любого С найдется х, который больше С» и «найдется х, который больше любого С». Вот и судите, много ли поймут ученики из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки учителя становится структурирование материала».

Н.Н. Константинов:
«Когда я учился в первом классе, то впервые соврал учительнице. Нам велели выучить таблицу умножения. Урок проходил так: учительница называет фамилию ученика и спрашивает его, например: “Трижды три равняется...?” Он встает и отвечает: “Девять”. И так проверяется, что все знают таблицу умножения.
А я таблицу учил, но не всю выучил и со страхом ждал, что она меня спросит. И вот она называет мою фамилию и спрашивает, сколько будет шестью семь. А это трудная пара — шестью семь. Я медленно встаю и думаю, что же теперь делать, ведь я этот элемент таблицы не выучил. Но сразу вспомнил, что шестью шесть — тридцать шесть, это легко, потому что это складно, а шестью семь, думаю, наверное, получится, если добавить к 36 еще одну шестерку, и, пока встал, я добавил и сказал: “Сорок два”. “Правильно, молодец!”
И я сел и думаю: “Я наврал или нет? Всё же я наврал, правда?” Я должен был показать, что я выучил, а я не выучил. Она сказала, что я молодец, но я же наврал! И я должен был сказать, что я не выучил. Это был первый случай, когда я соврал».

Несколько задач Н.Н. Константинова

Задача 1.
В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублёвые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Задача 2.
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня. (Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Задача 3.
Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Задача 4.
Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Задача 5.
В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1) Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2) Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Задача 6.
Шесть котов в течение 3,5 минут наблюдали за мышкой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту мышка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени мышка не оставалась без наблюдения. Могла ли мышка за это время проползти 6 м? А 3 м?

Задача 7.
Из пункта A в пункт B ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные верёвкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?

Предыдущие посты с задачами Константинова оформлены, в порядке эксперимента, с кнопками «Решение», из-за чего в них отвалилась возможность комментирования. Можно оставлять комментарии под этим постом.