Что скрывается за пределами 12 нот

Двенадцать нот кажутся естественными — настолько привычными, что трудно представить музыку иначе. Однако с математической точки зрения это всего лишь одно из решений задачи на приближение.
Равномерно темперированный строй изящен тем, что аккуратно устраняет пифагорову комму и делает систему замкнутой. Но за это приходится платить точностью: некоторые важные интервалы он приближает довольно грубо.
Например, чистая большая терция — это отношение 5:4 = 1,25. В 12-ступенном строе ей соответствует интервал 2⁴ᐟ¹² ≈ 1,2599. Разница невелика, но для слуха она заметна.
Если поставить цель приблизить натуральные интервалы точнее, математика сразу подсказывает следующий шаг: увеличить число ступеней.
Деление октавы на 19, 31 или 53 равные части даёт значительно лучшие приближения квинт, терций и других интервалов гармонического ряда. В 53-ступенном строе квинта отличается от идеального отношения 3:2 менее чем на один процент — это практически предел слуховой различимости.
Здесь нет никакой мистики. Мы просто ищем такие целые числа a и b, чтобы
(3/2)ᵃ ≈ 2ᵇ.
Число 53 возникает как знаменатель одной из удачных рациональных аппроксимаций логарифма log₂(3/2). Музыкальный строй в этом смысле оказывается побочным результатом теории чисел.
Но можно сделать и более радикальный шаг — отказаться от самой октавы как базового цикла.
В гармоническом ряду после удвоения частоты (2f) следует утроение (3f). Если взять отношение 3:1 за основной период, возникает шкала Болена–Пирса. Она строится не на октаве, а на тритаве и делит её на 13 равных шагов, каждый из которых равен 3¹ᐟ¹³.
В этой системе отсутствуют привычные мажор и минор. Консонансы опираются на нечётные гармоники — например, отношения 3:5:7. Звучание оказывается непривычным, но при этом внутренне согласованным: система строго следует собственным правилам.
Все эти строи — не экзотика ради экзотики. Они наглядно показывают, что любая музыкальная теория является вычислительной моделью.
Каждая из них оптимизирует одни параметры, жертвуя другими:
чистый строй — акустически точные аккорды, но ограниченная модуляция;
12 нот — умеренная точность и полная универсальность;
31 или 53 ступени — высокая точность и усложнение исполнения;
шкала Болена–Пирса — иной базовый интервал и иная гармоническая структура.
Выбор двенадцатиступенного строя — исторически удачное решение конкретной задачи с конкретными ограничениями. Но математика показывает, что таких решений существует множество. И каждое из них задаёт собственный способ упорядочить звук и услышать гармонию.
Музыка, как и математика, значительно шире привычной нам шкалы.

Это запись произведения, исполненного на Supercembalo — необычном клавишном инструменте с 53 ступенями на октаву. Такая настройка (EDO-53) гораздо точнее приближает чистые интервалы, включая большие терции и квинты, чем привычная система из 12 равномерных шагов.

Наткнулся на видео, где с инженерной точки зрения разбирают физические основы музыкального строя, темперации и альтернативные системы (вплоть до шкалы Болена–Пирса).
Наглядное напоминание:
привычная система — лишь один частный случай среди множества возможных моделей.


https://www.youtube.com/watch?v=sKH1NGR7GYI

Задача 1.
Камень массой 31 кг разбился на минимально возможное количество частей так, что, кладя их только на одну чашу весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 31 кг. Какие это части?

Решение.
При таком взвешивании каждая гиря может находиться лишь в одном из двух состояний: либо она лежит на чаше, либо не используется. Поэтому любой результат есть просто сумма выбранных гирь.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые веса от 1 до S кг. Теперь мы хотим добавить ещё одну гирю и не потерять это свойство. Сколько она может весить?
Пусть новая гиря имеет массу m. Тогда с её участием можно получить веса от m до S + m. Чтобы все значения от 1 до S + m по-прежнему были достижимы без разрывов, необходимо, чтобы вес S + 1 не «выпал». Это возможно тогда и только тогда, когда m ≤ S + 1. Если же m больше S + 1, то вес S + 1 невозможно собрать никаким способом: он слишком мал, чтобы использовать новую гирю, и слишком велик, чтобы обойтись старыми.
Из этого условия следует единственно возможная стратегия. Начинать приходится с гири массы 1. После этого максимально допустимая масса каждой следующей гири в точности равна сумме всех предыдущих плюс единица. Так мы последовательно получаем набор гирь:
1, 2, 4, 8, 16.
Их суммарная масса равна 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31,
и любой вес от 1 до 31 кг получается простым выбором подходящего подмножества этих гирь.
В более общем виде: если есть n гирь массами 1, 2, 4, …, 2ⁿ⁻¹, то максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1. В нашем случае 2⁵ − 1 = 31, значит пяти частей достаточно, и меньше уже быть не может.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 2, 4, 8 и 16 кг.

За этой задачей легко увидеть более общую картину. Каждая гиря здесь ведёт себя как двоичный разряд: либо она участвует во взвешивании, либо нет. Любая масса фактически задаётся набором таких решений, а весы просто складывают выбранные значения.
Пять гирь дают 2⁵ = 32 возможных комбинации. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные 31 — массам от 1 до 31 кг. Мы буквально кодируем массу с помощью двух состояний.

Задача 4.
Камень массой 40 кг разбился на минимально возможное число частей так, что, кладя их на обе чаши весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 40 кг. Какие это части?

Решение.
Теперь у гирь появляется больше свободы. Каждую из них можно положить на правую чашу, на левую чашу или не использовать вовсе. Удобно считать, что гиря на правой чаше даёт вклад +1, на левой — −1, а отсутствию гири соответствует 0. Тогда результат взвешивания — это сумма вкладов всех гирь с учётом их масс.
Иными словами, каждая гиря может находиться уже в трёх состояниях: −1, 0 или +1. Мы работаем не только с суммами, но и с разностями масс.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые значения разности масс от −S до +S. Какую гирю можно добавить, чтобы диапазон остался непрерывным?
Если добавить гирю массы m, то она позволит получить новые значения от −(S + m) до +(S + m). Но чтобы не возникло «дырок», необходимо, чтобы m ≤ S + 1. Если m > S + 1, то разность S + 1 (или −(S + 1)) становится недостижимой.
Отсюда вновь следует оптимальная стратегия: начинать с гири массы 1 и каждый раз добавлять максимально возможную гирю, не нарушающую это условие. Но теперь рост идёт быстрее. Мы получаем последовательность:
1, 3, 9, 27.
Проверка проста: после гири 1 достижимы значения от −1 до +1, то есть S = 1; следующая гиря может иметь массу не больше 2, но максимальный выигрыш даёт 3; затем S = 4, следующая гиря — 9; далее S = 13, следующая — 27. После этого суммарный диапазон становится от −40 до +40.
Сумма гирь равна 1 + 3 + 9 + 27 = 40, и любой груз массой от 1 до 40 кг можно уравновесить, раскладывая гири по обеим чашам.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 3, 9 и 27 кг.
С математической точки зрения здесь происходит переход к так называемой сбалансированной троичной системе счисления. Любое число от −40 до +40 представляется в виде суммы коэффициентов −1, 0 и +1, умноженных на степени тройки.
Если в предыдущей задаче каждая гиря фактически играла роль двоичного разряда, то теперь каждая из них соответствует троичному разряду. Четыре такие гири дают 3 в степени 4, то есть 81 возможное состояние — ровно столько целых значений содержится в интервале от −40 до +40 включительно.
Здесь проявляется важное различие между двумя ситуациями. В задаче 1 пять гирь позволяли покрыть диапазон из 32 значений. В задаче 4 всего четыре гири охватывают уже 81 значение. Добавление всего одного возможного состояния для каждого элемента резко увеличивает возможности всей системы.
Гири перестают быть просто кусками камня. Они начинают играть роль разрядов и состояний, то есть носителей информации.

Гири превращаются в биты

Если немного отойти от вопроса задач о взвешивании груза, легко заметить интересную вещь. Гири, которые только что были для нас просто кусками камня, вдруг начали вести себя как разряды системы счисления. Вопрос «как взвесить груз?» незаметно сменился другим: сколько различных состояний вообще может иметь такая система?
В задаче 1 с одной чашей у каждой гири было всего два варианта поведения: либо она лежит на весах, либо нет. По сути, это точная копия двоичной логики.
Если есть n гирь, то каждая из них выбирает одно из двух состояний. Значит, всего возможно 2ⁿ различных конфигураций. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные — различным положительным массам. Поэтому максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1.
В задаче 4 картина меняется радикально. Теперь гиря может лежать на правой чаше, на левой или вообще не участвовать во взвешивании. То есть у неё уже не два состояния, а три: −m, 0 и +m. Это уже троичная логика.
Если у нас n таких гирь, то число возможных конфигураций равно 3ⁿ. А достижимые значения образуют симметричный интервал от −(3ⁿ − 1)/2 до +(3ⁿ − 1)/2.
Соответствующая формула возникает почти без усилий. Если взять гири массами 1, 3, 9, …, 3ⁿ⁻¹, то любая разность масс записывается как
a₀·1 + a₁·3 + … + aₙ₋₁·3ⁿ⁻¹,
где каждый коэффициент aᵢ равен −1, 0 или +1.
Это сбалансированная троичная система счисления — система, в которой отрицательные и положительные числа устроены совершенно симметрично.
Если посмотреть на это глазами теории информации, становится ещё интереснее. В первой задаче каждая гиря несёт log₂2, то есть ровно 1 бит информации. Во второй — log₂3 бита, примерно 1,585. Та же самая «физическая деталь» системы вдруг начинает хранить заметно больше состояний.
Отсюда и численный эффект. Пять двоичных гирь дают 2⁵ = 32 возможных состояния. А всего четыре троичных гири — уже 3⁴ = 81.
Но за этим сразу проявляется компромисс. Чем больше состояний мы разрешаем элементу, тем труднее эти состояния надёжно различать. Двоичный разряд чрезвычайно удобен: сигнал либо есть, либо его нет. Троичный требует устойчиво поддерживать уже три уровня — и это намного сложнее инженерно.
Поэтому в реальных компьютерах победила двоичная логика. Не потому, что она математически лучше, а потому, что она проще и надёжнее физически. Тем не менее попытки пойти другим путём были. Самый известный пример — советская троичная машина «Сетунь», работавшая именно на сбалансированной троичной системе.
Если вернуться к весам, смысл можно сформулировать так. Разрешив гирям лежать на обеих чашах, мы не просто сократили их количество. Мы фактически сменили язык, на котором описываются числа. В этом языке отрицательные значения возникают естественно, как равноправные участники системы.
И в этот момент весы перестают быть просто измерительным прибором. Они начинают вести себя как примитивный компьютер: выполняют сложение, вычитание и кодирование. А гири оказываются не грузами, а физическими носителями информации.

Почему троичная система оптимальна

Мы сравнили двоичную и сбалансированную троичную системы и увидели, что троичная при том же числе «физических элементов» позволяет кодировать больше состояний. После этого почти неизбежно возникает вопрос: а можно ли пойти ещё дальше? Что будет, если разрешить каждому элементу не два и не три, а k различных состояний?
Рассмотрим простую абстрактную модель. Пусть у нас есть n одинаковых элементов, каждый из которых может находиться в k устойчивых состояниях. Тогда общее число возможных конфигураций равно kⁿ. Ровно столько различных состояний или чисел такая система способна различать.
Но здесь важно учитывать не только количество состояний, но и цену, которую мы за них платим. Чем больше различных значений должен надёжно различать один элемент, тем сложнее физически реализовать и стабилизировать такую систему. Поэтому естественно смотреть не на kⁿ само по себе, а на то, насколько быстро растёт число состояний в пересчёте на один элемент. Эта величина равна k¹ᐟᵏ.
И вот здесь появляется неожиданно красивый факт. Если рассмотреть функцию f(k) = k¹ᐟᵏ для вещественных k > 0, то она достигает максимума при k = e ≈ 2,718 — основании натурального логарифма. Это можно проверить обычным дифференцированием.
Среди целых значений k максимум величины k¹ᐟᵏ достигается при k = 3. То есть система, в которой каждый элемент имеет три состояния, оказывается информационно оптимальной.
Именно поэтому в задачах с гирями переход от двух состояний к трём даёт столь сильный эффект. В двоичной модели каждая гиря даёт 2 состояния, и n гирь покрывают 2ⁿ значений. В сбалансированной троичной каждая гиря даёт 3 состояния, и n гирь покрывают 3ⁿ значений. Этот выигрыш связан не просто с заменой числа 2 на 3, а с тем, что именно 3 — оптимальное целое основание.
При дальнейшем увеличении k число состояний одного элемента продолжает расти, но относительный выигрыш уменьшается. Система становится всё более сложной, а дополнительная информационная отдача — всё менее заметной.
С этой точки зрения выбор основания системы счисления — это всегда баланс между плотностью кодирования и физической реализуемостью. Двоичная система оказалась удобнее для массовой техники, потому что её проще реализовать и стабилизировать. Троичная — привлекательнее с информационной точки зрения, но более требовательна к физической реализации. Различие между ними — не в «правильности», а в том, какой компромисс выбран.

Математика компромиссов

К прошлому посту пришёл интересный комментарий:
«Удивительно, насколько это похоже на зависимость удельной энергии связи атомного ядра от массового числа. Это совпадение или здесь есть фундаментальная связь?»
Короткий ответ: это не совпадение, но и не прямая физическая связь.
Похожей оказывается не формула, а сама математическая ситуация.
Во многих очень разных областях возникает одна и та же схема.
Есть некоторый параметр x — размер системы, число элементов, сложность, основание системы счисления, количество узлов, размер организма…
Есть «выигрыш», который с ростом x увеличивается.
И есть «стоимость» или ограничения, которые тоже растут по мере увеличения x.
Пока выигрыш растёт быстрее, эффективность увеличивается. Когда ограничения начинают доминировать, эффективность падает.
На графике это почти всегда выглядит одинаково: сначала рост, затем максимум, а потом медленный спад.
В задачах про системы счисления это проявляется так. Чем больше состояний у одного разряда, тем больше информации он несёт. Но чем больше этих состояний, тем труднее физически различать и устойчиво поддерживать каждое из них. В результате оптимум достигается при трёх состояниях.
В ядерной физике действует похожая логика. Добавление нуклонов увеличивает суммарную энергию связи. Но поверхностные эффекты, кулоновское отталкивание и асимметрия начинают уменьшать выигрыш на один нуклон. В итоге максимум приходится на ядра около железа.
В биологии наблюдается та же структура. Метаболизм растёт с массой организма, но не линейно. Крупные организмы в среднем эффективнее мелких, однако бесконечно увеличивать размер нельзя — ограничения постепенно перевешивают.
Похожие кривые возникают и в экономике. Рост фирмы повышает производительность за счёт масштаба. Но слишком большие организации теряют гибкость, растут издержки управления, и относительная эффективность снижается.
В сетях и инфраструктуре — то же самое. Добавление узлов расширяет возможности. Но сложность координации растёт ещё быстрее.
Формулы при этом везде разные. В системах счисления появляется k¹ᐟᵏ. В ядерной физике — суммы степенных членов. В биологии — степенные законы. В экономике — эмпирические зависимости.
Совпадают не формулы. Совпадает тип задачи.
Это задачи на оптимизацию: максимизировать отношение вроде «выигрыш / стоимость» или сбалансировать несколько конкурирующих эффектов.
Такие задачи почти неизбежно рождают кривые с максимумом. Поэтому здесь уместнее говорить не о скрытой универсальной формуле, а об универсальной математике компромиссов.
Математика компромиссов в сущности оказывается математикой пределов. Она говорит о том, где заканчивается рост, где начинается плата за сложность и почему гармония возникает не из стремления параметров к пределу, а из баланса сил, который математически проявляется как экстремум. Такие графики формируют полезную интеллектуальную привычку: если что-то растёт слишком хорошо, стоит спросить, какой ценой — и почти всегда оказывается, что цена существует. Часто оптимальное решение находится не на краю шкалы, а между крайностями. В этом смысле математика здесь говорит не столько о величинах, сколько о границах возможного. Это напоминание универсально: прежде чем наращивать систему, полезно задуматься, в какой момент она перестанет выигрывать от собственного роста. Оптимумы возникают не потому, что мир стремится к совершенству, а потому, что у него есть пределы.

Империи как задача оптимизации

Применимо ли подобное рассуждение к социальным системам — например, к государствам?
Любая расширяющаяся держава сначала выигрывает от роста.
Больше территории — больше ресурсов.
Больше населения — больше налогов и солдат.
Больше связей — выше торговый оборот.
Больше влияния — выше безопасность.
Рост напрямую конвертируется в силу.
Но у роста есть и другая сторона. Управление становится сложнее. Коммуникации удлиняются. Контроль требует всё большего аппарата. Растёт коррупция, инерция, внутренние противоречия. Цена поддержания порядка увеличивается быстрее, чем раньше.
Пока выигрыш от расширения превышает цену, система растёт.
Когда выигрыш и цена сравниваются, рост замедляется.
Когда цена начинает превышать выигрыш, рост перестаёт быть источником силы.
Это и есть точка максимума эффективности.
Она не обязана выглядеть как «пик территории» или «пик населения». Чаще это момент, после которого любое новое расширение делает систему менее устойчивой.
И здесь не требуется никаких специальных исторических теорий. Работает та же самая логика компромиссов, что и в физике, биологии или теории информации.
Империи гибнут не «из-за пороков», не из-за отдельных ошибочных решений и не просто из-за внешних ударов вроде войн или вторжений. Чаще война становится последним толчком для системы, уже вошедшей в область собственной уязвимости.
Личности могут ускорять или замедлять процесс, но они не меняют форму кривой.
Попытка ответить на нарастающую сложность ещё большим усложнением — разрастанием бюрократии, созданием новых уровней управления, стремлением всё регламентировать и контролировать, наращиванием силовых структур, внешней экспансией — часто приносит кратковременное ощущение управляемости, но резко увеличивает будущую цену.
Система начинает тратить всё большую долю ресурсов не на развитие, а на поддержание самой себя.
С этого момента историю обычно описывают словами «стагнация», «кризис», «распад». Но математически это всего лишь движение по нисходящей ветви той же кривой.
Важно подчеркнуть: здесь нет попытки построить модель, вычислять траектории или спорить с различными философиями истории. Это не теория исторического процесса. Это применение очень общего и универсального принципа к ещё одной области.
История при таком взгляде оказывается не чередой моральных уроков и не набором случайностей, а последовательностью столкновений сложных систем с их собственными пределами.
В этом смысле государства, как и системы счисления, как и живые организмы, подчиняются одному и тому же закону:
рост полезен, но не бесконечно.
И тогда главный объект исследования смещается.
Это уже не сами системы, не их достижения и не их ошибки. Это границы их устойчивости.
Математика компромиссов в конечном счёте сводится к простой идее:
устойчивость возможна только там, где сохраняется баланс.

Парадокс пружины: 1 = ½?

Мысленный эксперимент. На вертикально стоящую на столе пружину жёсткости k кладём сверху груз массы m. Пружина сжимается на x.
1. Сила тяжести уравновешена силой упругости:
mg = kx. (1)
2. Груз опустился на x, значит потерял потенциальную энергию mgx. Эта энергия перешла в энергию пружины:
mgx = ½ kx². (2)
Поделим (2) на x:
mg = ½ kx. (3)
Совмещаем (1) и (3):
kx = ½ kx ⇒ 1 = ½.
Где ошибка?

Объяснение парадокса

Что означает формула mg = kx?
Это условие статического равновесия. Тело покоится, ускорение равно нулю. Обозначим это сжатие как xₛₜ— статическое.

Что означает формула mgx = ½ kx²?
Если груз положить на пружину и отпустить, он начнёт двигаться вниз, проскочит точку равновесия с максимальной скоростью и остановится лишь в самой нижней точке.
Именно для этой нижней точки (где скорость снова равна нулю) справедливо равенство энергий.
Обозначим это максимальное сжатие как xₘₐₓ.
Для него верно:
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ².

Из уравнений:
mg = k xₛₜ,
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ²
легко получить:
xₘₐₓ = 2 xₛₜ.
То есть динамическое максимальное сжатие в два раза больше статического.

Где возник «парадокс»?
В подстановке одного и того же x сразу в две формулы, которые описывают разные физические ситуации.
mg = kx — покой;
mgx = ½ kx² —мгновенная остановка в колебательном движении.
Законы верны. Парадокс возник из-за смешения режимов.

А что происходит на самом деле?
Если просто отпустить груз, система начнёт колебаться между точками x = 0 и xₘₐₓ = 2xₛₜ. В точке xₛₜ но кинетическая энергия максимальна — именно она и «потерялась» в наивном энергетическом рассуждении.
Из-за трения колебания постепенно затухнут, и груз в итоге остановится в точке статического равновесия
xₛₜ, а лишняя энергия ½ k xₛₜ² рассеется в виде тепла.

Применение алгебры Жегалкина для решения логических задач

Из книги С.В. Буфеев, И.С. Буфеев «Основы математической логики и теории множеств»

Задача 1. Алёша, Илья и Добрыня нашли в земле хорошо сохранившийся стеклянный сосуд с жидкостью. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
Алёша: «Это сосуд французский и имеет 5 звёздочек».
Илья: «Это сосуд испанский и имеет 3 звёздочки».
Добрыня: «Это сосуд не французский и имеет 4 звёздочки».
Змей Горыныч объяснил ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.
Где изготовлен сосуд и во сколько звёздочек оценивается его качество?

Решение. Обозначим высказывания:
«Сосуд — французский» — F,
«Сосуд — испанский» — S,
«Сосуд имеет n звёздочек» — Zₙ.
Условие задачи можно записать в виде:
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) = 1.
Упростим левую часть равенства.
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) =
= (F S ⊕ F Z₃ ⊕ Z₅ S ⊕ Z₅ Z₃) (F ⊕ Z₄ ⊕ 1) =
= F Z₃ ⊕ S Z₅ = 1.
Получившееся равенство возможно в двух случаях:
F = 1, Z₃ = 1, S = 0, Z₅ = 0
или
S = 1, Z₅ = 1, F = 0, Z₃ = 0.
Однако первый случай не реализуется, ибо третий множитель исходной формулы при этом даёт решение Z₄ = 1, что невозможно при Z₃ = 1. Поэтому S = 1, Z₅ = 1.
Ответ: сосуд испанский, 5 звёздочек.


Задача 2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита.
Браун: «Я совершил это. Джонс не виноват».
Джонс: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит».
Смит: «Я не виноват. Виновен Браун».
В процессе следствия выяснилось, что у одного из подозреваемых оба утверждения ложны, у другого одно истинно, а другое ложно, у третьего оба истинны, а также что преступник только один. Требуется определить имя преступника и выяснить, кто говорил правду, а кто нет.

Решение. Обозначим буквами B, J, S соответственно высказывания «Виноват Браун», «Виноват Джонс», «Виноват Смит». Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций B ¬J, ¬B S, B ¬S, из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула
F = B ¬J ∨ ¬B S ∨ B ¬S = 1.
Упростим её:
F = B (J⊕1) ∨ (B⊕1) S ∨ B (S⊕1) =
= B ∨ S ∨ B = B ∨ S = 1.
Значит, преступление совершил Браун или Смит. Предположим, преступник Браун. Тогда из трёх конъюнкций, составляющих функцию F, истинными будут две. А это противоречит условию задачи. Поэтому B = 0, и очевидно, S = 1 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: преступник — Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, другое нет, Джонс сказал правду.


Задача 3. Один из пяти братьев разбил окно.
— Это мог сделать только или Виктор, или Сергей, — сказал Андрей.
— Я окно не разбивал, — возразил Виктор, — и Егор тоже.
— Вы оба говорите неправду, — заявил Сергей.
— Нет, Сергей, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, — возразил Дмитрий.
— Ты, Дмитрий, неправ, — вмешался Егор.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно?

Решение. Введём логические переменные A, B, C, D, E, определяющие, кто из братьев разбил окно, — соответственно Андрей, Виктор, Сергей, Дмитрий, Егор.
Запишем алгебраически высказывания братьев:
Андрей: a = B ⊕ C,
Виктор: b = ¬B ¬E = (B⊕1)(E⊕1) = B⊕E⊕1 = A⊕C⊕D.
(Мы воспользовались тем, что B E = 0, поскольку по условию задачи окно разбил только один из братьев.)
Сергей: c = ¬a ¬b = ¬(B⊕C) ¬(¬B ¬E) =
= ¬B ¬C (B⊕E) = ¬B ¬C E = E.
Дмитрий: d = a ¬b ⊕ ¬a b =
= (B⊕C) ¬(¬B ¬E) ⊕ ¬(B⊕C) (¬B ¬E) =
= (B⊕C) (B⊕E) ⊕ ¬B ¬C ¬B ¬E =
= B ⊕ (B E) ⊕ (B C) ⊕ (C E) ⊕ ¬B ¬C ¬E =
= B ⊕ (B⊕1)(C⊕1)(E⊕1) =
= B ⊕ (B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1) = B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1 = A ⊕ D.
Егор: e = ¬d = ¬(A ⊕ D) = B ⊕ C ⊕ E.
По условию задачи, трое братьев сказали правду. Образуем из формул a, b, c, d, e конъюнкции, беря в каждую по три формулы:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Поскольку a и c, b и c, c и d в конъюнкции дают противоречия, то из десяти сочетаний оставляем только три: abd, abe и bde. Легко видеть, что
abd = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (A⊕D) = 0,
bde = (A⊕C⊕D) (A⊕D) (B⊕C⊕E) = 0,
abe = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (B⊕C⊕E) = 1 при C = 1.
Ответ: стекло разбил Сергей.

Когда борьба с лженаукой начинает мешать науке

Портал «Антропогенез.ру» и фонд «Эволюция» включили Алексея Савватеева в число лауреатов своей антипремии ВРАЛ. Поводом были не его математические работы, а публичные высказывания вне его специальности — в частности, об эволюции и гомеопатии. То есть речь шла не о научном результате в математике, а о личных суждениях, высказанных в роли публичного человека.
Именно это здесь и важно.
Савватеев — не случайный блогер и не человек без научной биографии. Это известный математик, член-корреспондент РАН, профессор МФТИ, один из самых заметных популяризаторов математики в России. С его словами на темы вне математики можно спорить. Многие из них действительно могут вызывать возражения. Но одно дело — спорить по существу. Другое — выдавать публичный ярлык.
Для науки это разница принципиальная.
Наука держится не на праве выносить окончательные приговоры, а на процедуре проверки. Нормальное состояние науки — не самодовольная уверенность, а сомнение, уточнение, готовность пересматривать выводы. Если человек ошибается, это надо показывать точно: вот тезис, вот ошибка, вот натяжка, вот место, где сказано лишнее, вот данные, которые этому противоречат. Это нормальный научный разговор.
Ярлык «лженаука» работает иначе. Он не разбирает, а сокращает путь. Не объясняет, где именно ошибка, а сразу переводит человека в удобную категорию. Для сцены и медиа это эффективно. Для науки — нет.
Обычно на это отвечают, что кто-то должен защищать границы науки. Но здесь и возникает проблема. Не всякая ошибка — это лженаука. Не всякая спорная мысль — шарлатанство. Есть разница между слабым аргументом, выходом за пределы компетентности, неудачной гипотезой, самоуверенным дилетантизмом и сознательным обманом. Когда этой разницы не делают, вместо разбора получается просто система ярлыков.
История науки слишком хорошо показывает, что быстрый ярлык — плохая замена спокойному разбору. Бывали случаи, когда под видом борьбы за научную чистоту душили целые направления. В отечественной истории такие вещи особенно памятны. Поэтому любые карательные жесты «от имени науки» вызывают не доверие, а настороженность.
Есть и ещё одна простая вещь. Если математик в публичном выступлении говорит, на чей-то взгляд, спорные вещи, например, об эволюции или гомеопатии, то разбирать надо именно эти вещи. По пунктам. Спокойно. Без балагана. Без театрализованного вручения антипремий. Потому что в противном случае обсуждение подменяется показательным наказанием.
Это вредно не только для конкретного человека. Это вредно для самой научной среды. Наука развивается не в атмосфере показательных вердиктов, а в атмосфере проверки и возражения. Там, где спорные идеи разбирают, а не клеймят. Там, где ошибку опровергают, а не превращают в повод для символической казни.
Речь не о том, что любое высказывание Савватеева надо оправдывать. И не о том, что крупный учёный вне своей области автоматически прав. Речь о более простом принципе: ошибку надо опровергать по существу, а не заменять разбор публичным шельмованием.
Когда люди, выступающие от имени рациональности, начинают действовать таким способом, происходит подмена. Вместо научной процедуры появляется активистский ритуал. Вместо разбора по существу — публичное клеймение. Это не укрепляет научную культуру, а портит её. И в этом смысле деятельность «Антропогенеза» выглядит скорее вредной, чем полезной.

Если уж раздавать балаганные антипремии от имени «чистоты науки», то исторический список номинантов придётся сильно расширить. Ньютона можно было бы торжественно произвести в академики ВРАЛ за алхимию: он не просто интересовался ею, а оставил огромный корпус алхимических рукописей. Кеплера — за астрологию и за попытку объяснить устройство планетной системы через платоновы тела. Кардано — вообще в почётные члены: автор «Великого искусства», одной из главных книг в истории алгебры, и одновременно астролог. Разумеется, в 16–17 веках границы между наукой, натурфилософией, астрологией и алхимией были другими. Но вывод отсюда простой и неприятный для любителей быстрых ярлыков: история науки плохо укладывается в схему, где великий учёный обязан быть идейно стерилен. А привычка делить людей на «настоящих учёных» и «постыдных еретиков» говорит не о верности науке, а о тяге к примитивным схемам.

По части комментариев видно, что раздражение вызывают уже не только гомеопатия или натянутые выводы о биологии, но и сам факт того, что человек публично говорит о Боге. И вот это уже важный симптом.
Вера в Бога сама по себе не антинаучна. Наука занимается не тем, во что человеку позволено верить, а тем, что можно проверить. Поэтому одно дело — разбирать конкретную чушь. Если человек говорит ерунду о медицине или биологии, это надо разбирать по существу. Другое дело — превращать саму религиозность в повод для презрения и клейма.
В этот момент спор идёт уже не о знании, а о мировоззренческой лояльности. Возникает простая схема: если ты верующий, значит, ты заведомо подозрителен; если говоришь о Боге публично, значит, ты уже почти мракобес. Но это не научный подход. Это обычная идеологическая нетерпимость, только в светской упаковке.
Борьба с мракобесием с позиций воинствующего безбожия сама легко становится мракобесной. Просто с другим знаком. У таких атеистов тоже есть свои правильные и неправильные взгляды, свои дозволенные и недозволенные мысли, своё раздражение к «ереси». К науке это имеет довольно косвенное отношение.
Между тем даже правила самой премии ВРАЛ формально выводят религиозных деятелей и религиозные проекты за скобки. То есть по крайней мере на бумаге организаторы сами признают, что религиозность как таковая — не их предмет. Тем более странно видеть, как в обсуждении именно религиозность начинает вызывать у части публики почти рефлекторную ненависть.
Критиковать ложные утверждения нужно. Воевать с верой как таковой — нет. Иначе под видом защиты разума начинают защищать совсем не разум, а собственную догму.

О Фоменко, Савватееве и праве раздавать ярлыки

Михаил Гельфанд в комментариях на своём канале задал мне такой вопрос: «математик Фоменко стал высказывать мнения по поводу истории — его тоже в академики ВРАЛ нельзя номинировать?»
Фоменко — да, можно. Это, по-моему, именно лженаучная система: в чужой области там построена альтернативная система «научных» фактов, связей между ними и защиты от опровержения. Это уже не частное заблуждение. Это суррогат науки.
С Савватеевым случай другой. У него нет собственной альтернативной биологии, собственной медицины или собственной истории. У него есть религиозное мировоззрение, дилетантские заходы в чужие области, слабые и местами псевдонаучные аргументы. Иногда он пытается подпереть метафизический вывод словами про вероятность, математику, «специалистов». Это можно считать натяжкой, плохой аргументацией, выходом за пределы компетенции. Но это всё же не то же самое, что цельная фоменковская конструкция.
И вот здесь начинается важная вещь. Как только пытаешься провести такую границу, сразу возникает ловушка: а не усаживаюсь ли я сам в кресло судьи?
Риск, конечно, есть. Но всё-таки есть разница между различением и судилищем. Различение можно оспаривать, уточнять, сдвигать. Судилище устроено иначе: оно не различает, а клеймит. Ему не нужна шкала. Ему нужен ярлык.
Различать — это говорить: здесь перед нами цельная лженаучная система; здесь — псевдонаучный аргумент; здесь — дилетантство; здесь — мировоззренческое суждение; здесь — просто ошибка. Это не окончательный приговор от имени Истины. Это попытка не валить в одну кучу разные вещи.
А жанр антипремий как раз на этом сваливании и держится. Он стирает границы. Ему неудобно говорить: здесь у человека спорное мировоззрение, здесь слабый аргумент, здесь натяжка, а здесь уже настоящая лженаучная система. Ему проще выдать один ярлык и вручить статуэтку.
Вот это мне и кажется дурным жанром. Не потому, что нельзя назвать лженауку лженаукой. Можно и нужно. Не потому, что любую глупость надо терпеть из уважения к свободе мнений. Не надо. А потому, что антипремия слишком легко превращает критику в маленький суд от имени Науки.
И тут у меня возникает главный вопрос — к самой интонации происходящего. Откуда берётся это право на окончательный суд? Кто уполномочил эту медийную тусовку не просто спорить и критиковать, а символически распределять, какое знание «настоящее», а какое уже подлежит публичному позору?
Наука так не устроена. В науке нет сана, который даёт право на анафему. Есть компетенции, аргументы, методы, степень обоснованности, границы применимости. Можно показать, что перед нами не наука, а её имитация. Можно показать, что человек вышел за пределы своей области и начал нести чушь. Можно показать, что такой-то аргумент псевдонаучен. Всё это нормальная работа мысли, а не вручение позорных знаков отличия.
Когда же из этого делают карнавальный жанр с церемонией и статуэткой, возникает уже не разбор, а ритуал. И плох он не только дурным вкусом. Плох он тем, что слишком быстро начинает притворяться чем-то большим, чем он есть. Не шуткой. Не полемикой. А маленьким окончательным судом — с правом на моральную сортировку людей и идей.
В этом и есть главная пошлость жанра. Он выдаёт себя за защиту рациональности, а на деле слишком часто просто эксплуатирует удовольствие от публичного клеймения. Ему хочется не столько разобрать, сколько назначить виновного. Не столько прояснить, сколько унизить.
Поэтому мой ответ Гельфанду такой. Фоменко — да, это лженаука. Савватеев — нет, не в том же смысле. У него можно находить слабые, натянутые, дилетантские и местами псевдонаучные высказывания. Их можно и нужно критиковать. Но чем точнее мы различаем эти случаи, тем меньше оснований любить сам жанр антипремий. Потому что этот жанр живёт на обратном: на стирании различий и на самоуверенном праве выносить громкие вердикты.
Именно это меня в нём и раздражает больше всего. Не жёсткость. Не резкость. Не желание спорить. А самодовольная уверенность медийной инстанции, что ей почему-то позволено не просто возражать, а раздавать знаки позора от имени Науки.

После видео ВРАЛ: это уже не просвещение, а судилище

Я не собирался продолжать эту тему: казалось, что уже всё сказал. Но после просмотра видео с вручением ВРАЛ стало ясно, что один важный момент всё-таки остался недоговорённым.
Я не биолог и не климатолог, поэтому не буду оценивать, насколько удачны у них частные разборы по существу. Меня здесь интересует не это. Интересен сам жанр происходящего — и то, что участники церемонии сами о нём проговаривают.
Проблема в том, что это уже не просто критика ложных тезисов. Это смесь научпопа, капустника и показательной порки.
Во-первых, зрителя с самого начала настраивают не на разбор, а на нужную эмоцию: скетчи, карикатурный Захария Деникин, «грустный рептилоид», общий балаганный тон. Уже после этого внутрь вставляются содержательные куски. То есть просвещение здесь подаётся в упаковке заранее заданного презрения.
Во-вторых, в видео слишком явно звучит не только эпистемическая, но и репутационная логика. Самый яркий пример — слова Евгения Александрова о Савватееве: «на следующих выборах [в РАН] он пойдёт в академики, и получит тем самым возвышение по общественной линии… Мне представляется, что давать ему дополнительный шанс продвинуться было бы грешно. А если мы ему присвоим звание академика ВРАЛ, то это будет основанием для того, чтобы он не пошёл дальше по академической лестнице» (57:55–58:58). Это уже не про истину и не про ошибку. Это про репутационный удар и попытку символически перекрыть человеку путь дальше.
И почти сразу после этого ведущий говорит обратное: «мы ни в коем случае не хотим оказывать какое-то влияние на карьерный рост того или иного учёного» (1:15:22–1:15:34). То есть сначала со сцены прямо проговаривается карательный смысл, а потом тут же включается формула невинности.
В-третьих, там всё время всплывает язык не научного разбора, а санитарной обработки среды. «Престиж академии наук должен тщательно охраняться» (56:22–56:35). Телевизионную аудиторию «уже не спасти», это «как труп палкой колотить» (1:02:01–1:02:24). Креационизм — это болезнь, которую «победить невозможно, но бороться нужно» (1:31:30–1:31:45). Это уже не спор с тезисами. Это язык маркировки, вытеснения и профилактики.
Отсюда и главное ощущение от видео. Оно не столько различает, сколько сваливает в один ряд слишком разные вещи: цельные лженаучные конструкции, слабые аргументы, дилетантские заходы в чужую область, мировоззренческие утверждения, троллинг, медийный эпатаж. А потом на всё это навешивается один общий ярлык и запускается церемония публичного клеймения.
Именно это мне в жанре ВРАЛ кажется самым дурным. Самозваная претензия на маленький символический суд. Формально это, конечно, частная премия частных людей. Но риторически она устроена именно как инстанция, которая не просто возражает, а распределяет публичный позор, причём с интонацией почти окончательного вердикта.
Но настоящая наука сильна не этим. Не удовольствием от клейма. Не позой людей, которым будто бы выдана лицензия отделять допустимое от недопустимого. А способностью различать: где ошибка, где натяжка, где подмена, где псевдонаучный аргумент, а где уже полноценная имитация науки.
Здесь же речь идёт не о просвещении, а о карательном спектакле, в котором научная критика смешана с репутационным наказанием. И именно это смешение кажется мне особенно отталкивающим.

И кто тут невежественный?

Пролистывая новостную ленту, наткнулся на очередную громкую историю. The Moscow Times (признана иноагентом) написали, что 49% россиян считают, будто антибиотики действуют на вирусы, и что раньше таких было 28% в 2011 году, 34% в 2014-м и 41% в 2020–2021 годах. На этом месте мне стало интересно уже не столько содержание новости, сколько арифметика.
Если понимать эти цифры буквально, выходит довольно странная картина. За 10 лет доля людей, правильно понимающих действие антибиотиков, должна была бы упасть с 72% до 51%. То есть минус 21 процентный пункт взрослого населения. Куда делись эти люди? Умерли, эмигрировали, вышли из возрастной группы 18–65? И кем их заменили? Чтобы такое произошло без массового перехода из состояния «понимает» в состояние «не понимает», пришлось бы предположить очень жёсткое замещение: значительная часть разумно отвечавших исчезла из выборки, а на их место пришли новые респонденты с заметно худшими представлениями о совсем базовых вещах. Что-то тут не бьётся.
Пришлось открыть источник, на который ссылаются сами журналисты, — сборник ВШЭ «Индикаторы науки». И там сразу видно главное: это график не о доле заблуждающихся, а о доле правильных ответов.
После этого вся конструкция рассыпается. В строке про антибиотики написано: «Антибиотики убивают не только бактерии, но и вирусы (неверно)». А числа 28%, 34%, 41% и 49% — это доля людей, которые ответили правильно, то есть поняли, что утверждение ложно. Иначе говоря, график показывает не рост невежества, а, наоборот, рост правильных ответов: 28% — 34% — 41% — 49%.
Ровно то же самое и со строкой про гены. В графике ВШЭ утверждение сформулировано так: «Обычные овощи — картофель, помидоры и т. п. — не содержат генов, а генетически модифицированные овощи — содержат (неверно)». И числа 29%, 34%, 38%, 40% снова означают долю правильных ответов. То есть и здесь журналисты прочитали график наоборот.
Со строкой про Солнце ошибка уже немного другая, но тоже довольно грубая. В графике ВШЭ 90% в 2023–2024 годах дали правильный ответ на утверждение «Земля вращается вокруг Солнца», а в 2011 и 2014 годах — по 87%. Значит, в новых данных 10% не дали правильного ответа, а в старых — 13%. Но «не дали правильного ответа» — это не то же самое, что «считают, будто Солнце вращается вокруг Земли». В эту группу входят не только ошибившиеся, но и те, кто просто затруднился ответить на так сформулированный вопрос. Так что и тут из графика нельзя извлечь тот вывод, который вынесен в новости. Более того, если сравнивать именно то, что реально изображено на графике, то получается не рост, а небольшое улучшение: доля правильных ответов выросла с 87% до 90%.
Итак, если заглянуть в исходный материал ВШЭ, а не пересказ, получается совсем другая история. По двум строкам журналисты просто перепутали долю правильных ответов с долей ошибочных. По строке про Солнце они подменили одну величину другой: «не ответил правильно» превратилось в «придерживается геоцентризма». В результате из графика, который местами показывает улучшение, сделали новость о нарастающем невежестве.
Так что проблемы с научной грамотностью бывают не только у респондентов, но и у тех, кто берётся пересказывать результаты опросов.