Что удивляет в экспериментах со слизевиком больше всего? За биологической тканью, у которой нет ни мозга, ни даже намёка на нейроны, проступает чистая математика. Это не просто «умное» поведение — это воплощённый алгоритм. Живая система, решающая задачу, которую люди формализовали только в рамках теории графов и оптимизации.
Если отвлечься от биологии, перед нами динамический процесс построения и оптимизации сети. Исходные точки — вершины графа. Случайно расползающаяся протоплазма — это своего рода поиск решения в пространстве вариантов. Но ключевое — положительная обратная связь.
Трубка, которая чуть более эффективна — короче или пропускает поток легче, — не просто выживает. Она начинает доминировать. И здесь срабатывает важный физический принцип: поток через трубку пропорционален четвёртой степени её радиуса. Даже небольшое первоначальное преимущество приводит к лавинообразному перераспределению ресурсов. Сильные связи усиливаются, слабые исчезают — для системы невыгодно их поддерживать.
Физарум решает задачу, похожую на известную в математике задачу Штейнера: находит сеть с минимальной длиной для соединения точек, причём может создавать промежуточные узлы. Для компьютера это сложная задача, требующая перебора множества вариантов. Для слизевика — естественный результат итеративного процесса. Он не оптимизирует абстрактную функцию, а следует реальным физическим градиентам — разнице в давлении и концентрации веществ.
Компьютерные модели, имитирующие такое поведение, удивительно просты. Никакого центрального управления. Только масса локальных правил вроде: «укрепляйся при наличии потока, ослабевай при его отсутствии». Из этого хаотичного взаимодействия возникает глобально эффективная сеть. Это чистый принцип наименьшего действия — реализованный в живой ткани.
Такой подход бросает вызов нашей традиционной вычислительной парадигме. Вместо детерминированных алгоритмов вроде Дейкстры, которые ищут путь в статичном графе, мы видим адаптивную сеть, постоянно перестраивающуюся между надёжностью и эффективностью. Слизевик не вычисляет граф — он сам становится графом в процессе непрерывной оптимизации.
По сути, это аналоговый компьютер, где решение рождается не из последовательности команд, а из физики самой системы. Пока люди строят цифровые чипы, природа давно использует другую логику: сложное поведение возникает из простых правил, а оптимальное решение буквально вырастает само. Такой подход может быть полезен для практических задач — от маршрутизации транспорта до проектирования коммуникационных сетей.

Crinkle crankle, serpentine, wavy wall ака волнистый забор.

Старейшие заборы такой формы находят на раскопках древнеегипетских городов. В современном мире больше всего crinkle crankle — в восточной Англии.

Зачем нужна такая форма? Как ни странно, волнистый забор требует МЕНЬШЕ кирпичей, чем прямой. Волнистая форма стенки значительно увеличивает ее жесткость и стойкость против опрокидывания по сравнению с прямой стеной такой же толщины (кто в этом месте вспомнил теорему Egregium Гаусса?😉). Это позволяет отказаться от постройки столбов жесткости и тянуть забор "в один кирпич", что невозможно для прямых заборов. Хотя, конечно, строить такие заборы гораздо сложнее, чем прямые

Какую форму должен иметь волнистый забор?

Извилистая форма даёт прочность при экономии материала. Но какую именно форму следует считать оптимальной? Кирпич отлично держит сжатие, но плох на изгиб и почти не работает на растяжение. Значит, идеальная форма должна исключить растягивающие напряжения, переводя любую внешнюю нагрузку — например, давление ветра — в чистые сжимающие усилия. Для одиночного пролёта такой идеальной формой была бы арка. Но наш забор — это бесконечная периодическая структура. Какая форма оптимальна для неё?
Ставим вариационную задачу. Представим профиль забора как периодическую функцию y(x) с шагом волны T. Чтобы минимизировать напряжение в материале, будем минимизировать энергию изгиба. В теории балок она пропорциональна интегралу от квадрата кривизны. При малых уклонах кривизна примерно равна второй производной y''. Итак, хотим:
J[y] = ∫₀ᵀ (y'')² dx → min.
Но ресурс не бесконечен — длина кривой на одном периоде (наш расход материала) фиксирована:
L₀ = ∫₀ᵀ √(1 + (y')²) dx = const.
Это классическая изопериметрическая задача вариационного исчисления.
В приближении малых уклонов (y')² мало, и условие на длину упрощается до ∫₀ᵀ (y')² dx = C. Метод множителей Лагранжа приводит к уравнению Эйлера-Пуассона:
y'''' – μ y'' = 0.
Периодические решения возникают только при отрицательном μ. Положим μ = –ω². Тогда общее решение — комбинация синусов и косинусов. Периодичность и выбор начала отсчёта оставляют нам чистый синус:
y(x) = A sin(ωx), где ω = 2π/T.
Итак, в приближении малых уклонов оптимальная форма для минимизации энергии изгиба — синусоида. Подробный вывод этого классического результата вариационного исчисления можно найти, например, в учебнике Эльсгольца "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление".
Полученная синусоида оптимальна при минимизации изгиба для фиксированной длины кладки. Однако реальным ограничением является объём материала. Для стены постоянной толщины это сводится к условию на площадь сечения: ∫₀ᵀy(x)dx = const.
Это меняет вариационную задачу. Функционал принимает вид ∫₀ᵀ[(y'')²+λ y]dx, что приводит к уравнению y'''' = λ. В отличие от предыдущего случая, его общее решение — не синус, а полином. Однако при исторических пропорциях стены (A/T ≈ 0,25) решение этой задачи практически совпадает с синусоидой. Синусоида, оптимальная для первой задачи, оказывается почти оптимальной кривой и для второй. Это показывает робастность решения — его устойчивость к уточнению критерия оптимальности.
Но есть нюанс. Для хрупких материалов вроде кирпича более важным критерием является минимизация максимальных растягивающих напряжений. Идеальная форма должна полностью исключать растяжение, переводя все внешние нагрузки в сжимающие усилия. Эта новая вариационная задача приводит к поиску фуникулярной кривой — формы, в которой под действием заданной нагрузки в сечениях возникают только нормальные сжимающие напряжения.
Для ветровой нагрузки её уравнение сложнее:
d²y/dx² = (q/H) · [1 + (dy/dx)²]³ᐟ².
Это нелинейное уравнение для периодической структуры не имеет простого аналитического решения, но его анализ и численное решение можно найти в работах по оптимальному проектированию арочных систем, например, в статье Lewis W.J. "Constant stress arches and their design space" (2022). Однако что удивительно: при практичных соотношениях амплитуды к периоду A/T ≈ 0,2–0,3 синусоида и точная фуникулярная кривая оказываются также почти неотличимы — их жёсткость и распределение напряжений разнятся менее чем на 5%.
Именно такие пропорции можно видеть в исторических английских crinkle crankle walls. Форма волнистого забора — не произвольная фантазия, а решение, минимизирующее разрушающие напряжения изгиба при ограниченном ресурсе. Математика, исходя из законов механики, указывает на синусоиду. Эта же форма практически оптимальна и для минимизации расхода материала. Более строгий учёт того, что кирпич работает только на сжатие, приводит уже к фуникулярной кривой, в практических пределах неотличимой от той же синусоиды. А исторические мастера эмпирически нашли именно этот практический оптимум.

Волнистые стены и динамика ветра

Прямой кирпичный забор высотой полтора-два метра кажется достаточно прочным, чтобы выстоять против обычного ветра. Однако секрет многовековой сохранности знаменитых волнистых стен кроется не в экстремальных штормах, а в ежедневной, фоновой ветровой нагрузке. Главная угроза для тонкой конструкции — даже не сила порыва, а его ритм. Извилистая форма забора обретает свою устойчивость, кардинально меняя само взаимодействие с потоком и предотвращая опасное явление резонанса, которое годами может незаметно разрушать даже прочный материал.
Почему ритм так опасен? Ветер, обтекая прямой торец стены, создаёт за ним упорядоченные вереницы вращающихся вихрей — так называемую дорожку Кармана. Эти вихри создают пульсирующее давление, которое вся конструкция ощущает одновременно и синхронно по всей своей длине. Если частота пульсаций совпадёт с собственной частотой колебаний стены, возникнет резонанс. Конструкция начнёт раскачиваться в такт с ветром, и энергия будет накапливаться с каждым циклом, приводя к усталостному разрушению материала от повторяющихся изгибов. Прямая стена без контрфорсов — идеальный резонатор для такого сценария.
Волнистый профиль разрушает эту опасную синхронность двумя взаимосвязанными способами.
1) Изменить тон. Синусоидальная форма превращает плоскую стену в жёсткую пространственную структуру, похожую на сложенную гармошку. Возросшая жёсткость смещает собственную частоту колебаний стены в более высокий диапазон. Представьте разницу между низким гулом листа металла и высоким звоном пружины — стена начинает «звучать» на ноте, которая часто просто не совпадает с основным ритмом энергичных порывов ветра.
2) Разрушить хор. Это ключевой эффект. Перед потоком воздуха оказывается не единый плоский щит, а череда выпуклостей и впадин. На каждом изгибе вихри теперь рождаются со своей частотой и в своё время: на выпуклом ребре — чаще, в вогнутой ложбине — реже и с задержкой. Согласованный «хор» вихрей, способный раскачать стену как единое целое, распадается на множество нестройных «голосов». Эти локальные толчки гасят друг друга, и их суммарная сила, пытающаяся сдвинуть стену, становится ничтожной.
Эмпирически найденные столетия назад пропорции — шаг волны 1,5–2,5 м при отношении амплитуды к шагу около 0,25 — оказались той самой «золотой серединой». Такой шаг достаточно мал, чтобы эффективно дробить крупные вихревые сгустки, но и достаточно велик, чтобы не создавать чрезмерного напряжения в кладке.
Таким образом, геометрия выступает в роли природного демпфера. Она не борется с ветром в лоб, а заставляет его энергию рассеиваться впустую, преобразуя опасное согласованное воздействие в безопасный хаос. Этот принцип, интуитивно воплощённый каменщиками прошлого, сегодня лежит в основе расчётов устойчивости современных небоскрёбов и мостов, доказывая, что подлинная прочность рождается из умной формы, а не из грубой массы.

Волнистая стена как пространственная решётка

Всё же остаётся главный вопрос: как стена толщиной всего в один кирпич может быть настолько устойчивой? Ответ кроется в переходе от двумерной модели к трёхмерной реальности. Представьте разницу между прямым листом бумаги и сложенным гармошкой — его почти невозможно согнуть. Волнистый забор работает по тому же принципу: это не просто изогнутая плоскость, а сложная пространственная оболочка, где каждый изгиб является элементом единой самостабилизирующейся системы.
Прямую стену можно мысленно разрезать на вертикальные полосы — каждая будет бороться с нагрузкой почти в одиночку. Ветер ударил в одну точку — этот участок принимает удар и пытается изогнуться. Совсем другая история происходит с волнистой стеной. Когда порыв ветра давит на выпуклый «горб» волны, он встречает не просто локальное сопротивление. Усилие мгновенно перераспределяется по жёсткой кладке на соседние, вогнутые участки. И они воспринимают его уже не как опасный изгиб, а как естественное сжатие вдоль своей кривой. Кирпичная кладка идеально работает на сжатие, поэтому такая преобразованная нагрузка для неё безопасна. В результате локальная попытка деформации «размазывается» по длине стены, гасится взаимным противодействием волн и не создаёт критических напряжений. Это и есть эффект пространственной стабилизации: атака на один элемент заставляет сопротивляться всю систему.
Этот трёхмерный принцип — прямое воплощение классического инженерного приёма — рёбер жёсткости. Его суть проста: чтобы сделать пластину прочной, не обязательно увеличивать её толщину; достаточно придать пространственную форму, которая резко повысит сопротивление изгибу. Гофрированный картон — самый наглядный бытовой пример. Волнистая стена и есть такое «самовозникающее», непрерывное ребро жёсткости, встроенное в её структуру. Каждый изгиб служит опорой для соседа: выпуклость поддерживает вогнутость, а та, в свою очередь, не даёт выпуклости сложиться. Вместо хрупкой плоскости возникает устойчивая пространственная решётка, противостоящая не только прогибу, но и скручиванию.
Но почему эта форма так неохотно меняется? Ключ — в геометрической жёсткости. Часто для её объяснения ошибочно ссылаются на теорему Гаусса о сохранении гауссовой кривизны. Для идеальной волнистой поверхности (цилиндра) она равна нулю, что означает возможность её изгибания. Истинный источник устойчивости — средняя кривизна профиля. Она отлична от нуля и прямо определяет энергию, которую нужно затратить, чтобы изогнуть материал. Согласно вариационному принципу, именно минимизация этой энергии изгиба при фиксированном расходе материала и даёт нам синусоидальную форму. Таким образом, «выпрямить» волну нельзя не из-за теоремы Гаусса, а потому, что это потребовало бы значительной работы по сжатию и растяжению кладки.
Таким образом, именно форма, а не толщина, становится источником прочности этой стены. Объединяя этот вывод с предыдущими, видим, как периодическая волнообразная форма последовательно решает три задачи: минимизирует изгиб (статика), дробит вихри (динамика) и создаёт пространственную жёсткость (устойчивость). Синусоида — это не украшение, а работающая трёхмерная структура, естественное «ребро жёсткости», превращающее линейную стену в устойчивую пространственную систему. Это следующий уровень оптимизации, где геометрия побеждает не только статический изгиб и динамический резонанс, но и саму склонность конструкции к пространственной неустойчивости. Эстетика этой формы — прямое следствие её функциональности.

Мудрость толпы

Представьте сельскую ярмарку в Англии начала XX в. Среди развлечений — простой конкурс: угадать вес огромного вола. За шесть пенсов сотни людей — от опытных фермеров до городских жителей — пишут свои предположения на бумажках и бросают их в общую коробку. Статистик Фрэнсис Гальтон, наблюдавший за этим зрелищем в 1906 г., решил проверить, насколько в среднем ошибается толпа. Он собрал все 787 записок и провёл подсчёты. Результат оказался поразительно точным: среднее арифметическое всех предположений составило 1197 фунтов, а реальный вес вола после взвешивания оказался 1198 фунтов. Погрешность — всего 0,08%.
Так из простого ярмарочного развлечения родилась одна из самых элегантных в науке идей о принятии решений — «мудрости толпы». Суть феномена математически проста. Представим, что истинное значение, которое мы хотим узнать — это число µ (скажем, точное количество леденцов в банке). Каждый i-й участник даёт свой ответ Xᵢ, который отличается от истины на ошибку εᵢ: Xᵢ = µ + εᵢ.
Закон больших чисел работает здесь неожиданно эффективно. Если ошибки участников:
случайны (люди не сговариваются заранее),
независимы (мой ответ не зависит от вашего) и
в среднем равны нулю (количество тех, кто завышает оценку, примерно равно количеству тех, кто занижает),
то с ростом числа участников их среднее значение стремится к истинному: (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n → µ при n → ∞.
Представьте тысячу людей, угадывающих количество леденцов в банке. Одни сильно завышают цифру, другие — занижают. Но когда мы усредняем все ответы, индивидуальные ошибки компенсируют друг друга. Как разные погрешности в измерениях: случайные отклонения гасят друг друга, оставляя точное значение. Математика превращает хаос индивидуальных промахов в удивительно точный результат.
Однако эта красивая картина наблюдается лишь в стерильных лабораторных условиях. Если все участники разделяют одно и то же заблуждение, эффект исчезает — возникает систематическая ошибка. Например, спросите людей, какой процент мирового населения живёт в Африке. Многие интуитивно назовут цифру около 10–15%, хотя на самом деле это более 18%. Все ошибутся в одну сторону, и усреднение лишь закрепит общее заблуждение.
Ещё опаснее зависимость мнений — стадный инстинкт. Как только люди начинают обсуждать свои оценки или следовать за лидером, их ошибки перестают быть независимыми. Вместо мудрой толпы мы получаем стадо, где все дружно идут в одном направлении — даже если оно ведёт в пропасть.
«Мудрость толпы» — это не история о гениальности масс, а история о силе статистики и разнообразия. Базовый уровень коллективного интеллекта, где люди мыслят изолированно.
И именно в этом кроется её главный парадокс: чтобы быть мудрой, толпа должна состоять из независимых и думающих по-разному индивидов. Как только независимость исчезает, исчезает и мудрость. Это тонкий баланс между хаосом и порядком, в котором рождается истина. В реальном мире эти условия нарушаются чаще, чем соблюдаются — и тогда толпа становится не мудрой, а опасной.

Удивительно популярный ответ

Что делать, когда «мудрость толпы» даёт сбой и люди дружно ошибаются в одну сторону? Например, на вопрос «Когда было восстание Спартака?» многие склонны систематически завышать его древность. В такой ситуации простое усреднение лишь усреднит это коллективное заблуждение.
В 2017 г. группа исследователей из MIT предложила изящное эмпирическое правило (статистическую эвристику) для коррекции таких ошибок. Важно подчеркнуть, что это не алгоритм с формально доказанной гарантией сходимости, а мощное практическое правило, эффективность которого была продемонстрирована в серии экспериментов. Они назвали его «удивительно популярный ответ».
В классическом эксперименте людям задавали вопрос, на который большинство ошибается: «Какой город является столицей Пенсильвании?» Выборочные результаты были таковы: 70% респондентов назвали Филадельфию, хотя правильный ответ — Гаррисберг. Лишь 30% дали верный ответ.
Сила метода — во втором вопросе: «Как вы думаете, какой ответ даст большинство?». Оказалось, что 90% опрошенных ожидали, что большинство выберет Филадельфию, и только 10% думали, что люди назовут Гаррисберг.
Далее для каждого варианта вычисляется разность: доля выбравших ответ минус доля ожидающих его популярности.
Для Филадельфии: 70% − 90% = −20%.
Для Гаррисберга: 30% − 10% = +20%.
Ответ с максимальной положительной разницей (Гаррисберг) объявляется «удивительно популярным». Строго говоря, мы оперируем выборочными частотами, которые служат оценками для неизвестных истинных вероятностей. Правило выбора ответа по максимальной положительной разнице является эффективной эвристикой, оптимальность которой как байесовского решающего правила строго доказана для определённых моделей, но при соблюдении ключевых условий метода он показывает высокую практическую эффективность. В экспериментах MIT такой ответ с высокой вероятностью совпадал с истинным.
Математически это переход на уровень мета-мнений, создающий два слоя данных: прямое мнение («я думаю, что A») и мнение об ожиданиях других («я думаю, что большинство считает B»). Метод ищет рассогласование между этими слоями.
В идеализированной модели, которая объясняет успех метода, предполагается наличие в группе двух типов агентов: информированного меньшинства, знающего правду, и большинства, подверженного общему заблуждению. Знающие выбирают правильный ответ (повышая его фактическую долю), но точно предсказывают заблуждение толпы (снижая ожидаемую для него долю), что и создаёт положительную разницу. Следует отметить, что в реальности знания распределены спектрально, а не бинарно. Однако метод оказывается устойчивым — для его работы достаточно, чтобы доля компетентных агентов и точность их мета-предсказаний были статистически значимы.
Фактически, метод косвенно взвешивает голоса, придавая больший вес мнениям тех, чьи убеждения расходятся с ожиданиями большинства. Это делает его мощным инструментом для ситуаций с сильным систематическим смещением, но при наличии хотя бы части информированных участников.
Однако у метода есть чёткие границы применимости, вытекающие из его конструкции:
Метод применим только к вопросам, на которые существует проверяемый правильный ответ (факты, диагнозы, оценки). В вопросах мнений или ценностей он теряет смысл.
Если правды не знает никто в группе или доля знающих ничтожно мала, положительный сигнал не возникнет. Метод борется с систематической ошибкой, но не с полным отсутствием информации.
Метод полагается на то, что знающие люди осознают заблуждение большинства. Если эксперты ошибочно полагают, что их знание общеизвестно, их мета-прогноз будет неточен и сигнал ослабнет.
Таким образом, «удивительно популярный ответ» — это инструмент, который использует рефлексию участников (размышления о том, что думают другие) для того, чтобы выявить знание, подавленное общим заблуждением. Он показывает, что для поиска истины в сложных условиях иногда недостаточно спросить «Что вы думаете?». А нужно спросить: «Что вы думаете о мыслях друг друга?». В удачных условиях этот второй вопрос помогает различить голос знания в общем хоре заблуждений.

Конкурс красоты Кейнса — когда правда не имеет значения

Он думал, что уснула я
И всё во сне стерплю,
Иль думал, что я думала,
Что думал он: я сплю!

Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,
Чтоб посмотреть, не оглянулся ли я.

В этих стихах реальность растворяется в зеркальном лабиринте взаимных предположений. Экономист Джон Мейнард Кейнс, описывая в 1936 г. иррациональность рынков, нашёл для неё ещё более точную метафору — «конкурс красоты».
Представьте: вы получаете 100 фотографий. Ваша задача — выбрать не самую красивую, и даже не ту, что понравится большинству. Вы должны угадать, какую фотографию большинство назовёт самой популярной. Это уже не вопрос эстетики, а чистая игра на предсказаниях.
Здесь нет объективной истины, как в количестве леденцов в банке. Есть только бесконечная регрессия уровней рефлексии:
• Уровень 0: «Какое лицо мне нравится?»
• Уровень 1: «Какое лицо понравится большинству?»
• Уровень 2: «Какое лицо, по мнению большинства, понравится большинству?»
• Уровень n: «Что думают другие о том, что думают другие о том, что думают другие…»
Кейнс утверждал: именно так работает фондовый рынок. Успешный инвестор покупает не те акции, в которые верит, а те, в которые, как он предполагает, поверит рынок. Цена актива определяется не его стоимостью, а общим ожиданием его будущей цены.
Хорошо иллюстрирует суть упрощённая версия — игра в «угадай 2/3 от среднего». Все участники называют число от 0 до 100, победитель — тот, чьё число ближе к 2/3 от среднего по всем ответам. Новичок назовёт 50, исходя из случайного распределения. Игрок первого уровня подумает: «Если все так подумают, среднее будет 50, значит, нужно назвать 33». Игрок второго уровня рассуждает: «Но если все дойдут до первого уровня, среднее будет 33, значит, нужно назвать 22». Теоретически рациональное равновесие — 0 (хотя выглядит максимально иррационально), но на практике ответы всегда распределяются по «пикам» — уровням рефлексии, до которых дотянулось большинство игроков. Эта игра — квинтэссенция конкурса красоты: чтобы победить, вам нужно угадать, на какой ступени рекурсии остановится коллективный разум.
Известна задача о грязных детях. Трое детей играют во дворе, все испачкали лбы. Родитель объявляет: «Хотя бы один из вас испачкал лоб» и спрашивает по кругу: «Кто знает, что его лоб грязный?» На первый и второй вопросы все молчат. На третий — все одновременно поднимают руки. Почему? Потому что каждый ребёнок видит двух грязных товарищей и думает: «Если бы мой лоб был чист, то другой ребёнок, видя лишь одного грязного, сразу бы понял, что это он и поднял бы руку». Когда после первого раунда никто не поднимает руку, каждый понимает, что другие тоже видят как минимум двух грязных детей — значит, и его собственный лоб грязный. Каждый раунд вопросов добавляет уровень общего знания, пока логика не срабатывает.
Трилогия о коллективном разуме выстраивается в такую эволюционную лестницу:
Мудрость толпы (уровень 0): ищет объективную истину через усреднение независимых ошибок. Условие: независимость мнений.
Удивительно популярный ответ (уровень 1): Ищет объективную истину через анализ мета-мнений. Условие: наличие знающего меньшинства.
Конкурс красоты (уровень n): Отказывается от объективной истины. Истина здесь — самореализующийся прогноз, точка равновесия в бесконечной игре взаимных ожиданий.
В реальном мире эти уровни перемешаны. Финансовые рынки сочетают элементы всех трёх моделей: есть объективные фундаментальные ценности, есть информированные трейдеры, но доминирует рефлексивное мышление. Социальные нормы поддерживаются не самой нормой, а общим знанием о том, что все её соблюдают и все знают, что все её соблюдают.
Конкурс красоты — это высший уровень коллективного интеллекта, где математика описывает не поиск истины, а поиск равновесия в бесконечной рекурсии ожиданий. Мир, где мы все пытаемся предсказать, что пытаются предсказать другие, что пытаемся предсказать мы... Здесь нет места объективной реальности, зато есть место глубокой математической красоте — красоте структур, которые управляют нашими решениями, часто даже без нашего осознания.

Задача 1. Имеется три мудреца (A, B и C) и пять колпаков: три белых и два чёрных. Мудрецам завязывают глаза и надевают по одному колпаку, выбранному случайным образом. Оставшиеся два колпака прячут. Повязки снимают. Каждый мудрец видит колпаки на двух других, но не свой.
Правила:
1) Объявляется, что будет проведено три раунда.
2) В конце каждого раунда (по звуку гонга) каждый мудрец, который с абсолютной уверенностью определил цвет своего колпака, обязан молча выйти.
3) Выходить можно только в момент окончания раунда.
Известно, что в конце первого раунда никто не вышел. В конце второго раунда никто не вышел. В конце третьего раунда все трое вышли одновременно.
Вопрос:
Какого цвета были колпаки на каждом из мудрецов?

Ответ: на всех трёх мудрецах были белые колпаки.

Решение задачи 1.
Раунд 1.
Если бы какой-то мудрец увидел два чёрных колпака на других, он бы сразу знал, что на нём белый (потому что чёрных колпаков всего два). В этом случае он вышел бы в первом раунде.
Поскольку никто не вышел, это означает, что ни один мудрец не видит два чёрных колпака. Следовательно, распределение колпаков не может быть "один белый, два чёрных" (БЧЧ).

Раунд 2.
Теперь мудрецы знают, что распределение не БЧЧ. Остаются только два варианта: "три белых" (БББ) или "два белых, один чёрный" (ББЧ).
Рассмотрим вариант ББЧ. Предположим, что на мудреце A чёрный колпак, а на B и C — белые.
B видит чёрный колпак на A и белый на C. Он рассуждает: «Если бы на мне был чёрный колпак, то C видел бы два чёрных (на A и на мне) и должен был бы выйти в первом раунде (поскольку чёрных колпаков всего два). Но C не вышел в первом раунде, значит, на мне не может быть чёрного. Следовательно, на мне белый».
Аналогично рассуждает C и приходит к выводу, что и на нём белый.
Таким образом, B и C должны были выйти во втором раунде.
Но по условию после второго раунда никто не вышел. Следовательно, распределение не ББЧ.
Здесь все трое должны были бы одновременно прийти к выводу, что на них белые, и выйти во втором раунде.
Но по условию после второго раунда никто не вышел. Это связано с тем, что в случае БББ мудрецы не могут выйти во втором раунде, потому что их рассуждения требуют дополнительного шага. Второй раунд не даёт им достаточной информации для уверенности. Они видят, что другие не выходят во втором раунде, но это не позволяет им сделать вывод немедленно. Их логика завершается только к третьему раунду.

Раунд 3.
Остаётся только один возможный вариант — "три белых" (БББ).
Каждый мудрец видит два белых колпака на других и рассуждает:
"Я вижу два белых колпака. Если бы на мне был чёрный, это было бы распределение ББЧ. Но если бы это было ББЧ, то мудрец в чёрном колпаке должен был выйти во втором раунде. Однако во втором раунде никто не вышел. Значит, на мне не может быть чёрного колпака. Следовательно, на мне белый колпак."
Поэтому все трое одновременно выходят в третьем раунде.
Задача демонстрирует, как последовательность молчаливых раундов создаёт цепочку общих знаний, позволяющую мудрецам через логическую рекурсию прийти к верному выводу.

Задача 2. Имеется тот же набор мудрецов (A, B и C) и колпаков: три белых и два чёрных.
Правила:
Раунд 1: никто не вышел.
Раунд 2: вышли двое мудрецов (В и С).
Раунд 3: вышел мудрец А.
Какого цвета были колпаки на каждом из мудрецов?

Ответ: на A — чёрный, на B и C — белые.

Теорема о двух генералах

В математике есть особенный тип открытий — это не инструкции «как сделать», а доказательства того, чего сделать принципиально невозможно. Задача о двух генералах, появившаяся в 1970-х, как раз из этой серии. Она показывает, где проходят границы возможного в любых системах, где связь ненадёжна.
Представьте двух генералов, чьи армии стоят на холмах вокруг вражеской долины. Чтобы победить, им нужно атаковать одновременно. Связываться они могут только через гонцов, которых враг может поймать в долине. Вопрос: как договориться о времени атаки, если каждое сообщение может не дойти?
На первый взгляд, решение простое:
• Генерал А посылает: «Атакуем завтра на рассвете».
• Генерал Б получает и отвечает: «Подтверждаю, атакую на рассвете».
Но тут возникает проблема. Генерал А, получив подтверждение, задумывается: «Б получил моё сообщение, но знает ли он, что я получил его ответ? Если Б думает, что его подтверждение не дошло, он может не атаковать». Чтобы развеять сомнения, А посылает: «Получил твоё подтверждение». Теперь Б задаётся тем же вопросом: «А знает ли, что я получил это сообщение?»
Так начинается бесконечный обмен подтверждениями. Каждое новое сообщение должно создать уверенность в предыдущем, но после любого конечного числа обменов всегда остаётся шанс, что последнее сообщение потерялось. И если оно потерялось, один из генералов не будет уверен в планах другого.
Математически это можно сформулировать так: для полной уверенности в согласованных действиях нужно, чтобы оба генерала не просто знали время атаки, но и знали, что другой знает, и знали, что другой знает, что они знают, и так до бесконечности. При ненадёжной связи достичь этого невозможно. Это строго доказанная теорема: не существует алгоритма, который гарантировал бы согласие за конечное число шагов, если есть хоть малейший шанс потери сообщения.
Это открытие изменило подход к созданию распределённых систем. Вместо поиска идеального решения инженеры научились создавать системы, где вероятность сбоя становится настолько мала, что ей можно пренебречь на практике. Взгляните на блокчейн: он не решает задачу двух генералов в чистом виде. Вместо этого он делает попытки нарушить согласие экономически невыгодными. Чем больше подтверждений получает транзакция, тем дороже становится её подделать. Вероятность атаки стремится к нулю, хотя формально никогда не достигает его.
Задача о двух генералах важна потому, что она показывает: иногда признание невозможности идеального решения открывает путь к практическим компромиссам. Вместо того чтобы биться в закрытую дверь, умнее найти обходной путь. Именно так устроены современные технологии — они не стремятся к абсолютной гарантии, а создают условия, где сбой становится практически невозможным.

Математика общественного строя

Если искать идеальную математическую реализацию «мудрости толпы», то ею была бы анархия. Это идеализированная модель распределённых вычислений, где каждый узел сети независим и вносит свой уникальный, неотфильтрованный сигнал. Система теоретически обладает максимальной способностью к инновациям и адаптации, потому что ни одно наблюдение, ни одна ошибка не отбрасываются централизованно. Но её фундаментальная и математически неразрешимая проблема — задача координации, та самая «проблема двух генералов». Как убедить миллионы независимых процессоров совершить синхронное действие — построить мост, отразить вторжение, собрать космический корабль? Для этого им требуется достичь общего знания, что в системе без доверенного центра и с ненадёжными каналами связи требует бесконечных подтверждений. Анархия оказывается блестящим механизмом сбора данных и неэффективным механизмом принятия решений. Она генерирует идеи, но не может превратить их в сложный, скоординированный результат.
Демократия — это инженерный компромисс, патч, устанавливаемый поверх этой математической проблемы. Она признаёт необходимость координации и поэтому добровольно отказывается от части информационной чистоты анархии, вводя в систему центральные узлы — институты власти. Её ключевой принцип в том, что она создаёт легитимный механизм для её временного принудительного назначения — выборов, законов, решений большинства. Она пытается бороться с систематическими ошибками, имитируя алгоритм «удивительно популярного ответа» через свободную прессу и оппозицию, которые ищут разрыв между тем, «что думают» и «что ожидают услышать». Её главный недостаток — хроническая неэффективность. Она тратит колоссальные ресурсы на дебаты, циклы обратной связи и процедуры согласования. Это плата за движение, чтобы система не стояла, как в анархии, или не летела в кювет, повинуясь одному навигатору.
И вот здесь возникает авторитаризм как радикальный ответ на недостатки обеих систем. Если демократия — это сложный патч, то авторитаризм — это грубый хак, ломающий сам код программы ради сиюминутной производительности. Он смотрит на неразрешимую «задачу двух генералов» и даёт циничный ответ: чтобы генералы атаковали одновременно, нужно одного расстрелять, а другому приказать. Он решает проблему координации не через построение общего знания, а через его полную замену единственным знанием — волей центра. При этом он не просто отказывается от «мудрости толпы» (разнообразия мнений), а активным образом подавляет его, искажая входящие данные. Система настраивается не на сбор информации, а на подтверждение предзаданной картины мира. Окружение не сообщает данные, оно посылает сигналы, соответствующие ожиданиям центра. Это убивает не только случайные ошибки, но и саму возможность увидеть «удивительно популярный ответ». Истина перестаёт быть внешней целью, она становится внутренним, самозамкнутым продуктом системы — тем, что лидер провозгласил и что аппарат единогласно подтвердил. Система идеально оптимизирована для движения по прямой, заданной изначально. Любое отклонение от курса ведёт к катастрофе, потому что механизмов для самостоятельного обнаружения неучтённой помехи в ней не предусмотрено. Система ошибается не мелкими шагами, а накапливает одну тотальную, неисправимую ошибку.
Таким образом, общественный строй — это выбор математических приоритетов в вечном треугольнике: информационное разнообразие, эффективность координации, устойчивость к ошибкам. Анархия максимизирует первое в ущерб второму. Демократия пытается балансировать между всеми тремя, платя за это сложностью и неспешностью. Авторитаризм максимизирует второе, принося в жертву первое и третье. Идеального решения, которое максимизировало бы все три вершины одновременно, не существует — это математически невозможно. Это следует из базовых теорем: нельзя одновременно гарантировать абсолютную надёжность связи в распределённой системе, полную независимость её агентов и мгновенное достижение консенсуса. Можно лишь выбирать, какую цену и в какой валюте платить за движение вперёд, осознавая природу этого выбора.

Урок математики от министра торговли Говарда Латника:

Ведущий: Потому что кое-что из этого математически невозможно. Послушайте, что он говорил о снижении цен на рецептурные лекарства

Трамп: Я напрямую договорился с фармацевтическими компаниями и иностранными государствами снизить цены на лекарства и фармацевтику на 400%, 500% и даже 600%.

Ведущий: Если вы снижаете цену на 100%, стоимость падает до нуля. Если вы снижаете на 400-500-600%, фармацевтические компании фактически платят вам за то, чтобы вы принимали их продукцию. Поэтому возникает вопрос — насколько вчерашняя речь была преувеличением?

Латник: Нет. Он говорит, что если лекарство стоило 100 долларов, а вы снижаете цену до 13 долларов, то, если вы смотрите на цену с 13 долларов, она снижается в 7 раз.

Ведущий: Это не снижение на 600%.

Латник: Но раньше цена была на 700% выше. Сейчас она снизилась на 700%. Таким образом, цена в 13 долларов должна вырасти на 700%, чтобы вернуться к прежней. Так что все зависит от того, как на это посмотреть.

В поисках справедливости — 12

Арифметика итоговых оценок: когда точность вредит смыслу

Электронный журнал выдаёт среднюю оценку ученика, например, 4,37 балла. Возникает вопрос: имеет ли смысл такое вычисление с точностью до сотых? Или хотя бы до десятых?
Можно ли вообще оценить знания ученика с такой точностью? Ясно, что нет. Обычная «четвёрка» в журнале — это ведь не точка. Это скорее промежуток, примерный диапазон от 3,5 до 4,5. В самую суть оценки уже вшита погрешность.
Как писал математик Б.В. Гнеденко: «Если приборы дают нам результаты измерений с некоторой неопределённостью δ, то стремиться посредством больших чисел получить "истинное" значение с большей степенью точности является заблуждением, а сами произведённые при этом вычисления превращаются в арифметическую забаву». Усреднение множества «примерных» оценок не уменьшает исходной погрешности — оно лишь создаёт иллюзию точности. Особенно абсурдно это выглядит, если вспомнить, что сама погрешность (0,5 балла) составляет шестую часть всей пятибалльной шкалы (от 2 до 5)!
Однако проблема гораздо глубже простой неточности. Мы совершаем методологическую ошибку, складывая принципиально разные вещи. Письменная работа, устный ответ и творческий проект — это «яблоки, апельсины и бананы». Предварительное умножение их на магические коэффициенты («веса») не превращает их в однородные величины. С точки зрения теории измерений, это бессмыслица. В результате мы получаем не «среднее значение», а винегрет, рецепт которого (эти самые веса) кто-то довольно произвольно придумал.
Помните, лет 10–15 назад в моде был показатель СОУ (степень обученности учащихся) — непревзойдённый образец педагогического шаманства. Выглядел он так:
СОУ = (1 × n₅ + 0,64 × n₄ + 0,36 × n₃ + 0,16 × n₂) / N × 100%.
Эти коэффициенты — 0,64, 0,36 — пытались обосновать чем угодно: и «кривой нормального распределения», и «арифметической прогрессией». Выглядело это наукообразно, но по сути было просто игрой с цифрами. Подобно тому, как педагог вычислял «степень обученности», можно было бы предложить врачу считать «степень вылеченности» больных, повару — «степень приготовленности» обеда, парикмахеру — «степень остриженности волос на голове»… Некоторые региональные управленцы до сих пор требуют СОУ, потому что он красиво смотрится в таблицах, но на деле это математический фантом.
Нынешние средневзвешенные баллы — это прямые потомки того самого СОУ. Болезнь у них одна: вера в то, что сложный педагогический вопрос можно решить с помощью простой математической формулы.
В чём же состоит эта нерешаемая формулой дилемма? Одни считают: «Контрольная работа — ключевой срез, она показывает, усвоил ли ученик тему в принципе». Другие настаивают: «Без систематической работы над текущими заданиями не может быть и глубокого усвоения». И по-своему правы и те, и другие.
А что делает система с весами? Загоняет нас в угол, заставляя выбрать одну сторону. И вместо профессионального разговора подменяет его бездушным расчётом. Выходит, что субъективное решение (какие коэффициенты назначить) вдруг становится «объективной истиной».
Что же делать?
Математика должна быть помощником, а не начальником. Окончательного ответа, вероятно, нет, но есть некие разумные принципы.
Смотреть на динамику. Если ученик начал с тройки, а закончил на пятёрку, — это куда важнее, чем любое усреднённое число.
Использовать медиану. Одна случайная двойка из-за болезни или стресса не должна портить всю картину. Медиана помогает отсечь такие выбросы.
Дать второй шанс. Учиться — значит ошибаться. Возможность переписать важную работу должна быть.
И самое главное — цифры должны быть инструментом для принятия решений, а не самим решением. Последнее слово должно оставаться за человеком, за учителем. Только он, видя все обстоятельства — старания, прогресс, личные ситуации, — может принять по-настоящему взвешенное решение. Это право — и эта ответственность — округлить итог в большую сторону, если виден явный прогресс, или в меньшую, если полученный высокий балл не отражает реальных знаний. Нельзя позволить алгоритму заменить собой профессиональное видение.

Задача 2. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 2026, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.

Ответ: 12026, 22026, 10132026, 20262026.
Натуральные числа, удовлетворяющие условию, содержат впереди числа 2026 запись всевозможных его делителей.

Задача 3. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Может ли произведение этих чисел оканчиваться на 2026?

Ответ: нет. Отношение площадей двух соседних треугольников равно отношению площадей двух других соседних треугольников, отсюда произведения площадей пар треугольников, имеющих вертикальные углы, равны между собой, а произведение всех четырёх площадей есть полный квадрат. Квадрат числа не может оканчиваться на 26, т.к. это число делится на 2 и не делится на 4.

Задача 4. На доске в первой строке написано два последовательных натуральных числа n и n+1, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются делителями какого‐либо числа из первой строки. Сколько существует таких чисел n ≤ 2026, для которых во второй строке написано чётное количество чисел?

Ответ: 89. Натуральное число n имеет нечётное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом (поскольку все его делители разбиваются на пары (d и n/d), а квадрат имеет один непарный делитель). Числа n и n+1 имеют единственный общий делитель 1. Поскольку наибольший квадрат, меньший 2026, равен 45² = 2025, существует ровно 45 чисел, для которых n является квадратом натурального числа, и 44 таких числа для n+1.