Несколько постов планируется посвятить особенностям проверки экзаменационных работ на Едином и Основном государственных экзаменах. Автор в течение ряда лет был экспертом профильного ЕГЭ по математике. Свои критические размышления по поводу организации этого мероприятия публиковал в журнале «Математика в школе». Материалы этих публикаций, с некоторыми сокращениями, будут представлены ниже.
Что не так с экзаменационной проверкой? Если сказать коротко, так это её чрезвычайно казённо-канцелярский характер. Наилучшим образом ситуацию описывают слова вождя мирового пролетариата: «формально всё правильно, а по сути издевательство».
В тех статьях я пытался найти выход из бюрократического коллапса, который возникает при оценивании работ.
Я пытался найти его в том, чтобы обратить внимание разработчиков критериев на необходимость соотнесения критериев оценивания экзаменационной работы с «традиционными» критериями обычной проверки.
В том, чтобы помочь организаторам проверки избавиться от вкусовщины при проверке работ — а для этого необходима обратная связь — и прежде всего, не с учащимися, подстраивающимися под правила проверки, а с профессионалами, способными эти правила корректировать и освобождать от пристрастности и субъективизма.
В том, наконец, чтобы внести определённые коррективы в действующую систему проверки путём введения дробных баллов для более адекватного наказания за незначительные погрешности и недочёты в работе.
Но действующая система проверки — это система без обратной связи, полностью авторитарная, нередко имеющая довольно сомнительные представления об оформлении решения школьных задач. Она построена на неправильном основании, а потому должна быть пересмотрена в принципе.

Куда делся рубль?

Три человека заплатили за обед 30 рублей (каждый по 10). После их ухода хозяйка обнаружила, что обед стоит не 30, а 25 рублей, и отправила мальчика с 5 рублями вдогонку. Каждый из путников взял себе по рублю, а 2 рубля они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10, а по 9 рублей. Их было трое: 9 · 3 = 27, и еще два рубля у мальчика: 27 + 2 = 29.
Куда делся рубль?

В ларьке было две корзины с грушами, в каждой по 150 штук. Цена на груши определялась следующим расчётом: из первой корзины груши должны продаваться по рублю за десяток, а из второй корзины по рублю за полтора десятка (в ней груши были ещё зелёные). Таким образом, за все груши первой корзины надо было получить 150 : 10 = 15 (руб.), за все груши второй корзины 150 : 15 = 10 (руб.), а всего 25 рублей.
Продавец рассудил, что, взяв из первой корзины десяток груш, а из второй полтора, он должен продать 2,5 десятка груш за 2 рубля. Поэтому он смешал груши из обеих корзин вместе и продавал эти
150 · 2 = 300 (груш) по 2 рубля за 2,5 десятка. В результате получил
2 · (300 : 25) = 24 (руб.), т.е. на 1 руб. меньше предполагаемой выручки.
Куда делся рубль?

Из четырёх деталей набора "Юный паркетчик" можно сложить прямоугольник 5×13 и квадрат 8×8.
Цена укладки одной клетки паркета составляет 1 рубль.
Куда пропал рубль?

Из книги «Математики тоже шутят»

О вреде огурцов
Упражнение в сравнительной логике и математической статистике

Огурцы вас погубят! Каждый съеденный огурец приближает вас к смерти.
Удивительно, как думающие люди до сих пор не распознали смертоносности этого растительного продукта и даже прибегают к его названию для сравнения в положительном смысле («как огурчик!»). И несмотря ни на что, производство консервированных огурцов растёт. С огурцами связаны все главные телесные недуги и все вообще людские несчастья.
1. Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы.
Эффект явно кумулятивен.
2. 99,9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы.
3. 100% всех солдат ели огурцы.
4. 99,7% всех лиц, ставших жертвами автомобильных и авиационных катастроф, употребляли огурцы в пищу в течение двух недель, предшествовавших фатальному несчастному случаю.
5. 93,1% всех малолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно.
Есть данные и о том, что вредное действие огурцов сказывается очень долго: среди людей, родившихся в 1839 г. и питавшихся впоследствии огурцами, смертность равна 100%.
Все лица рождения 1869...1879 гг. имеют дряблую морщинистую кожу, потеряли почти все зубы, практически ослепли (если болезни, вызванные потреблением огурцов, не свели их уже давно в могилу). Еще более убедителен результат, полученный известным коллективом ученых-медиков: морские свинки, которым принудительно скармливали по 20 фунтов
огурцов в день в течение месяца, потеряли всякий аппетит!
Единственный способ избежать вредного действия огурцов – изменить диету. Ешьте, например, суп из болотных орхидей. От него, насколько нам известно, еще никто не умирал.

Марсианская математика

Отрывок из выступления академика В. И. Арнольда, неутомимого борца против американизации и бурбакизации нашего математического образования.
Французского школьника спросили: «Сколько будет 2 + 3?» Он ответил: «3 + 2, так как сложение коммутативно» (а сосчитать, что это 5, не мог). Основываясь на этом примере,
министр науки и образования Франции хотел изгнать из школы математику.
Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются:
«Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.»
Вот образец решения:
Обозначим через Xn(Y) множество всех поездов системы Y на планете номер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе). Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество X4(RER) усто. Согласно теореме 999–b из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперед заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.

Рецензия
(НОВЫЕ КНИГИ. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ.
М. НОГОЕДОВ.
М.: Бельмес, 2001, 10 000 000 экз.)
Книга по-своему интересна, однако хотелось бы отметить ряд методических недостатков. С первой же страницы вызывают недоумение выражения типа «ежу понятно», «тудым-сюдым колеблется», «треугольник ABC с финтифлюшкой на конце» вплоть до «ну его на хрен, это доказательство». Введение новых терминов не всегда оправдано. Вместо слов «жлыга», «торчун», «одуренный», «толстопузый», о значении которых приходится догадываться лишь из контекста, разумнее было бы использовать традиционные «трапеция», «перпендикуляр», «больший либо равный двум», «выпуклый».
А оборота «плоский, как старая шлюха» (с.113, теорема Пифагора) стоило бы избежать, хотя бы из уважения к старым шлюхам.
Далее. Можно, конечно, бесконечно долго спорить о том, куда, по мнению автора, сходится функция 1/x, но рисунок на с.157 просто попадает под действие закона «О порнографии».
Ну, а пассаж в конце главы 3 вообще не лезет ни в какие ворота. Корректней было бы написать: «оставляем доказательство читателю», чем объяснять на двух страницах, что «...башка с утра раскалывается» и что «...вчера такой дряни намешали».
И, наконец, нельзя согласиться с заключительной фразой (с.315), что, дескать, «место всех этих придурков в тюрьме, а не в вузе».
В целом же книга интересная, талантливо написана и будет безусловно полезна для всех тех, кто заканчивает школу и вступает на нелёгкий и увлекательный путь половой зрелости.

Одним из наиболее ярких впечатлений, полученных мной в годы обучения в техническом вузе, является знакомство с операционным исчислением. Сегодня хочу рассказать о сущности этой дисциплины без формализации, доступной лишь профессионалу.
https://telegra.ph/CHto-takoe-operacionnoe-ischislenie-04-05

15 апреля 1707 г. родился Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории. Имя Эйлера упоминается во всех разделах современной математики: теории чисел, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов, анализе, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, гидродинамике, механике, теории упругости и проч. Он автор многих понятий, которые по тем или иным причинам связывают с именами других учёных; вот лишь два примера: дзета-функция Римана, гипергеометрический ряд Гаусса — это изобретения Эйлера.
С именем Эйлера связано первое использование обозначения f(x) для функции, буквы i для выражения мнимой единицы, греческой буквы Σ для записи суммы, греческой буквы Δ для обозначения конечных разностей, строчных букв для обозначения сторон треугольника при представлении углов заглавными буквами. Он дал текущее определение константы e, основания натурального логарифма, ныне известного как число Эйлера. Благодаря ему стало общеупотребимым обозначение числа π.
Эйлер считается едва ли не самым плодовитым математиком. По различным оценкам ему принадлежит более 800 названий научных работ, статей, книг, при этом прижизненных публикаций около 500; издание и переиздание его опубликованных и неопубликованных работ растянулось на столетия и далеко до своего завершения; полное собрание сочинений рассчитано более чем на 70 томов. Его рукописи хранятся в Библиотеке РАН в Санкт-Петербурге.
Покоится учёный в Лазаревском некрополе Александро-Невской Лавры СПб.

Сегодня исполняется 175 лет со дня рождения Феликса Клейна

С именем Ф. Клейна связана разработанная им Эрлангенская программа - доклад, сделанный 23-летним учёным в Эрлангенском университете в 1872 г.
К середине 19 в. геометрия разделилась на множество подразделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова и проч. В этом докладе Клейн высказал идею алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые являются для неё несущественными. Более того, разным разделам геометрии соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.
Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движении без деформации. Ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания.
Пример простого доказательства того, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке: медиана есть аффинный инвариант; и если в правильном треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, поскольку любой треугольник можно аффинным преобразованием (переводящим параллельные прямые - в параллельные) преобразовать в правильный и обратно.

Задача из чата "Учительская для математиков". Опубликована сегодня Lem_AAA.

29 апреля 1854 г. родился Анри Пуанкаре. Гениальный французский учёный широкого профиля — «последний универсалист», внесший огромный вклад во многие разделы математики, физики и механики. Основоположник качественных методов теории дифференциальных уравнений и топологии. Создал основы теории устойчивости движения. В его статьях до работ А. Эйнштейна были сформулированы основные положения специальной теории относительности. Пуанкаре разработал и применил метод малого параметра к задачам небесной механики, провёл классическое исследование задачи трёх тел. А в философии создал новое направление, получившее название конвенционализма.
Какая геометрия соответствует нашему миру? Именно в этом вопросе наиболее ярко проявился научный конвенционализм Пуанкаре. По его утверждению, геометрия реального пространства в принципе не допускает эмпирической проверки. Проверке подлежит только совокупность «геометрия + физика» в целом. Пуанкаре критикует опыты Лобачевского и Гаусса, которые пытались с помощью эксперимента установить действительную геометрию внешнего мира. Ценой изменения, подгонки физики можно подобрать любую геометрию пространства для одного и того же наблюдаемого факта. Поэтому он приходит к заключению, что никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная геометрия может быть только более удобна. Пуанкаре трактует геометрию как абстрактную науку, не изучающую законов внешнего мира. Отсюда вытекает и трактовка геометрии как языка, с помощью которого формулируются физические законы.
Согласно взгляду Пуанкаре, основные положения (принципы, законы) любых научных теорий не является ни синтетическими истинами a priori, ни моделями объективной реальности. Они суть соглашения, единственным абсолютным условием которого является непротиворечивость. Выбор тех или иных положений из множества возможных произволен, если отвлечься от практики их применения. В границах этих требований заключается известная свобода выбора, обусловленная относительным характером самих этих требований.

Несколько знаменитых цитат А. Пуанкаре:

«Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем»

«В математике нет символов для неясных мыслей»

«Мысль никогда не должна подчиняться ни догме, ни направлению, ни страсти, ни интересу, ни предвзятой идее, ни чему бы то ни было, кроме фактов, потому что для неё подчинится — значило бы перестать существовать»

«Наука не сводится к сумме фактов, как здание не сводится к груде камней»

«Геометрия — это искусство правильных рассуждений из неправильно нарисованных фигур»

«Не становится ли Бог учёного тем величественнее, чем более он удаляется от нас? Верно то, что он строг, далёк, непреклонен, и многие души пожалеют об этом. Но он, по крайней мере, не разделяет наших мелочей и жалких злоб дня, как это делает, напротив, слишком часто Божество богословов. Идея порядка, более мощного, чем мы, порядка, из подчинения которому нельзя выйти и к которому нужно приспособиться во что бы то ни стало, идея эта, к которой и сводится Бог учёного, может также подействовать утешающим образом; по крайней мере, она способна поддержать в нас настроение мира»

«В нормальном законе должно быть что-то загадочное, поскольку математики думают, что это закон природы, тогда как физики убеждены, что это математический закон, теорема» 😊

Из интервью В.И. Арнольда:
Я вспомнил о неприятии А. Пуанкаре математиками его эпохи: его учитель Эрмит, например, браковал его (даже на вступительном экзамене в Эколь Нормаль) за то, что «на его чертежах окружности неотличимы от треугольников». Пуанкаре нашёл выход – он поступил не в Эколь Нормаль, а в Эколь Политехник, да и в Академию Наук был избран не по математике, а по астрономии (для чего и написал свою главную математическую книгу «Новые методы небесной механики»).
Но самое главное — он изобрёл топологию, в которой треугольники и окружности эквивалентны.