Конкурс красоты Кейнса — когда правда не имеет значения

Он думал, что уснула я
И всё во сне стерплю,
Иль думал, что я думала,
Что думал он: я сплю!

Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,
Чтоб посмотреть, не оглянулся ли я.

В этих стихах реальность растворяется в зеркальном лабиринте взаимных предположений. Экономист Джон Мейнард Кейнс, описывая в 1936 г. иррациональность рынков, нашёл для неё ещё более точную метафору — «конкурс красоты».
Представьте: вы получаете 100 фотографий. Ваша задача — выбрать не самую красивую, и даже не ту, что понравится большинству. Вы должны угадать, какую фотографию большинство назовёт самой популярной. Это уже не вопрос эстетики, а чистая игра на предсказаниях.
Здесь нет объективной истины, как в количестве леденцов в банке. Есть только бесконечная регрессия уровней рефлексии:
• Уровень 0: «Какое лицо мне нравится?»
• Уровень 1: «Какое лицо понравится большинству?»
• Уровень 2: «Какое лицо, по мнению большинства, понравится большинству?»
• Уровень n: «Что думают другие о том, что думают другие о том, что думают другие…»
Кейнс утверждал: именно так работает фондовый рынок. Успешный инвестор покупает не те акции, в которые верит, а те, в которые, как он предполагает, поверит рынок. Цена актива определяется не его стоимостью, а общим ожиданием его будущей цены.
Хорошо иллюстрирует суть упрощённая версия — игра в «угадай 2/3 от среднего». Все участники называют число от 0 до 100, победитель — тот, чьё число ближе к 2/3 от среднего по всем ответам. Новичок назовёт 50, исходя из случайного распределения. Игрок первого уровня подумает: «Если все так подумают, среднее будет 50, значит, нужно назвать 33». Игрок второго уровня рассуждает: «Но если все дойдут до первого уровня, среднее будет 33, значит, нужно назвать 22». Теоретически рациональное равновесие — 0 (хотя выглядит максимально иррационально), но на практике ответы всегда распределяются по «пикам» — уровням рефлексии, до которых дотянулось большинство игроков. Эта игра — квинтэссенция конкурса красоты: чтобы победить, вам нужно угадать, на какой ступени рекурсии остановится коллективный разум.
Известна задача о грязных детях. Трое детей играют во дворе, все испачкали лбы. Родитель объявляет: «Хотя бы один из вас испачкал лоб» и спрашивает по кругу: «Кто знает, что его лоб грязный?» На первый и второй вопросы все молчат. На третий — все одновременно поднимают руки. Почему? Потому что каждый ребёнок видит двух грязных товарищей и думает: «Если бы мой лоб был чист, то другой ребёнок, видя лишь одного грязного, сразу бы понял, что это он и поднял бы руку». Когда после первого раунда никто не поднимает руку, каждый понимает, что другие тоже видят как минимум двух грязных детей — значит, и его собственный лоб грязный. Каждый раунд вопросов добавляет уровень общего знания, пока логика не срабатывает.
Трилогия о коллективном разуме выстраивается в такую эволюционную лестницу:
Мудрость толпы (уровень 0): ищет объективную истину через усреднение независимых ошибок. Условие: независимость мнений.
Удивительно популярный ответ (уровень 1): Ищет объективную истину через анализ мета-мнений. Условие: наличие знающего меньшинства.
Конкурс красоты (уровень n): Отказывается от объективной истины. Истина здесь — самореализующийся прогноз, точка равновесия в бесконечной игре взаимных ожиданий.
В реальном мире эти уровни перемешаны. Финансовые рынки сочетают элементы всех трёх моделей: есть объективные фундаментальные ценности, есть информированные трейдеры, но доминирует рефлексивное мышление. Социальные нормы поддерживаются не самой нормой, а общим знанием о том, что все её соблюдают и все знают, что все её соблюдают.
Конкурс красоты — это высший уровень коллективного интеллекта, где математика описывает не поиск истины, а поиск равновесия в бесконечной рекурсии ожиданий. Мир, где мы все пытаемся предсказать, что пытаются предсказать другие, что пытаемся предсказать мы... Здесь нет места объективной реальности, зато есть место глубокой математической красоте — красоте структур, которые управляют нашими решениями, часто даже без нашего осознания.

Задача 1. Имеется три мудреца (A, B и C) и пять колпаков: три белых и два чёрных. Мудрецам завязывают глаза и надевают по одному колпаку, выбранному случайным образом. Оставшиеся два колпака прячут. Повязки снимают. Каждый мудрец видит колпаки на двух других, но не свой.
Правила:
1) Объявляется, что будет проведено три раунда.
2) В конце каждого раунда (по звуку гонга) каждый мудрец, который с абсолютной уверенностью определил цвет своего колпака, обязан молча выйти.
3) Выходить можно только в момент окончания раунда.
Известно, что в конце первого раунда никто не вышел. В конце второго раунда никто не вышел. В конце третьего раунда все трое вышли одновременно.
Вопрос:
Какого цвета были колпаки на каждом из мудрецов?

Ответ: на всех трёх мудрецах были белые колпаки.

Решение задачи 1.
Раунд 1.
Если бы какой-то мудрец увидел два чёрных колпака на других, он бы сразу знал, что на нём белый (потому что чёрных колпаков всего два). В этом случае он вышел бы в первом раунде.
Поскольку никто не вышел, это означает, что ни один мудрец не видит два чёрных колпака. Следовательно, распределение колпаков не может быть "один белый, два чёрных" (БЧЧ).

Раунд 2.
Теперь мудрецы знают, что распределение не БЧЧ. Остаются только два варианта: "три белых" (БББ) или "два белых, один чёрный" (ББЧ).
Рассмотрим вариант ББЧ. Предположим, что на мудреце A чёрный колпак, а на B и C — белые.
B видит чёрный колпак на A и белый на C. Он рассуждает: «Если бы на мне был чёрный колпак, то C видел бы два чёрных (на A и на мне) и должен был бы выйти в первом раунде (поскольку чёрных колпаков всего два). Но C не вышел в первом раунде, значит, на мне не может быть чёрного. Следовательно, на мне белый».
Аналогично рассуждает C и приходит к выводу, что и на нём белый.
Таким образом, B и C должны были выйти во втором раунде.
Но по условию после второго раунда никто не вышел. Следовательно, распределение не ББЧ.
Здесь все трое должны были бы одновременно прийти к выводу, что на них белые, и выйти во втором раунде.
Но по условию после второго раунда никто не вышел. Это связано с тем, что в случае БББ мудрецы не могут выйти во втором раунде, потому что их рассуждения требуют дополнительного шага. Второй раунд не даёт им достаточной информации для уверенности. Они видят, что другие не выходят во втором раунде, но это не позволяет им сделать вывод немедленно. Их логика завершается только к третьему раунду.

Раунд 3.
Остаётся только один возможный вариант — "три белых" (БББ).
Каждый мудрец видит два белых колпака на других и рассуждает:
"Я вижу два белых колпака. Если бы на мне был чёрный, это было бы распределение ББЧ. Но если бы это было ББЧ, то мудрец в чёрном колпаке должен был выйти во втором раунде. Однако во втором раунде никто не вышел. Значит, на мне не может быть чёрного колпака. Следовательно, на мне белый колпак."
Поэтому все трое одновременно выходят в третьем раунде.
Задача демонстрирует, как последовательность молчаливых раундов создаёт цепочку общих знаний, позволяющую мудрецам через логическую рекурсию прийти к верному выводу.

Задача 2. Имеется тот же набор мудрецов (A, B и C) и колпаков: три белых и два чёрных.
Правила:
Раунд 1: никто не вышел.
Раунд 2: вышли двое мудрецов (В и С).
Раунд 3: вышел мудрец А.
Какого цвета были колпаки на каждом из мудрецов?

Ответ: на A — чёрный, на B и C — белые.

Теорема о двух генералах

В математике есть особенный тип открытий — это не инструкции «как сделать», а доказательства того, чего сделать принципиально невозможно. Задача о двух генералах, появившаяся в 1970-х, как раз из этой серии. Она показывает, где проходят границы возможного в любых системах, где связь ненадёжна.
Представьте двух генералов, чьи армии стоят на холмах вокруг вражеской долины. Чтобы победить, им нужно атаковать одновременно. Связываться они могут только через гонцов, которых враг может поймать в долине. Вопрос: как договориться о времени атаки, если каждое сообщение может не дойти?
На первый взгляд, решение простое:
• Генерал А посылает: «Атакуем завтра на рассвете».
• Генерал Б получает и отвечает: «Подтверждаю, атакую на рассвете».
Но тут возникает проблема. Генерал А, получив подтверждение, задумывается: «Б получил моё сообщение, но знает ли он, что я получил его ответ? Если Б думает, что его подтверждение не дошло, он может не атаковать». Чтобы развеять сомнения, А посылает: «Получил твоё подтверждение». Теперь Б задаётся тем же вопросом: «А знает ли, что я получил это сообщение?»
Так начинается бесконечный обмен подтверждениями. Каждое новое сообщение должно создать уверенность в предыдущем, но после любого конечного числа обменов всегда остаётся шанс, что последнее сообщение потерялось. И если оно потерялось, один из генералов не будет уверен в планах другого.
Математически это можно сформулировать так: для полной уверенности в согласованных действиях нужно, чтобы оба генерала не просто знали время атаки, но и знали, что другой знает, и знали, что другой знает, что они знают, и так до бесконечности. При ненадёжной связи достичь этого невозможно. Это строго доказанная теорема: не существует алгоритма, который гарантировал бы согласие за конечное число шагов, если есть хоть малейший шанс потери сообщения.
Это открытие изменило подход к созданию распределённых систем. Вместо поиска идеального решения инженеры научились создавать системы, где вероятность сбоя становится настолько мала, что ей можно пренебречь на практике. Взгляните на блокчейн: он не решает задачу двух генералов в чистом виде. Вместо этого он делает попытки нарушить согласие экономически невыгодными. Чем больше подтверждений получает транзакция, тем дороже становится её подделать. Вероятность атаки стремится к нулю, хотя формально никогда не достигает его.
Задача о двух генералах важна потому, что она показывает: иногда признание невозможности идеального решения открывает путь к практическим компромиссам. Вместо того чтобы биться в закрытую дверь, умнее найти обходной путь. Именно так устроены современные технологии — они не стремятся к абсолютной гарантии, а создают условия, где сбой становится практически невозможным.

Математика общественного строя

Если искать идеальную математическую реализацию «мудрости толпы», то ею была бы анархия. Это идеализированная модель распределённых вычислений, где каждый узел сети независим и вносит свой уникальный, неотфильтрованный сигнал. Система теоретически обладает максимальной способностью к инновациям и адаптации, потому что ни одно наблюдение, ни одна ошибка не отбрасываются централизованно. Но её фундаментальная и математически неразрешимая проблема — задача координации, та самая «проблема двух генералов». Как убедить миллионы независимых процессоров совершить синхронное действие — построить мост, отразить вторжение, собрать космический корабль? Для этого им требуется достичь общего знания, что в системе без доверенного центра и с ненадёжными каналами связи требует бесконечных подтверждений. Анархия оказывается блестящим механизмом сбора данных и неэффективным механизмом принятия решений. Она генерирует идеи, но не может превратить их в сложный, скоординированный результат.
Демократия — это инженерный компромисс, патч, устанавливаемый поверх этой математической проблемы. Она признаёт необходимость координации и поэтому добровольно отказывается от части информационной чистоты анархии, вводя в систему центральные узлы — институты власти. Её ключевой принцип в том, что она создаёт легитимный механизм для её временного принудительного назначения — выборов, законов, решений большинства. Она пытается бороться с систематическими ошибками, имитируя алгоритм «удивительно популярного ответа» через свободную прессу и оппозицию, которые ищут разрыв между тем, «что думают» и «что ожидают услышать». Её главный недостаток — хроническая неэффективность. Она тратит колоссальные ресурсы на дебаты, циклы обратной связи и процедуры согласования. Это плата за движение, чтобы система не стояла, как в анархии, или не летела в кювет, повинуясь одному навигатору.
И вот здесь возникает авторитаризм как радикальный ответ на недостатки обеих систем. Если демократия — это сложный патч, то авторитаризм — это грубый хак, ломающий сам код программы ради сиюминутной производительности. Он смотрит на неразрешимую «задачу двух генералов» и даёт циничный ответ: чтобы генералы атаковали одновременно, нужно одного расстрелять, а другому приказать. Он решает проблему координации не через построение общего знания, а через его полную замену единственным знанием — волей центра. При этом он не просто отказывается от «мудрости толпы» (разнообразия мнений), а активным образом подавляет его, искажая входящие данные. Система настраивается не на сбор информации, а на подтверждение предзаданной картины мира. Окружение не сообщает данные, оно посылает сигналы, соответствующие ожиданиям центра. Это убивает не только случайные ошибки, но и саму возможность увидеть «удивительно популярный ответ». Истина перестаёт быть внешней целью, она становится внутренним, самозамкнутым продуктом системы — тем, что лидер провозгласил и что аппарат единогласно подтвердил. Система идеально оптимизирована для движения по прямой, заданной изначально. Любое отклонение от курса ведёт к катастрофе, потому что механизмов для самостоятельного обнаружения неучтённой помехи в ней не предусмотрено. Система ошибается не мелкими шагами, а накапливает одну тотальную, неисправимую ошибку.
Таким образом, общественный строй — это выбор математических приоритетов в вечном треугольнике: информационное разнообразие, эффективность координации, устойчивость к ошибкам. Анархия максимизирует первое в ущерб второму. Демократия пытается балансировать между всеми тремя, платя за это сложностью и неспешностью. Авторитаризм максимизирует второе, принося в жертву первое и третье. Идеального решения, которое максимизировало бы все три вершины одновременно, не существует — это математически невозможно. Это следует из базовых теорем: нельзя одновременно гарантировать абсолютную надёжность связи в распределённой системе, полную независимость её агентов и мгновенное достижение консенсуса. Можно лишь выбирать, какую цену и в какой валюте платить за движение вперёд, осознавая природу этого выбора.

Урок математики от министра торговли Говарда Латника:

Ведущий: Потому что кое-что из этого математически невозможно. Послушайте, что он говорил о снижении цен на рецептурные лекарства

Трамп: Я напрямую договорился с фармацевтическими компаниями и иностранными государствами снизить цены на лекарства и фармацевтику на 400%, 500% и даже 600%.

Ведущий: Если вы снижаете цену на 100%, стоимость падает до нуля. Если вы снижаете на 400-500-600%, фармацевтические компании фактически платят вам за то, чтобы вы принимали их продукцию. Поэтому возникает вопрос — насколько вчерашняя речь была преувеличением?

Латник: Нет. Он говорит, что если лекарство стоило 100 долларов, а вы снижаете цену до 13 долларов, то, если вы смотрите на цену с 13 долларов, она снижается в 7 раз.

Ведущий: Это не снижение на 600%.

Латник: Но раньше цена была на 700% выше. Сейчас она снизилась на 700%. Таким образом, цена в 13 долларов должна вырасти на 700%, чтобы вернуться к прежней. Так что все зависит от того, как на это посмотреть.

В поисках справедливости — 12

Арифметика итоговых оценок: когда точность вредит смыслу

Электронный журнал выдаёт среднюю оценку ученика, например, 4,37 балла. Возникает вопрос: имеет ли смысл такое вычисление с точностью до сотых? Или хотя бы до десятых?
Можно ли вообще оценить знания ученика с такой точностью? Ясно, что нет. Обычная «четвёрка» в журнале — это ведь не точка. Это скорее промежуток, примерный диапазон от 3,5 до 4,5. В самую суть оценки уже вшита погрешность.
Как писал математик Б.В. Гнеденко: «Если приборы дают нам результаты измерений с некоторой неопределённостью δ, то стремиться посредством больших чисел получить "истинное" значение с большей степенью точности является заблуждением, а сами произведённые при этом вычисления превращаются в арифметическую забаву». Усреднение множества «примерных» оценок не уменьшает исходной погрешности — оно лишь создаёт иллюзию точности. Особенно абсурдно это выглядит, если вспомнить, что сама погрешность (0,5 балла) составляет шестую часть всей пятибалльной шкалы (от 2 до 5)!
Однако проблема гораздо глубже простой неточности. Мы совершаем методологическую ошибку, складывая принципиально разные вещи. Письменная работа, устный ответ и творческий проект — это «яблоки, апельсины и бананы». Предварительное умножение их на магические коэффициенты («веса») не превращает их в однородные величины. С точки зрения теории измерений, это бессмыслица. В результате мы получаем не «среднее значение», а винегрет, рецепт которого (эти самые веса) кто-то довольно произвольно придумал.
Помните, лет 10–15 назад в моде был показатель СОУ (степень обученности учащихся) — непревзойдённый образец педагогического шаманства. Выглядел он так:
СОУ = (1 × n₅ + 0,64 × n₄ + 0,36 × n₃ + 0,16 × n₂) / N × 100%.
Эти коэффициенты — 0,64, 0,36 — пытались обосновать чем угодно: и «кривой нормального распределения», и «арифметической прогрессией». Выглядело это наукообразно, но по сути было просто игрой с цифрами. Подобно тому, как педагог вычислял «степень обученности», можно было бы предложить врачу считать «степень вылеченности» больных, повару — «степень приготовленности» обеда, парикмахеру — «степень остриженности волос на голове»… Некоторые региональные управленцы до сих пор требуют СОУ, потому что он красиво смотрится в таблицах, но на деле это математический фантом.
Нынешние средневзвешенные баллы — это прямые потомки того самого СОУ. Болезнь у них одна: вера в то, что сложный педагогический вопрос можно решить с помощью простой математической формулы.
В чём же состоит эта нерешаемая формулой дилемма? Одни считают: «Контрольная работа — ключевой срез, она показывает, усвоил ли ученик тему в принципе». Другие настаивают: «Без систематической работы над текущими заданиями не может быть и глубокого усвоения». И по-своему правы и те, и другие.
А что делает система с весами? Загоняет нас в угол, заставляя выбрать одну сторону. И вместо профессионального разговора подменяет его бездушным расчётом. Выходит, что субъективное решение (какие коэффициенты назначить) вдруг становится «объективной истиной».
Что же делать?
Математика должна быть помощником, а не начальником. Окончательного ответа, вероятно, нет, но есть некие разумные принципы.
Смотреть на динамику. Если ученик начал с тройки, а закончил на пятёрку, — это куда важнее, чем любое усреднённое число.
Использовать медиану. Одна случайная двойка из-за болезни или стресса не должна портить всю картину. Медиана помогает отсечь такие выбросы.
Дать второй шанс. Учиться — значит ошибаться. Возможность переписать важную работу должна быть.
И самое главное — цифры должны быть инструментом для принятия решений, а не самим решением. Последнее слово должно оставаться за человеком, за учителем. Только он, видя все обстоятельства — старания, прогресс, личные ситуации, — может принять по-настоящему взвешенное решение. Это право — и эта ответственность — округлить итог в большую сторону, если виден явный прогресс, или в меньшую, если полученный высокий балл не отражает реальных знаний. Нельзя позволить алгоритму заменить собой профессиональное видение.

Задача 2. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 2026, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.

Ответ: 12026, 22026, 10132026, 20262026.
Натуральные числа, удовлетворяющие условию, содержат впереди числа 2026 запись всевозможных его делителей.

Задача 3. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Может ли произведение этих чисел оканчиваться на 2026?

Ответ: нет. Отношение площадей двух соседних треугольников равно отношению площадей двух других соседних треугольников, отсюда произведения площадей пар треугольников, имеющих вертикальные углы, равны между собой, а произведение всех четырёх площадей есть полный квадрат. Квадрат числа не может оканчиваться на 26, т.к. это число делится на 2 и не делится на 4.

Задача 4. На доске в первой строке написано два последовательных натуральных числа n и n+1, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются делителями какого‐либо числа из первой строки. Сколько существует таких чисел n ≤ 2026, для которых во второй строке написано чётное количество чисел?

Ответ: 89. Натуральное число n имеет нечётное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом (поскольку все его делители разбиваются на пары (d и n/d), а квадрат имеет один непарный делитель). Числа n и n+1 имеют единственный общий делитель 1. Поскольку наибольший квадрат, меньший 2026, равен 45² = 2025, существует ровно 45 чисел, для которых n является квадратом натурального числа, и 44 таких числа для n+1.

🎄 Ошибки прошлого и надежды на будущее

В преддверии Нового года принято смотреть вперёд, строить планы и мечтать о будущем. Но не менее поучительно бывает оглянуться назад, чтобы увидеть, как даже самые изящные математические модели могут нас обмануть. Стоит лишь забыть простую истину: мир живёт не по удобным нам графикам, а по нелинейным сценариям.
65 лет назад, в 1960 г., австрийский математик Хайнц фон Фёрстер опубликовал в журнале Science свой зловещий прогноз под названием «Судный день. Пятница, 13 ноября 2026 года». Его модель роста населения Земли, основанная на гиперболической зависимости P(t) = C/(t₀–t), предсказывала, что к означенной дате население Земли устремится к бесконечности. Расчёты, надо признать, выглядели убедительно: для 1970 г. модель давала значение 3,77 млрд человек против реальных 3,71 млрд. Однако в основе прогноза была заложена роковая ошибка — наивная вера в то, что социальные системы можно просто описать экстраполяцией прошлых трендов, игнорируя их способность к самоорганизации и нелинейным изменениям.
Мир оказался сложнее. Вместо предсказанного демографического взрыва мы столкнулись с тихим спадом. Население Земли даже не приблизилось к тем десяткам миллиардов, которые следовали бы из продолжения гиперболического тренда, и сегодня составляет около 8,3 млрд человек. Коэффициент рождаемости упал ниже уровня простого воспроизводства (2,1 на ребенка-женщину) в большинстве стран, включая Россию и Европу. И что примечательно, эта тенденция затронула даже те регионы, где не применялись агрессивные программы контроля рождаемости. Что доказывает: корни проблемы глубже. Они — в урбанизации, росте образованности женщин и фундаментальном изменении экономических условий.
Если раньше дети были дополнительными руками в доме, то сегодня они стали главной статьёй расходов. Карьера, поиск себя, жизнь отдельно от родителей и вечная проблема с жильём — всё это вместе и закрутило воронку, из которой сложно выбраться, чтобы завести семью. Так меры по планированию семьи, наложившись на глубокие социально-экономические сдвиги, стали частью процесса, приведшего к глобальному демографическому дисбалансу. Сегодня главный вызов — уже не призрак перенаселения, а реальность стареющих обществ, сокращающейся рабочей силы и пенсионных систем, несущих непосильную нагрузку. В условиях, когда фундаментальные основы общественного договора и личной безопасности становятся зыбкими, ждать демографического чуда наивно. А пустые призывы к «традиционным устоям» в такой реальности звучат не как решение проблемы, а как риторический жест, лишённый практического содержания.
Ошибка Фёрстера — не просто забавный курьёз из истории науки. Это напоминание: будущее не предопределено ни гиперболами, ни пессимистическими прогнозами. Давно ясно, что 2026-й не станет годом демографического апокалипсиса — он станет символом того, как реальность побеждает упрощённые модели. Математика незаменима для понимания возможных сценариев, но она бессильна там, где мы подменяем анализ механизмов слепым продолжением кривых.
Пусть 2026-й станет годом, когда в ребёнке перестанут видеть «угрозу устойчивого развития» или «обязательство по демографическому плану», и начнут создавать общество, в котором каждый новый человек будет желанным — не как будущий солдат, обезличенный налогоплательщик или «инвестиция» в пенсионную систему, а как единственная и неповторимая жизнь, ценная уже самим фактом своего существования.

2026: Счастливого нового года!

Счастливые числа (happy numbers) — это вполне реальное математическое понятие, происхождение которого одни источники связывают с Капрекаром (тем самым, что открыл числа харшад), а другие — с Гарднером.
Что делает число счастливым? Алгоритм, проверяющий, достигнем ли мы единицы через итеративное возведение цифр в квадрат и сложение результатов:
2026 → 2²+0²+2²+6² = 44 → 4²+4² = 32 → 3²+2² = 13 → 1²+3² = 10 → 1²+0² = 1.
Этот процесс либо приводит к 1, либо зацикливается — третьего не дано.
Все натуральные числа, для которых этот процесс заканчивается единицей, называются счастливыми числами, а все остальные числа, для которых этот процесс не заканчивается единицей, называются несчастными, или грустными.
В XXI веке счастливых годов всего дюжина: 2003, 2008, 2019, 2026, 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091 и 2093.

Сделает ли "счастливая" цифровая сущность года сам год счастливым — добрым, светлым, мирным? Во всяком случае, мне импонируют идеи, лежащие в основе определения счастливых чисел: устойчивости в преобразовании, способности проходить через сложности, не распадаясь, и в итоге находить простую и устойчивую форму.
Но математика честна и в другом. Алгоритм счастливых чисел не обещает счастья — он лишь описывает предел итераций. Он говорит о том, что при достаточно долгом и упорном применении одного и того же правила система либо приходит к простой форме, либо застревает в бесконечном цикле.
И если оглянуться вокруг, трудно не заметить: мы живём именно в таком цикле, где одни и те же действия вновь и вновь приводят к тем же самым тяжёлым состояниям. Признаки скорого выхода к «единице» в реальности пока не просматриваются.

И всё же хочется верить, что устойчивость, заложенная в понятие счастливых чисел, — это не про беззаботную радость и не про магию дат, а про целостность — про способность не распасться в мире, где завершения затянувшейся трагедии не видно, где допустимые состояния системы постепенно сокращаются, и где счастье не обещано никому заранее.
Пусть 2026-й станет счастливым хотя бы в этом узком, но важном смысле: как год, в котором мы сумеем сохранить разум, человечность и способность отличать надежду от самообмана.

С новым, счастливым 2026 годом. Пусть математическое свойство его номера станет если не предзнаменованием, то хотя бы тихим напоминанием о том, к какому пределу мы всё ещё стремимся.

Загадка спагетти от Р. Фейнмана

Интуиция подсказывает, что сухая спагеттина, согнутая за концы, разломится на две части. Но если вы очень наблюдательны или часто варите макароны, то знаете: вероятнее всего, она разломится на три, а иногда и на четыре фрагмента. Над этой неочевидностью ломал голову ещё Ричард Фейнман, и разгадка, отмеченная Шнобелевской премией 2005 г., кроется не в статике, а в динамике — в том, что происходит в первые миллисекунды после первого щелчка.
Пока стержень цел, его изгиб описывается уравнением статики Эйлера-Бернулли: изгибающий момент M пропорционален кривизне κ. Жёсткость материала задаётся произведением модуля Юнга E на момент инерции сечения I, поэтому M = EIκ. При равномерном изгибе момент действительно максимален в центре, там и возникает первая трещина. Однако это лишь начало процесса; дальнейшее поведение описывается уже динамическими уравнениями.
В момент разлома запасённая упругая энергия не исчезает. Она высвобождается, заставляя половинки резко распрямляться. Этим процессом управляют динамические уравнения Кирхгофа, учитывающие инерцию материала. Освобождённая половинка ведёт себя не как жёсткое тело, а как упругая струна, вступая в сложные колебания. Её форма после разлома подчиняется волновому уравнению для балки:
∂²y/∂t² + α · ∂⁴y/∂x⁴ = 0.
Решения этого уравнения — стоячие волны, или моды колебаний. Начальная форма половинки, простая дуга, математически раскладывается в суперпозицию таких мод. В динамике они вступают во взаимодействие. Упрощённо колебание можно представить как сумму хотя бы двух первых мод: основной (с одним горбом) и следующей (S-образной). Их интерференция описывается выражением вида
y(x; t) ≈ a₁(x) cos(ω₁t) + a₂(x) cos(ω₂t + φ).
В определённые моменты времени эти моды складываются в фазе, создавая новые пики кривизны, которые могут превзойти исходный пик в центре целой спагеттины. Именно в этих точках — часто на расстоянии около четверти длины от свободного конца — напряжение снова достигает критического порога, что и приводит к вторичному разлому.
Таким образом, наша интуиция, основанная на статике, терпит неудачу из-за динамической сложности мира. Эффект возникает из-за волновой «отдачи»: изгибная волна, побежавшая от места первого разлома, интерферирует сама с собой и порождает новые очаги разрушения. Этот сценарий был подтверждён расчётами Базиля Одоли и Себастьена Нёкирха (2005 г.).
Статическое уравнение M = EIκ служит здесь лишь первым приближением, а подлинное описание явления лежит в области волновой динамики. Инерция и волновые эффекты «обманывают» простое правило «где тонко, там и рвётся»: после первого разлома новые точки разрушения определяются динамикой колебаний.
Так, ломая обычную макаронину, можно увидеть силу и красоту математической физики.

🎄Рождественская теорема Ферма:

Простое число p > 2 представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда p ≡ 1 (mod 4).

В прошлые годы мы рассматривали такие доказательства этой теоремы:
Д. Цагира и А.В. Спивака,
А. Туэ,
и К.Ф. Гаусса.
А в этот раз разберём самый аутентичный подход, восходящий к самому Пьеру де Ферма.
Доказательство основано на идее изобретённого Ферма метода бесконечного спуска. Ферма часто применял этот остроумный приём — его можно было бы назвать «математическим детективом»:
1) Гипотеза о преступлении. Допустим, теорема неверна. Существует «преступник» — простое число вида 4k+1, которое нельзя представить как сумму двух квадратов.
2) Поиск главного подозреваемого. Берём наименьший из таких «преступников» (или наименьший множитель N, с которым произведение N·p всё же представимо).
3) Сбор улик. Используя алгебраические тождества, мы из этого подозреваемого конструируем нового «преступника», но уже меньшего размера.
4) Раскрытие дела. Этот процесс можно повторять бесконечно, получая всё меньшие числа. Но натуральные числа не могут убывать бесконечно!
5) Вердикт. Значит, наша исходная гипотеза была ложной. «Преступника» не существует, а теорема — верна!
Это не просто доказательство. Это конструкция, которая ломает ложное предположение, приводя его к логическому абсурду.

Доказательство теоремы методом спуска
Необходимость условия доказывается прямым рассмотрением того, какие остатки при делении на 4 могут давать квадраты целых чисел.
Докажем достаточность (если p = 4k+1, то p = a² + b²).
Шаг 1. Известный факт: для простого p = 4k+1 сравнение x² ≡ –1 (mod p) имеет решение. Найдём такое m:
m² + 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ m² + 1 = N·p
для некоторого целого N. Заметим: 1 ≤ N < p. Мы получили, что некоторое кратное p (а именно Np) уже представимо как сумма квадратов: m² + 1².
Шаг 2. Всё держится на тождестве Брахмагупты–Фибоначчи:
(x² + y²)(u² + v²) = (xu + yv)² + (xv – yu)².
Оно говорит: если два числа — суммы квадратов, то их произведение — тоже сумма квадратов. Это наш главный инструмент.
Шаг 3. Предположим, что само p не является суммой двух квадратов. Тогда среди всех представлений вида
Np = x² + y²
с натуральным N выберем то, где N наименьшее. Из шага 1 мы знаем, что такие N существуют и 1 ≤ N < p. И по нашему предположению, N > 1.
Шаг 4. Выберем a и b — остатки от деления x и y на N, но «центрированные», чтобы они лежали в интервале:
–N/2 < a, b ≤ N/2.
Тогда:
a ≡ x (mod N), b ≡ y (mod N),
и, следовательно,
a² + b² ≡ x² + y² ≡ 0 (mod N).
Значит, существует такое N₁, что:
a² + b² = N₁ · N, причём
0 < N₁ ≤ ( (N/2)² + (N/2)² ) / N = N/2 < N.
Используем ключевое тождество:
(Np)(N₁N) = (x² + y²)(a² + b²) = (xa + yb)² + (xb – ya)².
Проверим делимость:
xa + yb ≡ x² + y² ≡ 0 (mod N),
xb – ya ≡ xy – yx ≡ 0 (mod N).
Оба слагаемых справа делятся на N! Поделим всё равенство на N²:
N₁·p = ( (xa + yb)/N )² + ( (xb – ya)/N )².
Мы получили, что число N₁·p (где 0 < N₁ < N) тоже представимо в виде суммы двух квадратов. Но это противоречит нашему выбору N как наименьшего!
Шаг 5. Это противоречие показывает, что исходное предположение было ложным. Следовательно, наименьшее N должно равняться 1, а это и означает, что
p = x² + y².
Простое число вида 4k+1 действительно представимо как сумма двух квадратов. Доказательство завершено.
Метод бесконечного спуска Ферма раскрывает красоту математического мышления: отбрасывая лишнее и выявляя минимальное противоречие, он приводит к ясной и непреложной истине, словно праздничное чудо, происходящее из простых, но точных шагов.

#геом_разминка #medium #8

Задача. На рисунке в нижнем ряду изображены 5 равнобедренных треугольников с длинами оснований 12, 13, 14, 15, 16 см. В рядах выше изображены 10 четырехугольников. Каждый четырехугольник представляет собой ромб, а вершина башни — квадрат. Какова площадь квадрата?

Подсказка

Гора из ромбов

На днях в одном хорошем канале Фулл и точка по олимпиадой геометрии была опубликована замечательная конструкция из ромбов.
Я решил назвать ее «горой»
из ромбов. Ее подножие образуют равнобедренные треугольники, основания которых лежат на прямой и равны 12, 13, 14, 15 и 16.
Сама «гора» состоит из 10 ромбов с равными сторонами, а ее вершину образует квадратный «камень». В связи с этой конструкцией можно задать три интересных вопроса (первый из них был задан в названном канале):

1) Чему равна площадь квадратного «камня» на вершине «горы»?
2) Лежат ли 5 вершин первого ряда ромбов на одной прямой?
3) Чему равна высота всей «горы»?