Том и Джерри делят кусок сыра. Если Том откусит часть от этого куска, а оставшийся сыр отдаст Джерри, то Джерри достанется на 20 г больше сыра, чем досталось Тому. А если Джерри откусит от исходного куска часть и оставшийся сыр отдаст Тому, то Тому достанется на 60 г больше сыра, чем Джерри. Сколько сыра останется, если откусят оба?

В буфете продавали сыр. Было 4 покупателя, которые скупили весь сыр. Каждый покупатель брал половину оставшихся сыров и ещё половину головки сыра. Сколько головок сыра было вначале?

Купец купил в Костроме несколько головок сыра и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Костроме сыр (по костромской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?

6 июня 1857 г. родился великий русский математик и механик Александр Михайлович Ляпунов. Он создал науку об устойчивости и равновесии движущихся механических систем. Вывел законы, по которым, например, можно точно рассчитать, какую форму примет поверхность вращающейся жидкости. Исследования Ляпунова были продолжены многими другими учёными; в настоящее время его результаты лежат в основе теории автоматического управления. В математической физике Ляпунов решил задачу Дирихле. В теории вероятностей доказал центральную предельную теорему — эта теорема позволяет объяснить широкое распространение нормального закона в природе и технике.
Один эпизод из научной биографии учёного. В 1902 г. известный английский астроном Джордж Дарвин (сын Чарльза Дарвина) опубликовал статью, в которой на основании формул Пуанкаре показал устойчивость грушевидных форм и объяснил на её основе космогоническую гипотезу Лапласа о формировании спутников планет из вращающейся массы жидкости. Ляпунов в 1905 г. показал ошибочность результатов Дарвина, использовавшего без надлежащей осторожности лишь первое приближение, опубликовав объёмный 784-страничный труд, в котором привёл гигантские выкладки. Ошибка в вычислениях Дарвина была обнаружена лишь в 1917 г., спасти гипотезу Лапласа не удалось.

А.М. Ляпунов: «Позвольте мне дать вам несколько дружеских советов: не гонитесь за слишком большим обобщением, особенно когда ради этого приходится жертвовать точностью и аккуратностью. Более того, слишком общая постановка вопроса часто лишает проблему какого-либо интереса».

Быть может, благодаря этой фразе учёного появился известный анекдот про физика-теоретика, которого попросили рассчитать устойчивость обычного стола с четырьмя ножками, — тот довольно быстро получил результаты, относящиеся к столу с одной ножкой и с бесконечным количеством ножек, а всю оставшуюся жизнь безуспешно решал задачу о столе с произвольным количеством ножек.

Почему вода из бутылки выливается рывками и с бульканьем

Бульканье и пузырьки воздуха, поднимающиеся в воде, появляются из-за гидродинамической неустойчивости Рэлея–Тейлора, возникающей когда тяжёлая жидкость (вода) подвешена над лёгкой жидкостью (воздух). Конфигурация «тяжелый над лёгким» нестабильна, и требуется лишь небольшие возмущения, чтобы нарушить баланс. Эти возмущения (например, из-за колебаний) усиливаются в волны большей амплитуды до тех пор, пока воздух на дне не превратится в пузырь, который будет перекрыт водой и поднимется внутри бутылки в виде «бульканья».
Когда вода вытекает из бутылки, воздух в ней расширяется, давление его падает и становится меньше атмосферного. Вследствие этого наружный воздух пузырями прорывается сквозь жидкость в бутылку — возникает бульканье. При этом стенки сосуда начинают сжиматься и создавать автоколебательную систему.
Аналогичное явление возникает во многих областях техники, где требуется прогонять жидкости или газы с помощью компрессоров. Такой сбой в работе компрессора — это известное явление помпаж (фр. pompage — «колебания, пульсация»). Причиной помпажа является попадание воздушного потока на лопатки рабочего колеса. Из-за резкого изменения направления воздуха происходят турбулентные завихрения в турбине, что, в свою очередь, приводит к изменению давления на входе в компрессор агрегата. Поскольку воздух не может пройти, давление возрастает, и в какой-то момент компрессор не может продолжать работу.
Внешне помпаж проявляется в виде хлопков, сильной вибрации нагнетателя в компрессоре, отдельных периодических толчков. Среды, в которых наблюдается явление помпажа: газ, вытекающий из газотурбинного двигателя самолётов, идущая по нефтепроводу сырая нефть или продукты её перегонки, газ и топливо, перегоняемые в автомобильных двигателях. Помпаж влияет на целостность конструкции двигателей самолётов и автомобилей, на их КПД и на стабильность работы.

Сегодня обратимся к одному знаковому парадоксу теории множеств, имеющему достаточно простую формулировку - парадоксу Ришара.

Итак, для начала нам понадобятся все буквы русского алфавита. 33 русские буквы необходимо расположить во всех возможных комбинациях: по двое, трое, четверо и вообще, как угодно. 

Например:

аб, вг, де, жз . . . . .
абв, укх, ерп . . . . .
укпр, вапк, фыва, апе5 . . . . и т.д.

Кроме того, добавив в русский алфавит знак "пробела", мы можем уже формировать словосочетания и предложения, например : аб ук еу, ыаы пау спаы, свауцп и т.д. Таким образом из русского алфавита и знака пробела мы можем получить ЛЮБОЙ набор слов.

А теперь поговорим о числах. Допустим, число тридцать четыре - это не что иное, как одна из бесконечных комбинаций, которую можно построить, используя русский алфавит.
Сделаем вот что: из бесконечного набора комбинаций вычеркнем те, которые НЕ являются словесными определениями действительных чисел и пронумеруем оставшиеся.

Например, так (рис). Слева и справа наборы из двух, пяти и т.д. знаков (знак может быть и пробелом). Более того, действительные числа включают в себя еще и рациональные дроби, и иррациональные и трансцендентные числа. Вычеркнули те комбинации, которые нельзя отождествить с числом.

Ожидаемо, мы получим бесконечное (но счетное!) множество Е, в котором содержатся ВСЕ возможные буквенные комбинации, определяющие ВСЕ действительные числа, которые вообще можно описать русскими буквами.

Казалось бы, наше перечисление окончательное, но не тут-то было. Французский математик Жюль Ришар показал способ построения такого определения числа из набора букв, которое не относится к итоговому множеству E.

Ну что еще можно придумать, русских букв же больше нет? Можно даже взять за определение чисел конструкции вида "расстояние до Солнца", "длина экватора", "рост Путина", "второй замечательный предел при эн стремящемся к бесконечности" - это тоже определение числа и т.д.

Ришар определяет "некое" (неважно какое) число фразой : пусть p - это n-ный десятичный знак n-ного числа полученного множества E; образуем число с нулем в целой части, и в n-ном десятичном знаке - p+1, если p не равно ни восьми, ни девяти, - и единицу в противном случае.

Число, которое таким образом можно получить обладает удивительным свойством:

во-первых, оно определяется конечным набором знаков алфавита, т.е. входит в множество E (Ришар описал определение конечным числом слов) и букв;

во-вторых, оно не относится к этому множеству, потому что способ его построения и нумерации определяет, что n-ное число этого множества должно иметь на n-ном месте число p, а не p+1 (вернитесь в начало фразы Ришара, "обращение на себя");

получаем противоречие, ведь ранее мы предположили, что множество Е содержит ВСЕ определения чисел.

"Разгадка" парадокса Ришара состоит в том, что он, во-первых, использует древний логическую ситуацию, когда суждение оборачивается на самого себя (самореферентность, парадокс брадобрея и т.д.), а во-вторых не учитывает, что между бесконечными счетными и бесконечными несчетными множествами есть огромная разница.

Задачи про таблетки

Однажды агенты Матрицы поймали Морфеуса и дали ему выбирать его же таблетки — красные или синие. Красная возвращает Морфеуса в реальный мир, а синяя навсегда оставляет его внутри Матрицы и в руках агентов. Выбор происходит так: Морфеус сам берёт 50 красных и 50 синих таблеток, как угодно раскладывает их по двум одинаковым коробкам, а потом агент Матрицы выбирает любую коробку и не глядя достаёт оттуда случайную таблетку.
Может ли Морфеус так разложить таблетки по коробкам, чтобы вероятность его возвращения в реальный мир была не меньше 5/7?

Имеется 20 баночек с таблетками. В одной из них таблетки отравленные. Настоящие таблетки весят по 1 г, а отравленные — по 1,1 г. Все таблетки выглядят одинаково. И есть очень точные весы, на которых можно взвешивать что угодно в любом количестве. Как за одно взвешивание найти банку с токсичными таблетками?

Вам нужно каждый день принимать две таблетки. Одну из одной баночки, другую — из другой. Это вопрос жизни и смерти. Если вы не примете хотя бы одну из двух таблеток, вы умрёте. Если вы примете две одинаковые таблетки за раз — тоже умрёте. И вот однажды вы совершили глупость. Подставили ладонь и положили на неё таблетку из одного пузырька, а потом в эту же ладонь решили стряхнуть таблетку из другого пузырька. Но вот же невезуха, вместо одной таблетки из пузырька стряхнулось две. Теперь перед вами на ладони три абсолютно одинаковых на вид, вкус, цвет и запах таблетки. Выкинуть таблетки и взять новые нельзя — они бесценны (вам не хватит таблеток на полный курс и вы всё равно умрёте). Как, ничем не рискуя, принять таблетки?

Ещё несколько сырных задач

Мышонок ест куб сыра 3×3×3, разрезанный на 27 единичных кубиков. После того, как кубик съеден, мышонок переходит к соседнему с ним по грани кубику. Может ли этот зверь съесть весь сыр без центрального кубика?

На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные семь крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?

Продавец должен был отвесить покупателю 2 фунта сыра; но его весы были неверны: одно плечо коромысла было короче другого. Тогда он уравновесил весы, положив сперва сыр на левую чашу весов и гирю весом 1 фунт — на правую, а потом наоборот: гирю 1 фунт — на левую чашу весов, а сыр — на правую. Выиграл или проиграл торговец при таком взвешивании товара?

Несколько кусков сыра требуется разложить на 7 кучек одинакового веса, разрезав предварительно несколько кусков на части. Каким наименьшим количеством разрезов можно гарантированно обойтись? (При любом разрезе один кусок распадается на два).

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

Имеется 57 кусков сыра разного веса. Докажите, что можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково.

13 июня 1966 г. родился Григорий Яковлевич Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре - одну из семи "задач тысячелетия".

https://25.hse.ru/2003/lando?ysclid=lx3lrqwsgg781950011

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431653/Chto_zhe_dokazal_Grigoriy_Perelman?ysclid=lx3lq8ojc737786275