Интуитивно понятие размерности кажется довольно простым и уж точно воспринимается нами как число натуральное — мы понимаем размерность как количество независимых параметров (координат), необходимых для задания положения точки внутри фигуры.
Так, любая линия (например, окружность) одномерна; а поверхность (например, сфера) двумерна.
Также в линейной алгебре размерность пространства определяется числом базисных векторов.
Но оказывается, что такого понимания размерности недостаточно: существуют объекты, к которым оно неприменимо. Их называют фракталами.

Задача о разборчивой невесте.
В некотором царстве, в некотором государстве пришло время невесте выбирать себе жениха. В назначенный день явились N царевичей. Их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса может сказать, познакомившись с ними, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего?

Решение

Таки решение или нет?
Ответ в заметке ниже.
Прошу проголосовать прежде, чем перейти по ссылке.

Почему данное «решение» на самом деле решением не является?

В учебнике геометрии для общеобразовательных школ за авторством Л.С. Атанасяна и др., рекомендованном Министерством образования и науки РФ, следующим образом вводится понятие площади круга:

По этому учебнику в РЭШ составлены видео-уроки для школьников. Вот отрывок из урока, посвящённого этой теме:

Правомочен ли такой подход?
Ответ под спойлером.
Но не забудьте сначала проголосовать!
Почему так нельзя находить площадь круга?

В одной школьной параллели учатся два класса по 30 человек — А и Б. Классы разделены на две непересекающиеся группы (необязательно одинаковые по размеру) для изучения иностранного языка — английского и китайского. Доля мальчиков в английской группе класса А больше чем в английской группе класса Б. И доля мальчиков в китайской группе класса А больше чем в китайской группе класса Б.
Может ли доля мальчиков во всём классе А оказаться меньше, чем во всём классе Б?

Ниже мы разберём эту задачу, а сейчас предлагается проверить свою интуицию.

Может или нет?
Проголосуйте сначала, пожалуйста!
Парадокс Симпсона.

Феномен Уилла Роджерса
Даны два конечных числовых множества. Может ли перемещение какого-то элемента из одного множества в другое повысить среднее значение в обоих множествах?
Ответ: может. Легко построить пример: пусть А = {10; 100}, В = {1}; тогда перемещение элемента 10 из множества А в В повысит среднее значение в каждом множестве.
Данное явление получило название феномена Уилла Роджерса в честь американского комика за его (по нынешним временам не совсем политкорректную) шутку: «Жители Оклахомы, переехавшие в Калифорнию, повысили средний интеллект обоих штатов». Вряд ли сам Уилл имел в виду что-либо иное, кроме троллинга жителей штата Калифорния, но с тех пор на подобные странные явления стали обращать внимание, а имя комика дало ему название. По сути, феномен Роджерса описывает то же явление, что и парадокс Симпсона, только немного в других терминах.
Где может проявиться феномен Роджерса? Допустим, Вы руководитель какого-нибудь предприятия, в состав которого входят два отдела с существенно разными показателями качества. Например, это могут быть два учебных класса разной успеваемости в школе; или два канала радиовещания с разными рейтингами; или два хеджевых фонда с разным уровнем дохода; или два филиала по продаже автомобилей с разным уровнем продаж… Как можно повысить — для отчётности — показатели качества работы предприятия, не принимая для этого никаких содержательных мер? Всё очень просто: Вам нужно всего лишь перевести одного-двух учеников из сильного класса в слабый; или, соответственно, перекинуть какую-нибудь передачу с одного канала на другой, имеющий более низкий рейтинг; или — продать несколько инвестиционных паёв фонду с низкой доходностью; или — переместить менеджера по продажам работать в соседний филиал… В целом подобная перестановка ничего не изменит, но произведёт впечатление о росте средних показателей!
Особо коварен феномен У.Роджерса в медицине. Улучшение методов диагностики какого-либо заболевания (например, рака) приводит к изменению статуса части населения со «здоровый» на «больной». Вычёркивание людей с выявленными опухолями, которые пока не причиняют беспокойства, из списка «здоровых» приводит к повышению средней продолжительности жизни в этой группе. С другой стороны, у этих людей только начальная стадия заболевания, поэтому добавление их в множество «больных» также повышает средний показатель здоровья в этой группе. Таким образом, ранняя диагностика способствует возникновению не очень хорошего эффекта — улучшению показателей на бумаге без какого бы то ни было улучшения лечения пациентов.

Феномен Уилла Роджерса положен в основу некоторых олимпиадных школьных задач. Рассмотрим одну из них (в различных вариациях).
Сначала проголосуем!
Задача. Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку — число Q — показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей страны.
(Во всех задачах предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменился, никто не умер и не родился.)

Не забудем сначала проголосовать!
Решение задач на феномен У.Роджерса