Два игрока играют в теннис до двух побед. Один игрок немного сильнее другого (в среднем из 100 игр между ними будет одерживать 51 победу). Вероятность какого события больше: матч закончится с счётом 2 : 0 или с счётом 2 : 1?

Имеется нечестная монетка — вероятность выпадения орла равна 0,6. Предложено два варианта игры, и в каждом варианте разыгрывается один и тот же приз.
Первый вариант — монетка подбрасывается один раз. Если выпал орёл, то Вы выиграли.
Второй вариант — монетка подбрасывается три раза. Если орёл выпал хотя бы два раза, то Вы выиграли.
Какой вариант игры предпочтительнее?

Кидают игральную кость. Рассматриваем два случая.
В первом случае: если выпало 1, 2 или 3, игра останавливается; а если выпало 4, 5 или 6, то кость кидают ещё раз, и т.д.
Во втором случае: если выпало 4, 5 или 6, игра останавливается; а если выпало 1, 2 или 3, то кидают ещё раз, и т.д.
В каждом случае подсчитывают матожидание среднего арифметического всех бросков на кубике (суммы выпавших очков, делённой на количество бросков).
В каком случае матожидание получится больше?

Алёша, Добрыня и Илья участвуют в турнире по снежкам, их цель — кинуть снежок так, чтобы попасть в любого соперника. Тот, в кого попали — выбывает. Все кидают строго по очереди: сперва Алёша, после Добрыня, затем Илья.
Все знают, что вероятность того, что Алёша попадёт в цель с первого раза, равна 0,3. Вероятность того, что попадёт Добрыня — 0,5, а Илья вообще никогда не промахивается.
Участники самостоятельно выбирают цель до тех поp, пока не останется только один человек. Как Алёше увеличить свои шансы на победу, если он кидает мяч первым, но делает это хуже всех?

Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет 6. Каково среднее ожидаемое число бросков (включая тот, который дал 6) при условии, что во всех предыдущих бросках выпадали чётные числа?

📐 Геометрическая задача: сможете решить? 🔍

Сегодня в беседе сообщества Physics.Math.Code одна из участниц выложила задачку по геометрии, с которой возникли трудности. До конца решение никто не расписал, поэтому я хотел бы быстренько разобрать решение в блоге. Думаю, что такую задачу можно давать в середине и конце 9-го класса на тренировку навыков работы с тригонометрическими функциями.

📝 Читать разбор задачи

А как вы считаете, насколько сложна эта задача по шкале от 1 до 10 ? Напишите в комментариях. #математика #топология #геометрия #алгебра

💡 Репетитор IT mentor // @mentor_it

Более простое решение

Имеется нечестная монетка — вероятность выпадения орла у неё не равна ½ и при этом неизвестна. Как с помощью этой монетки кинуть честный жребий на двоих (т.е. получить честную вероятность ½)?

Имеется обычная правильная монетка (вероятность выпадения орла или решки равна ½). Как с её помощью кинуть честный жребий на троих?

Как можно монеткой заменить игральную кость?

#нетленное
Американские космические корабли имеют диаметр 14,55 футов. Конструкторы хотели бы сделать их шире, но не могут. Почему? Дело в том, что корабли перевозятся на место сборки по железной дороге. Расстояние между рельсами стандартное - 4 фута 8,5 дюйма. Поэтому конструкторы могут делать корабли шириной только 14,55 футов, иначе их транспортировка была бы невозможной.

Возникает вопрос: почему стандартное расстояние между рельсами именно 4 фута 8,5 дюйма? Откуда взялась эта цифра? Оказывается, железные дороги в Штатах строили по английским стандартам, а в Англии расстояние между рельсами 4 фута 8,5 дюйма. Спросите, почему? Потому что первые поезда в Англии производились на том же заводе, на котором делали вагонетки для шахт. А длина оси самой большой вагонетки составляла 4 фута 8,5 дюйма.
Опять возникает вопрос, почему? Потому что такая длина оси была стандартной для английских дилижансов. Дилижансы же делали с таким расчётом, чтобы их колёса попадали в колеи на английских дорогах - таким образом колёса меньше изнашиваются. А расстояние между колеями по всей Англии 4 фута 8,5 дюйма.

Почему же так получилось? Потому что первые дороги в Великобритании прокладывали римляне, а точнее, их боевые колесницы. А длина оси стандартной римской колесницы равняется 4 футам 8,5 дюймам. Однако все еще непонятно, почему? Ведь ни в одной известной системе мер эта длина (4 фута 8,5 дюйма) не является числом целым. Почему же римлянам вздумалось делать оси своих колесниц именно такой длины?
Ответ прост! В римскую колесницу обычно запрягали двух лошадей. А 4 фута 8,5 дюйма, это как раз приблизительно средний размер двух лошадиных задниц.

Следовательно, даже теперь, когда когда космические корабли бороздят просторы мирового океана, наивысшие технические достижения человечества напрямую зависят от размера лошадиной задницы, как две тысячи лет назад...

Забавная шутка про зависимость между размерами ускорителей на космических шаттлах и шириной двух лошадиных задниц, гуляющая по интернету и опубликованная сегодня Математикой не для всех, появилась ещё в 70-х годах. И в интернете же можно найти массу её разоблачений.
Рассказы про «стандартную римскую колею» — это сказки. По римским стандартам ширина дороги должна была составлять 2,45 м (8 футов). Вот только вопрос в том, что на римских мостовых по идее обязательно должны были разминуться две такие телеги (одностороннее движение тогда ещё не было изобретено). А с колеёй 4 фута 8,5 дюйма это было никак не сделать. Колея боевой колесницы составляла от 1,2 до 1,5 м в зависимости от вооружения. Предпринимались безуспешные попытки стандартизировать их для увеличения пропускной способности по мостовым. Но на самом деле римские дороги строились прежде всего с расчётом, чтобы на них могли разминуться два пеших подразделения колонной по два человека.
Расстояние между крупами лошадей зависит исключительно от типа и вида упряжи (дышловая и оглобельная) и количества впряжённых попарно лошадей (от 1,2 до 1,8 м). Но также запрягали и тройки лошадей, и квадриги.
Ось кэба обычно больше колеи на полфута. Единой дорожной колеи ни в Англии, ни в другой стране мира также не существовало, из-за отличий в колее кэбов, тарантасов и дилижансов (до 6 футов на задней оси).
4,8 фута (1,47 м) — действительно стандарт ширины «английской колеи», но при этом ширина тоннелей и грузовых ж/д платформ намного больше. Ширина колеи была выбрана такой, чтобы не перешивать многочисленные существующие мосты, дороги и пр. К слову, российская стандартная колея составляет 152 см (4,98 фута), и по ней тоже перевозят части ракетных ускорителей.
Транспортировка крупногабаритного груза осуществляется либо водным путём, либо действительно поездами — но в разобранном до нужного состояния виде. Габарит тоннелей в США составляет не менее 9 футов.

На данную историю о зависимости размеров космических кораблей от лошадиных задниц можно взглянуть под другим углом. Железнодорожная колея отличается в разных местах нашей планеты, но не так сильно — в пределах 20%: от 1435 до 1676 мм. Но почему бы не увеличить её, например, в 2 раза?
При увеличении всех линейных размеров в 2 раза площадь увеличится в 4 раза, а объём в 8 раз. Современный загруженный вагон весит около 90 т, значит на новой колее вес гружёного вагона будет составлять более 700 т. Для этого увеличить ширину рельсов придётся в √8 ≈ 2,8 раза. Также шпалы придётся делать в 2 раза длиннее и в 2,8 раза толще. Насыпь придётся делать в 8 раз массивнее. А ещё мосты, тоннели… Стоимость строительства и обслуживания такой дороги вырастет на порядок.
А если наоборот, перейти к узкоколейкам — уменьшить ширину колеи? Тогда несложно понять, что вместимость вагона уменьшится пропорционально кубу коэффициента уменьшения линейного размера — мелкая картошка не выгодна тем, что от неё больше очисток.
Поэтому существующая ширина железнодорожной колеи, как, впрочем, и размера космического корабля, — это оптимальный размер, определяемый эмпирически найденным компромиссом между ценой и производительностью.
А вот тут можно вернуться и к лошадиным задницам. К ограничениям, связанным с трёхмерностью нашего пространства и величине силы тяжести, добавляется ещё одно — мощность солнечного света на квадратный метр поверхности, (в среднем где-то около 1,5 кВт). Это тот параметр, которые используют растения, а травоядные животные этими растениям питаются. Размер лошади — это оптимальный размер для таких условий. Соответственно, животное размера с лошадь будет выдавать мощность порядка лошадиной силы, то есть 735 ватт. И потому повозка будет конструироваться именно из этого мощностного параметра. Ширина колеи одноконной повозки — примерно 1 метр.
Thus, there is a bit of a joke in every joke.

Сегодня день рождения Георга Кантора — создателя теории множеств — концепции, без которой немыслимо изложение современной математики.
Многие ли знают, что Кантор родился в Санкт-Петербурге, на Васильевском острове, в 1845 г. и рос там до 11-летнего возраста? Был подданным Российской империи, в российских документах именовался Егором Яковлевичем Кантором.
Вот Эйлер, например, родился в Базеле, уехал из Швейцарии в 20 лет переехал в Россию и никогда в Швейцарию больше не возвращался, а все основные свои результаты получил, живя в России. И при этом о нём обычно вспоминают как о великом швейцарском и прусском математике. И почти в каждом швейцарском городе Эйлер отмечен памятником или улицей.
А вот Кантору до 2011 г. в России не было даже памятной доски. Её повесили после обращений математиков Немецкого математического общества и после долгих перипетий, связанных с общением петербургских математиков с Комитетом по культуре СПб, за углом во дворе дома, в котором он родился, по адресу 11-я линия В.О., 24. На уличную сторону дома вешать мемориальную доску Комитет по культуре не разрешил, при том что там уже висят две памятные доски: о том, что в доме на 3-м этаже в 1882 г. размещалась подпольная динамитная мастерская партии «Народная воля», и о том, что в этом доме с 1925 г. по 1931 г. жил командир подводной лодки «Пантера» А.Н. Бахтин. Также Комитет по культуре запретил на мемориальной доске повторить в скобках фамилию учёного на немецком языке.
В письме Немецкого математического общества чиновникам нашей славной культурной столицы, в частности, написано:
«Георг Кантор — великий математик, создатель теории множеств, его наследие принадлежит всей мировой науке. Ваш город может гордиться тем, что является родиной ученого, преобразившего всю математику XX столетия. В Германии чтят память о великих русских и устанавливают памятники и памятные доски в тех местах, где они пребывали. Среди них Екатерина II (Вальхалла и Цербст), Барклай де Тол-ли (Вальхалла), Тургенев (Баден-Баден), Горчаков (Баден-Баден), Чехов (Баден-вейлер), Жуковский (Баден-Баден), Глинка (Берлин), Цветаева (Берлин), Набоков (Берлин), Достоевский (Висбаден, Баден-Баден и Дрезден)».

…Почему-то наши математики испытывают чувство неловкости, когда показывают своим немецким коллегам место рождения учёного, внесшего такой важный вклад в мировую науку.