105 лет назад, 25 мая 1919 г., родился американский математик, логик, фокусник, пианист, даосский философ Реймонд Смаллиан.
Автор многочисленных научно-популярных книг по логике и математике — от логических загадок и парадоксов до передовых концепций логики и теоремы Гёделя о неполноте.
Был первым, кто придумал задачи про рыцарей и лжецов (knights и knaves — буквально рыцари и плуты; и тем, и другим словом ещё называют карточных валетов).
Искусный писатель и великолепный юморист, Смаллиан облекает свои занимательные логические задачи в литературную форму, часто пародирующую какие-либо известные литературные произведения.
Автор более 20 книг. Самыми известными являются: «Как же называется эта книга?», «Принцесса или тигр?», «Передразнить пересмешника», «Алиса в стране смекалки».

Несколько задачек из книг Смаллиана.

Имеются два островитянина — А и В. А говорит: «Мы оба лжецы, и этот остров называется Майя». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец, и этот остров не Майя». Возможно ли, чтобы этот остров действительно назывался Майя? Кем являются островитяне?

Украли соль. Подозрение пало на Гусеницу, Ящерку Билля и Чеширского Кота. Известно, что по крайней мере один из обвиняемых лгал и по крайней мере один говорил правду. Известно также, что соль украл кто-то один. На суде подозреваемые сказали следующее: Гусеница: «Соль украл Ящерка Билль». Ящерка Билль: «Сущая правда!» Чеширский Кот: «Я не крал соли». Кто украл соль?

Имеются три запертые комнаты, в которых находятся тигр, принцесса (по одному обитателю в комнате), а одна комната пуста. На дверях комнат висят таблички. Известно, что если в комнате сидит принцесса, то табличка на двери этой комнаты говорит правду, если тигр – табличка лжёт, а если комната пуста, то надпись на соответствующей табличке может быть любой. Вот все таблички:
– На 1-й комнате: «Комната 3 пуста»,
– На 2-й комнате: «В комнате 1 сидит тигр»,
– На 3-й комнате: «Эта комната пуста».
В какой комнате сидит принцесса, а в какой тигр?

Дело в задаче происходит в сказочном Лесу Забывчивости. Его обитателями являются Лев и Единорог. По лесу гуляет Алиса. Известно, что Лев лжёт по понедельникам, вторникам и средам и говорит правду во все остальные дни недели. Единорог лжёт по четвергам, пятницам и субботам и говорит правду во все остальные дни недели. А Алиса зачастую забывает, какой сегодня день. Алиса встретила Льва и Единорога. Лев сказал: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Единорог сказал: «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу». В какой день недели состоялась встреча?

Проверим интуицию

Числа 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 простые.
Верно ли, что все числа такого вида простые?

Следующие знакопеременные суммы факториалов — простые числа:
3! − 2! + 1! = 5,
4! − 3! + 2! − 1! = 19,
5! − 4! + 3! − 2! + 1! = 101,
6! − 5! + 4! − 3! + 2! − 1! = 619,
7! − 6! + 5! − 4! + 3! − 2! + 1! = 4421,
8! − 7! + 6! − 5! + 4! − 3! + 2! − 1! = 35899.
Верно ли, что все члены этой последовательности простые?

Закон малых чисел

Фундаментальным математическим принципом является закон больших чисел (теорема Чебышёва), суть которого состоит в том, что с увеличением объёма выборки повышается вероятность того, что результаты измерений окажутся близки к ожидаемым.
Несколько иронично, отталкиваясь от названия этого закона, психологами А. Тверски и Д. Канеманом был введён закон малых чисел (The law of small numbers). Он выражает ошибку распространения закона больших чисел на маленькие выборки, т.е. форму заблуждения людей, состоящую в их склонности преувеличивать вероятность того, что малая выборка отражает свойства генеральной совокупности. Математически это означает: чем меньше объём выборки, тем выше вероятность отклонения результата от ожидаемого.
Можно проиллюстрировать совсем крайним примером. Если в каком-то населённом пункте живёт всего один избиратель, то явка на выборах составит или 0%, или 100%, что будет существенно отличаться от явки в большом городе.
Пусть при подбрасывании обычной монетки десять раз подряд выпал орёл. Что можно сказать о вероятности выпадения решки при следующем броске:
– она равна вероятности выпадения орла и равна ½;
– она больше ½, поскольку пора бы ей уже и выпасть?!
Если Вы выбираете второй ответ, то верите в закон малых чисел и допускаете ошибку игрока.
(Есть ещё вариант ответа, что более вероятно выпадение орла, поскольку монетка какая-то подозрительная, но мы его не рассматриваем, поскольку по условию задачи монетка честная.)
Закон малых чисел служит основой появления различных мифов, в том числе псевдонаучных. Примером скороспелого обобщения в научной среде является так называемый эффект Моцарта. В 1993 г. исследователь Ф. Раушер обнаружил, что прослушивание сонаты Моцарта К448 для двух фортепиано ре мажор улучшает пространственное мышление. Он тестировал эффект на 36 студентах и получил значительный эффект. Но в 2010 г. метаанализ 40 научных исследований показал, что эффект, если и существует, то выражен крайне слабо, в пределах статистической погрешности.

Сильный закон малых чисел

Ричард К. Гай сформулировал ещё сильный закон малых чисел (The strong law of small numbers). Он выражает такой принцип: малых чисел не так много. Все числа, с которыми мы имеем дело, в том числе, считая при помощи компьютера, слишком малы для обнаружения подлинных закономерностей.
Примером может служить парадокс дней рождений. В году 365 дней — и это не так много, чтобы в случайной группе людей дни рождения не совпали: для группы из 23 человек вероятность этого события превышает 50%, а для группы из 57 человек — уже 99%.
Вот ещё пример: 3²+4²=5², а 3³+4³+5³=6³.
Будет ли верно равенство: 3⁴+4⁴+5⁴+6⁴=7⁴ — правило это или совпадение? Нет, это совпадение.
Ещё классический пример. Эйлер в 1772 г. заметил, что ряд чисел:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, … (разности между двумя последовательными членами являются последовательными чётными числами)
даёт 40 последовательных простых. Но следующее — 41-е число — равно 1681 = 41².
Или, также придуманный Эйлером, трёхчлен: 𝑥² − 79𝑥 + 1601 — он принимает простые значения при всех 𝑥 = 0, 1, …, 79.
Довольно сильный пример — опровергнутая китайская гипотеза, утверждающая, что целое число является простым тогда и только тогда, когда 2ⁿ – 2 делится на n. Если n — простое число, то это частный случай малой теоремы Ферма, а вот обратное утверждение (и, значит, гипотеза в целом) ложно. Но наименьшим контрпримером является лишь n = 341 = 11· 31.
Ну и в завершение приведём, пожалуй, самый яркий пример, показывающий, что в математике нельзя полагаться на интуицию, когда речь идёт об утверждениях, связанных с большими числами. Это гипотеза Пойи. Венгерский математик Дьёрдь Пойа в 1919 г. сделал предположение, связанное с особенностями разложения чисел на простые множители. Он подметил, что для любого заранее фиксированного натурального числа не меньше половины натуральных чисел, меньших его, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом их кратности (т.е. каждый множитель учитывается столько раз, какова его степень в разложение числа на простые множители).
Гипотеза была опровергнута в 1958 г. Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример в районе 1,845·10³⁶¹. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 г. — 906 180 359. Наименьший пример — 906 150 257 — был обнаружен М. Танакой в 1980 г.

Несколько сырных задач

Вороне где-то бог послал кусочек сыру… Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Четыре серые крысы и три рыжие съедают за пять дней столько же сыра, сколько три серые крысы и пять рыжих съедают за четыре дня. У каких крыс прожорливость больше — у серых или у рыжих?

Массы трёх кусков сыра пропорциональны числам 1, 2, 3. Разрезали два куска. Каждый — на две части. Получилось 5 кусков, у которых массы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, 6. Какие куски резали и в какой пропорции?

Том и Джерри делят кусок сыра. Если Том откусит часть от этого куска, а оставшийся сыр отдаст Джерри, то Джерри достанется на 20 г больше сыра, чем досталось Тому. А если Джерри откусит от исходного куска часть и оставшийся сыр отдаст Тому, то Тому достанется на 60 г больше сыра, чем Джерри. Сколько сыра останется, если откусят оба?