«По моему мнению, единственное учение, которое может дать профессор, — это думать перед своими студентами»

28 июня 1875 г. родился Анри Лебег — один из основателей современной теории функции вещественного переменного. Главная заслуга Лебега — создание теории меры, понятия измеримой функции и обобщения понятия интеграла, основанное на теории меры и позволяющее интегрировать чрезвычайно широкий класс функций.
О мере Лебега и её значении для современной математики хорошо написано в статье Н.Я. Виленкина в журнале «Квант», посвящённой столетию математика (а в следующем году ему уже будет отмечаться 150 лет).

Лебег придавал своей преподавательской деятельности значение не меньшее, чем научной. Он старался не придерживаться стандартных схем изложения, определённых программами и учебниками, а как бы создавать науку заново в процессе преподавания, мыслить перед учащимися.
Во время Второй мировой войны дом Лебега в Париже был разрушен, а сам математик был уже сильно болен. Обычный транспорт во время оккупации гитлеровцами Парижа не работал, и для прочтения своего курса лекций о конических сечениях в Коллеж де Франс Лебег приспособил свой трёхколёсный велосипед и ездил на нём на лекции.

В попытках сосредоточиться на серьёзных задачах математики иногда не могут удержаться от обсуждения случайных забавных вещей. Недавно мы разбирали задачу о перемещении дивана по Г-образному коридору. Похожий сюжет связан с именем Анри Лебега.

https://telegra.ph/Zadacha-universalnogo-pokrytiya-Lebega-06-26

Вычислите устно

Вычислите устно

Лейбниц поставил задачу логического обоснования математики. Он понимал логику не только как искусство рассуждения и доказательства, но и как искусство изобретения и открытия новых истин. Отталкиваясь от формальной логики Аристотеля, он задумал грандиозный проект её усовершенствования, включающий создание «универсальной характеристики» — средства, с помощью которого всё человеческое познание должно подвергнуться коренному преобразованию. По замыслу Лейбница, новый метод должен включать два теоретических инструмента:
– Искусственный язык (characteristica universalis). Он должен служить средством выражения любых мыслей, устранять барьеры разноязычной речи, способствовать распространению научных идей.
– Исчисление умозаключений (calculus rationator). Оно должно однозначным образом определять последовательности выполнения действий над знаками и сами эти действия.
Свой грандиозный замысел Лейбниц не реализовал, но идея математизации логики оказала влияние на учёных XVIII в., стимулируя использование символических обозначений.

Норберт Винер: «Если бы мне пришлось выбирать в анналах истории наук святого — покровителя кибернетики, то я выбрал бы Лейбница. Философия Лейбница концентрируется вокруг двух основных идей, тесно связанных между собой: идеи универсальной символики и идеи логического исчисления. Из этих двух идей возникли современный математический анализ и современная символическая логика».

Лейбниц повлиял на создание Академии наук в Петербурге. В 1697 году, в ходе путешествия Петра I по Европе, немецкий учёный и русский царь встретились на герцогском приёме в замке в Ганновере, это стало началом их тесного общения и сотрудничества. Одним из плодов этого общения стала концепция создания Академий наук в Европе и последующее развитие российской науки по западноевропейскому образцу. В 1711–1716 годах встречи неоднократно повторялись. Лейбниц выступил автором проектов реформирования российских систем образования и госуправления, активно участвовал в развитии наук в России. Петр I высоко ценил деятельность немецкого учёного, даровал ему титул тайного советника юстиции и назначил пенсию в 2000 гульденов. Лейбниц высоко отзывался о русском самодержце: «Покровительство наукам всегда было моей главной целью, только недоставало великого монарха, который достаточно интересовался бы этим делом».

Лейбниц улучшил механический калькулятор Паскаля, — его калькулятор мог не только складывать и вычитать, но также умножать, делить и извлекать корни.
Примечательно, что один экземпляр вычислительного устройства попал в руки Петру I, который, удивившись устройству, поспешил подарить этот чудо-аппарат китайскому императору.
Механизм под названием «колесо Лейбница» ещё долго использовался в арифмометре — первом массовом механическом калькуляторе.

Для целей вычислительной математики Лейбниц предложил использовать двоичную систему счисления. Намереваясь показать, что двоичное счисление — это не забава, а метод с большим будущим, Лейбниц изготовил специальную медаль. На ней изображена таблица простейших действий над числами в двоичной системе и отчеканена фраза: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Во время своего пребывания в Нюрнберге Лейбниц узнал, что в городе существует общество алхимиков. Он решил пошутить и направил в адрес общества огромное послание, состоящие из бессмысленного набора научных терминов. Каково же было его удивление, когда через некоторое время он получил пространный ответ, в котором давалось высокая оценка идеям, высказанным в его послании. Председатель общества с почтением сообщил, что на последнем собрании великий учёный Лейбниц единогласно избран почётным членом их организации, и ему назначен солидный оклад.

Став приближённым ганноверского герцога, Лейбниц сам начал предпринимать различные алхимические опыты, поскольку августейший правитель интересовался алхимией. Эти опыты сблизили Лейбница с гамбургским алхимиком Брандтом. Брандт где-то вычитал что из мочи будто бы можно добыть жидкое вещество, посредством которого серебро может быть превращено в золото. Неслучайно же моча золотистого цвета! Для проверки этой гипотезы Брандт провёл ряд опытов: он варил мочу, получившийся сухой остаток подвергал продолжительному накаливанию, затем собирал получаемые пары в особый приёмник. Результат получился неожиданный: вместо философского камня Брандт нашёл светящееся в темноте вещество, крайне горючее и ядовитое, которое назвал фосфором. Явившись в Ганновер, Брандт возжелал повторить опыт с куда большим размахом. По совету Лейбница он воспользовался армейским призывом и собрал целые бочки этой чудесной жидкости, благодаря чему Лейбниц, не отказавшийся поучаствовать в этом действе, добыл весьма значительное количество фосфора. Брандта вознаградили пожизненной пенсией, а Лейбниц написал статью с описанием способа.

Друзья и почитатели Лейбница подарили ему его бюст, искусно выполненный известным скульптором. Лейбниц долго разглядывал бюст и, наконец, произнес: «Так вот, значит, как выглядит то лицо, которое я ежедневно брею».

Лейбниц является, наверное, самым оптимистичным философом. Примечательно, что сам термин «оптимизм» (как и связанный с ним «пессимизм») был введён Лейбницем для обозначения определённого типа мышления.
Он полагал, что мы живём в «лучшем из всех возможных миров». В трактате «Теодицея» (дословно — богооправдание) мыслитель рассматривает вопрос, почему в мире существует зло и как его существование соотносится с благостью, премудростью, всемогуществом и правосудием Творца.
Лейбниц выделяет три типа зла. Зло метафизическое — оно вытекает из самого существования мира, поскольку в нём неизбежно присутствует определённая ограниченность, без которой сам мир не отличался бы от Бога. В метафизическом зле находит основание зло физическое: страдания представляют собой наказание или средство воспитания существ для достижения высших целей. И третий вид зла — зло нравственное (т.е. зло в прямом смысле — грех). Божество не может изъять его из мира, не уничтожив самой нравственной основы бытия — свободы: без свободы мир не был бы совершенным. А там, где есть свобода, неизбежна возможность извращённой деятельности, т.е. греха.
Установление в мире «полного порядка», даже в случае добровольного отказа людей от свободы воли, есть, по Лейбницу, торжество зла. Но, по счастью, оно невозможно, поскольку наш мир является совершенным и в нём непременно победит добро!

Кроме формул в разных разделах математики, именем Лейбница названы кратер и самая высокая горная цепь на Луне, одна из малых планет, а с 1889 г. в Ганновере бисквитная фабрика Бальзен выпускает печенье под брендом великого математика.

3 года назад, 3 июля 2021 г. ушёл из жизни Николай Николаевич Константинов — создатель системы математических школ и математических классов в России, организатор многопредметного Турнира им. М.В. Ломоносова и международной математической олимпиады Турнир городов, лауреат премии Пола Эрдёша за выдающийся вклад в развитие математического образования.
Константинов является автором уникальной методики преподавания математики по «системе листков». Эта методика чрезвычайно эффективна для освоения разных разделов математики, но крайне трудозатратна — и для учеников, и для преподавателей: ученику приходится самостоятельно изобретать доселе неизвестные ему ходы и приёмы, а преподавателю внимательно выслушивать каждое решение каждого ученика, подсказывать, в чём ошибка, подталкивать к решению.
Интервью с НикНиком в журнале Квант.

«Я не знаю большей радости, чем ясные математические рассуждения. Они бывают безумно красивыми, но только в том случае, если в них нет ошибок. Мне жалко людей, которые не знают этой красоты. И я пытаюсь открыть глаза тем, кто её не видит, поэтому занимаюсь преподаванием. В основе лежит доброта — слова из басни Крылова: “Кто добр, тому избытки в тягость, коль он их с ближним не делит”. Но не все могут понять эту красоту, и тех, кто не может, мне жалко. Хотя, конечно, им в некоторых случаях доступна другая красота — в музыке, в картинах и т.п. Эта другая красота сравнима с математической, и так же, как в математике, она противоречит выпендрежу, оригинальничанию, нарушению внутренней естественности. Всякое такое нарушение подобно ошибке в решении задачи».

Н.Н. Константинов:
«Основные принципы работы в математических классах — тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встечаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа — они способны надолго увлечь большинство учащихся. Но выбор тем сильно зависит от преподавателей, от их способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе учащихся в ней.
Тщательность означает, что тема проходится не временно («в вузе вас этому обучат как следует»), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Основная роль учителя — не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам ученика. Этот интерес и является основным стимулом, который имеется в руках учителя, а вовсе не двойки и пятерки, которые, конечно, что-то стимулируют, но, к сожалению, совсем не то, что требуется.
Неторопливость означает, что на каждую трудность уходит столько времени, сколько нужно. Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно к определенному сроку что-то «пройти» — неважно хорошо или плохо. Это — беда, так как в результате не пройдено ничего, и всем становится неинтересно — и ученикам, и учителям.
Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, иногда почти весь материал, выполняется учащимися самостоятельно — они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых задач и теорем. Прямой рассказ учителя малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных учеников видит разницу между фразами: «для любого С найдется х, который больше С» и «найдется х, который больше любого С». Вот и судите, много ли поймут ученики из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки учителя становится структурирование материала».