Как математика описывает повороты: от плоскости к пространству
Когда мы говорим «повернуть», обычно имеем в виду что-то простое. На плоскости это очевидно: взяли точку с координатами (x; y), повернули её вокруг начала координат и получили новую точку с координатами (x'; y'). Если аккуратно расписать тригонометрию, получится формула:
(x'; y') = (x cosθ – y sinθ; x sinθ + y cosθ).
То есть все новые координаты выражаются через старые по линейным формулам.
Эту же идею можно упаковать ещё изящнее. Представим точку как комплексное число z = x + iy. Тогда поворот на угол θ — это просто умножение:
z' = eⁱ ᶿ z.
Одно число, один множитель — и поворот готов. На плоскости всё удивительно красиво и просто.
Но в пространстве всё становится значительно сложнее. Теперь у предмета три степени свободы (в отличие от двух на плоскости). Одного угла явно не хватит — нужно задать и ось поворота, и угол. Хочется найти такой же «компактный» способ записи, как комплексные числа в 2D.
Матрицы: универсальный язык
Первое, что приходит в голову, — снова посмотреть на линейные формулы. Когда мы поворачиваем вектор, его новые координаты выражаются через старые по правилу: «новый x = линейная комбинация старых x, y, z», и так же для остальных. То есть это линейное преобразование. А все линейные преобразования удобно записывать матрицами.
Поэтому матрица поворота в трёхмерном пространстве — это таблица 3×3 из 9 чисел. Важно, что это не любая матрица, а ортонормированная: она сохраняет длины и углы, не сжимая и не растягивая объекты.
Как повернуть вокруг произвольной оси u? Идея в смене базиса:
1. Нормируем ось поворота u, чтобы |u| = 1.
2. Строим новый ортонормированный базис, где третья ось совпадает с u (например, с помощью процесса Грама-Шмидта для нахождения двух ортогональных векторов в плоскости, перпендикулярной u).
3. В этой системе поворот вокруг u — это просто поворот вокруг z (мы знаем эту матрицу Rᶻ(α)).
4. После поворота возвращаемся обратно в исходную систему координат.
В терминах матриц это выглядит так:
R = S Rᶻ(α) Sᵀ,
где S — матрица перехода в новый базис, а Sᵀ (транспонированная) возвращает нас назад (поскольку S ортогональна, то S⁻¹= Sᵀ).
(продолжение ⤵️)
Когда мы говорим «повернуть», обычно имеем в виду что-то простое. На плоскости это очевидно: взяли точку с координатами (x; y), повернули её вокруг начала координат и получили новую точку с координатами (x'; y'). Если аккуратно расписать тригонометрию, получится формула:
(x'; y') = (x cosθ – y sinθ; x sinθ + y cosθ).
То есть все новые координаты выражаются через старые по линейным формулам.
Эту же идею можно упаковать ещё изящнее. Представим точку как комплексное число z = x + iy. Тогда поворот на угол θ — это просто умножение:
z' = eⁱ ᶿ z.
Одно число, один множитель — и поворот готов. На плоскости всё удивительно красиво и просто.
Но в пространстве всё становится значительно сложнее. Теперь у предмета три степени свободы (в отличие от двух на плоскости). Одного угла явно не хватит — нужно задать и ось поворота, и угол. Хочется найти такой же «компактный» способ записи, как комплексные числа в 2D.
Матрицы: универсальный язык
Первое, что приходит в голову, — снова посмотреть на линейные формулы. Когда мы поворачиваем вектор, его новые координаты выражаются через старые по правилу: «новый x = линейная комбинация старых x, y, z», и так же для остальных. То есть это линейное преобразование. А все линейные преобразования удобно записывать матрицами.
Поэтому матрица поворота в трёхмерном пространстве — это таблица 3×3 из 9 чисел. Важно, что это не любая матрица, а ортонормированная: она сохраняет длины и углы, не сжимая и не растягивая объекты.
Как повернуть вокруг произвольной оси u? Идея в смене базиса:
1. Нормируем ось поворота u, чтобы |u| = 1.
2. Строим новый ортонормированный базис, где третья ось совпадает с u (например, с помощью процесса Грама-Шмидта для нахождения двух ортогональных векторов в плоскости, перпендикулярной u).
3. В этой системе поворот вокруг u — это просто поворот вокруг z (мы знаем эту матрицу Rᶻ(α)).
4. После поворота возвращаемся обратно в исходную систему координат.
В терминах матриц это выглядит так:
R = S Rᶻ(α) Sᵀ,
где S — матрица перехода в новый базис, а Sᵀ (транспонированная) возвращает нас назад (поскольку S ортогональна, то S⁻¹= Sᵀ).
(продолжение ⤵️)
❤11👍4🔥3
(начало ⤴️)
Формула Родрига: вся матрица в одном уравнении
Если аккуратно расписать все преобразования, эта конструкция сворачивается в одну элегантную формулу — формулу Родрига:
v' = v cosα + (u × v) sinα + u (u ⋅ v) (1 – cosα).
В ней v — исходный вектор, u — ось поворота, α — угол. Смысл прозрачный:
1. v cosα — проекция вектора, которая просто масштабируется.
2. (u × v) sinα — создаёт перпендикулярную компоненту для поворота.
3. u (u ⋅ v) (1 – cosα) — корректирует длину проекции на ось.
Эта формула — компактная запись той самой матрицы поворота и часто используется в компьютерной графике благодаря своей вычислительной эффективности.
Кватернионы: магия четырёх измерений
В XIX в. Уильям Гамильтон искал обобщение комплексных чисел на 3D. И нашёл — но в 4D. Так появились кватернионы. Это числа вида:
q = a + bi + cj + dk,
где i, j, k — мнимые единицы с особыми правилами умножения: i²=j²=k²=–1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=–k, kj=–i, ik=–j.
Единичный кватернион (с нормой 1) обобщает роль eⁱ ᶿ. Как именно он задаёт поворот?
1. Кодирование оси и угла: Единичный кватернион q = (w, u) кодирует поворот вокруг оси uна угол 2α так: w = cosα, |u| = sinα. Угол делится пополам — это ключевая особенность!
2. Вектор как кватернион: Вектор v = (x, y, z) представляется как чисто мнимый кватернион: v̅ = (0, v).
3. Поворот: Поворот вектора v на угол 2α вокруг оси u вычисляется формулой: v' = q v̅ q⁻¹,
где q⁻¹ = (w, –u) — обратный кватернион (для единичного кватерниона обратный совпадает со сопряженным).
Почему это работает? Умножение слева на q и справа на q⁻¹ обеспечивает чистый поворот без масштабирования. Деление угла пополам необходимо, потому что при двустороннем умножении эффект «удваивается», давая полный поворот на угол 2α.
Итог: какой инструмент выбрать?
Мы начали с простого вопроса — как описывать повороты.
• На плоскости — предпочтительны комплексные числа: один множитель, и готово.
• В пространстве — универсальны матрицы, но они громоздки (9 параметров вместо необходимых 3).
• Для компактности, численной устойчивости и избежания проблем (вроде шарнирного блока — gimbal lock, возникающего при использовании углов Эйлера) идеально подходят кватернионы.
Все эти способы — разные языки для описания одного и того же движения. Выбор конкретного метода зависит от задачи: кватернионы эффективны для интерполяции поворотов в анимации, матрицы удобны для композиции преобразований, а формула Родрига полезна для прямых вычислений без промежуточных структур.
Независимо от используемого формализма, физическая суть поворота остаётся неизменной — это ортогональное преобразование, сохраняющее длины и углы в пространстве.
Формула Родрига: вся матрица в одном уравнении
Если аккуратно расписать все преобразования, эта конструкция сворачивается в одну элегантную формулу — формулу Родрига:
v' = v cosα + (u × v) sinα + u (u ⋅ v) (1 – cosα).
В ней v — исходный вектор, u — ось поворота, α — угол. Смысл прозрачный:
1. v cosα — проекция вектора, которая просто масштабируется.
2. (u × v) sinα — создаёт перпендикулярную компоненту для поворота.
3. u (u ⋅ v) (1 – cosα) — корректирует длину проекции на ось.
Эта формула — компактная запись той самой матрицы поворота и часто используется в компьютерной графике благодаря своей вычислительной эффективности.
Кватернионы: магия четырёх измерений
В XIX в. Уильям Гамильтон искал обобщение комплексных чисел на 3D. И нашёл — но в 4D. Так появились кватернионы. Это числа вида:
q = a + bi + cj + dk,
где i, j, k — мнимые единицы с особыми правилами умножения: i²=j²=k²=–1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=–k, kj=–i, ik=–j.
Единичный кватернион (с нормой 1) обобщает роль eⁱ ᶿ. Как именно он задаёт поворот?
1. Кодирование оси и угла: Единичный кватернион q = (w, u) кодирует поворот вокруг оси uна угол 2α так: w = cosα, |u| = sinα. Угол делится пополам — это ключевая особенность!
2. Вектор как кватернион: Вектор v = (x, y, z) представляется как чисто мнимый кватернион: v̅ = (0, v).
3. Поворот: Поворот вектора v на угол 2α вокруг оси u вычисляется формулой: v' = q v̅ q⁻¹,
где q⁻¹ = (w, –u) — обратный кватернион (для единичного кватерниона обратный совпадает со сопряженным).
Почему это работает? Умножение слева на q и справа на q⁻¹ обеспечивает чистый поворот без масштабирования. Деление угла пополам необходимо, потому что при двустороннем умножении эффект «удваивается», давая полный поворот на угол 2α.
Итог: какой инструмент выбрать?
Мы начали с простого вопроса — как описывать повороты.
• На плоскости — предпочтительны комплексные числа: один множитель, и готово.
• В пространстве — универсальны матрицы, но они громоздки (9 параметров вместо необходимых 3).
• Для компактности, численной устойчивости и избежания проблем (вроде шарнирного блока — gimbal lock, возникающего при использовании углов Эйлера) идеально подходят кватернионы.
Все эти способы — разные языки для описания одного и того же движения. Выбор конкретного метода зависит от задачи: кватернионы эффективны для интерполяции поворотов в анимации, матрицы удобны для композиции преобразований, а формула Родрига полезна для прямых вычислений без промежуточных структур.
Независимо от используемого формализма, физическая суть поворота остаётся неизменной — это ортогональное преобразование, сохраняющее длины и углы в пространстве.
👍11❤8🔥4
Задача 1. «Коммерсантъ» создал генератор эпитетов в стиле Дмитрия Медведева. В его базе — 100 имён прилагательных (например, «пьяные», «гнилые», «полудохлые», «первостатейные») и 120 имён существительных (например, «чебурашки», «крокодилы», «придурки», «гельминты»), что даёт 12000 возможных пар.
Какое минимальное количество запусков гарантирует появление «прямоугольника» из четырёх эпитетов вида (A,S), (A,T), (B,S), (B,T)?
Например, эпитеты: «пьяные чебурашки», «пьяные гельминты», «гнилые чебурашки», «гнилые гельминты».
Какое минимальное количество запусков гарантирует появление «прямоугольника» из четырёх эпитетов вида (A,S), (A,T), (B,S), (B,T)?
Например, эпитеты: «пьяные чебурашки», «пьяные гельминты», «гнилые чебурашки», «гнилые гельминты».
Коммерсантъ
«За меня такую штуковину никто не напишет»
Генератор неслучайных эпитетов по канонам Дмитрия Медведева
😁3🔥2🤮2👍1👏1
Решение. Представим базу как таблицу: 100 строк (прилагательные) и 120 столбцов (существительные). Каждый запуск ставит крестик в одной клетке. Прямоугольник появится, когда найдутся две строки и два столбца, на пересечениях которых стоят четыре крестика.
Чтобы избежать прямоугольника, любые два прилагательных не должны встречаться более чем с одним общим существительным. Всего пар прилагательных: C²₁₀₀ = 100·99/2 = 4950. Это максимальное число «разрешённых связей» между прилагательными через существительные.
Посчитаем эти связи. В столбце с k крестиками количество пар прилагательных равно C²ₖ = k(k–1)/2. Условие отсутствия прямоугольника: сумма этих значений по всем столбцам не превышает 4950. Чтобы максимально оттянуть появление прямоугольника, распределим крестики равномерно.
Проверим, сколько крестиков k можно поставить в каждый из 120 столбцов:
120 · k(k–1)/2 ≤ 4950.
Наибольшее целое k, при котором это неравенство ещё выполняется: k=9.
При k=9: сумма связей: 120 · (9·8/2) = 120 · 36 = 4320.
Общее число запусков: n = 120 · 9 = 1080.
У нас осталось в запасе 4950 − 4320 = 630 связей. Если в каком-то столбце увеличить k с 9 до 10, число связей в нём вырастет на C²₁₀ − C²₉ = 45 − 36 = 9. Запас позволяет сделать это для 630 / 9 = 70 столбцов.
Итоговое распределение без прямоугольника:
70 столбцов с k=10 крестиками — число связей: 70·45=3150;
50 столбцов с k=9 крестиками — число связей: 50·36=1800.
Общее число связей: 3150 + 1800 = 4950.
Общее число запусков n: 70·10 + 50·9 = 700 + 450 = 1150.
Таким образом, 1150 запусков — это максимальное количество, при котором можно избежать прямоугольника. На 1151-м принцип Дирихле гарантирует, что лимит связей будет превышен — какая-то пара прилагательных встретится с двумя общими существительными, образуя искомый прямоугольник.
Ответ: 1151 запуск.
Чтобы избежать прямоугольника, любые два прилагательных не должны встречаться более чем с одним общим существительным. Всего пар прилагательных: C²₁₀₀ = 100·99/2 = 4950. Это максимальное число «разрешённых связей» между прилагательными через существительные.
Посчитаем эти связи. В столбце с k крестиками количество пар прилагательных равно C²ₖ = k(k–1)/2. Условие отсутствия прямоугольника: сумма этих значений по всем столбцам не превышает 4950. Чтобы максимально оттянуть появление прямоугольника, распределим крестики равномерно.
Проверим, сколько крестиков k можно поставить в каждый из 120 столбцов:
120 · k(k–1)/2 ≤ 4950.
Наибольшее целое k, при котором это неравенство ещё выполняется: k=9.
При k=9: сумма связей: 120 · (9·8/2) = 120 · 36 = 4320.
Общее число запусков: n = 120 · 9 = 1080.
У нас осталось в запасе 4950 − 4320 = 630 связей. Если в каком-то столбце увеличить k с 9 до 10, число связей в нём вырастет на C²₁₀ − C²₉ = 45 − 36 = 9. Запас позволяет сделать это для 630 / 9 = 70 столбцов.
Итоговое распределение без прямоугольника:
70 столбцов с k=10 крестиками — число связей: 70·45=3150;
50 столбцов с k=9 крестиками — число связей: 50·36=1800.
Общее число связей: 3150 + 1800 = 4950.
Общее число запусков n: 70·10 + 50·9 = 700 + 450 = 1150.
Таким образом, 1150 запусков — это максимальное количество, при котором можно избежать прямоугольника. На 1151-м принцип Дирихле гарантирует, что лимит связей будет превышен — какая-то пара прилагательных встретится с двумя общими существительными, образуя искомый прямоугольник.
Ответ: 1151 запуск.
❤7👍2🔥2
Задача 2. Генератор эпитетов Медведева использует 100 прилагательных и 120 существительных, создавая 12 000 возможных пар. Сколько нужно сделать запусков, чтобы вероятность того, что какой-то эпитет повторится (то есть два разных запуска дадут одинаковую пару), превысила 50%?
Решение. Это классическая задача о днях рождения. Вероятность того, что все n запусков дадут разные пары, равна:
P = (11999 /12000) · (11998 /12000) · ... · ((12000–n+1) /12000).
Для больших чисел это хорошо приближается формулой
P ≈ exp(–n(n–1)/(2·12000)).
Нам нужно, чтобы эта вероятность стала меньше 0,5.
Решаем неравенство:
exp(–n²/(2·12000)) ≈ 0,5.
Логарифмируем:
–n²/24000 ≈ ln 0,5 ≈ –0,693,
n² ≈ 24000 · 0,693 ≈ 16632,
n ≈ √16632 ≈ 129.
Таким образом, при 129 запусках вероятность повторения чуть меньше 50%, а при 130 запусках — чуть больше.
Ответ: 130 запусков.
Решение. Это классическая задача о днях рождения. Вероятность того, что все n запусков дадут разные пары, равна:
P = (11999 /12000) · (11998 /12000) · ... · ((12000–n+1) /12000).
Для больших чисел это хорошо приближается формулой
P ≈ exp(–n(n–1)/(2·12000)).
Нам нужно, чтобы эта вероятность стала меньше 0,5.
Решаем неравенство:
exp(–n²/(2·12000)) ≈ 0,5.
Логарифмируем:
–n²/24000 ≈ ln 0,5 ≈ –0,693,
n² ≈ 24000 · 0,693 ≈ 16632,
n ≈ √16632 ≈ 129.
Таким образом, при 129 запусках вероятность повторения чуть меньше 50%, а при 130 запусках — чуть больше.
Ответ: 130 запусков.
❤5👍2🔥1
Задача 3. Генератор эпитетов Медведева использует 100 прилагательных и 120 существительных, создавая 12 000 возможных пар. Сколько нужно сделать запусков, чтобы вероятность того, что какое-то прилагательное встретится в четырёх различных эпитетах (например, «пьяные чебурашки», «пьяные крокодилы», «пьяные гельминты», «пьяные придурки»), превысила 50%?
Решение. Вероятность появления конкретного прилагательного в одном запуске: p = 120/12000 = 0,01. Для появления четырёх разных эпитетов это прилагательное должно встретиться ровно четыре раза с разными существительными. Вероятность того, что четыре случайных существительных окажутся разными: (120/120)·(119/120)·(118/120)·(117/120) ≈ 0,9507.
Вероятность P₁ для одного прилагательного вычисляется так: нужно выбрать 4 запуска из n (число сочетаний Cₙ⁴), умножить на вероятность появления в этих запусках (0,01⁴), на вероятность отсутствия в остальных n−4 запусках (0,99ⁿ⁻⁴) и на вероятность различия существительных (0,9507). Вероятность того, что хотя бы одно из 100 прилагательных удовлетворит условию, приближённо равна P = 1 − exp(−100·P₁). Порог в 50% достигается при 100·P₁ > ln 2 ≈ 0,693.
Теперь подберём n.
Для n = 79:
C₇₉⁴ = 1502501,
(0,99)⁷⁵ ≈ 0,472,
P₁ ≈ 1502501 · 10⁻⁸· 0,472 · 0,9507 ≈ 0,00675,
100·P₁ ≈ 0,675 < 0,693,
P ≈ 0,490 (49,0%).
Для n = 80:
C₈₀⁴ = 1581580,
(0,99)⁷⁶ ≈ 0,467,
P₁ ≈ 1581580 · 10⁻⁸· 0,467 · 0,9507 ≈ 0,00702,
100·P₁ ≈ 0,702 > 0,693,
P ≈ 0,504 (50,4%).
Таким образом, вероятность превышает 50% при n = 80 запусков.
Ответ: 80 запусков.
Решение. Вероятность появления конкретного прилагательного в одном запуске: p = 120/12000 = 0,01. Для появления четырёх разных эпитетов это прилагательное должно встретиться ровно четыре раза с разными существительными. Вероятность того, что четыре случайных существительных окажутся разными: (120/120)·(119/120)·(118/120)·(117/120) ≈ 0,9507.
Вероятность P₁ для одного прилагательного вычисляется так: нужно выбрать 4 запуска из n (число сочетаний Cₙ⁴), умножить на вероятность появления в этих запусках (0,01⁴), на вероятность отсутствия в остальных n−4 запусках (0,99ⁿ⁻⁴) и на вероятность различия существительных (0,9507). Вероятность того, что хотя бы одно из 100 прилагательных удовлетворит условию, приближённо равна P = 1 − exp(−100·P₁). Порог в 50% достигается при 100·P₁ > ln 2 ≈ 0,693.
Теперь подберём n.
Для n = 79:
C₇₉⁴ = 1502501,
(0,99)⁷⁵ ≈ 0,472,
P₁ ≈ 1502501 · 10⁻⁸· 0,472 · 0,9507 ≈ 0,00675,
100·P₁ ≈ 0,675 < 0,693,
P ≈ 0,490 (49,0%).
Для n = 80:
C₈₀⁴ = 1581580,
(0,99)⁷⁶ ≈ 0,467,
P₁ ≈ 1581580 · 10⁻⁸· 0,467 · 0,9507 ≈ 0,00702,
100·P₁ ≈ 0,702 > 0,693,
P ≈ 0,504 (50,4%).
Таким образом, вероятность превышает 50% при n = 80 запусков.
Ответ: 80 запусков.
❤7👍2🔥1😁1
Проводы. Автор: Кристина Стрельникова
— Зайка! — сказала мама.
— Мямля! — сказал отец.
— Нельзя опаздывать в школу.
— Иди уже наконец!
— Никто тебя не укусит,
Ты нам позвони, если что.
— И кстати, во время экскурсий
Наматывай шарф на пальто.
— Желаем хороших оценок.
— С ребятами подружись.
— Во время больших переменок
Ты лучше вдоль стенок держись.
— В столовой питайся горячим.
— Не ной. Не теряй ключи.
— Держи свой портфель. Удачи!
Иди и детей учи!
— Зайка! — сказала мама.
— Мямля! — сказал отец.
— Нельзя опаздывать в школу.
— Иди уже наконец!
— Никто тебя не укусит,
Ты нам позвони, если что.
— И кстати, во время экскурсий
Наматывай шарф на пальто.
— Желаем хороших оценок.
— С ребятами подружись.
— Во время больших переменок
Ты лучше вдоль стенок держись.
— В столовой питайся горячим.
— Не ной. Не теряй ключи.
— Держи свой портфель. Удачи!
Иди и детей учи!
😁20🔥3❤2
Forwarded from Politeconomics
Всем привет, на связи коллектив Politeconomics. Как уже многие знают, мы увлечены преподаванием и популяризацией математики.
7 октября в 19:00 по МСК приглашаем вас на открытый вебинар по теме "Как выучить математику во взрослом возрасте?", который проведёт Даниил Григорьев.
Обсудим:
🔵 Как математика захватывает прежде "чисто гуманитарные" области
🔴 Почему традиционное преподавание часто не справляется со своей задачей
🟠 Действительно эффективные подходы и последние новации в обучении
В конце вебинара обязательно ответим на все вопросы и пообщаемся с вами!
➡️ Регистрируйтесь по ссылке
🔻Для всех участников вебинара скидка 10% на 4-х месячный онлайн-курс "Математика с нуля для взрослых", который начинается уже 16 октября!
7 октября в 19:00 по МСК приглашаем вас на открытый вебинар по теме "Как выучить математику во взрослом возрасте?", который проведёт Даниил Григорьев.
Обсудим:
🔵 Как математика захватывает прежде "чисто гуманитарные" области
🔴 Почему традиционное преподавание часто не справляется со своей задачей
🟠 Действительно эффективные подходы и последние новации в обучении
В конце вебинара обязательно ответим на все вопросы и пообщаемся с вами!
➡️ Регистрируйтесь по ссылке
🔻Для всех участников вебинара скидка 10% на 4-х месячный онлайн-курс "Математика с нуля для взрослых", который начинается уже 16 октября!
💩7❤2👎2🤡2🔥1
Forwarded from Квантландия | Интересные задачи и не только
#ГеометрияДляВсех
Когда я был школьником, то попал на семинар к известному геометру И.Ф. Шарыгину, который заметил, что было бы здОрово привнести в геометрию ещё и цвет. Именно это мы и пытаемся делать! А сегодня такая задачка:
В прямоугольном треугольнике проведена высота. В исходный и в два образовавшихся треугольника вписали круги. Известно, что площади двух луночек на рисунке равны 2 и 3 соответственно. Чему равна площадь зелёной криволинейной фигуры?
Подписаться на телеграм-канал
Когда я был школьником, то попал на семинар к известному геометру И.Ф. Шарыгину, который заметил, что было бы здОрово привнести в геометрию ещё и цвет. Именно это мы и пытаемся делать! А сегодня такая задачка:
В прямоугольном треугольнике проведена высота. В исходный и в два образовавшихся треугольника вписали круги. Известно, что площади двух луночек на рисунке равны 2 и 3 соответственно. Чему равна площадь зелёной криволинейной фигуры?
Подписаться на телеграм-канал
👍11
Forwarded from Квантландия | Интересные задачи и не только
Чему равна площадь зелёной криволинейной фигуры?
Anonymous Quiz
18%
4
54%
5
16%
6
12%
Правильный ответ другой
🥰2
Русская рулетка 1. В шестизарядный револьвер заряжен один патрон. После раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Нужно ли раскручивать барабан снова, чтобы уменьшить шанс выстрела при следующем нажатии?
Anonymous Quiz
57%
Да, раскручивать нужно
12%
Нет, раскручивать не нужно
20%
Безразлично – шансы равны
1%
Шансов нет
10%
Нужна формула Байеса, а я её не помню
🔥4
Русская рулетка 2. В шестизарядный револьвер заряжены два патрона подряд. После раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Нужно ли раскручивать барабан снова, чтобы уменьшить шанс выстрела при следующем нажатии?
Anonymous Quiz
51%
Да, раскручивать нужно
32%
Нет, раскручивать не нужно
7%
Шансы равны
1%
Шансов нет
10%
Мне лень это считать
🔥8
Русская рулетка 3. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Нужно ли раскручивать барабан снова, чтобы уменьшить шанс выстрела при следующем нажатии?
Решение.
Вероятности выстрела без проворачивания:
для револьвера с одним патроном — ⅕,
для револьвера с двумя патронами — ¼.
Найдём вероятности револьверов после холостого выстрела.
Вероятность холостого выстрела:
• для револьвера с одним патроном — ⅚,
• для револьвера с двумя патронами — ⅔.
Общая вероятность холостого выстрела:
P = ½·⅚ + ½·⅔ = ⁵/₁₂ + ⁴/₁₂ = ⁹/₁₂ = ¾.
Апостериорные вероятности:
• P(1 патрон) = (½·⅚) / ¾ = ⁵/₉,
• P(2 патрона) = 1 − ⁵/₉ = ⁴/₉.
Вероятность выстрела без проворачивания:
P = ⁵/₉·⅕ + ⁴/₉·¼ = ¹/₉ + ¹/₉ = ²/₉.
Вероятность выстрела с проворачиванием:
P = ⁵/₉·⅙ + ⁴/₉·⅓ = ⁵/₅₄ + ⁸/₅₄ = ¹³/₅₄.
Сравнение: ²/₉ = ¹²/₅₄ < ¹³/₅₄.
Ответ: не нужно раскручивать барабан.
Решение.
Вероятности выстрела без проворачивания:
для револьвера с одним патроном — ⅕,
для револьвера с двумя патронами — ¼.
Найдём вероятности револьверов после холостого выстрела.
Вероятность холостого выстрела:
• для револьвера с одним патроном — ⅚,
• для револьвера с двумя патронами — ⅔.
Общая вероятность холостого выстрела:
P = ½·⅚ + ½·⅔ = ⁵/₁₂ + ⁴/₁₂ = ⁹/₁₂ = ¾.
Апостериорные вероятности:
• P(1 патрон) = (½·⅚) / ¾ = ⁵/₉,
• P(2 патрона) = 1 − ⁵/₉ = ⁴/₉.
Вероятность выстрела без проворачивания:
P = ⁵/₉·⅕ + ⁴/₉·¼ = ¹/₉ + ¹/₉ = ²/₉.
Вероятность выстрела с проворачиванием:
P = ⁵/₉·⅙ + ⁴/₉·⅓ = ⁵/₅₄ + ⁸/₅₄ = ¹³/₅₄.
Сравнение: ²/₉ = ¹²/₅₄ < ¹³/₅₄.
Ответ: не нужно раскручивать барабан.
🔥7👍6❤4
Русская рулетка 4. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Что лучше для уменьшения вероятности выстрела: сменить револьвер или стрелять из прежнего? Раскручивать барабан или нет?
Решение.
После холостого выстрела апостериорные вероятности:
• Вероятность, что выбран револьвер с одним патроном: ⁵/₉.
• Вероятность, что выбран револьвер с двумя патронами: ⁴/₉.
1. Стрелять из прежнего револьвера:
• Без проворачивания: P = ¹²/₅₄.
• С проворачиванием: P = ¹³/₅₄.
2. Сменить револьвер:
(при смене револьвер оказывается в случайном положении, поэтому вероятность выстрела не зависит от проворачивания)
P = ⁴/₉ · ⅙ + ⁵/₉ · ⅓ = ⁴/₅₄ + ¹⁰/₅₄ = ¹⁴/₅₄.
Ответ: стрелять из прежнего револьвера, не раскручивать барабан.
Решение.
После холостого выстрела апостериорные вероятности:
• Вероятность, что выбран револьвер с одним патроном: ⁵/₉.
• Вероятность, что выбран револьвер с двумя патронами: ⁴/₉.
1. Стрелять из прежнего револьвера:
• Без проворачивания: P = ¹²/₅₄.
• С проворачиванием: P = ¹³/₅₄.
2. Сменить револьвер:
(при смене револьвер оказывается в случайном положении, поэтому вероятность выстрела не зависит от проворачивания)
P = ⁴/₉ · ⅙ + ⁵/₉ · ⅓ = ⁴/₅₄ + ¹⁰/₅₄ = ¹⁴/₅₄.
Ответ: стрелять из прежнего револьвера, не раскручивать барабан.
🔥6👍5
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Мурмурация как динамическая топологическая сеть
Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.
Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.
❤14👍8🔥6😱2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
«Мурмурация» эллиптических кривых: когда числа танцуют танец скворцов
В математике появился странный и красивый термин — «мурмурация эллиптических кривых». Речь идёт не о летающих уравнениях, а о глубокой аналогии, которая помогает описать загадочное поведение чисел.
Сначала — что такое эллиптическая кривая? Это не эллипс. Представьте себе кубическое уравнение, например, y² = x³ + ax + b. Его решения (x; y) — это точки на плоскости, образующие плавную кривую. Удивительно, что на таких кривых есть своя «арифметика» — точки можно «складывать» по специальным геометрическим правилам, превращая множество решений в алгебраическую группу.
У каждой такой кривой есть важнейшая числовая характеристика — ранг. Грубо говоря, он измеряет «богатство» множества её рациональных решений. Десятилетиями математики искали закон, определяющий ранг у случайно взятой кривой, но безуспешно.
Несколько лет назад, анализируя огромные наборы данных, учёные обнаружили неожиданное. Они рассматривали семьи кривых, чьи коэффициенты a и b плавно изменяются.
Хотя ранг каждой отдельной кривой вычисляется строго по её собственным коэффициентам, в совокупности они ведут себя не хаотично. При плавном изменении коэффициентов ранги демонстрируют удивительную согласованность: они «замирают» на одном значении для целых семейств кривых, а затем синхронно совершают скачок. Это похоже на слаженный манёвр стаи, где каждая птица следует простым правилам, но вместе они создают сложный узор.
Где здесь аналогия с птицами?
• Птица следит за 6–7 соседями. Кривая «знает» лишь свои коэффициенты. Ни та, ни другая не видят общей картины.
• Ни одна птица не планирует форму стаи. Ни одна кривая не «хочет» быть частью узора. Сложный глобальный порядок возникает сам по себе из простых локальных данных.
• Птицы синхронно меняют направление. Кривые со схожими или связанными коэффициентами демонстрируют синхронное поведение рангов — не потому, что «договорились», а в силу глубинной арифметической структуры.
Так это одно и то же явление? Нет. Мурмурация птиц — физический процесс, описываемый дифференциальными уравнениями и теорией графов. «Мурмурация» кривых — это метафора, описывающая статистическую закономерность, причину которой мы до конца не понимаем.
Физику стаи можно смоделировать и предсказать. Математическая мурмурация — пока наблюдаемое чудо, требующее новой теории для своего объяснения. Это два разных явления, которые удивительным образом отражают общую идею: сложный порядок может рождаться из простых правил, и эта идея оказывается универсальной.
В математике появился странный и красивый термин — «мурмурация эллиптических кривых». Речь идёт не о летающих уравнениях, а о глубокой аналогии, которая помогает описать загадочное поведение чисел.
Сначала — что такое эллиптическая кривая? Это не эллипс. Представьте себе кубическое уравнение, например, y² = x³ + ax + b. Его решения (x; y) — это точки на плоскости, образующие плавную кривую. Удивительно, что на таких кривых есть своя «арифметика» — точки можно «складывать» по специальным геометрическим правилам, превращая множество решений в алгебраическую группу.
У каждой такой кривой есть важнейшая числовая характеристика — ранг. Грубо говоря, он измеряет «богатство» множества её рациональных решений. Десятилетиями математики искали закон, определяющий ранг у случайно взятой кривой, но безуспешно.
Несколько лет назад, анализируя огромные наборы данных, учёные обнаружили неожиданное. Они рассматривали семьи кривых, чьи коэффициенты a и b плавно изменяются.
Хотя ранг каждой отдельной кривой вычисляется строго по её собственным коэффициентам, в совокупности они ведут себя не хаотично. При плавном изменении коэффициентов ранги демонстрируют удивительную согласованность: они «замирают» на одном значении для целых семейств кривых, а затем синхронно совершают скачок. Это похоже на слаженный манёвр стаи, где каждая птица следует простым правилам, но вместе они создают сложный узор.
Где здесь аналогия с птицами?
• Птица следит за 6–7 соседями. Кривая «знает» лишь свои коэффициенты. Ни та, ни другая не видят общей картины.
• Ни одна птица не планирует форму стаи. Ни одна кривая не «хочет» быть частью узора. Сложный глобальный порядок возникает сам по себе из простых локальных данных.
• Птицы синхронно меняют направление. Кривые со схожими или связанными коэффициентами демонстрируют синхронное поведение рангов — не потому, что «договорились», а в силу глубинной арифметической структуры.
Так это одно и то же явление? Нет. Мурмурация птиц — физический процесс, описываемый дифференциальными уравнениями и теорией графов. «Мурмурация» кривых — это метафора, описывающая статистическую закономерность, причину которой мы до конца не понимаем.
Физику стаи можно смоделировать и предсказать. Математическая мурмурация — пока наблюдаемое чудо, требующее новой теории для своего объяснения. Это два разных явления, которые удивительным образом отражают общую идею: сложный порядок может рождаться из простых правил, и эта идея оказывается универсальной.
👍12🔥8❤6😱1
Мурмурация как инженерный принцип: модель децентрализованной устойчивости
Феномен мурмурации — это не только удивительное зрелище, но и готовая модель для создания устойчивых систем без центрального управления. Её эффективность основана на трёх простых принципах:
1. Локальное взаимодействие. Каждый агент (птица, дрон) следует простым правилам, ориентируясь лишь на ограниченное число ближайших соседей, не обладая информацией о глобальном состоянии системы.
2. Однородность правил. В системе нет «лидера»; все агенты функционально идентичны и подчиняются одним и тем же алгоритмам.
3. Топологический принцип. Взаимодействие осуществляется с фиксированным числом ближайших агентов, а не в пределах фиксированного радиуса. Это обеспечивает устойчивость при изменении плотности или масштаба системы.
Эти принципы нашли прямое применение в инженерии. Например, рои беспилотных аппаратов координируют полёт для картографирования или поисково-спасательных работ, а самоорганизующиеся сенсорные сети поддерживают свою целостность, динамически перестраивая связи между узлами.
Однако прямой перенос этих принципов на человеческое общество был бы ошибкой.
Ключевое отличие — в природе самих правил. Поведение птиц в стае обусловлено врождёнными и универсальными для вида инстинктами. В человеческих системах — будь то рыночная экономика, научное сообщество или гражданские инициативы — правила взаимодействия (законы, нормы, соглашения) сами являются продуктом культуры, сознательного выбора и постоянных интерпретаций. Они не заданы раз и навсегда, а постоянно оспариваются и пересматриваются.
Поэтому, хотя мы и наблюдаем в обществе паттерны децентрализованной координации (например, в формировании рыночных цен или в коллективной разработке открытого ПО), его устойчивость — это не автоматический результат выполнения простого алгоритма. Это динамический и хрупкий баланс, достигаемый через сложные процессы коммуникации, согласования ценностей и выработки общих смыслов.
Мурмурация наглядно доказывает, что сложная координация не требует централизованного контролёра. Этот принцип позволяет проектировать надёжные технологические сети, где устойчивость является следствием простых локальных взаимодействий.
Для социальных систем мурмурация остаётся не инструкцией, а метафорой. Она показывает, что порядок может возникать снизу вверх, и предлагает модель для осмысления того, как через согласование локальных действий может рождаться глобальная согласованность.
Феномен мурмурации — это не только удивительное зрелище, но и готовая модель для создания устойчивых систем без центрального управления. Её эффективность основана на трёх простых принципах:
1. Локальное взаимодействие. Каждый агент (птица, дрон) следует простым правилам, ориентируясь лишь на ограниченное число ближайших соседей, не обладая информацией о глобальном состоянии системы.
2. Однородность правил. В системе нет «лидера»; все агенты функционально идентичны и подчиняются одним и тем же алгоритмам.
3. Топологический принцип. Взаимодействие осуществляется с фиксированным числом ближайших агентов, а не в пределах фиксированного радиуса. Это обеспечивает устойчивость при изменении плотности или масштаба системы.
Эти принципы нашли прямое применение в инженерии. Например, рои беспилотных аппаратов координируют полёт для картографирования или поисково-спасательных работ, а самоорганизующиеся сенсорные сети поддерживают свою целостность, динамически перестраивая связи между узлами.
Однако прямой перенос этих принципов на человеческое общество был бы ошибкой.
Ключевое отличие — в природе самих правил. Поведение птиц в стае обусловлено врождёнными и универсальными для вида инстинктами. В человеческих системах — будь то рыночная экономика, научное сообщество или гражданские инициативы — правила взаимодействия (законы, нормы, соглашения) сами являются продуктом культуры, сознательного выбора и постоянных интерпретаций. Они не заданы раз и навсегда, а постоянно оспариваются и пересматриваются.
Поэтому, хотя мы и наблюдаем в обществе паттерны децентрализованной координации (например, в формировании рыночных цен или в коллективной разработке открытого ПО), его устойчивость — это не автоматический результат выполнения простого алгоритма. Это динамический и хрупкий баланс, достигаемый через сложные процессы коммуникации, согласования ценностей и выработки общих смыслов.
Мурмурация наглядно доказывает, что сложная координация не требует централизованного контролёра. Этот принцип позволяет проектировать надёжные технологические сети, где устойчивость является следствием простых локальных взаимодействий.
Для социальных систем мурмурация остаётся не инструкцией, а метафорой. Она показывает, что порядок может возникать снизу вверх, и предлагает модель для осмысления того, как через согласование локальных действий может рождаться глобальная согласованность.
❤9🔥9👍7🥰2😱1
Данный предел последовательности…
Anonymous Quiz
38%
Не существует
5%
Равен 0
15%
Равен ½
30%
Равен 1
12%
Трудно найти
🔥10👍2👎2🥰1
Задача 1. В одном государстве правитель хотел повысить долю мужского населения (ему требовались воины) и издал указ: семьи должны рожать детей до тех пор, пока не появится девочка, а после её рождения больше не заводить детей. Граждане в том государстве законопослушны, а вероятность появления и мальчика, и девочки равна 0,5. Также предполагаем, что все рождения — одноплодные (двойни, тройни и т.д. исключены).
Каким стало соотношения числа мальчиков и девочек, родившихся после издания указа?
Каким стало соотношения числа мальчиков и девочек, родившихся после издания указа?
👍7
Думаю, …
Anonymous Quiz
15%
1 : 2
8%
3 : 5
43%
1 : 1
5%
5 : 3
11%
2 : 1
18%
Да плевать все хотели на этот дурацкий указ!
👍4