Задача 3. Генератор эпитетов Медведева использует 100 прилагательных и 120 существительных, создавая 12 000 возможных пар. Сколько нужно сделать запусков, чтобы вероятность того, что какое-то прилагательное встретится в четырёх различных эпитетах (например, «пьяные чебурашки», «пьяные крокодилы», «пьяные гельминты», «пьяные придурки»), превысила 50%?

Решение. Вероятность появления конкретного прилагательного в одном запуске: p = 120/12000 = 0,01. Для появления четырёх разных эпитетов это прилагательное должно встретиться ровно четыре раза с разными существительными. Вероятность того, что четыре случайных существительных окажутся разными: (120/120)·(119/120)·(118/120)·(117/120) ≈ 0,9507.
Вероятность P₁ для одного прилагательного вычисляется так: нужно выбрать 4 запуска из n (число сочетаний Cₙ⁴), умножить на вероятность появления в этих запусках (0,01⁴), на вероятность отсутствия в остальных n−4 запусках (0,99ⁿ⁻⁴) и на вероятность различия существительных (0,9507). Вероятность того, что хотя бы одно из 100 прилагательных удовлетворит условию, приближённо равна P = 1 − exp(−100·P₁). Порог в 50% достигается при 100·P₁ > ln 2 ≈ 0,693.
Теперь подберём n.
Для n = 79:
C₇₉⁴ = 1502501,
(0,99)⁷⁵ ≈ 0,472,
P₁ ≈ 1502501 · 10⁻⁸· 0,472 · 0,9507 ≈ 0,00675,
100·P₁ ≈ 0,675 < 0,693,
P ≈ 0,490 (49,0%).
Для n = 80:
C₈₀⁴ = 1581580,
(0,99)⁷⁶ ≈ 0,467,
P₁ ≈ 1581580 · 10⁻⁸· 0,467 · 0,9507 ≈ 0,00702,
100·P₁ ≈ 0,702 > 0,693,
P ≈ 0,504 (50,4%).
Таким образом, вероятность превышает 50% при n = 80 запусков.
Ответ: 80 запусков.

Проводы. Автор: Кристина Стрельникова

— Зайка! — сказала мама.
— Мямля! — сказал отец.
— Нельзя опаздывать в школу.
— Иди уже наконец!

— Никто тебя не укусит,
Ты нам позвони, если что.
— И кстати, во время экскурсий
Наматывай шарф на пальто.

— Желаем хороших оценок.
— С ребятами подружись.
— Во время больших переменок
Ты лучше вдоль стенок держись.

— В столовой питайся горячим.
— Не ной. Не теряй ключи.
— Держи свой портфель. Удачи!
Иди и детей учи!

Всем привет, на связи коллектив Politeconomics. Как уже многие знают, мы увлечены преподаванием и популяризацией математики.

7 октября в 19:00 по МСК приглашаем вас на открытый вебинар по теме "Как выучить математику во взрослом возрасте?", который проведёт Даниил Григорьев.

Обсудим:

🔵 Как математика захватывает прежде "чисто гуманитарные" области
🔴 Почему традиционное преподавание часто не справляется со своей задачей
🟠 Действительно эффективные подходы и последние новации в обучении

В конце вебинара обязательно ответим на все вопросы и пообщаемся с вами!

➡️ Регистрируйтесь по ссылке

🔻Для всех участников вебинара скидка 10% на 4-х месячный онлайн-курс "Математика с нуля для взрослых", который начинается уже 16 октября!

#ГеометрияДляВсех
Когда я был школьником, то попал на семинар к известному геометру И.Ф. Шарыгину, который заметил, что было бы здОрово привнести в геометрию ещё и цвет. Именно это мы и пытаемся делать! А сегодня такая задачка:

В прямоугольном треугольнике проведена высота. В исходный и в два образовавшихся треугольника вписали круги. Известно, что площади двух луночек на рисунке равны 2 и 3 соответственно. Чему равна площадь зелёной криволинейной фигуры?

Подписаться на телеграм-канал

Русская рулетка 3. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Нужно ли раскручивать барабан снова, чтобы уменьшить шанс выстрела при следующем нажатии?

Решение.
Вероятности выстрела без проворачивания:
для револьвера с одним патроном — ⅕,
для револьвера с двумя патронами — ¼.
Найдём вероятности револьверов после холостого выстрела.
Вероятность холостого выстрела:
• для револьвера с одним патроном — ⅚,
• для револьвера с двумя патронами — ⅔.
Общая вероятность холостого выстрела:
P = ½·⅚ + ½·⅔ = ⁵/₁₂ + ⁴/₁₂ = ⁹/₁₂ = ¾.
Апостериорные вероятности:
• P(1 патрон) = (½·⅚) / ¾ = ⁵/₉,
• P(2 патрона) = 1 − ⁵/₉ = ⁴/₉.
Вероятность выстрела без проворачивания:
P = ⁵/₉·⅕ + ⁴/₉·¼ = ¹/₉ + ¹/₉ = ²/₉.
Вероятность выстрела с проворачиванием:
P = ⁵/₉·⅙ + ⁴/₉·⅓ = ⁵/₅₄ + ⁸/₅₄ = ¹³/₅₄.
Сравнение: ²/₉ = ¹²/₅₄ < ¹³/₅₄.
Ответ: не нужно раскручивать барабан.

Русская рулетка 4. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Что лучше для уменьшения вероятности выстрела: сменить револьвер или стрелять из прежнего? Раскручивать барабан или нет?

Решение.
После холостого выстрела апостериорные вероятности:
• Вероятность, что выбран револьвер с одним патроном: ⁵/₉.
• Вероятность, что выбран револьвер с двумя патронами: ⁴/₉.

1. Стрелять из прежнего револьвера:
• Без проворачивания: P = ¹²/₅₄.
• С проворачиванием: P = ¹³/₅₄.

2. Сменить револьвер:
(при смене револьвер оказывается в случайном положении, поэтому вероятность выстрела не зависит от проворачивания)
P = ⁴/₉ · ⅙ + ⁵/₉ · ⅓ = ⁴/₅₄ + ¹⁰/₅₄ = ¹⁴/₅₄.

Ответ: стрелять из прежнего револьвера, не раскручивать барабан.

Мурмурация как динамическая топологическая сеть

Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.

«Мурмурация» эллиптических кривых: когда числа танцуют танец скворцов

В математике появился странный и красивый термин — «мурмурация эллиптических кривых». Речь идёт не о летающих уравнениях, а о глубокой аналогии, которая помогает описать загадочное поведение чисел.
Сначала — что такое эллиптическая кривая? Это не эллипс. Представьте себе кубическое уравнение, например, y² = x³ + ax + b. Его решения (x; y) — это точки на плоскости, образующие плавную кривую. Удивительно, что на таких кривых есть своя «арифметика» — точки можно «складывать» по специальным геометрическим правилам, превращая множество решений в алгебраическую группу.
У каждой такой кривой есть важнейшая числовая характеристика — ранг. Грубо говоря, он измеряет «богатство» множества её рациональных решений. Десятилетиями математики искали закон, определяющий ранг у случайно взятой кривой, но безуспешно.
Несколько лет назад, анализируя огромные наборы данных, учёные обнаружили неожиданное. Они рассматривали семьи кривых, чьи коэффициенты a и b плавно изменяются.
Хотя ранг каждой отдельной кривой вычисляется строго по её собственным коэффициентам, в совокупности они ведут себя не хаотично. При плавном изменении коэффициентов ранги демонстрируют удивительную согласованность: они «замирают» на одном значении для целых семейств кривых, а затем синхронно совершают скачок. Это похоже на слаженный манёвр стаи, где каждая птица следует простым правилам, но вместе они создают сложный узор.
Где здесь аналогия с птицами?
• Птица следит за 6–7 соседями. Кривая «знает» лишь свои коэффициенты. Ни та, ни другая не видят общей картины.
• Ни одна птица не планирует форму стаи. Ни одна кривая не «хочет» быть частью узора. Сложный глобальный порядок возникает сам по себе из простых локальных данных.
• Птицы синхронно меняют направление. Кривые со схожими или связанными коэффициентами демонстрируют синхронное поведение рангов — не потому, что «договорились», а в силу глубинной арифметической структуры.
Так это одно и то же явление? Нет. Мурмурация птиц — физический процесс, описываемый дифференциальными уравнениями и теорией графов. «Мурмурация» кривых — это метафора, описывающая статистическую закономерность, причину которой мы до конца не понимаем.
Физику стаи можно смоделировать и предсказать. Математическая мурмурация — пока наблюдаемое чудо, требующее новой теории для своего объяснения. Это два разных явления, которые удивительным образом отражают общую идею: сложный порядок может рождаться из простых правил, и эта идея оказывается универсальной.

Мурмурация как инженерный принцип: модель децентрализованной устойчивости

Феномен мурмурации — это не только удивительное зрелище, но и готовая модель для создания устойчивых систем без центрального управления. Её эффективность основана на трёх простых принципах:
1. Локальное взаимодействие. Каждый агент (птица, дрон) следует простым правилам, ориентируясь лишь на ограниченное число ближайших соседей, не обладая информацией о глобальном состоянии системы.
2. Однородность правил. В системе нет «лидера»; все агенты функционально идентичны и подчиняются одним и тем же алгоритмам.
3. Топологический принцип. Взаимодействие осуществляется с фиксированным числом ближайших агентов, а не в пределах фиксированного радиуса. Это обеспечивает устойчивость при изменении плотности или масштаба системы.
Эти принципы нашли прямое применение в инженерии. Например, рои беспилотных аппаратов координируют полёт для картографирования или поисково-спасательных работ, а самоорганизующиеся сенсорные сети поддерживают свою целостность, динамически перестраивая связи между узлами.
Однако прямой перенос этих принципов на человеческое общество был бы ошибкой.
Ключевое отличие — в природе самих правил. Поведение птиц в стае обусловлено врождёнными и универсальными для вида инстинктами. В человеческих системах — будь то рыночная экономика, научное сообщество или гражданские инициативы — правила взаимодействия (законы, нормы, соглашения) сами являются продуктом культуры, сознательного выбора и постоянных интерпретаций. Они не заданы раз и навсегда, а постоянно оспариваются и пересматриваются.
Поэтому, хотя мы и наблюдаем в обществе паттерны децентрализованной координации (например, в формировании рыночных цен или в коллективной разработке открытого ПО), его устойчивость — это не автоматический результат выполнения простого алгоритма. Это динамический и хрупкий баланс, достигаемый через сложные процессы коммуникации, согласования ценностей и выработки общих смыслов.
Мурмурация наглядно доказывает, что сложная координация не требует централизованного контролёра. Этот принцип позволяет проектировать надёжные технологические сети, где устойчивость является следствием простых локальных взаимодействий.
Для социальных систем мурмурация остаётся не инструкцией, а метафорой. Она показывает, что порядок может возникать снизу вверх, и предлагает модель для осмысления того, как через согласование локальных действий может рождаться глобальная согласованность.

Задача 1. В одном государстве правитель хотел повысить долю мужского населения (ему требовались воины) и издал указ: семьи должны рожать детей до тех пор, пока не появится девочка, а после её рождения больше не заводить детей. Граждане в том государстве законопослушны, а вероятность появления и мальчика, и девочки равна 0,5. Также предполагаем, что все рождения — одноплодные (двойни, тройни и т.д. исключены).
Каким стало соотношения числа мальчиков и девочек, родившихся после издания указа?

Сначала проголосуйте!

Решение.
В каждой семье родится ровно одна девочка, значит, ожидаемое количество девочек на семью равно 1: Е(g) = 1.
Ожидаемое количество мальчиков тоже равно 1 — в самом деле:
E(b) = Σₖ₌₀ᵏ⁼∞ k·P(k) = Σₖ₌₀ᵏ⁼∞ k·(½)ᵏ⁺¹ =
= (½)·Σₖ₌₁ᵏ⁼∞ k·(½)ᵏ = (½)·[(½)/(1–½)²] = 1.
Таким образом, общее число мальчиков и девочек после указа останется неизменным: 1:1.

Попытка придумать «симметричную» задачу, в которой соотношение полов сместилось бы в пользу мальчиков (или девочек) при тех же условиях — все дети учитываются, никто не исключается, вероятность рождения как мальчика, так и девочки равна ½, граждане строго следуют указу — оказалась неудачной. Опубликованное решение такой задачи содержало ошибку (благодарю Maslov Nikolay), и её пришлось отозвать.
Это заставило задуматься: почему не удаётся «перевесить» баланс в сторону мальчиков или девочек?
Ответ лежит в фундаментальных принципах теории вероятностей. Пол каждого ребёнка определяется независимо и с одинаковой вероятностью — как подбрасывание честной монеты. Поэтому в среднем на каждые 100 рождений приходится ровно 50 мальчиков и 50 девочек, независимо от того, в каком порядке они появляются.
Если правило прекращения деторождения зависит только от полов уже рождённых детей, оно не может изменить это соотношение. Формально, ожидаемое число мальчиков и девочек остаётся одинаковым — благодаря линейности математического ожидания и независимости испытаний. Более глубоко, это связано с тем, что последовательность рождений образует мартингал, а любое разумное правило остановки (не зависящее от будущего) сохраняет его среднее значение.
Следовательно, никакие законодательные ухищрения — будь то «рожайте до мальчика» или «рожайте до двух девочек» — не способны изменить общее соотношение полов, если:
вероятность рождения не искажена,
все дети учитываются,
семьи просто следуют правилам.
Математическая реальность неумолима: при «честной монетке» демографический баланс полов остаётся неизменным — 1 : 1, какие бы стратегии остановки ни применялись.

Как базис Бернштейна управляет кривыми Безье

В нашем цифровом мире почти не осталось места угловатым пикселям. Шрифты, иконки, анимация и даже виртуальные модели автомобилей — всё это состоит из плавных и элегантных линий. Эту эстетику подарили нам два французских инженера и один русский математик. Их идеи создали один из главных инструментов компьютерной графики, где за каждой изящной линией стоит элегантная математическая модель.
Всё началось в середине XX в., когда инженер Пьер Безье из компании Renault столкнулся с практической проблемой: как быстро и точно описать сложные криволинейные поверхности автомобильных кузовов? Ручное вычерчивание по лекалам было медленным, неточным и плохо поддавалось автоматизации. Нужен был способ, позволяющий гибко управлять формой кривой с помощью всего нескольких точек. Решение пришло в виде геометрического алгоритма, который позже назовут алгоритмом де Кастельжо (по имени инженера из компании Citroën). Его суть проста: берём набор контрольных точек, соединяем их отрезками, затем движемся вдоль этих отрезков с постоянной скоростью, отмечая промежуточные точки. Соединяем эти новые точки, повторяем процесс и продолжаем, пока не останется только одна точка. Путь, который описывает эта точка, и есть кривая Безье. При этом только первая и последняя контрольные точки лежат на самой кривой; остальные действуют как кукловоды-невидимки, притягивая к себе кривую и задавая её форму.
Эта геометрическая интуиция была блестящей. Но чтобы она стала надёжным инструментом, требовалось строгое математическое обоснование. И оно уже существовало, пусть и в совершенно ином контексте.
Ещё в 1912 г. русский математик Сергей Натанович Бернштейн, работая над доказательством теоремы Вейерштрасса об аппроксимации, ввёл специальное семейство многочленов. Сегодня они известны как базис Бернштейна. Для степени n этот базис состоит из n+1 функций вида
Bᵢₙ(t) = Cₙⁱ · tⁱ · (1–t)ⁿ⁻ⁱ, t ∈ [0;1].
Например, для кубической кривой у нас есть 4 полинома:
B₀₃(t) = (1–t)³,
B₁₃(t) = 3 t (1–t)²,
B₂₃(t) = 3 t² (1–t),
B₃₃(t) = t³.
Из графиков видно: при t=0 вес имеет только B₀₃, а при t=1 — B₃₃. Каждый полином определяет долю влияния своей точки в каждый момент. Алгоритм де Кастельжо наглядно представляет вычисление P(t) = Σ Bᵢₙ(t) · Pᵢ. Таким образом, кривая Безье — это взвешенная сумма контрольных точек, в которой базис Бернштейна выступает в роли весов. Именно эти «веса» наделяют кривые Безье свойствами, необходимыми для современного дизайна.
Во-первых, сумма всех базисных полиномов Бернштейна для любого t всегда равна единице. Это гарантирует аффинную инвариантность: как бы вы ни перемещали, вращали или масштабировали контрольные точки, кривая будет предсказуемо следовать за ними, не требуя пересчёта.
Во-вторых, все полиномы Бернштейна неотрицательны на [0; 1]. В сочетании с разбиением единицы это гарантирует, что кривая всегда остаётся внутри выпуклой оболочки своих контрольных точек.
В-третьих, базис Бернштейна обладает свойством уменьшения вариации: кривая не может колебаться сильнее, чем её контрольный многоугольник. Даже при резком перемещении одной точки кривая реагирует сглаженно — без неожиданных петель и резких скачков.
Наконец, базис симметричен: поменяйте порядок контрольных точек местами, и вы получите ту же кривую, пройденную в обратном направлении.
Так практическая задача из автомобильной промышленности нашла своё идеальное математическое воплощение. Сегодня кривые Безье присутствуют в каждом шрифте, каждом логотипе, каждой анимации. За их кажущейся простотой скрывается мощная структура, зародившаяся в начале XX в. и по-настоящему осознанная лишь тогда, когда мир начал рисовать не мелом на доске, а курсором на экране.
В следующий раз, перетаскивая управляющую точку в графическом редакторе, вспомните о полиномах Бернштейна — математическом механизме, который тихо и незаметно превращает ваши действия с точками в плавные и гладкие кривые.

Принцип k ближайших соседей (k-NN): математика локальных взаимодействий

Феномен мурмурации скворцов, который мы обсуждали ранее, оказывается частным проявлением фундаментального математического принципа — правила k ближайших соседей. Этот принцип находит применение в самых разных областях: от биологии до машинного обучения. Его основная идея заключается в том, что каждый элемент системы ориентируется не на всё окружение, а лишь на фиксированное число k ближайших соседей (обычно k составляет 6–7).
С математической точки зрения, принцип k ближайших соседей позволяет описывать локальную структуру пространства — как метрического, так и топологического — без необходимости проводить глобальные вычисления. Формально, пусть X ⊂ ℝᵈ — конечное множество точек в метрическом пространстве. Для любой точки x ∈ X её k-окрестность можно определить как подмножество из k точек с наименьшими расстояниями до x согласно выбранной метрике. На основе этого строится ориентированный граф соседства, где ребро x → y существует тогда, когда y входит в число k ближайших соседей x. Особенностью такого графа является его несимметричность: если y является соседом x, обратное может быть неверным.
В машинном обучении алгоритм k ближайших соседей реализует принцип классификации через голосование ближайших объектов. Этот метод основывается на гипотезе компактности, которая предполагает, что близкие объекты обладают схожими свойствами. Теоретически доказано: при увеличении объёма данных точность метода стремится к максимально возможной теоретической точности.
В топологическом анализе данных принцип k ближайших соседей используется при построении графов соседства для алгоритмов визуализации. Его устойчивость к изменениям плотности данных позволяет сохранять локальную топологию при проекции в пространства меньшей размерности.
В самоорганизующихся системах — будь то рои дронов или скопления организмов — этот принцип обеспечивает масштабируемую координацию, поддерживая постоянное число связей между агентами независимо от размера системы.
При построении графов Делоне и минимальных остовных деревьев в вычислительной геометрии также используется принцип k ближайших соседей. В алгоритмах поиска аномалий степень подозрительности точки определяется через сравнение плотности её k-окрестности с плотностью окружения.
Почему именно k, а не фиксированный радиус? Потому что реальные данные — и реальные стаи — неоднородны. Фиксированный радиус либо перегружает связи в плотных зонах, либо оставляет агентов изолированными в разреженных. Фиксированное k гарантирует каждому участнику стабильный и предсказуемый «социальный контекст» для взаимодействия.
Таким образом, k-NN — это не просто алгоритм, а принцип организации сложных систем: сложное глобальное поведение, возникающее из простых локальных правил. Он проявляется в иммунной системе (распознавание «своих» по молекулярному сходству), в алгоритмах рекомендательных систем, формирующих наше информационное пространство, и, конечно, в слаженном полёте стаи птиц.
Этот принцип также предлагает метафору для осмысления общества: сложный социальный порядок может возникать и поддерживаться не только «сверху вниз», но и через горизонтальные связи и локальные согласования. Возможно, для достижения гармонии стоит больше прислушиваться не к директиве, а к своему ближайшему окружению?

Задача. Даны две последовательности из 100 символов (О — орёл, Р — решка).

Первая:
ОРОРРОРОРООРОРОРООРО
ОРОРРРООРРОРОРОРОРОР
ООРОРРООРРООРОРРООРР
РОРОРРОРОРООРОРРООРР
ООРОРРООРРООРОРРОРОР

Вторая:
ОРРОООРРРОРОООРРООРР
РООРООРРРОООРООРРРОО
РРООРООРРРРОРООРРООО
РРООРООРРРОООООРРРОО
РРООРООРРРООРООРРООО

Каждая из них могла быть получена либо в результате последовательного подбрасывания монеты, либо сгенерирована человеком, имитирующим случайность.
Что вы думаете про каждую из них?