Проверим интуицию

Числа 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 простые.
Верно ли, что все числа такого вида простые?

Следующие знакопеременные суммы факториалов — простые числа:
3! − 2! + 1! = 5,
4! − 3! + 2! − 1! = 19,
5! − 4! + 3! − 2! + 1! = 101,
6! − 5! + 4! − 3! + 2! − 1! = 619,
7! − 6! + 5! − 4! + 3! − 2! + 1! = 4421,
8! − 7! + 6! − 5! + 4! − 3! + 2! − 1! = 35899.
Верно ли, что все члены этой последовательности простые?

Закон малых чисел

Фундаментальным математическим принципом является закон больших чисел (теорема Чебышёва), суть которого состоит в том, что с увеличением объёма выборки повышается вероятность того, что результаты измерений окажутся близки к ожидаемым.
Несколько иронично, отталкиваясь от названия этого закона, психологами А. Тверски и Д. Канеманом был введён закон малых чисел (The law of small numbers). Он выражает ошибку распространения закона больших чисел на маленькие выборки, т.е. форму заблуждения людей, состоящую в их склонности преувеличивать вероятность того, что малая выборка отражает свойства генеральной совокупности. Математически это означает: чем меньше объём выборки, тем выше вероятность отклонения результата от ожидаемого.
Можно проиллюстрировать совсем крайним примером. Если в каком-то населённом пункте живёт всего один избиратель, то явка на выборах составит или 0%, или 100%, что будет существенно отличаться от явки в большом городе.
Пусть при подбрасывании обычной монетки десять раз подряд выпал орёл. Что можно сказать о вероятности выпадения решки при следующем броске:
– она равна вероятности выпадения орла и равна ½;
– она больше ½, поскольку пора бы ей уже и выпасть?!
Если Вы выбираете второй ответ, то верите в закон малых чисел и допускаете ошибку игрока.
(Есть ещё вариант ответа, что более вероятно выпадение орла, поскольку монетка какая-то подозрительная, но мы его не рассматриваем, поскольку по условию задачи монетка честная.)
Закон малых чисел служит основой появления различных мифов, в том числе псевдонаучных. Примером скороспелого обобщения в научной среде является так называемый эффект Моцарта. В 1993 г. исследователь Ф. Раушер обнаружил, что прослушивание сонаты Моцарта К448 для двух фортепиано ре мажор улучшает пространственное мышление. Он тестировал эффект на 36 студентах и получил значительный эффект. Но в 2010 г. метаанализ 40 научных исследований показал, что эффект, если и существует, то выражен крайне слабо, в пределах статистической погрешности.

Сильный закон малых чисел

Ричард К. Гай сформулировал ещё сильный закон малых чисел (The strong law of small numbers). Он выражает такой принцип: малых чисел не так много. Все числа, с которыми мы имеем дело, в том числе, считая при помощи компьютера, слишком малы для обнаружения подлинных закономерностей.
Примером может служить парадокс дней рождений. В году 365 дней — и это не так много, чтобы в случайной группе людей дни рождения не совпали: для группы из 23 человек вероятность этого события превышает 50%, а для группы из 57 человек — уже 99%.
Вот ещё пример: 3²+4²=5², а 3³+4³+5³=6³.
Будет ли верно равенство: 3⁴+4⁴+5⁴+6⁴=7⁴ — правило это или совпадение? Нет, это совпадение.
Ещё классический пример. Эйлер в 1772 г. заметил, что ряд чисел:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, … (разности между двумя последовательными членами являются последовательными чётными числами)
даёт 40 последовательных простых. Но следующее — 41-е число — равно 1681 = 41².
Или, также придуманный Эйлером, трёхчлен: 𝑥² − 79𝑥 + 1601 — он принимает простые значения при всех 𝑥 = 0, 1, …, 79.
Довольно сильный пример — опровергнутая китайская гипотеза, утверждающая, что целое число является простым тогда и только тогда, когда 2ⁿ – 2 делится на n. Если n — простое число, то это частный случай малой теоремы Ферма, а вот обратное утверждение (и, значит, гипотеза в целом) ложно. Но наименьшим контрпримером является лишь n = 341 = 11· 31.
Ну и в завершение приведём, пожалуй, самый яркий пример, показывающий, что в математике нельзя полагаться на интуицию, когда речь идёт об утверждениях, связанных с большими числами. Это гипотеза Пойи. Венгерский математик Дьёрдь Пойа в 1919 г. сделал предположение, связанное с особенностями разложения чисел на простые множители. Он подметил, что для любого заранее фиксированного натурального числа не меньше половины натуральных чисел, меньших его, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом их кратности (т.е. каждый множитель учитывается столько раз, какова его степень в разложение числа на простые множители).
Гипотеза была опровергнута в 1958 г. Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример в районе 1,845·10³⁶¹. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 г. — 906 180 359. Наименьший пример — 906 150 257 — был обнаружен М. Танакой в 1980 г.

Несколько сырных задач

Вороне где-то бог послал кусочек сыру… Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Четыре серые крысы и три рыжие съедают за пять дней столько же сыра, сколько три серые крысы и пять рыжих съедают за четыре дня. У каких крыс прожорливость больше — у серых или у рыжих?

Массы трёх кусков сыра пропорциональны числам 1, 2, 3. Разрезали два куска. Каждый — на две части. Получилось 5 кусков, у которых массы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, 6. Какие куски резали и в какой пропорции?

Том и Джерри делят кусок сыра. Если Том откусит часть от этого куска, а оставшийся сыр отдаст Джерри, то Джерри достанется на 20 г больше сыра, чем досталось Тому. А если Джерри откусит от исходного куска часть и оставшийся сыр отдаст Тому, то Тому достанется на 60 г больше сыра, чем Джерри. Сколько сыра останется, если откусят оба?

В буфете продавали сыр. Было 4 покупателя, которые скупили весь сыр. Каждый покупатель брал половину оставшихся сыров и ещё половину головки сыра. Сколько головок сыра было вначале?

Купец купил в Костроме несколько головок сыра и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Костроме сыр (по костромской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?

6 июня 1857 г. родился великий русский математик и механик Александр Михайлович Ляпунов. Он создал науку об устойчивости и равновесии движущихся механических систем. Вывел законы, по которым, например, можно точно рассчитать, какую форму примет поверхность вращающейся жидкости. Исследования Ляпунова были продолжены многими другими учёными; в настоящее время его результаты лежат в основе теории автоматического управления. В математической физике Ляпунов решил задачу Дирихле. В теории вероятностей доказал центральную предельную теорему — эта теорема позволяет объяснить широкое распространение нормального закона в природе и технике.
Один эпизод из научной биографии учёного. В 1902 г. известный английский астроном Джордж Дарвин (сын Чарльза Дарвина) опубликовал статью, в которой на основании формул Пуанкаре показал устойчивость грушевидных форм и объяснил на её основе космогоническую гипотезу Лапласа о формировании спутников планет из вращающейся массы жидкости. Ляпунов в 1905 г. показал ошибочность результатов Дарвина, использовавшего без надлежащей осторожности лишь первое приближение, опубликовав объёмный 784-страничный труд, в котором привёл гигантские выкладки. Ошибка в вычислениях Дарвина была обнаружена лишь в 1917 г., спасти гипотезу Лапласа не удалось.

А.М. Ляпунов: «Позвольте мне дать вам несколько дружеских советов: не гонитесь за слишком большим обобщением, особенно когда ради этого приходится жертвовать точностью и аккуратностью. Более того, слишком общая постановка вопроса часто лишает проблему какого-либо интереса».

Быть может, благодаря этой фразе учёного появился известный анекдот про физика-теоретика, которого попросили рассчитать устойчивость обычного стола с четырьмя ножками, — тот довольно быстро получил результаты, относящиеся к столу с одной ножкой и с бесконечным количеством ножек, а всю оставшуюся жизнь безуспешно решал задачу о столе с произвольным количеством ножек.

Почему вода из бутылки выливается рывками и с бульканьем

Бульканье и пузырьки воздуха, поднимающиеся в воде, появляются из-за гидродинамической неустойчивости Рэлея–Тейлора, возникающей когда тяжёлая жидкость (вода) подвешена над лёгкой жидкостью (воздух). Конфигурация «тяжелый над лёгким» нестабильна, и требуется лишь небольшие возмущения, чтобы нарушить баланс. Эти возмущения (например, из-за колебаний) усиливаются в волны большей амплитуды до тех пор, пока воздух на дне не превратится в пузырь, который будет перекрыт водой и поднимется внутри бутылки в виде «бульканья».
Когда вода вытекает из бутылки, воздух в ней расширяется, давление его падает и становится меньше атмосферного. Вследствие этого наружный воздух пузырями прорывается сквозь жидкость в бутылку — возникает бульканье. При этом стенки сосуда начинают сжиматься и создавать автоколебательную систему.
Аналогичное явление возникает во многих областях техники, где требуется прогонять жидкости или газы с помощью компрессоров. Такой сбой в работе компрессора — это известное явление помпаж (фр. pompage — «колебания, пульсация»). Причиной помпажа является попадание воздушного потока на лопатки рабочего колеса. Из-за резкого изменения направления воздуха происходят турбулентные завихрения в турбине, что, в свою очередь, приводит к изменению давления на входе в компрессор агрегата. Поскольку воздух не может пройти, давление возрастает, и в какой-то момент компрессор не может продолжать работу.
Внешне помпаж проявляется в виде хлопков, сильной вибрации нагнетателя в компрессоре, отдельных периодических толчков. Среды, в которых наблюдается явление помпажа: газ, вытекающий из газотурбинного двигателя самолётов, идущая по нефтепроводу сырая нефть или продукты её перегонки, газ и топливо, перегоняемые в автомобильных двигателях. Помпаж влияет на целостность конструкции двигателей самолётов и автомобилей, на их КПД и на стабильность работы.

Сегодня обратимся к одному знаковому парадоксу теории множеств, имеющему достаточно простую формулировку - парадоксу Ришара.

Итак, для начала нам понадобятся все буквы русского алфавита. 33 русские буквы необходимо расположить во всех возможных комбинациях: по двое, трое, четверо и вообще, как угодно. 

Например:

аб, вг, де, жз . . . . .
абв, укх, ерп . . . . .
укпр, вапк, фыва, апе5 . . . . и т.д.

Кроме того, добавив в русский алфавит знак "пробела", мы можем уже формировать словосочетания и предложения, например : аб ук еу, ыаы пау спаы, свауцп и т.д. Таким образом из русского алфавита и знака пробела мы можем получить ЛЮБОЙ набор слов.

А теперь поговорим о числах. Допустим, число тридцать четыре - это не что иное, как одна из бесконечных комбинаций, которую можно построить, используя русский алфавит.
Сделаем вот что: из бесконечного набора комбинаций вычеркнем те, которые НЕ являются словесными определениями действительных чисел и пронумеруем оставшиеся.

Например, так (рис). Слева и справа наборы из двух, пяти и т.д. знаков (знак может быть и пробелом). Более того, действительные числа включают в себя еще и рациональные дроби, и иррациональные и трансцендентные числа. Вычеркнули те комбинации, которые нельзя отождествить с числом.

Ожидаемо, мы получим бесконечное (но счетное!) множество Е, в котором содержатся ВСЕ возможные буквенные комбинации, определяющие ВСЕ действительные числа, которые вообще можно описать русскими буквами.

Казалось бы, наше перечисление окончательное, но не тут-то было. Французский математик Жюль Ришар показал способ построения такого определения числа из набора букв, которое не относится к итоговому множеству E.

Ну что еще можно придумать, русских букв же больше нет? Можно даже взять за определение чисел конструкции вида "расстояние до Солнца", "длина экватора", "рост Путина", "второй замечательный предел при эн стремящемся к бесконечности" - это тоже определение числа и т.д.

Ришар определяет "некое" (неважно какое) число фразой : пусть p - это n-ный десятичный знак n-ного числа полученного множества E; образуем число с нулем в целой части, и в n-ном десятичном знаке - p+1, если p не равно ни восьми, ни девяти, - и единицу в противном случае.

Число, которое таким образом можно получить обладает удивительным свойством:

во-первых, оно определяется конечным набором знаков алфавита, т.е. входит в множество E (Ришар описал определение конечным числом слов) и букв;

во-вторых, оно не относится к этому множеству, потому что способ его построения и нумерации определяет, что n-ное число этого множества должно иметь на n-ном месте число p, а не p+1 (вернитесь в начало фразы Ришара, "обращение на себя");

получаем противоречие, ведь ранее мы предположили, что множество Е содержит ВСЕ определения чисел.

"Разгадка" парадокса Ришара состоит в том, что он, во-первых, использует древний логическую ситуацию, когда суждение оборачивается на самого себя (самореферентность, парадокс брадобрея и т.д.), а во-вторых не учитывает, что между бесконечными счетными и бесконечными несчетными множествами есть огромная разница.