К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два весёлых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две ёмкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и предлагают продавцу миллион рублей с тем условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Если Вы хотите предложить для публикации интересную задачу, методическую разработку, оригинальную статью или поделиться каким-либо ещё материалом по теме канала, присылайте сюда: @math_essence_bot.

Публикуем статьи нашего подписчика Леонида Коганова.


#предложка

«По моему мнению, единственное учение, которое может дать профессор, — это думать перед своими студентами»

28 июня 1875 г. родился Анри Лебег — один из основателей современной теории функции вещественного переменного. Главная заслуга Лебега — создание теории меры, понятия измеримой функции и обобщения понятия интеграла, основанное на теории меры и позволяющее интегрировать чрезвычайно широкий класс функций.
О мере Лебега и её значении для современной математики хорошо написано в статье Н.Я. Виленкина в журнале «Квант», посвящённой столетию математика (а в следующем году ему уже будет отмечаться 150 лет).

Лебег придавал своей преподавательской деятельности значение не меньшее, чем научной. Он старался не придерживаться стандартных схем изложения, определённых программами и учебниками, а как бы создавать науку заново в процессе преподавания, мыслить перед учащимися.
Во время Второй мировой войны дом Лебега в Париже был разрушен, а сам математик был уже сильно болен. Обычный транспорт во время оккупации гитлеровцами Парижа не работал, и для прочтения своего курса лекций о конических сечениях в Коллеж де Франс Лебег приспособил свой трёхколёсный велосипед и ездил на нём на лекции.

В попытках сосредоточиться на серьёзных задачах математики иногда не могут удержаться от обсуждения случайных забавных вещей. Недавно мы разбирали задачу о перемещении дивана по Г-образному коридору. Похожий сюжет связан с именем Анри Лебега.

https://telegra.ph/Zadacha-universalnogo-pokrytiya-Lebega-06-26

Вычислите устно

Вычислите устно

Лейбниц поставил задачу логического обоснования математики. Он понимал логику не только как искусство рассуждения и доказательства, но и как искусство изобретения и открытия новых истин. Отталкиваясь от формальной логики Аристотеля, он задумал грандиозный проект её усовершенствования, включающий создание «универсальной характеристики» — средства, с помощью которого всё человеческое познание должно подвергнуться коренному преобразованию. По замыслу Лейбница, новый метод должен включать два теоретических инструмента:
– Искусственный язык (characteristica universalis). Он должен служить средством выражения любых мыслей, устранять барьеры разноязычной речи, способствовать распространению научных идей.
– Исчисление умозаключений (calculus rationator). Оно должно однозначным образом определять последовательности выполнения действий над знаками и сами эти действия.
Свой грандиозный замысел Лейбниц не реализовал, но идея математизации логики оказала влияние на учёных XVIII в., стимулируя использование символических обозначений.

Норберт Винер: «Если бы мне пришлось выбирать в анналах истории наук святого — покровителя кибернетики, то я выбрал бы Лейбница. Философия Лейбница концентрируется вокруг двух основных идей, тесно связанных между собой: идеи универсальной символики и идеи логического исчисления. Из этих двух идей возникли современный математический анализ и современная символическая логика».

Лейбниц повлиял на создание Академии наук в Петербурге. В 1697 году, в ходе путешествия Петра I по Европе, немецкий учёный и русский царь встретились на герцогском приёме в замке в Ганновере, это стало началом их тесного общения и сотрудничества. Одним из плодов этого общения стала концепция создания Академий наук в Европе и последующее развитие российской науки по западноевропейскому образцу. В 1711–1716 годах встречи неоднократно повторялись. Лейбниц выступил автором проектов реформирования российских систем образования и госуправления, активно участвовал в развитии наук в России. Петр I высоко ценил деятельность немецкого учёного, даровал ему титул тайного советника юстиции и назначил пенсию в 2000 гульденов. Лейбниц высоко отзывался о русском самодержце: «Покровительство наукам всегда было моей главной целью, только недоставало великого монарха, который достаточно интересовался бы этим делом».

Лейбниц улучшил механический калькулятор Паскаля, — его калькулятор мог не только складывать и вычитать, но также умножать, делить и извлекать корни.
Примечательно, что один экземпляр вычислительного устройства попал в руки Петру I, который, удивившись устройству, поспешил подарить этот чудо-аппарат китайскому императору.
Механизм под названием «колесо Лейбница» ещё долго использовался в арифмометре — первом массовом механическом калькуляторе.

Для целей вычислительной математики Лейбниц предложил использовать двоичную систему счисления. Намереваясь показать, что двоичное счисление — это не забава, а метод с большим будущим, Лейбниц изготовил специальную медаль. На ней изображена таблица простейших действий над числами в двоичной системе и отчеканена фраза: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Во время своего пребывания в Нюрнберге Лейбниц узнал, что в городе существует общество алхимиков. Он решил пошутить и направил в адрес общества огромное послание, состоящие из бессмысленного набора научных терминов. Каково же было его удивление, когда через некоторое время он получил пространный ответ, в котором давалось высокая оценка идеям, высказанным в его послании. Председатель общества с почтением сообщил, что на последнем собрании великий учёный Лейбниц единогласно избран почётным членом их организации, и ему назначен солидный оклад.

Став приближённым ганноверского герцога, Лейбниц сам начал предпринимать различные алхимические опыты, поскольку августейший правитель интересовался алхимией. Эти опыты сблизили Лейбница с гамбургским алхимиком Брандтом. Брандт где-то вычитал что из мочи будто бы можно добыть жидкое вещество, посредством которого серебро может быть превращено в золото. Неслучайно же моча золотистого цвета! Для проверки этой гипотезы Брандт провёл ряд опытов: он варил мочу, получившийся сухой остаток подвергал продолжительному накаливанию, затем собирал получаемые пары в особый приёмник. Результат получился неожиданный: вместо философского камня Брандт нашёл светящееся в темноте вещество, крайне горючее и ядовитое, которое назвал фосфором. Явившись в Ганновер, Брандт возжелал повторить опыт с куда большим размахом. По совету Лейбница он воспользовался армейским призывом и собрал целые бочки этой чудесной жидкости, благодаря чему Лейбниц, не отказавшийся поучаствовать в этом действе, добыл весьма значительное количество фосфора. Брандта вознаградили пожизненной пенсией, а Лейбниц написал статью с описанием способа.

Друзья и почитатели Лейбница подарили ему его бюст, искусно выполненный известным скульптором. Лейбниц долго разглядывал бюст и, наконец, произнес: «Так вот, значит, как выглядит то лицо, которое я ежедневно брею».

Лейбниц является, наверное, самым оптимистичным философом. Примечательно, что сам термин «оптимизм» (как и связанный с ним «пессимизм») был введён Лейбницем для обозначения определённого типа мышления.
Он полагал, что мы живём в «лучшем из всех возможных миров». В трактате «Теодицея» (дословно — богооправдание) мыслитель рассматривает вопрос, почему в мире существует зло и как его существование соотносится с благостью, премудростью, всемогуществом и правосудием Творца.
Лейбниц выделяет три типа зла. Зло метафизическое — оно вытекает из самого существования мира, поскольку в нём неизбежно присутствует определённая ограниченность, без которой сам мир не отличался бы от Бога. В метафизическом зле находит основание зло физическое: страдания представляют собой наказание или средство воспитания существ для достижения высших целей. И третий вид зла — зло нравственное (т.е. зло в прямом смысле — грех). Божество не может изъять его из мира, не уничтожив самой нравственной основы бытия — свободы: без свободы мир не был бы совершенным. А там, где есть свобода, неизбежна возможность извращённой деятельности, т.е. греха.
Установление в мире «полного порядка», даже в случае добровольного отказа людей от свободы воли, есть, по Лейбницу, торжество зла. Но, по счастью, оно невозможно, поскольку наш мир является совершенным и в нём непременно победит добро!